5. Metoda comparaţiei
Comparaţia, ca operaţie a gândirii, este des utilizată de către elevii din învăţământul primar şi la alte discipline decât matematica:
Literatură, compararea unor personaje literare;
Ştiiinţe, compararea a două plante, animale;
Geografie, compararea unor forme de relief; Istorie, compararea unor perioade istorice.
Aşadar pentru a face o comparaţie, trebuie să existe cel puţindouă elemente analizate, comparate.
În aritmetică metoda comparaţiei se aplică, după cum vom demonstra, prin algoritmi de calcul precişi, iar operaţiile ce compun aceşti algoritmi sunt la îndemâna elevilor, fiind operaţii matematice uzuale pe care ei le-au învăţat.
Aceşti algoritmi vor conduce la eliminarea succesivă a unormărimi ale problemei până când problema rămâne cu o singură necunoscută ce urmeaza a fi aflată. Există două procedee principale de a realiza această eleiminare:
A. Eliminare prin reducere
B. Eliminare prin înlocuire
Problemele de categoria A se disting prin faptul că în ele sunt prezentate două (uneori trei) mărimi caracterizae în două (respectiv trei) situaţii diferite, existând de fiecare dată un element de legăatură între mărimi.
Exemplu: Pentru 3 pixuri şi 6 stilouri s-au platit 135 000 lei, iar
Pentru 3 pixuri şi 4 stilouri s-au plătit 95 000 lei.
Cât costă un pix şi cât costă un stilou ?
În această problemă se disting:
- cele doua mărimi: pixuri şi stilouri
- două situaţii diferite:
a) 3 pixuri şi 6 stilouri
b) 3 pixuri şi 4 stilouri
elementul de legătură între mărimi (în fapt o altă mărime)
valoarea cumulată a pixurilor şi stilourilor în fiecare din cele două situaţii: - 135 000 lei şi respectiv 95 000 lei.
Cele două mărimi pot fi :
- lucruri (rigle şi creioane, cărţi şi caiete, stofă şi mătase)
- fiinţe (cai şi vaci, capre şi oi)
- fructe (mere şî pere, struguri şi prune)
- figuri geometrice (triunghiuri şi pătrate)
Valorile atribuite unei mărimi în situaţii diferite sunt diferite (cel puţin pentru una din mărimi). În cazul nostru diferă doar valorile numerice atribuite mărimii „stilouri”, mărimea „pixuri” păstrând aceeaşi valoare numerică în cele două situaţii prezentate.
Procedeul de „eliminare prin reducere” constă în eliminarea uneia dintre mărimi care are, sau ajunge să aibă, valori identice în situaţii diferite. Scrierea datelor unele sub altele, conform enunţului, aşa încât ele să poată fi uşor comparate, este de mare importanţă.
Pentru a ilustra aplicarea acestui procedeu vom rezolva problema enunţului mai sus.
Scrierea datelor:
3 pixuri .................... 6 stilori ....................135 000 lei
3 pixuri .................... 4 stilouri ....................95 000 lei
Din compararea datelor se observă că numărul pixurilor este acelaşi şi, deci, diferenţa de valoare se datorează numai deferenţei dintre numărul de stilouri cumpărat prima dată şi numărul de stilouri cumpărat a doua oară.
Aşadar eliminăm pixurile şi obţinem:
2 stilouri .................... 40 000 lei , de unde rezultă 1 stilou .................... 40 000: 2 = 20 000 lei
În continuare rezolvarea devine simplă:
Se calculează, într-una dintre situaţii, valoarea stilourilor:
6 x 20 000 = 120 000 (lei costă 6 stilouri)
Se face diferenţa pentru a afla cât costă pixurile: 135 000 – 120 000 = 15 000 (lei costă 3 pixuri) Se calculează preţul unui pix: 15 000: 3 = 5000 lei.
În cazul problemelor de categoria B, compararea mărimior conduce la înlocuirea unei mărimi necunoscute cu alta, reducându-se astfel numărul de necunoscute. Comparaţia duce la observaţia existenţei unei relaţii între cele două mărimi exprimată prin diferenţa valorilor ce li se atribuie sau prin raportul acestor valori.
Exemplu :
Pentru 3 creioane şi 2 stilouri s-au plătit 46 000 lei. Cât costă un stilou şi cât costă un creion dacă un stilou costă cât 10 creioane ?
Rezolvare: 3 creioane ..................... 2 stilouri ...................... 46 000 lei
3 creioane .................... 20 creioane ................... 46 000 lei
23 creioane ....................................................... ...46 000 lei
1 creion .................................................. 46 000: 23 = 2 000 lei
1 stilou ................................................... 2 000 x 10 = 20 000 le