Definiţie Numim triplet Peano un triplet (N,0,s) unde N este o mulţime nevidă, 0∈N iar s:N→N este o funcţie astfel încât sunt verificate axiomele:

  P1 :0∉s(N)

  P2: s este o funcţie injectivă

  P3: dacă P⊆N este o submulţime astfel încât 0∈P şi (n∈P→s(n)∈P), atunci P=N.

Lemă. Dacă (N,0,s) este un triplet Peano, atunci N={0}∪s(N).

Demonstraţie. Dacă notăm P={0}∪s(N), atunci P⊆N şi cum P verifică P3, deducem că P=N. QED.

Teoremă. Fie (N,0,s) un triplet Peano iar (N′,0′,s′) un alt triplet format dintr-o mulţime nevidă N′, un element 0′∈N′ şi o funcţie s′:N′→N′. Atunci:

  (i) Există o unică funcţie f:N→N′ astfel încât f(0)=0′ iar diagrama

este comutativă (adică f∘s=s′∘f)

  (ii) Dacă (N′,0′,s′) este un triplet Peano, atunci f este bijecţie.

Demonstraţie (i) Pentru a proba existenţa lui f, vom considera toate relaţiile R⊆N×N′ a.î.:

  r1: (0,0′)∈R

  r2: Dacă (n,n′∈R), atunci (s(n),s′(n′))∈R iar prin R0 vom nota intersecţia acestor relaţii.

Vom demonstra că R0 este o relaţie funcţională şi astfel f va fi funcţia ce va avea drept grafic pe R0 (astfel din (0,0′)∈R0 vom deduce că f(0) = 0' iar dacă n∈N şi f(n)=n′∈N′,(n,n′)∈R0, deci (s(n),s′(n′))∈R0, adică f(s(n))=s′(n′)=s′(f(n)).)

Pentru a demonstra că R0 este o relaţie funcţională, vom demonstra că pentru orice n∈N, există n′∈N′ a.î. (n,n′)∈R0 iar dacă pentru n∈N, şi n,n′′∈N′ avem (n,n′)∈R0 şi (n,n′′)∈R0, atunci n′=n′′.

Pentru prima parte, fie:

P={n∈N| există n′∈N′ a.î. (n,n′)∈R0}⊆N.

Cum (0,0′)∈R0 deducem că 0∈P. Fie acum n∈P şi n′∈n′∈N′ a.î. (n,n′)∈R0. Din definiţia lui R0deducem că (s(n),s′(n′))∈R0; obţinem că s(n)∈P şi cum (N,0,s) este triplet Peano, deducem că P=N.

Pentru a doua parte, fie:

Q={n∈N : dacă n′,n′′∈N′ şi (n,n′),(n′,n′′)∈R0⇒n′=n′′}⊆N

şi să demonstrăm la început că 0∈Q.

În acest sens, vom demonstra că dacă (0,n′)∈R0 atunci n′=0′. Dacă prin absurd, n′≠0′, atunci vom considera relaţia R1=R0∖{(0,n′)}⊆N×N′. Din n′≠0′ deducem că (0,0′)∈R1 iar dacă pentru m∈N′ avem (n,m)∈R1, atunci (n,m)∈R0 şi (n,m)≠(0,n′).

Astfel (s(n,),s′(m))∈R0 şi cum (s(n),s′(m))≠(0,n′) (căci s(n)≠0 conform cu P1), deducem că (s(n),s′(m))∈R1. Cum R1 verifică r1 şi r2, ar trebui ca R0⊆R1 - absurd (căci R1 este inclusă strict în R0.)

Pentru a proba că 0∈Q, fie n′,n′′∈N′ a.î. (0,n′),(0,n′′)∈R0. Atunci, ţinând cont de cele stabilite mai sus, deducem că n′=n′′=0′, deci 0∈Q.

Fie acum n∈Q şi n′∈N′ a.î. (n,n′)∈R0; vom demonstra că dacă (s(n),n′′)∈R0, atunci n′′=s′(n′). Să presupunem prin absurd că n′′≠s′(n′) şi să considerăm relaţia R2=R0∖{(s(n),n′′)}. Vom demonstra că R2 verifică r1 şi r2.

Într-adevăr, (0,0′)∈R2 (căci 0≠s(n)) iar dacă (p,p′)∈R2, atunci (p,p′)∈R0, şi (p,p′)≠(s(n),n′′).

Deducem că (s(p),s′(p′))∈R0 şi dacă presupunem (s(p),s′(p′))=(s(n),n′′), atunci s(p)=s(n), deci p=n. De asemenea, s′(p′)=n′′. Atunci (n,n′)∈R0 şi (n,p′)∈R0 iar cum n∈Q⇒n′=p′, deci n′′=s′(p′)=s′(n′), ceea ce contrazice faptul că n′′≠s(n′). Prin urmare, (s(p),s′(p′))≠(s(n),n′′), ceea ce arată că (s(p),s′(p′))∈R2, adică R2 satisface r1 şi r2. Din nou ar trebui ca R0⊂R2 - absurd!.

Deci (s(n),n′′)∈R0⇒n′′=s′(n′) astfel că dacă r,s∈N′ şi (s(n),r),(s(n),s)∈R0, atunci r=s=s′(n), adică s(n)∈Q, deci Q=N.

Pentru a proba unicitatea lui f, să presupunem că mai există f:N→N′ a.î. f′(0)=0′ şi s′(f′(n))=f′(s(n)) pentru orice n∈N.

Considerând P={n∈N|f(n)=f′(n)}⊆N, atunci 0∈P iar dacă n∈P (adică f(n)=f′(n)), atunci s′(f(n))=s′(f′(n))⇒f(s,(n))=f′(s(n))⇒s(n)∈P şi atunci P=N, adică f=f′.

Axiomele P1−P3 sunt cunoscute sub numele de axiomele lui Peano (axioma P3 poartă numele de axioma inducției matematice).

Pornind de la mulţimea numerelor naturale N, putem defini mulţimile numerelor întregi Z, raționale Q, reale R şi complexe C.

sursa:ro.math.wikia.com