Matematica pentru invatamantul primar si prescolar

După cum bine ştim, întreg sistemul matematic nu ar fi posibil fără cifra zero. Această cifră este atât de importantă încât chiar niciun sistem matematic nu ar fi posibil fără existenţa sa. Din această cauză este imposibil să nu ne întrebam, cine a inventat această noţiune abstractă? Prin mileniul I î. Hr. babilonienii obişnuiau să lase un spaţiu gol atunci când făceau referire la cifra zero. Mai târziu, prin secolul al IV-lea î. Hr., chinezii i-au copiat pe babilonieni şi nu au putut să definească valoarea lui „zero” decât printr-un spaţiu gol. Abia în anul 200 i. Hr. babilonienii au reuşit să umple spaţiul gol cu un simbol neobişnuit. Aceasta a fost prima formă a cifrei zero. Semnul apărea doar în textele astronomice şi niciodată la sfârşitul unui număr. În anul 1247 apare pentru prima dată cifra zero sub forma pe care o cunoaştem şi în prezent, O. Într-un manuscris chinezesc, în care sunt efectuate mai multe calcule, apare forma actuală a cifrei zero. În mai multe texte indochineze, s-a descoperit recent, că cifra zero era cunoscută şi utilizată aşa cum o cunoaştem noi în prezent. De asemenea şi mayaşii au făcut cunoştinţă cu celebra cifra zero. Ea apărea în diferite forme, uneori sub forma unei scoici, alte ori erau utilizate simboluri stranii. Zero era prima zi din lună, dar întruchipa şi zeul morţii, ceea ce i-a împins pe arheologi să creadă că zero era o noţiune confundată cu sfârşitul. Dar la fel ca babilonienii, mayaşii utilizau cifra zero în raport cu divinitatea. În India, cifra zero a apărut undeva prin anul 200 î Hr. într-un manuscris şi era reprezentată printr-o serie de punctuleţe numite „sunya”, adică alb. De-a lungul secolelor, matematicienii hinduşi au dezvoltat diverse proprietăţi ale cifrei zero şi i-au dat formă sa actuală. În secolul al IX-lea arabii au descoperit sistemul aritmetic hindus şi au tradus „sunya” prin „sifr” şi a fost latinizat odată cu transmiterea sistemului matematic prin Europa. În acest fel, punctele albe s-au transformat într-o cifra care a fost numită zepharum, adică zero. sursa : http://www.efemeride.ro

Sistemul zecimal este un sistem de numeratie pozitional, având baza 10. Este cel mai utilizat sistem de numerație, motivul presupus fiind că oamenii au zece degete la cele două mâini. Termenul „zecimal” provine din latina decimal (după zece) Sistemul de numerație zecimal a fost folosit elaborat în India și este descris în edictele din Ashoka (mileniul I î.Hr.). Aici se foloseau cifrele fără zero Încă din vechime unele elemente au fost preluate în China. Arabii l-au adoptat de la indieni în secolul al VIII-lea iar contribuția lor majoră la sistem a fost introducerea cifrei zero, a cărei primă apariție este în lucrările lui al-Khwarizmi. În Europa el a fost introdus în 1202 de către Leonardo Fibonacci care l-a tradus din arabă în cartea sa, Liber Abaci. Notația zecimală este scrierea numerelor în sistemul de numerație baza 10. Pentru reprezentarea oricăror numere, indiferent cât de mari, se folosesc exact 10 cifre, având 10 valori diferite: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9. Simbolurile acestor cifre, folosite actual în întreaga lume, sunt denumite de europeni cifre arabe, iar de arabi cifre indiene, după culturile de la care fiecare le-au preluat. Grafia acestor simboluri însă diferă de la cultură la cultură. Sistemul zecimal este un sistem de numerație pozițional, în care poziția fiecărei cifre indică înmulțirea valorii cifrei respective cu o putere a lui 10. Fiecare poziție indică o valoare de 10 ori mai mare decât poziția din dreapta sa. Dacă există parte fractionara, ea urmează după număr, după un separator zecimal, care în Romania este virgula. Semnul numărului este plasat înaintea lui și este unul dintre simbolurile + (pentru numere pozitive) sau − (pentru numere negative) sursa: wikipedia

Pana la George Cantor, matematicienii adoptau punctul de vedere al filozofilor Greciei Antice….  

Ciurul lui Eratostene – numerele prime sunt “caramizile” din care sunt formate numerele naturale Definitie : un numar p apartine lui N (multimea numerele naturale) se numeste numar prim daca are ca divizor pe 1 si p si numai pe acestea exemplu : 2 are ca divizor pe 1 si pe 2 D= divizor D(2) = {1,2} = este prim D(3) = {1,3} = este prim D(4) = { 1,2,4} = nu este prim D(5) = { 1,5} = este prim Ciurul lui Eratostene = luam un sir de numere pana la 25 si le scriem asa : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 – ce spune algoritmul ? = luam nr. 2 si taiem toti multipli cu 2, adica : 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24 – apoi nr.3 si taiem toti multipli cu 3, adica : 3 6(a fost multiplu si lui 2, deci e taiat deja) 9, 12(a fost si multiplu lui 2), 15, 18( a fost si multiplu lui 2),21 – apoi cu nr. 5 si taiem toti multipli cu 5, adica : 5, 10 (a fost multiplu si lui 2) 15 (a fost multiplu si lui 3), 20 ( a fost multiplu si lui 2) 25 – apoi cu nr. 7 si taiem toti multipli cu 7, adica : 7, 21 (a fost si multiplu lui 3 si deci e taiat deja) Observam ca au ramas nr. 13, 17, 19, 23, Metoda numerica a lui Eratostene se utilizeaza si astazi dupa 2500 de ani Teorema fundamentala a aritmeticii TFA : orice numar natural n mai muc sau egal cu 2 se descompune in factori primi in mod unic   sau altfel explicat : Matematicianul grec ERATOSTENE (275 – 194 î.Hr.) a aplicat o metodă inedită pentru aflarea numerelor prime. Se scrie șirul numerelor naturale de la 2 până la 100, de exemplu. Se taie din acest șir toți multiplii numerelor prime, astfel: numărul 2 este prim, vom tăia deci din acest șir toți multiplii lui 2; 3 este număr prim, deci vom tăia toți multiplii lui 3; tot așa vom proceda și cu 5; apoi va urma 7; următorul număr prim este 11; însă, deoarece 7 * 7 = 49, este mai mic decât 100 și 11 * 11 = 121, care este mai mare decât 100, toate numerele care au rămas după ce am tăiat și multiplii de 7 sunt numere prime; Multiplii lui 2: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, … 100 Multiplii lui 3: 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, … 99 Multiplii lui 5: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, … 100 Multiplii lui 7: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98 După ce eliminăm multiplii de 2, 3, 5 și 7, mai rămân: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, adică exact lista numerelor prime până la 100.

Numarul de aur Secțiunea de aur (numită uneori și Raportul de aur, Proporția de aur, Numărul de aur) (“sectio aurea” în limba latină), notată cu litera greacă Φ (phi majuscul) sau și cu φ (phi minuscul), care se citesc “fi”, este primul număr irațional descoperit și definit în istorie. El este aproximativ egal cu 1,618033 și poate fi întâlnit în cele mai surprinzătoare împrejurări. Grecii, romanii, egiptenii, evreii, in antichitate, par sa fi fost toti de acord ca 1, 618 (un numar irational, exprimand raportul dintre circumferinta si diametrul unui cerc) este numarul de aur, numarul armoniei universale, numarul divin, al Creatiei, al perfectiunii, ascuns in tot ceea ce exista in natura si preluat de om in edificiile consacrate Creatorului, dar si in pictura, sculptura, muzica etc. In cultura greceasca antica, numarul de aur a fost simbolul pitagoricienilor (adeptii scolii filozofice a lui Pitagora, fondata in secolul al VI-lea i.Hr.), care considerau ca 1,618 este expresia vietii, a iubirii si a frumusetii. Se spune că atunci când Hispassus din Metapontum a descoperit, în secolul V î.Hr., că Φ este un număr care nu este nici întreg (ex:1;2;…), nici măcar raportul dintre două numere întregi (precum fracțiile:1/2,7/6,45/90,etc., care sunt cunoscute în ansamblu drept numere raționale), adepții faimosului matematician grec Pitagora și anume pitagoreicii au fost extrem de șocați. Concepția pitagoreică despre lume se baza pe o extremă față de arithmos – adică proprietățile intrinseci ale numerelor întregi și ale fracțiilor lor – și presupusul lor rol în cosmos. Înțelegerea faptului că există numere care precum Φ se repetă la infinit fără a prezenta nici o repetiție sau regularitate a pricinuit o adevărată criză filozofică. Unele surse susțin chiar că pitagoreicii au sacrificat 100 de boi din cauza numărului. Totuși acest lucru pare extrem de improbabil deoarece ei erau vegetarieni stricți. Pitagoreicii erau neîndoielnic convinși că existența unor numere precum Φ era atât de înfricoșătoare încât ea trebuia să reprezinte un fel de eroare cosmică, o informație care ar trebui suprimată și ținută secret. Multa vreme apoi, numarului de aur nu i s-a mai acordat prea multa atentie, revenind intr-o carte din secolul al XIX-lea, a lui Martin Ohm, matematician german, si intr-una de filozofie, apartinand lui Adolf Zeising, unde este apreciat ca « o adevarata cheie » pentru interpretarea a nenumarate domenii artistice sau stiintifice. Ideile lui Zeising si-au gasit ecou, in secolul al XX-lea, in opera unui ofiter de marina, scriitor, matematician, diplomat roman, Matila Costiescu Ghyka (1881 – 1965), profesor de estetica in SUA, dupa cel de-al Doilea Razboi Mondial, autor al unui studiu exhaustiv despre « Phi ». Arhitectul Corbusier, fondator al directiei moderne in arhitectura, se foloseste si el de numarul de aur, stabilind proportiile diverselor constructii in functie de acesta si, implicit, in functie de morfologia corpului uman, unde, de asemenea, « Phi » este prezent. Pictorul Salvador Dali s-a dovedit interesat de proportia de aur, intr-un celebru tablou – «Ultima Cina» – replica la pictura lui Leonardo da Vinci, « Cina cea de taina ». Studii amanuntite au facut ca numarul de aur sa apara in toate segmentele pamantesti si universale : – in proportiile corpului uman ; – in proportiile a numeroase animale si plante, peste tot in natura; – in structura ADN-ului; – in alcatuirea sistemului solar; – in arte (pictura, muzica, arhitectura, sculptura etc.); – in rata de crestere a populatiei; – pe piata actiunilor; – in realizarea fractalilor, figuri geometrice deosebit de estetice, in care fiecare parte este o copie, la dimensiuni mai mici, a intregului, care se construiesc, in intregime, pe baza numarului de aur ; – in Biblie, in Coran si in tehnologie; – in corola de floarea-soarelui, in miezul de ananas, in conurile de pin, in forma scoicilor etc. se gasesc spirale corespunzatoare Sirului lui Fibonacci si unghiuri dupa dimensiunile proportiei de aur. – dimensiunile corpului uman, ale fetei, – spirala de ADN, – sectiunea transversala prin ADN, – molecula de ADN, care cuprinde “programul” pentru intreaga viata, toate se bazeaza pe proportia “Phi”.  

E vorba de 2 oameni care pleacă la drum, unul având 2 pâini, celălalt 3 pâini. Când se aşează să le mănânce soseşte un al treilea călător – bineînţeles flămând şi fără de mâncare. Rugându-i să mănânce cele cinci pâini împreună în parti egale, el le-a promis o despăgubire bănească. Aceştea se învoiesc şi după ce au mâncat pâinile frăţeşte, străinul le dă ca recompensă pentru pâinea mâncată 5 lei. Cel care avea două pâini spune celui cu trei, că deoarece pâinile au fost mâncate frăţeşte să împartă şi banii frăţeşte, adică în jumătate, câte 2,5 lei. Cel cu trei pâini însă susţinea că lui i se cuvin trei lei şi celuilalt 2, deoarece străinul a mâncat mai mult din pâinile lui, decât din celui cu două. Neînţelegându-se s-au adresat unui arbitru ca să le facă dreptate absolută. Acesta le-a zis: Ca să fi putut mânca pâinile frăţeşte trebuia împărţită fiecare pâine în trei bucăţi egale. Fiind 5 pâini s-au făcut 15 bucăţi egale, din care au mâncat fiecare câte 5 părţi. Cel cu 2 pâini avea 6 bucăţi (adică treimi), dintre care el a mâncat cinci, dând străinului numai o bucată; cel cu trei pâini avea 9 bucăţi, dintre care mâncând 5, a dat străinului 4. Deci celui care avea 3 pâini i se cuveneau 4 lei, iar celui cu două numai un leu ”.

Proba inmultirii cu 9 – Sumita Este deosebit de util sa verificam rapid si elegant daca produsul a doua numere s-a determinat corect. Prin impartirea produsului la unul dintre factori pentru a obtine celalalt factor este de multe ori anevoios si ne ia timp. Hai sa incercam o metoda simpla si rapida. Calculam suma cifrelor deinmultitului pana obtinem o singura cifra (sumita). Calculam suma cifrelor inmultitorului pana la o cifra(sumita). Inmultim cele doua sumite si determinam suma produsului. Daca aceasta este egala cu sumita produsului celor doua numere atunci inmultirea este corecta. Exemplu : 475 x 65 = 30.875 Si adunam 4+7+5 = 16, adunam din nou 1+ 6 =7, deci sumita deinmultitului este 7. Adunam sumita inmultitorului : 6 + 5 =11 si inca o data 1+1=2 Apoi inmultim cele doua sumite 2 x 7 = 14…ce are sumita 5, adica 1+4=5 Daca inmultirea este corecta sumita produsului trebuie sa fie egala cu 5 Verificam suma produsului : 3 +0 + 8 +7 + 5 = 23 ce are sumita 5 adica. 2 + 3 = 5 Deci inmultirea este corecta !

Metoda reducerii la absurd   Există patru numere care să îndeplinească simultan condiţiile a < b, b < c, c < d, d < a? Rezolvare: Presupunem că există patru numere cu proprietatea dată. Din a < b, b < c avem a < c. Din c < d, d < a avem c < a. Cele două relaţii obţinute mai sus nu pot avea loc simultan. Aşadar, nu există patru numere care să îndeplinească simultan cele patru condiţii. Arătaţi că nu există nici un număr natural care împărţit la 8 dă restul 6 şi împărţit la 4 dă restul 3. Rezolvare Prin metoda reducerii la absurd presupunem că există un număr natural n astfel încât n = 8q + 6 şi n = 4q + 3, cu p şi q numere naturale. Vom avea că 8q + 6 = 4q + 3, relaţie care reprezintă egalitatea unui număr natural par cu unul impar. Absurd. Deci nu există nici un număr natural care împărţit la 8 dă restul 6 şi împărţit la 4 dă restul 3.   Fie numerele naturale a şi b astfel încât 2a + 3b, 2a + 4b, 2a + 5b nu se divid prin 3. Arătaţi că b este divizibil cu 3 şi că a nu este divizibil cu 3. Rezolvare Prin metoda reducerii la absurd presupunem că a se divide prin 3. Rezultă că 3 | (2a + 3b) – contradicţie cu ipoteza problemei. Deci a nu se divide prin 3. înseamnă că a este de forma: a = 3k + 1 sau a = 3k + 2, unde k este număr natural. Prin reducere la absurd, presupunem că b nu se divide cu 3. Urmează că b = 3p + 1 sau b = 3p + 2, unde p este număr natural. Pentru orice forma ale lui a şi b, cel puţin unul dintre numerele 2a + 3b, 2a + 4b, 2a + 5b se divide cu 3, ceea ce este fals. Aşadar, b este divizibil cu 3.   Tema pentru acasă (seminarul din săptămâna următoare) Câtul şi restul împărţirii numerelor naturale a şi b sunt 19, respectiv 99. Dacă a-b < 1917, aflaţi numerele a şi b. Aflaţi suma tuturor numerelor naturale cuprinse între 1000 şi 2000 care împărţite la 49 dau câtul şi restul numere egale. Determinaţi cel mai mare număr natural a care, împărţit la 1985 dă câtul mai mic decât restul. Determinaţi toate numerele naturale care împărţite la 36 dau ca rest pătratul câtului. Arătaţi că nu există nici un număr natural a care împărţit la 15 dă restul 7 şi împărţit la 12 dă restul 3.   Suma a zece numere naturale nenule distincte este 103. Demonstraţi că printre ele există cel puţin două numere impare. Cercetaţi dacă există numere naturale m şi n astfel încât (m – n)(m + n + 1) = 1999.   Rezolvări 1. Fie a şi b numere naturale, cu b diferit de zero, astfel încât a = 19b + 99, 0 ≤ 99 < b. Dar a-b < 1917. Rezultă că 19b + 99 – b < 1917, de unde b < 101. Urmează că b = 100.   2. Fie x astfel de numere naturale. x = 49c + c, 0 ≤ c < 49; 1000 < 50c < 2000, de unde, c fiind număr natural, rezultă că c poate fi 21, 22, …, 39. În acest caz, numerele x căutate sunt 50∙21, 50∙22, …, 50∙30, a căror sumă este: S = 50(21 + 22 + … + 39) = 50(60∙9 + 30) = 50∙570 = 28500.   3. a = 1985∙c + r, c < r < 1985. Dar a este maxim. Rezultă că c şi r sunt maxime, adică c = 1984 şi r = 1983. Deci a = 1985∙1983 + 1984.   4. Fie n numerele naturale cerute în enunţ. Avem că n = 36q + q2, 0 ≤ q2 < 36. De unde q poate fi 0, 1, 2, 3, 4, sau 5, deci n este 0, 37, 76, 117, 160 sau 205.   5. Presupunem prin metoda reducerii la absurd că există un număr natural a astfel încât a = 15c1 + 7 (0 ≤ 7 < 15) a = 12c2 + 3 (0 ≤ 3 < 12). Din cea de-a doua relaţie avem că a este multiplu de 3. Folosind acest lucru în prima relaţie, rezultă că M3 = M3 + 7, de unde rezultă că 7 este multiplu de 3. Absurd. Deci, concluzia problemei este adevărată.   6. Presupunem prin reducere la absurd că cele 10 numere sunt pare. Rezultă că 2 + 4 + 6 + … + 20 = = 110. Absurd (suma din ipoteză este 103). Deci, cel puţin unul este impar. Dar, dacă unul singur ar fi impar, atunci suma ar fi impară. Dar suma este pară. Rezultă că cel puţin doi termeni sunt impari.   7. Prin reducere la absurd presupunem că există două numere naturale m şi n astfel încât (m – n)(m + n + 1) = 1999. I. Dacă m şi n-au aceeaşi paritate (ambele pare sau ambele impare), rezultă că m – n este par, deci (m – n)(m + n + 1) este par. II. Dacă m şi n au parităţi diferite, m + n + 1 este un număr par, deci (m – n)(m + n + 1) este par. Contradicţie cu (m – n)(m + n + 1) = 1999. Deci nu există astfel de numere.

O idee pentru dascali, de a le arata copiilor frumusetea numerelor si de a indragi matematica… 9 x 9 + 7 = 88 98 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5 = 8888 9876 x 9 + 4 = 88888 98765 x 9 + 3 = 888888 987654 x 9 + 2 = 8888888 9876543 x 9 + 1 = 88888888 98765432 x 9 + 0 = 888888888 Admirati simetria: 1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321 1111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 123456787654321 111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Didactica matematicii Mihail Rosu pdf.........