Metode de rezolvare a problemelor
Predarea – invatarea matematicii in ciclul primar nu se poate realiza fara activitatea de rezolvare a problemelor, activitate complexa, de profunzime, in care sunt exersate la nivel superior analiza si sinteza. Activitatea de rezolvare a problemelor imbina eforturile mentale de intelegere a notiunilor invatate, a algoritmilor de calcul formati cu structurile conduitei creative si inventive.
Notiunea de problema are un continut larg de priceperi si actiuni din domenii diferite. In sens psihologic „o problema” este orice situatie, dificultate, obstacol intampinat de gandire in activitatea practica sau teoretica pentru care nu exista un raspuns gata formulat.
Activitatea de rezolvare a problemelor pune elevii in situatia de a descoperi singuri modul de rezolvare, de a emite ipoteze si a le verifica, actiuni care sporesc caracterul formativ. Rezolvarea problemelor de matematica contribuie la dezvoltarea capacitatilor creatoare ale gandirii, la sporirea flexibilitatii ei si la educarea perspicacitatii.
Rezolvarea problemelor de matematica in clasele I-IV reprezinta in esenta, rezolvarea unor situatii problematice reale pe care le putem intalni in practica, in viata. Rezolvarea problemei implica o succesiune de operatii logice, care conduc la solutii. Aceasta succesiune logica nu este altceva decat schema de rezolvare a problemei, firul de judecati oranduite logic, care alcatuiesc rationamentul problemei.
Problema de matematica reprezinta transpunerea unei situatii practice in relatii cantitative in care intervin valori numerice cunoscute si necunoscute, relatii pe baza carora se solicita determinarea valorilor necunoscute.
Scopul descoperirii implicatiei ascunse, a necunoscutei, a elaborarii rationale a solutiei, in cazul situatiilor problema, este aplicarea creatoare a cunostintelor si tehnicilor de care dispune rezolvatorul.
In cautarea caii de rezolvare a problemei se emit si se verifica o serie de ipoteze, pana se ajunge la solutia problemei care reprezinta o sinteza superioara inchiderii circuitului nervos. Schita problemei apare ca un rezultat al efortului gandirii. Procesul de rezolvare a problemelor este un proces analitico-sintetic. Analiza are un caracter general de orientare asupra continutului problemei.
Cautarea unor procedee de analiza si sinteza cat mai eficiente, pentru a conduce gandirea elevului pe cai cat mai scurte si mai sigure catre aflarea necunoscutei, constituie una din sarcinile de baza ce-i revin invatatorului.
Problema impune in rezolvarea ei o activitate de descoperire. Textul problemei indica datele, conditia problemei (relatiile dintre date si necunoscuta) si intrebarea problemei.
Varietatea si complexitatea problemelor pe care le rezolva elevii sporeste efortul mental si eficienta formativa a activitatii de rezolvare a problemelor. In rezolvarea problemelor intervine o serie de tehnici, procedee, modul de actiune, de deprinderi si activitati de munca intelectuala. In activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape. In fiecare etapa are loc un proces de reorganizare a datelor si de reformulare a problemei, pe baza activitatii de orientare a rezolvatorului pe drumul si in directia solutiei problemei.
In rezolvarea problemelor de o mare importanta este intelegerea structurii si a logicii rezolvarii ei. Elevul trebuie sa cuprinda in sfera gandirii sale intregul „film” al desfasurarii rationamentului si sa-l retina drept element esential. Pentru generalizarea rationamentului, elevii trebuie sa aiba formate capacitatile si de a intelege datele problemei, de a sesiza conditia problemei si de a orienta logic sirul de judecari catre intrebarea problemei. Pentru rezolvarea corecta a problemei trebuie sa parcurgem urmatoarele etape:
I. Cunoasterea enuntului problemei
Aceasta etapa de inceput presupune citirea enuntului problemei, de catre institutor sau elevi de mai multe ori, pana la insusirea corecta. Se pun in evidenta datele si legaturile dintre ele, se scriu pe tabla si in caiet. Elevul care rezolva problema trebuie sa identifice cerinta problemei, adica elementul necunoscut.
II. Intelegerea enuntului problemei
Deoarece enuntul problemei contine un minim de informatii, el trebuie optimizat prin delimitarea datelor, prin evidentierea relatiilor dintre ele si stabilirea intrebarii problemei. Aceasta optimizare se realizeaza prin discutii cu elevii. In acest sens se pot folosi si alte mijloace: ilustrarea prin imagini, scheme, grafice, etc.
Intelegerea enuntului permite generalizarea si abstractizarea prin construirea unei scheme care contine esentialul, eliminand aspectele descriptive.
III. Analiza problemei si intocmirea planului de rezolvare
In aceasta etapa se descopera calea de rezolvare a problemei, eliminandu-se elementele nesemnificative si se elaboreaza planul logic de rezolvare. Astfel cel care rezolva problema efectueaza un sir de rationamente care vor duce la alcatuirea problemei simple prin a caror rezolvare se ajunge la raspuns. Examinarea problemei se face prin cele doua metode generale, metoda analitica si metoda sintetica.
IV. Alegerea si efectuarea operatiilor corespunzatoare succesiunii planului de rezolvare
Din planul de rezolvare elevii aleg si efectueaza calculele constientizand semnificatia fiecarui calcul oral sau scris si realizeaza conexiunile necesare pentru obtinerea rezultatului final. Se va acorda o importanta deosebita redactarii planului de rezolvare, consemnand judecatile intelegand corect unitatile de masura si finalizand cu scrierea rezultatului.
V. Activitati suplimentare
In aceasta etapa se pot concretiza urmatoarele:
- verificarea solutiei problemei;
- scrierea problemei sub forma de exercitiu;
- depistarea altor variante de rezolvare;
- generalizare;
- compunere de probleme.
Chiar daca aceasta etapa este facultativa pentru formarea priceperilor si a deprinderilor corecte de rezolvare a unei probleme este necesara verificarea solutiei deoarece astfel se realizeaza autocontrolul asupra corectitudinii demersului de rezolvare. Aceasta etapa poate fi valorificata de institutor in directia cultivarii creativitatii elevilor si a cresterii interesului pentru matematica.
Modul de prezentare si solutionare a problemelor se va face prin respectarea particularitatilor de varsta de la concret-intuitiv (cum ar fi manipularea obiectelor, a instrumentelor de masura: balantele, metrul, banii, etc. ; decupaje si asamblari de figuri geometrice; experimente asupra unor masuratori, cantariri etc.), la reprezentare grafica imagistica (probleme pe baza unor imagini cu concretizarea relatiilor intre marimi prin segmente, diagrame, sageti etc.), la descompunerea problemelor compuse in probleme simple, fara a fi rezolvate succesiv, deoarece nu acest fapt intereseaza, ci construirea rationamentului, legatura dintre secvente.
In cadrul acestor activitati, elevii sunt dirijati sa sesizeze mersul rationamentului si sa invete sa elaboreze tactica si strategia solutionarii prin elaborarea planului de rezolvare a problemei.
Examinarea unei probleme compuse se realizeaza, de obicei, prin metodele analitica, sintetica sau folosite simultan.
Deosebirea dintre ele consta, practic, in punctul de plecare al rationamentului. Prin metoda sintezei se porneste de la datele problemei spre aflarea solutiei, iar prin metoda analizei se pleaca de la intrebarea problemei spre aflarea solutiei, iar prin metoda analizei se pleaca de la intrebarea problemei spre datele ei si stabilirea relatiilor matematice dintre acestea.
Practica a demonstrat ca metoda sintezei este mai accesibila, dar nu solicita prea mult gandirea elevilor, uneori abatandu-le atentia de la intrebarea problemei.
Metoda analitica pare mai dificila, dar solicita mai mult gandirea elevilor, determinandui sa priveasca problema in totalitatea ei.
Analiza logica a problemei, dupa repetarea si intelegerea enuntului, se realizeaza concomitent cu formularea orala a planului de rezolvare, urmate de consemnarea in scris a acestuia prin activitate frontala sau independenta, sub variate forme: de intrebari, titluri, enunturi succinte etc.
Rezolvarea poate fi scrisa prin intercalarea intrebarilor din plan cu calculul, asigurand o estetica a asezarii in pagina, care ilustreaza legatura intre consemnarea succinta a datelor enuntului, a planului gandit si a calculului realizat, cu marcarea raspunsului obtinut si generalizarea prin transpunerea problemei in expresie numerica sau formula literala.
Este oportun sa se rezolve nu mai mult de una-doua probleme intr-o ora de curs, insistand asupra rationamentului si investigand solutionarea pe mai multe cai, pentru exersarea flexibilitatii gandirii decat sa se exagereze cu solutionarea stereotipa, superficiala a mai multor probleme sau sa se consume timpul pentru o singura problema.
Locul problemei in succesiunea secventelor instruirii trebuie bine ales, in functie de curba de efort la care este solicitat copilul si obiectivele stabilite.
Este indicat sa se evite situatiile in care problemele sunt planificate exclusiv la sfarsitul lectiei, lasand sarcina efectuarii lor complete in recreatie sau acasa.
Procesul de gandire care are loc in scopul precizarii problemelor simple ce alcatuiesc o problema compusa si a succesiunii lor, astfel incat intrebarea ultimei probleme simple sa coincida cu intrebarea finala a problemei date se numeste examinare sau analiza a problemei.
METODA ANALITICA
Folosirea metodei analitice presupune plecarea de la intrebarea problemei, descompunerea ei in probleme simple, organizate intr-o succesiune logica si rezolvarea acestora sa conduca in mod deductiv de la valoarea necunoscuta catre valorile cunoscute la formularea raspunsului cerut de problema.
Pentru a vedea cum folosim aceste metode vom pleca de la examinarea urmatoarei probleme:
1. La o ferma viticola lucreaza doua echipe: prima are 10 muncitori care culeg zilnic cate 240 kg de struguri si a doua formata din 12 muncitori care culeg zilnic cate 220 kg de struguri fiecare. Stiind ca pretul unui kg de struguri este de 8000 lei, sa se afle valoarea totala realizata intr-o zi de cele doua echipe.
Examinarea problemei:
Plecand de la intrebarea problemei pentru aflarea valorii totale, trebuie sa cunoastem cantitatea totala de struguri culeasa de cele doua echipe.
Aceasta cantitate se poate afla cunoscand cantitatea de struguri culeasa de prima echipa si cantitatea culeasa de a doua echipa.
Schematic, va arata astfel:
1. Care este cantitatea de struguri culeasa de prima echipa ? 240 kg x 10 = 2400 kg
2. Care este cantitatea de struguri culeasa de a doua echipa?
220 kg x 12 = 2640 kg
3. Care este cantitatea de struguri culeasa de cele doua echipe?
2400 kg + 2640 kg = 5040 kg
4. Care este valoarea totala realizata de cele doua echipe?
8000 lei x 5040 = 40320000 lei.
METODA SINTETICA
Folosirea metodei sintetice presupune elaborarea unor rationamente care grupeaza datele dupa relatiile dintre ele, formularea unor probleme simple si asezarea lor intr-o succesiune logica a caror rezolvare sa se incheie cu acea problema simpla, a carei intrebare sa coincida cu intrebarea problemei.
Planul de rezolvare coincide cu cel realizat la metoda analitica.
Cele doua metode generale de examinare, avand la baza cele doua operatii ale gandirii se gasesc intr-o stransa conexiune cauzata de cele doua procedee: analitic si sintetic, care se conditioneaza reciproc.
Din acest motiv utilizarea acestor doua metode nu poate fi separata total, ci putem avea in anumite momente o tenta dominanta a unei dintre ele, dar in examinarea unei probleme intervin ambele operatii ale procesului de gandire.
Intr-o problema compusa, descompunerea ei in probleme simple presupune un proces de analiza, iar formularea planului de rezolvare si a succesiunii logice presupune un proces de sinteza.
Acestea fac ca cele doua metode sa apara sub denumirea de „metoda analitica si sintetica”.
Metode particulare – rezolvarea problemelor tipice
Prin problemă tipică înţelegem construcţia matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza unui algoritm specific fiecărui tip. O asemenea problemă se consideră teoretic rezolvată în momentul în care s-a stabilit tipul şi ne aflăm în posesia algoritmului de rezolvare. 1. Metoda figurativă.
Conţinutul unor probleme pare foarte încurcat. Apare necesitatea unei reformulări schematice care să evidenţieze mai clar relaţiile dintre diferitele mărimi cu care se operează în probleme. Metoda figurativă sau grafică s-a dovedit foaret utilă în acest sens, de-a lungul timpului. Este una din cele mai utilizate metode de rezolvare a problemelor în clasele I – IV.
Ea constă în reprezentarea mărimilor necunoscute prin diferite simboluri, evidenţiindu-se în această reprezentare şi posibilele relaţii existente între mărimile din problemă.
Utilizând pentru reprezentarea mărimilor segmente de dreaptă sau alte figuri geometrice, precum şi scheme ale obiectelor despre care se vorbeşte în probleme, metoda uşurează trecerea de la concret la abstract, netezind calea spre utilizarea metodelor algebrice în rezolvarea problemelor. În aplicarea metodei se ia o mărime drept reper, de regulă cea mai mică, şi se reprezintă celelalte mărimi în funcţie de reper.
Metoda permite, uneori chiar necesită, formularea de ipoteze referitoare la evoluţia unei situaţii reprezentată iniţial şi la posibilele consecinţe ale unor modificări realizate de rezolvitor, precum unele transferuri sau folosirea unor expresii ca: „îï mai dau eu celui mai mic”, „îi mai iau eu celui mai mare”. Vom exemplifica aplicarea metodei figurative pe câteva tipuri de probleme, cu observaţia că metoda poate fi aplicată şi în alte situaţii, inclusiv ca procedeu în cadrul altei metode.
1.1. Sumă şi diferenţă
În două vase se află 17 litri de lapte. Câţi litri sunt în fiecare vas, dacă în primul sunt cu 5 litri mai mult decât în al doilea?
a +b = 17
a = ?
a - b = 5
b =?
Egalizarea mărimilor se va face în două feluri:
Scoatem 5 l din vasul mai plin şi atunci rămân cantităţi egale cu cea din vasul mai gol.
17 – 5 = 12 l (de două ori cantitatea din vasul mai gol)
12 2 = 6 l (în vasul mai gol) 6 + 5 = 11 l (în vasul mai plin) 11+ 6 = 17 l (verificare)
Mai punem 5 l în vasul mai gol şi obţinem cantităţi egale cu cea din vasul mai plin.
17 + 5 = 22 l (de 2 ori cantitatea din vasul mai plin)
22: 2 = 11 l (în vasul mai plin)
11 – 5 = 6 l (în vasul mai gol)
11 + 6 = 17 l (verificare)
1.2. Sumă şi cât
Suma a două numere este 264. Să se afle numerele, ştiind că unul este de 7 ori mai mare/mic decât celălalt.
268: 8 = 33 (a)
33 x 7 = 231 (b)
33 + 231 (proba)
1.3. Diferenţă şi cât
Într-o livadă sunt cu 456 mai mulţi meri decât peri. Să se afle câţi meri şi câţî peri sunt ştiind că sunt de trei ori mai mulţi meri decât peri.
456: 2 = 228 (peri)
228 x 3 = 684 (meri)
684 – 228 = 456 (verificare)
1.4. Împărţirea cu rest Constituie un caz particular.
- Suma a două numere este 215. Câtul împărţirii celui mai mare la cel mai mic este 3, iar restul 7. Care sunt cele două numere?
215 – 7 = 208 (4b)
208: 4 =52 (b)
-
- x 3 + 7 = 163 (a)
163: 52 = 3 rest 7 (verificare)
- Diferenţa a două numere este 111, iar câtul lor este 3 şi restul 7. Să se afle numerele.
104: 2 = 52 (b)
52 x 3 + 7 = 163 (a) 163 – 52 = 111 (verificare)
2. Metoda reducerii la unitate.
Două mărimi care depind una de alta se numesc direct/ invers proporţionale dacă, atunci când una din ele creşte de un număr de ori, cealaltă se micşorează de acelaşi număr de ori. Metoda reducerii la unitate se aplică în rezolvarea problemelor în care se face referire la o mărime ce depinde direct sau invers proporţional de una sau mai multe mărimi.
Metoda constă în evidenţierea numărului de unităţi dintr-o mărime ce corespun d unei unităţi dintr-o altă mărime, numărul respectiv fiind ceea ce numim factor de proporţionalitate.
Alegerea mărimii care va fi redusă la unitate este deosebit de importantă, mai ales la clasele primare, unde unele operaţii nu pot fi efectuate.
- Cele 210 kg de roşii recoltate într-o zi din grădină sunt ambalate pentru piaţă în 30 de lădiţe.
Câte lădiţe vor fi necesare pentru a ambala în altă zi 350 kg de roşii?
210 kg …………………………..30 lădiţe
350 kg ………………………….. ? lădiţe
Judecata şi rezolvarea:
Dacă în 30 de lădiţe sunt 210 kg de roşii, atunci într-o lădiţă sunt de 30 de ori mai puţine kg, adică:
210 kg: 30 = 7 kg Câte grupe de câte 7 kg se pot forma cu 350 kg?
350 kg: 7 kg/lădiţă = 50 lădiţe
- 10 caiete costă 48 000 lei. Cât costă 7 caiete ?
10 caiete ………………………….. 48 000 lei 7 caiete ………………………….. ? lei
Rezolvare:
48 000: 10 = 4 800 (lei, costă un caiet)
4 800 x 7 = 33 600 (lei, costă 7 caiete)
Observaţie: de regulă reducem la unitate o mărime cunoscută, ca în problema rezolvată mai sus, dar sunt şi situaţii când reducem la unitate mărimea în care intervine necunoscuta, ca în problema rezolvată 1.
3. 15 muncitori pot termina o lucrare în 8 zile. În câte zile ar termina lucrarea 6 muncitori care muncesc în acelaşi ritm mediu ca ceilalţi 15 ?
15 muncitori ………………………….. 8 zile 6 muncitori ………………………….. ? zile
Judecata şi rezolvarea:
Dacă 15 muncitori pot termina o lucrare în 8 zile, atunci un muncitor ar termina-o în de 15 ori mai multe zile :
15 x 8 = 120 (zile)
Dacă un muncitor termină lucrarea în 120 zile, atunci 6 muncitori ar termina lucrarea în de 6 ori mai puţine zile :
120: 6 = 20 (zile)
Aceeaşi problemă poate fi abordată şi în alt mod:
Acceptând că realizează zilnic aceeaşi parte din lucrare – pe care o numim normă – atunci 15 muncitori realizează într-o zi 15 norme, iar în 8 zile realizează:
15 norme x 8 = 120 norme
6 lucrători realizează într-o zi 6 norme. În câte zile vor realiza ei 120 norme ? Obţinem acest rezultat dacă aflăm de câte ori se cuprinde 6 în 120 :
120 norme: 6 norme/zi = 20 zile
5. 20 de robinete cu acelaşi debit sunt deschise pentru a evacua în 30 de minute apa dintr-un bazin. După 10 minute, 4 robinete se defectează şi sunt închise. Care este, în aceste condiţii, durata totală de golire a bazinului?
După 10 minute: 20 robinete …………….20 minute ……………. rest bazin
16 robinete ……………. ? minute ……………. rest bazin
Rezolvare: 20 robinete ……………. 20 minute ……………. rest bazin
1 robinet ………20 min x 20 = 400 min…….....rest bazin
16 robinete …….400 min: 16 = 25 min ……..rest bazin
25 min + 10 min = 35 min (durata totală)
6. În 6 zile, 100 vite consumă 6000 kg de furaj. În câte zile 120 de vite vor consuma 9 600 kg de furaj ?
- 6 zile ……………. 100 vite ……………. 6 000 kg
- ? zile ……………. 120 vite ……………. 9 600 kg
Rezolvare:
6 zile ……………. 100 vite ……………. 6 000 kg
1 zi ……………. 100 vite ……………. 6 000 kg: 6 = 1 000kg
1 zi ……………. 1 vită ……………. 1 000 kg: 100 = 10 kg
1 zi …………….120 vite ……………. 10 kg x 120 = 1 200 kg 9 600 kg: 1 200 kg / zi = 8 zile ………….120 vite …………….9 600 kg.
3. Metoda mersului invers.
În general o problemă din această categorie are ca cerinţă aflarea valorii iniţiale a unei mărimi, valoare ce a fost supusă unor modificări succesive, prezentate în text, rezultatul final al acestor modificări fiind cunoscut. Este vorba deci de alfarea unui număr nucunoscut asupra căruia s-au efectuat anumite operaţii al căror rezultat este cunoscut.
Analizând textul problemei vom constata că pentru rezolvarea ei pornim de la ultima valoare cunoscută şi aflăm succesiv valorile premergătoare ei până ajungem să aflăm valoarea iniţială. Dacă textul segerează anumite oparaţii, într-o anumită ordine pentru rezolvarea problemei vom efectua de regulă operaţii inverse celor indicate de text şi în ordinea inversă ordinii din text.
1. M-am gândit la un număr, l-am împărţit la 4, la rezultat am adunat 8 iar din suma obţinută înjumătăţită am scăzut 5 şi apoi am înmulţit cu 2 obţinând 18. La ce număr m-am gândit?
Vom transforma problema compusă într-o succesiune de probleme simple:
„Ce număr înmulţim cu 2 ca să obţinem 18 ?” 18: 2 = 9
„Din ce număr scădem 5 ca să obţinem 9 ?” 9 + 5 = 14
„Ce număr înjumătăţim ca să obţinem 14 ?” 14 x 2 = 28
„Ce număr adunăm cu 8 ca să obţinem 28 ?” 28 – 8 = 20
„Ce număr împărţim la 4 ca să obţinem 20 ?” 20 x 4 = 80
Observaţie: Problema poate fi reprezentată sub formă de exerciţiu astfel:
[(x: 4 + 8): 2 – 5] x 2 = 18, la care avem rezolvarea cu rezultatul x = 80.
Este şi motivul pentru care în rezolvarea unor astfel de probleme se spune că se foloseşte metoda mersului invers, ceea ce în multe situaţii este şi adevărat.
2. Mama lasă într-o farfurie prune pentru cei trei copii ai săi. Fiecare vine şi, neştiind dacă ceilalţi au venit şi au consumat din fructele lăsate de mama, consumă o treime din prunele pe care le găseşte. Când vine mama constată că fiecare copil a mâncat prune şi că au rămas 8 prune. Câte prune au fost la început ?
Rezolvare:
8: 2 = 4 (prune, reprezintă 1/3 din ce a găsit al III-lea)
4 x 3 =12 (prune, a lăsat al II-lea)
164: 2 = 6 (prune, 1/3 din ce a găsit al II-lea)
6 x 3 = 18 (prune, a lăsat primul)
18: 2 = 9 (prune, 1/3 din ce a găsit primul) 9 x 3 = 27 (prune, a găsit primul copil)
Formularea acestei probleme, destul de des întâlnită la problemele din această categorie îndreptăţeşte denumirea de „probleme de rest din rest” care mai este folosită la astfel de probleme.
3. Mergând în excursie un copil cheltuieşte a şaptea parte din banii pe care-i avea şi încă 20 000 lei în prima zi. A doua zi cheltuieşte o pătrime din rest şi încă 20 000 lei iar a treia zi cheltuieşte două cincimi din noul rest şi încă 10 000 lei şi-i mai rămân 50 000 lei. Ce sumă a avut copilul la început?
Dacă în prima zi se cheltuia numai 1/7 din sumă aveam :
Cum s-au cheltuit şi cei 20 000, după a doua zi, dacă ar fi cheltuit numai ¼ din rest ar fi avut:
Cheltuindu-se şi cei 20 000 lei a doua zi, dacă în a III-a zi se cheltuia numai 2/5 din ultimul rest am fi avut:
Rezolvare:
50 000 + 10 000 = 60 000 (lei ar fi rămas dacă în a III-a zi se cheltuia numai 2/5 din rest)
60 000: 3 = 20 000 (lei reprezintă 1/5 din suma ramasă după a II-a zi)
20 000 x 5 = 100 000 (lei rămaşi a II-a zi)
100 000 + 20 000 = 120 000 (lei ar fi rămas dacă a II-a zi se cheltuia numai ¼ din cea rămas după prima zi)
120 000: 3 = 40 000 (lei, ¼ din suma rămasă după prima zi)
40 000 x 4 = 160 000 (suma rămasă după prima zi)
160 000 + 20 000 =180 000 (lei, suma ce ar fi rămas după prima zi dacă cheltuia numai ½ din sumă)
180 000: 6 = 30 000 (lei, 1/7 din suma avută)
30 00 x 7 = 210 000 (lei, suma avută)
4. Metoda presupunerii (a falsei ipoteze)
Există situaţii când, în încercarea de a „debloca” rezolvarea unei probleme, ne întrebăm ce consecinţe ar produce modificarea unora din datele iniţiale. Comparând aceste consecinţe cu enuntul problemei, sesizam anumite nepotriviri şi încercăm să aflăm cauzele lor. Odată aflate cauzele, putem stabili şi drumul spre rezolvare.
Numărul ipotezelor (al presupunerilor) este variabil şi depinde de complexitatea problemei. La limită, şi rezolvarea prin încercări, care presupune cercetarea situaţiilor create prin atribuirea tuturor valorilor posibile mărimilor necunoscute (uneori însoţită de justificarea logică a renunţării la anumite valori) se încadrează în această metodă.
1. Într-un parc se plimbau 15 copii cu biciclete şi triciclete care au în total 39 roţi. Câţi copii se plimbau cu biciclete?
Presupunem că cei 15 copii se plimbau doar pe biciclete. Acestea ar avea: 15 roţi x 2 = 30 roţi Constatam că în felul acesta nu au fost luate în considerare:
39 roţi – 30 roţi = 9 roţi
De ce ? Pentru că la fiecare tricicletă s-a neglijat :
3 roţi – 2 roţi = 1 roată
De câte ori s-a întâmplat aşa ceva ?
De 9: 1 = 9 ori
Deducem că există 9 triciclete. Aflăm apoi că există
15 – 9 = 6 biciclete
Răspuns: 6 biciclete
2. Un turist urcă pe munte cu viteza de 3 km/h şi coboară cu viteza de 5 km/h. ştiind că deplasarea dus-întors a durat 8 ore (excluzând timpul pentru staţionarea din varf) să se afle ce distanţă a parcurs turistul.
Să speram că duratele deplasării la dus şi respectiv la întors sunt numere naturale. În acest caz numărul de km parcurşi la urcare (egal cu cel de la coborâre) se împarte exact la 5 şi la 3. Să presupunem că la urcare sunt 30 km şi la coborâre tot atat.
Atunci durata totală a deplasării este:
30: 3 + 30: 5 = 16 (ore)
Adică de două ori mai mult decât în realitate. Înseamnă că de fapt sunt
30: 2 = 15 km şi verificând constatăm că
3 + 15: 5 = 8 ore, ceea ce confirmă că d = 15 km.
3. Un copil cumpără 15 caiete de 5 000 lei, 7 000 lei şi respectiv, 10 000 lei, plătind 117 000. Numărul caietelor de 10 000 lei este de două ori mai mare decât al celor de 5 000 lei. Câte caiete sunt de fiecare fel?
5 000 + 2 x 10 000 = 25 000 lei (costă o grupă formată dintr-un caiet de 5 000 lei şi 2 caiete de 10 000 lei)
7 000 x 15 = 105 000 (lei ar costa caietele dacă toate ar fi de 7 000 lei/buc)
117 000 lei – 105 000 = 12 000 (lei s-ar economisi)
25 000 lei – 3 x 7 000 lei = 4 000 (lei s-ar economisi la fiecare grupă formată dintr-un caiet de 5 000 lei şi 2 caiete de 10 000 lei.
12 000: 4 000 = 3 (grupe formate din 2 caiete de 10 000 lei/buc şi 1 caiet de 5 000 lei buc)
15 caiete – 3x3 caiete = 6 (caiete de 7 000 lei bucata)
3 x 1 = 3 (caiete de 5 000 lei bucata)
3 x 2 = 6 (caiete de 10 000 lei bucata)
5. Metoda comparaţiei
Comparaţia, ca operaţie a gândirii, este des utilizată de către elevii din învăţământul primar şi la alte discipline decât matematica:
Literatură, compararea unor personaje literare;
Ştiiinţe, compararea a două plante, animale;
Geografie, compararea unor forme de relief;
Istorie, compararea unor perioade istorice.
Aşadar pentru a face o comparaţie, trebuie să existe cel puţindouă elemente analizate, comparate.
În aritmetică metoda comparaţiei se aplică, după cum vom demonstra, prin algoritmi de calcul precişi, iar operaţiile ce compun aceşti algoritmi sunt la îndemâna elevilor, fiind operaţii matematice uzuale pe care ei le-au învăţat.
Aceşti algoritmi vor conduce la eliminarea succesivă a unormărimi ale problemei până când problema rămâne cu o singură necunoscută ce urmeaza a fi aflată. Există două procedee principale de a realiza această eleiminare:
A. Eliminare prin reducere B. Eliminare prin înlocuire
Problemele de categoria A se disting prin faptul că în ele sunt prezentate două (uneori trei) mărimi caracterizae în două (respectiv trei) situaţii diferite, existând de fiecare dată un element de legăatură între mărimi.
Exemplu: Pentru 3 pixuri şi 6 stilouri s-au platit 135 000 lei, iar
Pentru 3 pixuri şi 4 stilouri s-au plătit 95 000 lei. Cât costă un pix şi cât costă un stilou ?
În această problemă se disting:
- cele doua mărimi: pixuri şi stilouri
- două situaţii diferite:
- a) 3 pixuri şi 6 stilouri
- b) 3 pixuri şi 4 stilouri
- elementul de legătură între mărimi (în fapt o altă mărime)
- valoarea cumulată a pixurilor şi stilourilor în fiecare din cele două situaţii: - 135 000 lei şi respectiv 95 000 lei.
Cele două mărimi pot fi :
- lucruri (rigle şi creioane, cărţi şi caiete, stofă şi mătase)
- fiinţe (cai şi vaci, capre şi oi)
- fructe (mere şî pere, struguri şi prune)
- figuri geometrice (triunghiuri şi pătrate)
Valorile atribuite unei mărimi în situaţii diferite sunt diferite (cel puţin pentru una din mărimi). În cazul nostru diferă doar valorile numerice atribuite mărimii „stilouri”, mărimea „pixuri” păstrând aceeaşi valoare numerică în cele două situaţii prezentate.
Procedeul de „eliminare prin reducere” constă în eliminarea uneia dintre mărimi care are, sau ajunge să aibă, valori identice în situaţii diferite. Scrierea datelor unele sub altele, conform enunţului, aşa încât ele să poată fi uşor comparate, este de mare importanţă.
Pentru a ilustra aplicarea acestui procedeu vom rezolva problema enunţului mai sus. Scrierea datelor:
3 pixuri .................... 6 stilori ....................135 000 lei
3 pixuri .................... 4 stilouri ....................95 000 lei
Din compararea datelor se observă că numărul pixurilor este acelaşi şi, deci, diferenţa de valoare se datorează numai deferenţei dintre numărul de stilouri cumpărat prima dată şi numărul de stilouri cumpărat a doua oară.
Aşadar eliminăm pixurile şi obţinem:
2 stilouri .................... 40 000 lei , de unde rezultă 1 stilou .................... 40 000: 2 = 20 000 lei
În continuare rezolvarea devine simplă:
Se calculează, într-una dintre situaţii, valoarea stilourilor:
6 x 20 000 = 120 000 (lei costă 6 stilouri)
Se face diferenţa pentru a afla cât costă pixurile: 135 000 – 120 000 = 15 000 (lei costă 3 pixuri) Se calculează preţul unui pix: 15 000: 3 = 5000 lei.
În cazul problemelor de categoria B, compararea mărimior conduce la înlocuirea unei mărimi necunoscute cu alta, reducându-se astfel numărul de necunoscute. Comparaţia duce la observaţia existenţei unei relaţii între cele două mărimi exprimată prin diferenţa valorilor ce li se atribuie sau prin raportul acestor valori.
Exemplu : Pentru 3 creioane şi 2 stilouri s-au plătit 46 000 lei. Cât costă un stilou şi cât costă un creion dacă un stilou costă cât 10 creioane ?
Rezolvare: 3 creioane ..................... 2 stilouri ...................... 46 000 lei
3 creioane .................... 20 creioane ................... 46 000 lei
23 creioane ....................................................... ...46 000 lei
1 creion .................................................. 46 000: 23 = 2 000 lei
1 stilou ................................................... 2 000 x 10 = 20 000 lei