Metodologia didactică specifică predării operaţiilor matematice
În scopul formării noţiunii de adunare se porneşte de la operaţii cu mulţimi de obiecte concrete (etapă perceptivă), după care se trece la efectuarea de operaţii cu reprezentări ce au tendinţa de a generaliza (etapă reprezentărilor), pentru că, în final, să se poată face saltul la conceptul matematic de adunare (etapă abstractă).
Introducerea operaţiei de adunare se face folosind reuniunea a două mulţimi disjuncte.
În etapa concretă, elevii formează, de exemplu, o mulţime de brăduţi ninşi cu 3 elemente şi a mulţime de brăduţi albi cu 4 elemente. Reunindu-se cele două mulţimi de brăduţi se formează o mulţime care are 7 brăduţi: ninşi sau albi. Se repetă apoi acţiunea folosind alte obiecte (de exemplu, baloane, beţişoare, flori, creioane s.a.), până ce elevii conştientizează că reunind o mulţime formată din 3 obiecte cu o altă mulţime formată din 4 obiecte (indiferent ce sunt acestea) se obţine o mulţime formată din 7 obiecte. În această etapă, acţiunea elevului vizează număratul sau compunerea unui număr, date fiind două componente.
Etapa a două, semiabstractă, este caracterizată de utilizarea reprezentărilor simbolice, cum ar fi: În această etapă se introduc semnele grafice “+” şi “=”, explicându-se ce reprezintă fiecare şi se insistă pe faptul că acestea se scriu doar între numere.
În etapa a treia, abstractă, dispare suportul intuitiv, folosindu-se doar numerele. În această etapă se introduce terminologia specifică (termeni, suma/total) şi se scot în evidenţă proprietăţile adunării (comutativitate, asociativitate, existenţa elementului neutru), fără utilizarea acestor termeni şi cu apelare la intuire, ori de câte ori este necesar. Tot în această etapă se poate sublinia reversibilitatea operaţiei, prin scrierea unui număr că suma de două numere (descompunerea numărului). Acest tip de solicitare conduce la dezvoltarea creativităţii elevului care, în urmă unui raţionament probabilistic, trebuie să găsească toate soluţiile posibile, anticipând, în acelaşi timp, operaţia de scădere.
Scăderea se introduce folosind operaţia de diferenţă dintre o mulţime şi o submulţime a să (complementară unei submulţimi). În prima etapă concretă, dintr-o mulţime de obiecte ce au o proprietate comună se elimina o submulţime de obiecte şi se precizează câte obiecte rămân în mulţime. Acţiunea mentală a elevului vizează număratul sau descompunerea unui număr în două componente, dată fiind una dintre acestea.
Etapa a două, semiabstractă, este caracterizată de utilizarea reprezentărilor simbolice, cum ar fi diagramele . În această etapă se introduce semnul grafic “−“ explicându-se ce reprezintă şi se precizează că acesta se scrie doar între numere.
În etapa a treia abstractă, în care se folosesc doar numerele, se introduce terminologia specifică (descăzut, scăzător, rest/diferenţa) şi se evidenţiază proprietăţile scăderii numerelor naturale (operaţia este posibilă doar dacă descăzutul este mai mare sau egal cu scăzătorul; în cazul egalităţii, restul este zero), şi se compară cu proprietăţile adunării (scăderea nu este comutativă) şi subliniind faptul că, la adunare, rezultatul (suma) este mai mare decât oricare dintre numerele care se adună (termeni), iar la scădere, rezultatul (diferenţa) este mai mic decât descăzutul.
Legătura dintre adunare şi scădere trebuie subliniată prin realizarea probei fiecăreia dintre cele două operaţii: la adunare, se scade din suma unul din termeni şi trebuie să se obţină cel de-al doilea termen, iar la scădere, se adună diferenţa cu scăzătorul şi trebuie să se obţină descăzutul. De asemenea, aceste relaţii se evidenţiază şi în cazul aflării unui termen necunoscut la adunare sau scădere, eliminând ghicirea, ce apelează la memorie sau procedeul încercare-eroare.
Înţelegerea acestor aspecte implică în clasele următoare şi formarea capacităţii elevilor de a utiliza terminologia: mai mult cu…, mai puţin cu…, ce vor stă la baza rezolvării problemelor simple. Rezolvarea unor situaţii-problema (îndeosebi ilustrate cu material didactic concret sau prin imagini, dar şi prezentate oral) ce conduc la una dintre cele două operaţii se realizează frecvent, încă înainte de abordarea conceptului restrâns de problema din matematică. Şi prin aceste situaţii-problema poate fi valorificată legătură dintre cele două operaţii, anticipând cunoaşterea faptului că din orice problema de adunare se pot obţine două probleme de scădere.
De exemplu, o imagine ce reprezintă un lac pe care plutesc 5 nuferi, iar pe mal sunt alţi 4 nuferi, poate fi exploatată maximal (din punct de vedere matematic) prin formulări de tipul: -Pe lac sunt 5 nuferi, iar pe mal sunt 4 nuferi. Câţi nuferi sunt în total?
-Pe lac au fost 9 nuferi, iar 4 dintre ei au fost culeşi. Câţi nuferi au rămas pe lac?
-Pe lac au fost 9 nuferi, dar acum sunt doar 5. Câţi nuferi au fost culeşi?
Introducerea operaţiilor de înmulţire şi împărţire cu numere naturale se face după ce elevii au dobândit cunoştinţe şi au priceperi şi deprinderi de calcul formate, corespunzătoare operaţiilor de adunare şi scădere. Operaţiile de înmulţire şi împărţire se introduc separat, mai întâi înmulţirea (că adunare repetată de termeni egali), apoi împărţirea (că scădere repetată a aceluiaşi număr natural). Abia după introducerea lor şi stăpânirea lor de către elevi se va evidenţia legătură dintre aceste două operaţii.
Deoarece predarea-învăţarea acestor două operaţii se face prin intermediare.Operaţia de înmulţire se introduce ţinând seama de definiţia înmulţirii că: adunarea repetată a aceluiaşi termen. De aceea pentru stabilirea rezultatului înmulţirii se pot utiliza două procedee:
- Efectuarea adunării repetate a numărului respectiv şi exprimarea acestei adunări prin înmulţire: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10, deci: 2 × = 10.
- Efectuarea înmulţirii prin grupare: 2 × 2 = 4, 2 × 3 = 6, 4 + 6 = 10, deci: 2 × 5 = 10.
Primul procedeu se întrebuinţează mai ales pentru stabilirea tablei înmulţirii, iar al doilea se bazează pe primul, cu deosebire pe înmulţirile numerelor 1-10 cu numere până la 5. Ordinea exerciţiilor de înmulţire respectă ordinea prevăzută în tablă înmulţirii, astfel că se învaţă întâi înmulţirea numărului 2, apoi a numărului 3 etc.
Exprimarea în cazul înmulţirii trebuie să corespundă întru totul procesului de gândire care are loc, astfel încât elevul să-şi poată însuşi în mod conştient şi cu uşurinţă această operaţie. De aceea, se va folosi întâi exprimarea care utilizează cuvintele: a luat de b ori, apoi exprimarea: a înmulţit cu b şi în sfârşit exprimarea: a ori b, această fiind cea mai scurtă şi deci cea care se va folosi mai târziu în mod curent. Este recomandabil că la înmulţirea numărului 2 să se întrebuinţeze pentru toate înmulţirile numărului, respectiv întâi exprimarea a luat de b ori şi numai după ce elevii au deprins această exprimare, sau numai la înmulţirile numerelor următoare să se treacă la celelalte moduri de exprimare.
Pentru stabilirea rezultatului unei înmulţiri, spre exemplu 2 × 3 = 6 se procedează în felul următor:
- se demonstrează cu ajutorul a 2 - 3 materiale didactice, apoi pe baza de reprezentări cât fac 2 luat de 3 ori şi trecându-se pe plan abstract se stabileşte că 2 luat de 3 ori fac 6;
- se scrie această concluzie în două feluri: sub formă de adunare şi sub formă de înmulţire, adică:
2 + 2 + 2 = 6 2 × 3 = 6
- se citeşte operaţia de înmulţire în cele 3 moduri arătate mai sus.
Trecerea de la adunarea repetată la înmulţire se face în două moduri.
I. Prin stabilirea rezultatului fiecărei adunări repetate a numărului dat şi exprimarea acestei operaţii sub formă de adunare, apoi sub formă de înmulţire, urmată de scrierea în cele două feluri a acesteia;
exemple: Cât fac trei creioane luate de 4 ori.
Cum aţi socotit ? (3 + 3 + 3 + 3 = 12).
Cum putem spune altfel? (3 luat de 4 ori fac 12).
Cum scriem? (3 + 3 + 3 + 3 = 12 sau 3 × 4 = 12).
În felul acesta elevii se deprind să identifice operaţia de adunare repetată a aceluiaşi termen cu operaţia de înmulţire, să substituie o operaţie prin altă, ceea ce de altfel se şi urmăreşte.
II. Prin stabilirea tuturor operaţiilor de adunare repetată a aceluiaşi termen programate pentru lecţia respectivă şi apoi scrierea acestora sub formă de înmulţiri. Adică, dacă este vorba despre înmulţirea numărului 3, se stabilesc şi se scriu toate adunările numărului 3 până la 18:
3
3 + 3 = 6
3 + 3 + 3 = 9
3 + 3 + 3 + 3 = 12
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18 apoi se transformă pe rând aceste adunări în înmulţiri, scriindu-se în dreptul fiecărei adunări înmulţirea corespunzătoare, astfel:
3 × 1 = 3
3 × 2 = 6
3 × 3 = 9
3 × 4 = 12
3 × 5 = 15
3 × 6 = 18
Dintre aceste două procedee se consideră că primul este mai indicat pentru motivul că elevii sunt puşi în situaţia să participe în mod conştient la scrierea fiecărei adunări sub formă de înmulţire, câtă vreme după al doilea procedeu, chiar dacă elevii participa conştient la scrierea primelor două adunări sub formă de înmulţiri, celelalte transformări le vor face mecanic pe baza observaţiei că numărul 3 este luat pe rând de 2 ori, de 3 ori etc.
De altfel, între cele două procedee nu se poate stabili o ierarhizare absolută, ele urmând a fi utilizate după preferinţele propunătorului şi ţinând seama de condiţiile în care lucrează. Semnul înmulţirii se introduce cu prilejul scrierii primei operaţii de înmulţire, că o prescurtare a cuvintelor luat de … ori. În operaţiile următoare, se va arată că semnul “×” mai ţine locul cuvintelor înmulţit sau ori.
Pentru memorarea tablei înmulţirii se utilizează procedeele specificate pentru memorarea tablei adunării şi scăderii. Apoi, la fiecare lecţie, trecerea la predarea cunoştinţelor noi este precedată de calcul mintal, iar în ascultare şi în fixarea cunoştinţelor se rezolva probleme aplicative. De asemenea este indicat să se rezolve cât mai multe exerciţii în care lipseşte unul din factori, întâi exerciţii în care lipseşte factorul al doilea, apoi exerciţii în care lipseşte primul factor: 3 × ? = 15 sau ? × 5 = 15, întrucât aceste categorii de exerciţii contribuie într-o măsură mai mare la clasificarea şi consolidarea înmulţirilor.
În cadrul numerelor până la 100, tablă înmulţirii se completează cu toate înmulţirile numerelor de o singură cifra, devenind apoi elementul de baza în toate calculele care utilizează operaţiile de gradul al doilea.
Predarea înmulţirii în acest concentru prezintă următoarele caracteristici:
- elevii sesizează rolul pe care îl îndeplineşte primul factor că număr ce se repetă şi rolul pe care îl îndeplineşte cel de al doilea factor că număr ce arată de câte ori se repetă primul factor; -se scoate în evidenţă şi se aplică proprietatea comutativităţii înmulţirii, în special pentru stabilirea rezultatelor înmulţirii cu 1, 2, 3, 4, 5 a numerelor 6, 7, 8 şi 9. Această proprietate se generalizează în cadrul numerelor până la 100, astfel încât o bună parte din tablă înmulţirii va constitui doar o repetare a celor învăţate anterior;
- pe baza comutativităţii produsului se alcătuieşte tablă înmulţirii cu înmulţitorul constant, care va constitui elementul principal în introducerea împărţirii prin cuprindere;
- pentru stabilirea rezultatelor înmulţirilor, elevii vor putea întrebuinţa o mare varietate de procedee raţionale: adunarea repetată, gruparea, comutativitatea care nu vor avea un character limitat, ci vor capătă un câmp larg de desfăşurare.
În ceea ce priveşte intuiţia, această nu mai are rol predominant, întrucât elevii au dobândit multe cunoştinţe în legătură cu operaţiile aritmetice, şi-au format anumite priceperi şi au sesizat mecanismul scrierii adunării repetate sub formă de înmulţiri şi tehnică formării tablei înmulţirii, astfel încât insistenţă institutorului de a demonstra totul cu material didactic ar frână însuşirea într-un ritm mai rapid a cunoştinţelor.
Nu se renunţă complet la materialul didactic, dar acesta se utilizează numai în măsură în care el este necesar pentru că elevii să-şi însuşească în mod conştient operaţiile respective.
Astfel pe parcursul aceleiaşi lecţii, că şi în eşalonarea lecţiilor aparţinătoare capitolului respectiv, dozarea materialului didactic se face în aşa fel încât la început să se utilizeze mai mult material didactic şi să se treacă prin toate cele trei faze, apoi din ce în ce mai puţin, ajutându-se că ultimele operaţii să se bazeze doar pe gândirea abstractă.
Exemplu, la înmulţirea numărului 7:
- primele 6 operaţii nu este necesar să fie demonstrate, deoarece se cunosc de la înmulţirile cu înmulţitorul constant al numerelor 1, 2, …, 6, ci doar se repetă înmulţirile respective, se reamintesc demonstraţiile sau se repetă unele dintre ele dacă se consideră necesar;
- operaţiile 7 × 7 şi 7 × 8 se pot demonstra cu 1-2 materiale (bile şi beţişoare, cuburi şi buline, creioane şi o planşă cu figuri), dintre care un material este indicat să fie o planşă cu figure decupate şi lipite sau cu figuri mobile, trecându-se apoi la faza semiconcreta şi apoi abstractă; -operaţia 7 × 9 poate fi ilustrată numai cu ajutorul unor reprezentări, după care se trece la faza abstractă;
- rezultatul operaţiei 7 × 10 se poate stabili numai pe baza fazei abstracte.
De asemenea, în şirul lecţiilor: înmulţirea numărului 2, înmulţirea numărului 3 etc., bogăţia şi varietatea materialului didactic trebuie să fie în descreştere, pe măsură ce elevii dobândesc noi cunoştinţe şi-şi formează noi priceperi şi deprinderi. Ordinea în care se predau cunoştinţele privitoare la înmulţirea numerelor este cea prevăzută de tablă înmulţirii, iar după epuizarea acesteia se trece la tratarea cazurilor speciale.
Fazele principale prin care trece o lecţie de înmulţire a unui număr, cu stabilirea tablei înmulţirii respective, sunt următoarele:
- repetarea tablei înmulţirii cu numărul precedent, sau cu numerele precedente;
- numărarea ascendentă cu acel număr de unităţi şi scrierea rezultatelor numărării;
- adăugarea repetată a acelui număr, o dată, de două ori etc., cu scrierea pe tablă şi pe caiete a operaţiei;
- scrierea adunării repetate sub formă de înmulţire;
- stabilirea completă a tablei înmulţirii cu acel număr, inclusiv înmulţirea cu unitatea; -memorarea tablei stabilite, întrebuintand forme de activitate şi procedee cât mai variate; -rezolvarea de exerciţii şi probleme aplicative în legătură cu înmulţirile învăţate.
Procedee pentru stabilirea rezultatelor la înmulţire:
- procedeul adunării repetate;
4 × 3 = 12 pentru că 4 + 4 + 4 = 12.
- procedeul utilizării grupărilor;
4 × 7 = 28 pentru că 4 × 3 = 12, 4 × 4 = 16 şi 12 + 16 = 28 sau 4 × 7 = 28 pentru că 4 × 5 = 20, 4 × 2 = 8 şi 20 + 8 = 28.
- procedeul comutativităţii; 7 × 3 = 21, pentru că 3 × 7 = 21 9 × 6 = 54, pentru că 6 × 9 = 54.
- procedeul rotunjirii;
9 × 3 = 27, pentru că 10 × 3 = 30, 1 × 3 = 3 şi 30 - 3 = 27.
Fazele principale prin care trece o lecţie de înmulţire a unui număr, cu stabilirea tablei înmulţirii respective, sunt următoarele:
- repetarea tablei înmulţirii cu numărul precedent, sau cu numerele precedente;
- numărarea ascendentă cu acel număr de unităţi şi scrierea rezultatelor numărării;
- adăugarea repetată a acelui număr, o dată, de două ori etc., cu scrierea pe tablă şi pe caiete a operaţiei;
- scrierea adunării repetate sub formă de înmulţire;
- stabilirea completă a tablei înmulţirii cu acel număr, inclusiv înmulţirea cu unitatea; -memorarea tablei stabilite, întrebuintand forme de activitate şi procedee cât mai variate; -rezolvarea de exerciţii şi probleme aplicative în legătură cu înmulţirile învăţate.
Programa şcolară prevede pentru clasa a IV-a, în cadrul numerelor până la 1000, numai cazurile simple de înmulţire orală, şi anume, înmulţirea zecilor şi a sutelor cu un număr de o singură cifra, precum şi înmulţirea cu 10, 100 şi 1000. Procedeele de înmulţire în aceste cazuri se bazează pe regulile stabilite la înmulţirea unităţilor şi a zecilor. Astfel, înmulţirea 50 × 3 se scrie: 5 zeci × 3 = 15 zeci, adică 50 × 3 = 150; sau înmulţirea 300 × 2 se scrie 3 sute × 2 = 6 sute, adică 300 × 2 = 600. Prin urmare, înmulţirea zecilor şi a sutelor se reduce la înmulţirea unităţilor, regulă fiind:zecile şi sutele se înmulţesc că şi unităţile, dar la produs se adaugă un zero, respectiv două zerouri.
Succesiunea acestor exerciţii de înmulţire orală este următoarea:
- înmulţirea sutelor cu un număr de o singură cifra fără trecere peste mie.
Exemple: 400 × 2; 200 × 3; 500 × 2 etc.
- înmulţirea zecilor cu un număr de o singură cifra.
Exemple: 70 × 4; 50 × 7; 80 × 5; 30 × 9 etc
În acest concentru se introduce şi se studiază numai împărţirea în părţi egale, deoarece aceasta, spre deosebire de împărţirea prin cuprindere, este înţeleasă mai uşor de către elevi, exprimarea întrebuinţată este în concordanţă cu datele experienţei şi cu procesul de gândire care are loc, iar demonstrarea operaţiilor se face fără dificultăţi. Întrucât împărţirea în părţi egale se bazează pe înmulţire, ordinea exerciţiilor este aceeaşi, adică se tratează întâi împărţirea numerelor 2, 4 , 6, …, 20 la 2, apoi a numerelor 3, 6, 9, …, 18 la 3 etc.
Demonstrarea operaţiilor se face prin întrebuinţarea unor materiale cat mai variate, unele dintre ele corespunzătoare experienţei proprii a elevilor: creioane, caiete, nuci, castane, lei etc., altele din cele întrebuinţate în mod obişnuit în clasa: bile, beţişoare, cuburi, buline etc.
Procedeul iniţial este următorul:
- se stabileşte numărul de obiecte ce trebuie împărţit şi numărul părţilor, spre exemplu: 18 creioane împărţite în mod egal la 6 copii;
- se repartizează fiecărei părţi (fiecărui copil) câte un creion, deci în total 6 creioane, stabilindu-se că au mai rămas 12, apoi se mai repartizează câte încă un creion, stabilindu-se că au mai rămas 6, care de asemenea se repartizează şi nu mai rămâne nici un creion; -se verifică numărul creioanelor repartizate fiecărei părţi (fiecărui copil);
- se stabileşte, se repetă şi se scrie concluzia: 18 creioane împărţite în mod egal la 6 copii fac 3 creioane, sau 18 creioane împărţite în 6 părţi egale fac 3 creioane.
Pentru a realiza trecerea treptată de la concret la abstract, materialele care se întrebuinţează în continuare: beţişoare, cuburi, castane etc., chiar pentru aceeaşi operaţie, se împart în părţi egale, deci nu la un număr de copii, obiectele aşezându-se în grupe separate, după care se trece la faza semiconcreta, în cadrul căreia copiii vor împărţi mintal, în acelaşi număr de părţi egale, diferite numere ce reprezintă obiecte pe care nu le au în faţă şi cu care nu lucrează efectiv: piese, maşini, pere, castane, precum şi găini, ouă etc.
În rezolvarea primelor exerciţii de împărţire, stabilirea rezultatului operaţiei se face prin separarea efectivă în părţi egale şi distincte a numărului total de obiecte, iar verificarea se face prin înmulţire. Îndată însă ce elevii dovedesc că au pătruns înţelesul operaţiei de împărţire şi au reuşit să-şi însuşească în condiţii satisfăcătoare mecanismul acestei operaţii, trebuie să depăşească faza împărţirii efective a obiectelor şi să treacă neîntârziat la stabilirea prin înmulţire a rezultatului unei împărţiri, realizându-se astfel legătură strânsă dintre cele două operaţii.
Spre exemplu: 18 împărţit în 6 părţi egale fac 3, pentru că 3 luat de 6 ori fac 18, ceea ce se scrie:18 : 6 = 3, pentru că 3 × 6 = 18.
În stabilirea pe baza înmulţirii a rezultatului unei împărţiri nu numai că nu se pot evita încercările, dar se consideră indicat să se apeleze mereu la aceste încercări, întrucât ele aduc o contribuţie hotărâtoare la dezvoltarea gândirii şi la înţelegerea relaţiilor de independenţa dintre cele două operaţii aritmetice, punând astfel accentul pe ceea ce este esenţial în împărţire, şi anume faptul că este operaţia inversă înmulţirii.
Exemplu:
18 : 6 fac 1 ? NU, pentru că 1 × 6 = 6, nu 18;
18 : 6 fac 2 ? NU, pentru că 2 × 6 = 12, nu 18; 18 : 6 fac 3 ? DA, pentru că 3 × 6 = 18.
Procedând în acest fel, elevii vor ajunge să stabilească rezultatele diferitelor împărţiri numai pe baza tablei înmulţirii pe care au învăţat-o sau pe care o pot învaţă cu mai multă uşurinţă.
Exemplu: La împărţirea 15 : 3, elevii vor stabili rezultatul răspunzând mintal la întrebarea: cât ori 3 fac 15 ? deci, 15 : 3 = 5 pentru că 5 × 3 = 15.
Un alt procedeu pentru stabilirea rezultatului unei împărţiri şi care se poate introduce treptat este procedeul grupărilor, adică al descompunerii deîmpărţitului în două, trei grupe, care se împart, adunându-se rezultatele.
Exemplu:
12 : 3 = 4
9 : 3 = 3
3 : 3 = 1
3 + 1 = 4
În ceea ce priveşte exprimarea, este necesar să se întrebuinţeze la început exprimarea completă, corespunzătoare proceselor practice şi de gândire care au loc: 18 împărţit în 6 părţi egale fac 3 şi paralel cu această să se întrebuinţeze exprimarea prescurtată: 18 împărţit la 6 fac 3.
Caracteristici specifice împărţirii numerelor naturale mai mici decât 100
- în cadrul numerelor până la 100 se studiază atât împărţirea în părţi egale, cât şi împărţirea prin cuprindere (în această ordine);
- operaţia de împărţire se studiază în strânsă legătură cu înmulţirea, atât în ceea ce priveşte stabilirea şi motivarea rezultatului, cât şi prin sesizarea relaţiilor care duc la constatarea că cele două operaţii sunt inverse una alteia, adică ceea ce se face prin înmulţire se desface prin împărţire şi invers;
- împărţirea în părţi egale se bazează pe înmulţirea cu înmulţitorul constant, acesta devenind împărţitor;
- ordinea operaţiilor este aceeaşi că şi la înmulţire.
Procedeele întrebuinţate pentru stabilirea rezultatelor la împărţire sunt următoarele: -legătura dintre înmulţire şi împărţire, legătură cu ajutorul căreia se găseşte şi se motivează rezultatul;
Exemplu: 24 : 6 = ? Câtul este acel număr din înmulţirea căruia cu împărţitorul se obţine deîmpărţitul, adică 4, deci: 24 : 6 = 4, pentru că 4 × 6 = 24.
- descompunerea deîmpărţitului în termeni mai mici, astfel că aceşti termeni să fie divizibili prin împărţitor;
Exemplu: 56 : 7 = 8 pentru că: 28 : 7 = 4 , 28 : 7 = 4 şi 4 + 4 = 8.
- împărţirea succesivă a deîmpărţitului prin factorii împărţitorului;
Exemplu:28 : 4 = 7, pentru că: 28 : 2 = 14 şi 14 : 2 = 7
Împărţirea prin cuprindere se bazează pe înmulţirea cu împărţitorul constant.
Etapele metodice în tratarea împărţirii prin cuprindere pot fi formulate astfel:
- formarea noţiunii de împărţire prin cuprindere, scrierea şi citirea acestei împărţiri.
Pentru a ajunge la înţelegerea acestor noţiuni, trebuie să se lămurească şi să se delimiteze înţelesul expresiilor: în părţi egale, în grupe de câte … obiecte, grupate, cuprindere. În acest scop trebuie să se utilizeze exemple concludente, legate de experienţă şi cunoştinţele elevilor.
Astfel, elevii sunt aşezaţi în bănci câte doi, în grupe de câte doi, dar aceiaşi elevi pot fi grupaţi câte 3, câte 4 etc., sau în grupe de câte 3, câte 4. Pentru o mai bună precizare a lucrurilor se consideră un anumit număr de elevi, spre exemplu 16 şi se fac toate grupările posibile: câte 1, câte 2, câte 4, câte 8 şi câte 16, stabilindu-se numărul grupelor formate şi întrebuințându-se exprimarea corespunzătoare:
16 elevi împărţiţi în grupe de câte 2 elevi fac 8 grupe;
16 elevi împărţiţi în grupe de câte 4 elevi fac 4 grupe; 16 elevi împărţiţi în grupe de câte 8 elevi fac 2 grupe etc.
Apoi se lămureşte procesul de gândire care are loc pentru stabilirea grupelor precizându-se că 16 elevi împărţiţi în grupe de câte 2 fac 8 grupe, adică 2 în 16 se cuprinde de 8 ori, fiindcă 2 elevi repetaţi de 8 ori fac 16, sau 16 elevi împărţiţi în grupe de câte 4 fac 4 grupe, adică 4 în 16 se cuprinde de 4 ori, fiindcă 4 elevi repetaţi de 4 ori fac 16. După această se trece la demonstrarea împărţirii prin cuprindere întrebuintand diferite materiale didactice cu care lucrează atât institutorul cât şi elevii.
Exemplu: Dacă se lucrează cu beţişoare, acestea se grupează câte 1, câte 2, câte 4, stabilindu-se de fiecare dată numărul grupelor ce se obţin, cu repetarea în cuvinte a procesului aritmetic: 12 beţişoare împărţite în grupe de câte 2 beţişoare fac 8 grupe, pentru că 2 se cuprinde în 16 de 8 ori etc.
După tratarea a 2-3 exemple concrete, se trece la faza semiconcreta şi apoi abstractă, stabilindu-se drept concluzie.
16 împărţit în grupe de câte 2 fac 8, sau 2 se cuprinde în 16 de 8 ori;
16 împărţit în grupe de câte 4 fac 4, sau 4 se cuprinde în 16 de 4 ori; 16 împărţit în grupe de câte 8 fac 2, sau 8 se cuprinde în 16 de 2 ori etc.
Un exemplu sau două din aceste operaţii se scriu pe tablă şi pe caiete, scoţându-se în evidenţă faptul că scrierea acestei împărţiri este cea cunoscută, însă citirea ei se face altfel.
Exemplu: Operaţia: 16 : 4 = 4 se citeşte că împărţire prin cuprindere astfel: 16 împărţit în grupe de câte 4 fac 4, sau 4 în 16 se cuprinde de 4 ori.
Numai după ce elevii încep să pătrundă sensul expresiilor care caracterizează împărţirea prin cuprindere se poate trece la studiul sistematic al acestei operaţii, tratandu-se pe rând împărţirea la 2 prin cuprindere, apoi la 3 şi aşa mai departe, în strânsă legătură cu înmulţirea numărului respectiv şi cu împărţirea în părţi egale prin acel număr.
- probleme de împărţire prin cuprindere.
Tot ceea ce s-a arătat până aici în legătură cu împărţirea prin cuprindere are drept scop să familiarizeze pe elevi cu exprimarea caracteristică acestei împărţiri şi să-i facă să pătrundă înţelesul şi esenţă operaţiei. Dacă însă într-o problema este vorba de împărţire prin cuprindere, sau de împărţire prin părţi egale, acestea se pot stabili numai prin textul problemei, mai ales că formă sub care se scrie operaţia corespunzătoare fiecărei împărţiri este aceeaşi şi diferă doar exprimarea. Urmărind că elevii să facă distincţie clară între cele două feluri de împărţiri, este necesar să se formeze, cu aceleaşi date, o problema de împărţire în părţi egale şi altă prin cuprindere.
Spre exemplu: folosind relaţia 15 : 3 = 5, se pot formulă următoarele probleme:
A. O cantitate de 15 litri de ulei s-a pus în mod egal în 3 bidoane. Câţi litri de ulei sau pus într-un bidon?
Operaţia se scrie:15 l : 3 = 5 l şi se citeşte:15 l împărţit în 3 părţi egale (bidoane) fac 5 l.
B. O cantitate de 15 l de ulei s-a turnat în bidoane de câte 3 l . Câte bidoane sunt necesare? Operaţia se scrie: 15 l : 3 l = 5 şi se citeşte: 15 l împărţit în părţi (bidoane) de câte 3 l fac 5 (bidoane), sau: 3 l se cuprind în 15 l de 5 ori, deci sunt necesare 5 bidoane.
La împărţirea în părţi egale se observă că deîmpărţitul şi catul sunt numere concrete (reprezintă unităţi sau lucruri de acelaşi fel), iar împărţitorul este număr abstract şi arată numărul părţilor egale în care s-a făcut împărţirea. La împărţirea prin cuprindere, deîmpărţitul şi împărţitorul sunt numere concrete, iar catul este număr abstract şi arată de câte ori se cuprinde împărţitorul în deîmpărţit. Aceste observaţii caracterizează în mod general cele două feluri de împărţire.
Caracteristici specifice împărţirii numerelor naturale mai mici decât 100:
- în cadrul numerelor până la 100 se studiază atât împărţirea în părţi egale, cât şi împărţirea prin cuprindere (în această ordine);
- operaţia de împărţire se studiază în strânsă legătură cu înmulţirea, atât în ceea ce priveşte stabilirea şi motivarea rezultatului, cât şi prin sesizarea relaţiilor care duc la constatarea că cele două operaţii sunt inverse una alteia, adică ceea ce se face prin înmulţire se desface prin împărţire şi invers;
- împărţirea în părţi egale se bazează pe înmulţirea cu înmulţitorul constant, acesta devenind împărţitor;
-ordinea operaţiilor este aceeaşi că şi la înmulţire.