Poligoane: triunghiul; patrulatere: paralelogramul, dreptunghiul, rombul, pătratul, trapezul

AnnaE

January 4, 2019

Paralelogramul

Patrulaterul convex care are laturile opuse paralele se numeşte paralelogram.

Proprietăţile paralelogramului

Proprietăţi referitoare la laturi

Teoremă:
Într-un paralelogram laturile opuse sunt congruente două câte două.

Teoremă reciprocă 1:
Dacă într-un patrulater convex laturile opuse sunt congruente două câte două, atunci patrulaterul este paralelogram.

Teoremă reciprocă 2:
Dacă într-un patrulater convex două laturi opuse sunt paralele şi congruente, atunci patrulaterul este paralelogram.

Proprietăţi referitoare la unghiuri

Teoremă:
Într-un paralelogram oricare două unghiuri opuse sunt congruente şi oricare două unghiuri consecutive sunt suplementare.

Teoremă reciprocă:
Dacă într-un patrulater convex unghiurile opuse sunt congruente, atunci patrulaterul este paralelogram.

Proprietăţi referitoare la diagonale

Teoremă:
Într-un paralelogram diagonalele au acelaşi mijloc.

Teoremă reciprocă:
Dacă într-un patrulater convex diagonalele au acelaşi mijloc, atunci patrulaterul este paralelogram.

Paralelograme particulare

– dreptunghi, romb, pătrat.

Paralelogramul, Dreptunghiul, Rombul, Pătratul

Dreptunghiul

Paralelogramul care are un unghi drept se numeşte dreptunghi.

Teoremă:
Într-un dreptunghi toate unghiurile sunt congruente, deci drepte.

Teoremă:
Dacă un patrulater convex are toate unghiurile congruente atunci el este dreptunghi.

Teoremă:
Într-un dreptunghi diagonalele sunt congruente.

Teoremă reciprocă:
Dacă un paralelogram are diagonalele congruente, atunci el este dreptunghi.

Rombul

Paralelogramul care are două laturi consecutive congruente se numeşte romb.

Teoremă:
Într-un romb toate laturile sunt congruente (consecinţă a definiţiei rombului).

Teoremă:
Dacă un patrulater convex are toate laturile congruente, atunci el este romb.

Teoremă:
Într-un romb diagonalele sunt perpendiculare.

Teoremă reciprocă 1:
Dacă un paralelogram are diagonalele perpendiculare, atunci el este romb.

Teoremă reciprocă 2:
Într-un romb diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor lui.

Teoremă reciprocă 3:
Dacă într-un paralelogram o diagonală este bisectoarea unui unghi, atunci paralelogramul este romb.

Pătratul

Un paralelogram care este şi dreptunghic şi romb se numeşte pătrat.

sursa:gimnaziu.info

AnnaE

January 4, 2019

Patrulaterele pe care le-am invatat sunt: paralelogramul, dreptunghiul, rombul, patratul, dar si trapezul.

Astfel:

Aria unui paralelogram este egala cu produsul dintre lungimea unei laturi si lungimea inaltimii corespunzatoare ei.

Matematic scriem $A_{paralelogram}=b\cdot h$ , unde b este baza, h este inaltimea corespunzatoare bazei.

Exemplu:
1) Un paralelogram ABCD, $AC$ perpendicular pe AB si AC=24 cm, iar AB=18 cm.
a) Calculati aria paralelogramului ABCD
b) Stiind ca BC=30 cm calculati inaltimea paralelogramului dusa la latura BC

Dem:

Triunghiul ABC dreptunghic aplicam formula pentru aria triunghiului dreptunghic
$A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=\frac{24\cdot 18}{2}=\frac{432}{2}=216 cm^{2}$

Triunghiul ABC este congruent cu triunghiul ADC dupa cum bine observati, deci aria paralelogramului este:
$A_{ABCD}=2\cdot A_{\Delta ABC}=2\cdot 216=432 cm^{2}$ .

b)

Stiind aria paralelogramului de baza DC, aplicam aria paralelogramului cand BC este baza, deci obtinem: $432 cm^{2}=30 cm\cdot AF\Rightarrow AF=432:30=14,4 cm$ .

Def: Aria unui dreptunghi este egala cu produsul dintre lungime si latime.

$A_{dreptunghi}=L\cdot l$
Exemplu:

2) Calculati aria unui dreptunghi cu semiperimetru de 60 cm si latimea un sfert din lungime.
Solutie: $p_{ABCD}=60 cm\Rightarrow P_{ABCD}=120 cm$ , unde p=semiperimetru si P=perimetru
$l=\frac{1}{4}\cdot L$
Deci obtinem: $2\left(L+l\right)=120 cm\Rightarrow L+l=60 cm\Rightarrow L+\frac{1}{4}\cdot L=60 cm\Rightarrow L\left(\frac{4+1}{4}\right)=60 cm\Rightarrow L\cdot \frac{5}{4}=60 cm\Rightarrow L=\frac{60\cdot 4}{5}\Rightarrow L=48 cm$ , iar latimea $l=\frac{1}{4}\cdot 48\Rightarrow l=12 cm$ .

Deci aria dreptunghiului $A_{ABCD}=l\cdot l=48\cdot 12=576 cm^{2}$ .

Aria rombului

Def: Aria rombului este egala cu semiprodusul celor doua diagonale.
$A_{romb}=\frac{d_{1}\cdot d_{2}}{2}$ .

Exemplu:
3) Un romb are diagonalele de 18 cm si 2,4 dm si latura egala cu 15 cm. Calculati:
a) aria rombului
b) inaltimea rombului

Solutie
Ca sa aflam aria rombului aplicam formula de mai sus astfel, dar mai intai transformam decimetri in centimetri astfel obtinem 2,4 dm=24 cm :
$A_{romb}=\frac{24\cdot 18}{2}=\frac{432}{2}=216 cm^{2}$
b)

Cum stim ca rombul este un caz particular de paralelogram aplicam formula urmatoare pentru a afla inaltimea $A_{ABCD}=b\cdot h=DC\cdot AT=15 \cdot AT$
Cum aria rombului este 216 cm egalam si obtinem:
$216 cm^{2}=15 cm\cdot AT\Rightarrow AT=216:15=14,4 cm$

Aria patratului
Def: Aria unui patrat este egala cu patratul lungimii laturii sale l.
$A_{patrat}=l^{2}$

Exemplu:
4) Daca aria unui patrat are perimetrul egal cu 48 cm atunci aria patrartului este:
Dupa cum stiti ca perimetrul unui patratului este 4l obtinem
$4l=48 cm\Rightarrow l=48:4\Rightarrow l=12 cm$
Si astfel $A_{patrat}=l^{2}=12^{2}=144 cm^{2}$ .

Aria trapezului
Def: Aria unui trapez este egala cu semiprodusul dintre suma lungimilor bazelor si lungimea inaltimii h a trapezului.

Obs: Inaltimea intr-un trapez este distanta dintre dreptele ce contin bazele.
$A_{trapez}=\frac{\left(B+b\right)\cdot h}{2}$ , unde
B este baza mare, b= este baza mica si h este inaltimea.
Exemplu:
5) Trapezul dreptunghic ABCD are AB|| CD $m\left(\prec D\right)=m\left(\prec A\right)=90^{0}$ si $m\left(\prec B\right)=45^{0}$ . Stiind ca CD=10 cm si AB=2CD, aflati:
a) inaltimea trapezului
b) aria trapezului

Solutie:

$AB=2CD=2\cdot 10=20 cm$

$AB=AE+EB\Rightarrow 20=10+EB\Rightarrow EB=20 cm-10 cm\Rightarrow EB=10 cm$

Observam ca masura unghiului ABC este de 45 de grade, observam ca am construit si perpendiculara CE pe dreapta AB, observam ca masura unghiului CEB este de 90 de grade si astfel obtinem $m\left(\prec EBC\right)+m\left(\prec ECB\right)+m\left(\prec CEB\right)=180^{0}$

Cum $m\left(\prec CEB\right)=90^{0},m\left(\prec EBC\right)=45^{0}$ obtinem: $45^{0}+m\left(\prec ECB\right)+90^{0}=180^{0}\Rightarrow 135^{0}+m\left(\prec ECB\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\prec ECB\right)=180^{0}-135^{0}\Rightarrow m\left(\prec ECB\right)=45^{0}$ , deci triunghiul CEB dreptunghi isoscel si astfel obtinem ca EB=EC=10 cm, deci am aflat inaltimea trapezului care este de 10 cm (stiti ca daca un triunghi are unghiurile alaturate bazei congruente atunci triunghiul este isoscel si daca mai are si un unghi de 90 de grade se numeste triunghi dreptunghic isoscel).

b) Acum stiind si baza mare, dar si baza mica, dar si inaltimea putem aplica formula pentru aria trapezului $A_{ABCD}=\frac{\left(AB+DC\right)\cdot CE}{2}=\frac{\left(20+10\right)\cdot 10}{2}=\frac{30\cdot 10}{2}=\frac{300}{2}=150 cm^{2}$ .

Deci e important la ariile patrulaterelor sa stim formulele, dar si elementele componente ale figurilor care le-am studiat.