Ne amintim și învățăm
Numerele care se înmulțesc se numesc factori, iar rezultatul înmulțirii se numește produs.
Proprietățile înmulțirii numerelor naturale
1. Înmulțirea numerelor naturale este comutativă (produsul a două numere naturale nu se modifică dacă schimbăm locul factorilor):
a · b = b · a, pentru oricare numere naturale a și b.
Exemplu: 2 · 4 = 4 · 2
2. Înmulțirea numerelor naturale este asociativă (produsul a trei numere naturale nu se modifică dacă grupăm factorii în moduri diferite):
(a · b) · c = a · (b · c), pentru oricare numere naturale a, b, c.
Exemplu: (5 · 2) · 28 = 5 · (2 · 28)
| |
10 · 28 = 5 · 56
| |
280 280
3. Numărul 1 este element neutru:
a · 1 = 1 · a = a, pentru oricare număr natural a
Exemplu: 5 · 1 = 1 · 5 = 5
4. Înmulțirea numerelor naturale este distributivă față de adunare și scădere.
Dacă înmulțim un număr cu o sumă sau cu o diferență obținem același rezultat ca atunci când adunăm sau scădem produsele dintre acel număr și fiecare termen al sumei sau al diferenței.
a · ( b + c) = a · b + a · c, pentru oricare numere naturale a, b și c; ⇒ 5 · (2 + 3) = 5 · 2 + 5 · 3;
(b + c) · a = b · a + c · a, pentru oricare numere naturale a, b și c; ⇒ (2 + 3) · = 2 · 5 + 3 · 5;
a · (b - c) = a · b - a · c, pentru oricare numere naturale a, b și c, b mai mare sau egal cu c; ⇒ 5 · (3 - 2) = 5 · 3 - 5 · 2;
(b - c ) · a = b · a - c · a, pentru oricare numere naturale a, b și c, b mai mare sau egal cu c ⇒ (3 - 2) · 5 = 3 · 5 - 2 · 5.
EXERCIȚII ȘI PROBLEME REZOLVATE
\
Posts
Inmultirea numerelor naturale. Exercitii rezolvate. Aplic paginile 26-27
Dacă aveți nelămuriri lăsați-mi mesaj. Sau dacă aveți probleme de rezolvat, lăsați-le într-un mesaj si o sa vă răspundem în cel mai scurt timp
Iarna de Vasile Alecsandri comentariu literar
În Iarna nu apare o priveliște limitată, închisă ca într-o ramă, ci iarna în toate aspectele ei; iarna într-o varietate de peisaje; iarna în întreaga ei paletă peisagistică. Primele două strofe descris sosirea anotimpului, a „cumplitei ierni”, înfățișând mișcarea neîncetată a zăpezii care schimbă fața lumii: „Cu zale argintie se îmbracă mândra țară”. Poetul simte iarna la scară cosmică. El are vederea văzduhului (strofa întâi) și apoi a pământului (strofa a doua), transfigurate de albul zăpezii. În strofa a treia verbelor de mișcare le ia locul staticul:„e„ - „înșirați se perd”, „se văd”. Deasemenea unor teritorii nedefinite (câmp, dealuri, împregiur, în depărtare), ale albului, fantasmele plopilor, clăbucii de fum arată un peisaj ușor confuz, de atâta monotonă, egală albeață; contururile se șterg, se pierd. Tonul poetului se schimbă în ultima strofă în care senzația de apăsare pe care o dădeau ninsoarea și albul opac e destrămată de ivirea soarelui. Astrul zilei schimbă priveliștea, care devine asemănătoare unui tablou. Ea capătă abia acum „o ramă”, un cadru. Apar culorile voioase ale iernii. Soarele „desmiardă” pământul alb. Revine armonia dintre cer și pământ. Dimensiunile priveliștilor cosmice abia acum se restrâng, într-un peisaj umanizat de clinchetul de zurgălăi al saniei. Abia acum simțim desăvârșita tăcere a zăpezilor, când liniștea cristalelor gheții și fulgilor moi, liniștea albului ireal e spartă de clinchetul clopoțeilor. Dintr-o mișcare cosmică, iarna devine un tablou luminos și pur.
Senzațiile se schimbă de la un vers la altul: de la spaima de troiene adunate-n cer, amenințând pământul, la baletul fulgilor comparați cu un „roi de fluturi albi”, imagine luminoasă a verii și a iernii, contrazisă la rândul ei de „fiorii de gheață”, senzație de cutremurare înfrigurată, dar și de limpezimi cristaline. Puritatea strălucirilor albe („Cu o zale argintie se îmbracă mândra țară”) creează impresia de fast hibernal, duritatea sclipitoare, duritatea sclipitoare nu-i lipsită de o vrajită măreție. Iarna nu mai e acum „cumplită”, ci un izvor de podoabe. Melancolia ușoară din compararea soarelui cu un „vis de tinerețe”, nuanțează starea sufletească pe care o aduce cu sine iarna. Tulburarea dată de nemarginirea albă se spulberă sub lumina solară. Toate aceste senzații și emoții reflectă vibrația omului în fața naturii, fiecare anotimp modelând existența acestuia în univers. Vizual, stăpânește nemărginirea („se pierd în zare”, „întinderea pustie”, „oceanul de ninsoare”) și albul: zăpadă, troiene, fulgi, fluturi albi, gheață, umeri dalbi, ninge, zare argintie, fantasme albe, clăbuci, albii, ninsoare.
Pe scurt și de la mai mare distanță de text: „În Iarna, imaginația e o vreme îngrozită de putința unei ninsori totale, de sfârșit de lume, până ce zurgălăul spulberă sinistrul vis”. (george Călinescu)
Din văzduh cumplita iarnă cerne norii de zăpadă,
Lungi troiene călătoare adunate-n cer grămadă;
Fulgii zbor, plutesc în aer ca un roi de fluturi albi,
Răspândind fiori de gheaţă pe ai ţării umeri dalbi.
Ziua ninge, noaptea ninge, dimineaţa ninge iară!
Cu o zale argintie se îmbracă mândra ţară;
Soarele rotund şi palid se prevede printre nori
Ca un vis de tinereţe printre anii trecători.
Tot e alb pe câmp, pe dealuri, împrejur, în depărtare,
Ca fantasme albe plopii înşiraţi se pierd în zare,
Şi pe-ntinderea pustie, fără urme, fără drum,
Se văd satele pierdute sub clăbuci albii de fum.
Dar ninsoarea încetează, norii fug, doritul soare
Străluceşte şi dezmiardă oceanul de ninsoare.
Iată-o sanie uşoară care trece peste văi…
În văzduh voios răsună clinchete de zurgălăi.
Darul lui Moș Miron de Ion Agârbiceanu - comentariu literar
Darul lui Moș Miron înfățișează o întâmplare din timpul războiului pentru întregirea neamului românesc. Faptele se pretrec în 1916, anul intrării României în război. Într-un sat transilvănean, un bătrân singur și sărac se interesează zilnic, mergând la gară și vorbind cu soldații sosiți de pe front, despre intrarea românilor în război. În fața acestor oameni cu fețe „supte și înnegrite”, aducând „aerul războiului îndepărtat”, bătrânul are o sfială ciudată. ”I se părea că-s vrednici de-o cinste deosebită”, deși erau atât de tineri, ar fi putut să-i fie nepoți. El nu spune de la început ce-l interesa, vorbind pe ocolite și numai în cele din urmă e silit să vorbească, pentru ca soldații, bolnavi sau veniți în concediu să-l poată lămuri.
„De cum a dat gură de primăvară”, proviziile moșneagului s-au sfârșit și, fiind vremurile grele, „bucatele erau scumpe foc”. Moș Miron începe să lupte cu sărăcia, cu foamea. Cere ajutor la primărie, dar neavând pe nimeni din familie plecat, nu primește nimic. Merge apoi pe la neamuri (avea frați și alte rubedenii), până când „i s-a tăiat apa și de la moara asta”. Muncește pe la casele oamenilor, căci începuse „prășitul cucuruzului” și era „lipsă mare de pălmași”. Toți îi atrag, însă, atenția că ar putea vinde otava, marfă bine plătită la acea vreme. Primarul se oferise să i-o cumpere chiar el, dar bătrânul refuzase supărat, afirmând că n-ar avea primarul bani să-i cumpere otava. „Rudeniile” sunt de aceeași părere, anume că pe otavă ar lua „bani frumoși”. Toți sunt convinși că bătrânul așteaptă să crească prețul otavei, s-o vândă „pe-un car de bani”. Auzind vorbele nemurilor, moș Miron a plecat cu tot atâta grabă și nemulțumire, fără a se mai întoarce, ca și de la primărie: „s-a dus ca din pușcă”.
După intrarea României în război, moș Miron nu-și mai părăsește gospodăria. veghind noapte de noapte, trăgând cu urechea „să prindă vuietul războiului”. În cea de-a treia săptămână de pază necurmată, moș Miron prinde sunet de copită și iese în drum „adulmecând depărtările”. Era noapte. Întâlnește o patrulă de cavalerie românească. Le oferă soldaților otavă pentru cai, dar aceștia neavând „vreme pentru asta”, promit să primească „darul” la întoarcere. Se întorc după două ceasuri și mulțumesc moșneagului care scosese la poartă șapte legături de otavă.
Bătrânul o laudă și de această dată: „Strămătură, nu alta!”. Când peste trei zile, prin satul lui moș Miron trec coloanele armatei române, bătrânul împrăștie otava înaintea boilor și cailor. „Prin învălmășeala aceea de oameni și de vite se vedea un bătrânuț în straie albe, cu capul gol cum tot iese pe portiță cu câte-o sarcină de otavă; „în mână ținea o pâne albă căpătată de la soldați”. Nu-și mai caută pălăria, pierdută în pod prin otavă, nu bagă de seamă nici lacrimile care-i cădeau neîncetat pe pâinea din care mușca.
Cea mai interesantă întrebare în legătură cu această narațiune ar fi: de ce moș Miron își ascunsese gândul? Ceea ce dorea el să facă era o faptă foarte frumoasă, care ar fi fost admirată de toată lumea. Pentru ce nu-și dezvăluise intenția de a păstra otava pentru caii luptătorilor noștri, îndurând atâtea lipsuri și mai ales bănuiala că nu-și vinde otava din cauza setei de câștig? Planul moșneagului e tainic și în aceasta vedem adâncimea sentimentelor sale, discreția lui, o trăsătură caracteristică a țăranului român. Bătrânul e sobru și sfios; nu pune întrebări directe, își ascunde cu modestie intenția de a participa la victorie cu singura sa avuție. Ca într-o cunoscută pildă biblică, darul său este neprețuit fiindcă moș Martin nu dăruiește din prisosul său, ci oferă cu dragoste toată „averea” lui: otava. Modul în care o face este de asemenea plin de înțeles. Oferta are loc noaptea, prima oară, iar a doua oară, moș Miron se amestecă în învălmășeala de oameni și vite. În ambele cazuri, scriitorul sugerează discreția faptei moșneagului, anonimatul gestului. Nu ni se dă numele întreg al țăranului, nici numele satului transilvănean. Ele rămân neștiute pentru că nu au importanță. Întâmplarea putea avea loc în orice sat. Mulți bătrâni vor fi avut aceleași sentimente în clipa cea mare a războiului sfânt pentru întregirea neamului. Tulburarea bătrânului în fața soldaților sosiți la gară a celor din patrula de cavalerie, lacrimile sale izvorând „în neștire” exprimă emoția copleșitoare a unui om pentru care viața nu mai are înțeles decât închinată cauzei comune a românilor din Transilvania.
Nu știm cum a trăit acest om, nici de ce era singur, fără copii și nepoți. Știm doar că nu îngăduie să i se afle gândul, că are tăria de a îndura foamea, sărăcia și dezaprobarea oamenilor. Puterea lui sufletească îl ajută să aștepte, să pândească evenimentele și să se facă folositor fără a mărturisi nimănui nimic, cu toate că avea frați și neamuri și cunoștea, desigur, pe toți cei din sat. El „intră în război” conform planului său „secret”. Această tărie sufletească în trupul împuținat de vârstă impresionează pe cititor. Povestirea s-ar fi putut intitula și „Taina lui moș Miron”, pentru că autorul izbutește să înfățișeze taina unui suflet, sentimente a cărăr adâncime e ascunsă cu grijă și care dezvăluite cu smerenie, prin faptă nu prin declarații.
Agârbiceanu nu descifrează în cuvinte frământările sufletești ale personajului. Le întrezărim din comportamentul acestuia. Sunt prezentate, prin urmare, indirect.
Expresiile populare care apar în cele câteva părți descriptive și în dialoguri creează atmosfera satului transilvănean, ne apropie de oamenii care trăiau în acele locuri.
Iubirea de neam, exprimată fără nici un cuvânt, puterea de a îndura pentru ca prin sacrificiu să poți deveni folositor, oricât de neînsemnată ți-ar fi contribuția, iată ce transmite Darul lui moș Miron.
Domnu Trandafir de Mihail Sadoveanu - comentariu literar
Povestirea Domnu Trandafir este concepută ca o scrisoare în câteva rânduri, autorul se adresează direct destinatarului, numindu-l cu afecțiune: „prietene”, „frate dragă” și îi comunică intenția sa de a-i vorbi despre domnul Trandafir, fostul său învățător. De aici, putem înțelege, că i-a mai vorbit, deoarece spune că îi va vorbi și în această scrisoare despre omul care l-a învâțat carte. Din acest motiv, tonul autorului este cald, apropiat, familiar. Narațiunea este o evocare, adică o reînviere a unor întâmplări trecute, în așa fel încât ele să pară că se desfășoară înaintea ochilor noștri.
Textele în care sunt povestite amintiri din viața autorului au un caracter memorialistic. Ele sunt convingătoare prin faptul că se referă la o realitate trăită, nu imaginară. În fragmentele din manual, Mihail Sadoveanu evocă chipul luminos al învățătorului său, în cadrul mai larg al amintirilor din copilărie, petrecută într-un vechi târgușor moldovenesc, de la malul Siretului. Întreaga povestire respiră o atmosferă de lumină blândă, învăluitoare, de ușor regret pentru timpul care nu se mai întoarce decât în amintire. Tonul este plin de căldură, fiindcă vârsta cea mai nevinovată, când nimic rău și urât nu putea să existe, stârnește duioșie și melancolie.
Întors după multă vreme în târgușorul natal, omul matur este cuprins de un fel de neliniște a aducerii aminte. El colindă „în lung și în lat locurile cunoscute”, spunând că „au rămas vii” pentru sufletul său „întâmplările luminoase ale copilăriei”. Ca și în cazul lui Creangă, și în acest text sadovenian copilăria apare ca o vârstă a fericirii depline, ca un timp aflat mereu în lumină, neumbrit de nimic, de nici o tristețe, de nicio grijă, de nicio tulburare. Firește că o astfel de privire asupra acestei vârste este înseninată și de trecerea anilor, care vor fi șters orice adumbrire. Întâmplările primei vârste omenești i-au rămas vii omului matur, pentru că sufletul copilului descoperă ca pe un miracol lumea, viața, iar sufletul aceleiași ființe, peste care s-au așezat valurile vremii, au rămas la fel de proaspete, de deschis la frumusețea vieții, deși acea lume a apus. Distanța în timp este subliniată și gramatical prin folosirea repetată a perfectului compus pentru prezentul povestirii: „Am văzut”, „Am văzut iarăși”, „Și-am mai văzut”, „Pe toate le-am văzut”, „M-au înfiorat”, „M-au bucurat”.
Timpul copilăriei este imperfectul, un trecut care arată repetarea acțiunii verbale, ca și cum aceasta nu ar fi încetat: „Mă scăldam cu dracii de sama mea”, „Ne bălăceam”, „Ne ungem cu nomol”, „ne alungam”, „ne jucam de-a ascunsul”. Sub soarele verii, pe malul Siretului, în „întinsele zăvoaie de sălcii cenușii”, în „desișurile cu mure”, „prin poieni”, sau noaptea în „surile dărăpănate”, jocul copiilor izbucnea poleit de orbitoarele cilori ale naturii („curcubee de stropi”), în fiorii colțurilor negre. Povestitorul își amintește naivitatea spaimelor de atunci ca și cum le-ar retrăi: „intram cu grozavă frică de bursuci”, „Cu cât fior căutam prin colțuri negre”. Râsul și mișcarea dezlănțuită a trupurilor tinere dau cititorului senzația de izbucnire curată și nestăvilită a unei vârste când omul trăiește în inocență ca și natura.
Cel mai mult, însă, Mihail Sadoveanu dorește să revadă locul „unde odată era școala”. El notează cu nostalgie: „numai locul a rămas”. Această suprafață goală se însuflețește, sub privirea încărcată de amintiri, de „freamătul de copii” din prima dimineață de elev, de bucuria pe care o dădeau iernile cu „uriași de zăpadă”.
În mijlocul acestei lumi reînsuflețite cu puterile sufletului se înalță figura Domnului Trandafir. Observăm că maturul îl numește, după atâția ani, tot Domnul Trandafir, că i-a rămas de-a lungul vieții, învățător. Intrăm în partea a doua a evocării, în care amintirile refac portretul unui om cu nepusă bunătate și modestie.
Prima amintire care revine din întunericul timpului este momentul în care copiii primeau din mâna învățătorului câte două pere „de gustare” la începutul vacanței. Portretulfizic este sumar și reținem din el amănuntul semnificativ al ochilor „foarte blajini” ai învățătorului. Povestitorul însuși atrage atenția că nu va vorbi despre gramatică și aritmetică, adică despre ceea ce i-ar fi putut învăța oricare alt dascăl, ci mai ales despre „învățătura cealaltă, sufletească” pe care le-a da Domnul. De aceea își amintește fostul școlar toate acele gesturi, care erau ale sufletului, precum învățătura „poeziilor eroice”, a cântecului, când Domnul încrunta „puțin din sprâncene” și „dădea ușor tonul”, pornind „glasurile tinere, într-o revărsare caldă” sau de privirea lui blândă, cu „zâmbet liniștit” când citea din poveștile lui Creangă. Învățătorul ținea cartea Humuleșteanului „la piept, în dreptul inimii” și ”se făcea o tăcere adâncă, ca într-o biserică”. Aceste fapte îl arată pe învățător ca om ce iubește atât de mult copiii, încât dorește să-i învețe mai presus de orice chiar iubirea. Sadoveanu îl numește pe acest om care avea „prisos de bunătate în el”: „apostol”. Apostolul în acest caz înseamnă o ființă dăruită luminării poporului până la sacrificiul de sine: Domnu Trandafir nu trăia pentru el, ci pentru numeroșii copii pe care i-a învățat toată viața lui.
O întâmplare mai deosebită înviorează povestirea. Domnul Trandafir este vizitat, într-o zi, de doi orășeni care vor să vadă școala, copiii și o lecție „așa de curiozitate”. Este, de fapt, o inspecție la care participă însuși „ministrul școalelor”. Farmecul evenimentului constă în faptul că învățătorul, bun gospodar, ca orice om de la țară, și prins cu descărcatul unui car de fân, nu bănuiește nimic, întâmpinându-i pe cei doi domni în chipul cel mai firesc, ca pe niște oameni osteniți de pe drum și de căldură. Le oferă dulceți, cafea și le arată o lecție „cum o făcea el totdeauna”. Impresionează autencitatea personajului, adică dorința lui de a părea exact ceea ce este și mai ales de a nu părea mai mult decât este. Și firește, ne tulbură puterea lui de a însufleți orice lucru cu dragostea care izvorăște neîncetat din inima lui bună. Ochii orășenilor sunt dintr-o dată încălziți. Glasurile tinere și râvna plină de har a învățătorului acționează cu puterea vrajei asupra oaspeților. Nu este, de fapt, o inspecție școlară, ci o întâlnire omenească, care stârnește înaltului personaj un profund respect. Duioșia își are izvor și în contrastul dintre modestul învățător, pierdut într-un colț de țară, și personajele înalte, venite dintr-o altă lume, mult mai complicată și mult mai puțin pură. Această deosebire transpare în vorbele bătrânului dascăl: „Ce are sp caute ministrul aici, în sărăcia asta a noastră?”. Ca să accentueze sfiala dascălului de a se prețui pe sine, povestitorul mai notează că „Domnu Trandafir” „mult s-a minunat” de această întâmplare. Nimic nu se spune despre mândria lui, despre satisfacția de a fi impresionat pe mai marii „școalelor”. Autorul reia observația simplă care precede fragmentul vizitei la școală, că „Domnu” nu-i învăța decât din dragoste. Nici pentru că trebuia nici pentru că i se plătea, nici „din pricină că se temea de cei mari”. Relația cu învățăceii este paternă: „parcă eram copiii lui”.
Portretul dascălului îmbogățeste ideea de om, încrederea în puterea omului de a schimba înfățișarea lumii și chiar de a învinge numai prin iubire și bunătate moartea. Spuneam aceasta fiindcă „Domnu Trandafir”, îngropat de mult, pe pământul pe care l-a sfințit cu munca lui, trăiește în mintea și în sufletul elevilor lui. Scriitorul pare a contrazice ideea că numai personalitățile știute de toată lumea pot deveni nemuritoare.
Calitatea de om adevărat este la fel de glorioasă, iar locul pe care a trăit rămâne însemnat, chiar dacă timpul șterge așezările: „În locul acela odată a trăit un om”