Matematica definitivat 2023-2024. Metodica predării matematicii

Metodologia didactica a predarii problemelor de matematica Obiectivele unitatii de învatare În urma parcurgerii acestei unitati de învatare, studentii vor fi capabili: -sa aplice metodologia rezolvarii problemelor de matematica la clasele I-IV; -sa constientizeze valentele formative ale activitatilor de rezolvare si compunere de probleme, cu exemplificari; -sa aleaga din multitudinea cailor de rezolvare a unei probleme pe cea mai rapida si eleganta; -sa stabileasca raportul dintre îndrumarile date elevilor de catre institutor si activitatile creatoare ale acestora; -sa priveasca activitatea de compunere a problemelor ca importanta modalitate de cultivare si educare a creativitatii gândirii prescolarului si a scolarului mic.   Notiunea de problema matematica   Cuvântul problema îsi are originea în limba latina (problema) si a intrat în vocabularul românesc prin limba franceza (problème). Termenul de problema nu este suficient delimitat si precizat, având un continut larg si cuprinzând o gama larga de preocupari si actiuni din domenii diferite. Etimologic, în germana pro-ballein înseamna înaintea unei bariere, obstacol care sta în cale, ceea ce ar mai putea fi interpretat ca o dificultate teoretica sau practica a carei rezolvare nu se poate face prin aplicarea directa a unor cunostinte si metode cunoscute, ci este nevoie de investigare, tatonare, cautare. Etimologia greaca a cuvântului problema arata ca ea reprezinta o provocare la cautare, la descoperirea solutiei. Revenind la spatiul didactic, se considera drept problema orice dificultate teoretica sau practica, în care elevul pentru a-i gasi solutia, trebuie sa depuna o activitate proprie de cercetare, în care sa se conduca dupa anumite reguli si în urma careia sa dobândeasca noi cunostinte si experienta. Dupa Dictionarul Explicativ al Limbii Române, (DEX), cuvântul problema are urmatoarele definitii: Problema: “Chestiune care intra în sfera preocuparilor, a cercetarilor cuiva, obiect principal al preocuparilor cuiva; tema, materie”; Problema: “Chestiune importanta care constituie o sarcina, o preocupare (majora) si cere o solutionare (imediata)”; Problema: “Dificultate care trebuie rezolvata pentru a obtine un anumit rezultat; greutate, impas”; Problema: “Lucru greu de înteles, greu de rezolvat sau de explicat; mister, enigma”; si în sfârsit: Problema de matematica: “Chestiune în care, fiind date anumite ipoteze, se cere rezolvarea, prin calcule sau prin rationamente, asupra unor date.” Între probleme si exercitii se poate face distinctie, în general, în functie de prezenta sau absenta textului prin care se dau datele si legaturile între ele. Exercitiul contine datele, numerele cu care se opereaza si semnele operatiilor respective, elevul având sarcina de a efectua calculele dupa tehnici si metode cunoscute. Problema conduce, pentru rezolvarea ei, la o activitate de descoperire. Textul problemei indica datele, relatiile dintre date si necunoscuta si întrebarea problemei, care se refera la valoarea necunoscutei. Matematic vorbind, distinctia între exercitiu si problema nu trebuie facuta dupa forma exterioara a acestora, ci dupa natura rezolvarii. Trebuie însa facuta observatia ca un enunt poate fi o problema pentru un copil din clasa I, un exercitiu pentru cel din clasa a V-a si ceva perfect cunoscut pentru un matematician. Pe masura ce elevul îsi însuseste modalitati de rezolvare mai generale, pe masura ce creste experienta lui în rezolvarea problemelor, treptat, enunturi care constituiau pentru el probleme, devin simple exercitii.   Valentele formative ale activitatilor rezolutive Este unanim recunoscut faptul ca rezolvarea problemelor de matematica este una din cele mai sigure cai ce duce la dezvoltarea gândirii, imaginatiei, atentiei si spiritului de observatie al elevilor. Aceasta activitate pune la încercare în cel mai înalt grad capacitatile intelectuale ale elevilor, le solicita acestora toate disponibilitatile psihice, în special inteligenta, motiv pentru care, programa de matematica din ciclul primar acorda rezolvarii problemelor o importanta deosebita. Acesta este evidentiata de faptul ca unul dintre cele patru obiective cadru ale programei este centrat pe acest tip de activitate. Nu este vorba de a parcurge cât mai multe tipuri de probleme sau metode de rezolvare, ci despre a-i crea elevului situatii noi de învatare, la care sa raspunda cât mai adecvat, în urma unui demers de explorare si investigatie. Dar nu numai procesele de cunoastere sunt mobilizate în rezolvarea unei probleme, ci întreaga personalitate a celui ce rezolva problema, în toate coordonatele ei rationale, afective, volitive.   Problemele de matematica fiind strâns legate, adesea, prin însusi enuntul lor, de viata, de realitate, de practica, genereaza la elevi un simt al realitatii de tip matematic, formându-le deprinderea de a rezolva problemele practice pe care viata le scoate în calea lor. Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea constienta a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoastere, volitive, motivational-afective. Gândirea prin operatiile logice de analiza, sinteza, comparatie, abstractizare si generalizare este cel mai solicitat si antrenat proces cognitiv. Prin rezolvarea de probleme, elevii îsi formeaza priceperi si deprinderi de a analiza situatia data de problema, de a intui si descoperi calea prin care se obtine ceea ce se cere în problema. Rezolvarea problemelor contribuie astfel la cultivarea si dezvoltarea capacitatilor creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilitatii ei, a capacitatilor anticipativ-imaginative, la educarea perspicacitatii si spiritului de initiativa, la dezvoltarea încrederii în fortele proprii. Activitatea de rezolvare a problemelor de matematica contribuie la clasificarea, aprofundarea si fixarea cunostintelor teoretice învatate. De asemenea, predarea multora dintre problemele teoretice se face prin rezolvarea uneia sau mai multor probleme, subliniindu-se proprietatea, definitia sau regula ce urmeaza a fi explicate. Prin activitatea rezolutiva la matematica elevii îsi formeaza deprinderi eficiente de munca intelectuala, care vor influenta pozitiv si studiul altor discipline de învatamânt, îsi educa si cultiva calitatile. De asemenea, activitatile matematice de rezolvare si compunere a problemelor contribuie la îmbogatirea orizontului de cultura generala al elevilor prin folosirea în textul problemelor a unor cunostinte pe care nu le studiaza la alte discipline de învatamânt. Este cazul informatiilor legate de: distanta, viteza, timp, pret de cost, cantitate, dimensiune, masa, arie, durata unui fenomen, etc. Rezolvând sistematic probleme de orice tip, elevii îsi formeaza seturi de priceperi, deprinderi si atitudini pozitive, care le confera posibilitatea de a rezolva si a compune ei însisi, în mod independent, probleme. Problemele de matematica prin continutul lor, prin tehnicile de abordare în scopul gasirii solutiei, contribuie la cultivarea si educarea unor noi atitudini fata de munca, la formarea disciplinei constiente, la dezvoltarea spiritului de competitie cu sine însusi si cu altii, la dezvoltarea prietenei. Nu se pot omite nici efectele benefice ale activitatii de rezolvare a problemelor de matematica pe planul valorilor autoeducative. Prin enumerarea valentelor formative în personalitatea elevilor, pe care le genereaza activitatea de rezolvare si compunere a problemelor de matematica, se justifica de ce programele scolare acorda o atât de mare importanta acestei activitati scolare si de ce si institutorul trebuie sa-i acorde importanta cuvenita.   Etapele rezolvarii problemelor de matematicã În activitatea de rezolvare a unei probleme de matematica se parcurg mai multe etape. În fiecare etapa are loc un proces de reorganizare a datelor si de reformulare a problemei.   Aceste etape sunt: 1. Cunoasterea enuntului problemei 2. Întelegerea enuntului problemei. 3. Analiza problemei si întocmirea planului logic, cu efectuarea operatiilor corespunzatoare succesiunii judecatilor din planul logic. 4. Organizarea si redactarea întregii rezolvari a problemei. 5. Activitati suplimentare: - verificarea rezultatului; - scrierea rezolvarii sub forma de exercitiu; - gasirea altei cai sau metode de rezolvare; - generalizare; - compunere de probleme dupa o schema asemanatoare.   1. Cunoasterea enuntului problemei În aceasta etapa de început în rezolvarea oricarei probleme, rezolvitorul trebuie sa ia cunostinta cu datele problemei, cu legaturile existente între ele si bineînteles cu necunoscuta problemei. Dupa citirea textului problemei de catre institutor sau de catre elevi, se va repeta problema de mai multe ori, pâna la învatarea ei de catre toti elevii, scotându-se în evidenta anumite date si legaturile dintre ele, precum si întrebarea problemei. Se vor scrie pe tabla si pe caiete datele problemei.   2. Întelegerea enuntului problemei Enuntul problemei contine un minim necesar de informatii. Pentru ca elevul sa poata formula niste ipoteze si sa construiasca rationamentul rezolvarii problemei, este necesar sa cunoasca si sa înteleaga problema. Datele si conditia problemei reprezinta termenii de orientare a ideilor, a analizei si sintezei, precum si a generalizarilor ce au loc treptat, pe masura ce se înainteaza spre solutie. Întrebarea problemei este directia în care trebuie sa se orienteze formularea ipotezelor. Prin citirea textului problemei, prin ilustrarea cu imagini sau chiar cu actiuni când este cazul, enuntul problemei este înteles de catre elevi.   3. Analiza problemei si întocmirea planului logic Este etapa în care se elimina aspectele care nu au semnificatie matematica si se elaboreaza reprezentarea matematica a enuntului problemei. În aceasta etapa se construieste rationamentul prin care se rezolva problema. Prin exercitiile de analiza a datelor, a semnificatiei lor, a legaturilor dintre ele si a celor existente între date si necunoscute se ajunge, prin depasirea situatiilor concrete pe care le prezinta problema, la nivelul abstract care vizeaza relatiile dintre parte si întreg; viteza, distanta si timp; cantitate, pret, valoare; etc. Prin transpunerea problemei într-un desen, într-o imagine sau într-o schema, prin scrierea relatiilor dintre ele într-o coloana, se va evidentia esenta matematica a problemei, adica reprezentarea matematica a continutului ei. În momentul în care elevii au transpus problema în relatii matematice, prin efectuarea operatiilor corespunzatoare succesiunii din planul logic de rezolvare, prin constientizarea semnificatiei rezultatelor partiale care se obtin, solutia este descoperita.   4. Organizarea si redactarea întregii rezolvari a problemei Cunoscând metodele de rezolvare si calcul, se va trece în aceasta etapa la redactarea clara si într-o forma cât mai îngrijita, a întregii rezolvari a problemei.   5. Activitati suplimentare dupa rezolvarea problemei Aceasta etapa are o mare importanta în formarea abilitatilor, a priceperilor si deprinderilor de a rezolva probleme, deoarece aici intra verificarea solutiei problemei, gasirea si a altor metode de rezolvare, cu alegerea celor mai elegante. Este deci etapa prin care se realizeaza si autocontrolul asupra felului în care s-a însusit enuntul problemei, asupra rationamentului realizat si a demersului de rezolvare parcurs. La sfârsitul rezolvarii unei probleme, se indica categoria din care face parte problema, se fixeaza algoritmii ei de rezolvare, se transpune rezolvarea problemei într-un exercitiu sau, dupa caz, în fragmente de exercitiu. Prin rezolvarea de probleme asemanatoare, prin compunerea de probleme cu aceleasi date sau cu date schimbate, dar rezolvabile dupa acelasi exercitiu, institutorul descopera cu elevii schema generala de rezolvare a unei categorii de probleme. Este o cerinta care nu duce la schematizarea, la fixitatea sau rigiditatea gândirii, ci dimpotriva, la cultivarea si educarea creativitatii, la antrenarea permanenta a gândirii elevilor.    Metode pentru rezolvarea problemelor de aritmetica   Metodele aritmetice se clasifica în doua categorii: metode aritmetice fundamentale sau generale si metode aritmetice speciale sau particulare. I.) Metode aritmetice generale Metodele aritmetice generale se aplica într-o masura mai mare sau mai mica în rezolvarea tuturor problemelor. Utilizarea acestor metode se bazeaza cu deosebire pe operatiile de analiza si sinteza ale gândirii, motiv pentru care se numesc metoda analitica si metoda sintetica.   I1.) Metoda analitica A examina o problema prin metoda analitica înseamna a privi întâi problema în ansamblu, apoi, pornind de la întrebarea ei, a o descompune în problemele simple din care e alcatuita si a orândui aceste probleme simple într-o succesiune logica astfel încât rezolvarea lor sa contribuie în mod convergent la formularea raspunsului pe care îl cere întrebarea problemei date. Cu alte cuvinte, metoda analitica reprezinta calea de abordare a problemei, plecând de la cerinte spre date. Exemplu: Într-o întreprindere lucreaza doua echipe de strungari: prima cu 6 strungari, care strunjesc câte 18 piese pe zi, a doua cu 7 strungari care strunjesc câte 16 piese pe zi. Sa se stabileasca valoarea pieselor executate într-o zi de cele doua echipe, stiind ca o piesa este evaluata în medie la 48 lei.   Examinarea problemei: Pentru a afla valoarea totala a pieselor, cunoscând valoarea unitara, ar trebui sa se stie numarul total al pieselor strunjite de cele doua echipe. În acest scop este necesar sa se afle întâi numarul pieselor strunjite de prima echipa, apoi numarul de piese strunjite de a doua echipa. Numarul pieselor strunjite de o echipa se poate afla utilizând datele problemei, si anume înmultind numarul pieselor strunjite de un strungar cu numarul strungarilor din echipa. Schematic, examinarea problemei prin metoda analitica se înfatiseaza astfel: Detaliile stabilite analitic se sintetizeaza sub forma unui plan de rezolvare care cuprinde enuntarea problemelor simple în care s-a descompus problema data si indica succesiunea acestor probleme în procesul de efectuare a calculelor: Valoarea unei piese (48 lei) Valoarea totala a pieselor Numarul total de piese Numarul pieselor strunjite de echipa I Numarul pieselor strunjite de echipa II Numarul strungarilor din echipa I Numarul strungarilor din echipa II Numarul pieselor executate de un strungar Numarul pieselor executate de un strungar 1) Care este numarul pieselor strunjite de echipa I? 18 piese × 6 = 108 piese 2) Care este numarul pieselor strunjite de echipa a II-a? 16 piese × 7 = 112 piese 3) Care este numarul total de piese strunjite de cele doua echipe? 108 piese + 112 piese = 220 piese 4) Care este valoarea pieselor executate? 48 lei × 220 = 10 560 lei. I2.) Metoda sintetica A examina o problema prin metoda sintetica înseamna a orienta gândirea elevilor asupra datelor problemei, a grupa aceste date dupa relatiile dintre ele, astfel încât sa se formuleze cu aceste date toate problemele simple posibile si a aseza aceste probleme simple într-o succesiune logica astfel alcatuite încât sa se încheie cu acea problema simpla a carei întrebare coincide cu întrebarea problemei date. Pe scurt, metoda sintetica reprezinta calea de abordare a problemei, plecând de la date spre cerinte. Exemplu: Problema enuntata si studiata mai sus se examineaza prin metoda sintetica astfel: 1) Cunoscând numarul strungarilor din prima echipa si numarul pieselor strunjite de fiecare, se afla numarul pieselor executate de întreaga echipa. 2) Analog pentru echipa a II-a. 3) Daca se afla câte piese au fost strunjite de prima echipa si câte de a doua, atunci se poate afla numarul total de piese strunjite de cele doua echipe. 4) Cunoscând numarul total de piese si valoarea medie a unei piese, se poate afla valoarea lor totala. Schema examinarii problemei prin metoda sintetica este urmatoarea: În legatura cu cele doua metode generale de examinare a unei probleme, se mentioneaza faptul ca procesul analitic nu apare si nici nu se produce izolat de cel sintetic, întrucât cele doua operatii ale gândirii se gasesc într-o strânsa conexiune si interdependenta, ele conditionându-se Numarul strungarilor din echipa I Numarul strungarilor din echipa II Numarul pieselor executate de un strungar Numarul pieselor executate de un strungar Numarul pieselor strunjite de echipa I Numarul pieselor strunjite de echipa II Numarul total de piese Valoarea unei piese (48 lei) Valoarea totala a pieselor reciproc si realizându-se într-o unitate inseparabila. De aceea nu poate fi vorba de utilizarea în mod exclusiv a uneia sau alteia din aceste metode, în examinarea unei probleme intervenind ambele metode ca laturi separate ale procesului unitar de gândire, însa în anumite momente sau situatii una din ele devine dominanta. Astfel, descompunerea unei probleme compuse în problemele simple din care este alcatuita, constituie în esenta un proces de analiza, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un proces de,sinteza. Din aceste motive, cele doua metode apar adeseori sub o denumire unica: metoda analitico-sintetica.   În practica s-a demonstrat ca metoda sintetica este mai accesibila, dar nu solicita prea mult gândirea elevilor. Mai mult, se constata ca unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei si sunt tentati sa calculeze valori de marimi care nu sunt necesare în gasirea solutiei problemei. Metoda analitica pare mai dificila, dar solicita mai mult gândirea elevilor si folosind-o, îi ajuta pe copii sa priveasca problema în totalitatea ei, sa aiba mereu în atentie întrebarea problemei.   II.) Metode aritmetice speciale Metodele aritmetice speciale sunt mai variate si difera de la o categorie de probleme la alta, adoptându-se specificului acestora. Cele mai importante si mai frecvente sunt urmatoarele: metoda figurativa sau grafica, metoda comparatiei, metoda falsei ipoteze, metoda mersului invers. În rezolvarea problemelor nu este întotdeauna eficienta aplicarea unei singure metode, fiind necesara combinarea metodelor, în anumite etape ale rezolvarii, predominând una dintre ele. Alteori orientarea se face dupa felul cum au fost rezolvate problemele înrudite, procedând similar, adica aplicând metoda analogiei. De asemenea, în afara de metodele mentionate mai sus, exista si alte metode speciale aplicabile în rezolvarea unor anumite categorii de probleme, cum sunt problemele de: regula de trei simpla sau compusa, în rezolvarea carora se utilizeaza reducerea la unitate si metoda proportiilor, apoi problemele de împartire în parti proportionale, problemele cu procente, problemele de amestec si aliaj, problemele de miscare, problemele nonstandard, etc.   Rezolvarea principalelor categorii de probleme aritmetice O prima clasificare a problemelor conduce la doua categorii: probleme simple (cele rezolvabile printr-o singura operatie) si probleme compuse (cele rezolvabile prin cel putin doua operatii).   Rezolvarea problemelor simple Specific clasei I este primul tip de probleme, a caror rezolvare conduce la o adunare sau scadere din concentrele numerice învatate. Rezolvarea acestora reprezinta, în esenta, solutionarea unor situatii problematice reale, pe care copiii le întâlnesc sau le pot întâlni în viata, în realitatea înconjuratoare. Pe plan psihologic, rezolvarea unei probleme simple reprezinta un proces de analiza si sinteza în cea mai simpla forma. Problema trebuie sa cuprinda date (valori numerice si relatii între ele) si întrebarea problemei (ce se cere a fi aflat). La cea mai simpla analiza a întrebarii problemei se ajunge la date si la cea mai simpla sinteza a datelor se ajunge la întrebarea problemei. A rezolva în mod constient o problema simpla, înseamna a cunoaste bine punctul de plecare (datele problemei) si punctul la care trebuie sa se ajunga (întrebarea problemei), înseamna a stabili între acestea un drum rational, o relatie corecta, adica a alege operatia corespunzatoare, impusa de rezolvarea problemei. Predarea oricarui nou continut matematic trebuie sa se faca, de regula, pornind de la o situatie-problema care îl presupune. Si din acest motiv, abordarea problemelor trebuie sa înceapa suficient de devreme si sa fie suficient de frecventa pentru a sublinia (implicit, dar uneori si explicit) ideea ca matematica este impusa de realitatea înconjuratoare, pe care o reflecta si pe care o poate solutiona cantitativ.   În momentul în care elevii cunosc numerele naturale dintr-un anumit concentru si operatiile de adunare/scadere cu acestea, introducerea problemelor ofera copiilor posibilitatea aplicarii necesare si plauzibile a tehnicilor de calcul, capacitatea de a recunoaste si discrimina situatiile care implica o operatie sau alta, precum si exersarea unei activitati specific umane: gândirea. Stabilirea operatiei corespunzatoare constituie un proces de gândire dificil, fiind necesara precizarea cazurilor care determina o anumita operatie, acest lucru realizându-se în urma unei analize pe cât mai multe cazuri particulare Copiii întâmpina dificultati în rezolvarea problemelor simple, din pricina neîntelegerii relatiilor dintre date (valori numerice), text si întrebare. Valorile numerice sunt greu legate de continut si de sarcina propusa în problema si pentru ca numerele exercita asupra copiilor o anumita fascinatie, care îi face sa ignore continutul problemei. Un alt grup de dificultati apare din pricina limbajului matematic, de aceea, una dintre sarcinile importante ale institutorului este aceea de a învata pe copii sa traduca textul unei probleme în limbajul operatiilor aritmetice. Având în vedere caracterul intuitiv-concret al gândirii micului scolar, primele probleme ce se rezolva cu clasa vor fi prezentate într-o forma cât mai concreta, prin punere în scena, prin ilustrarea cu ajutorul materialului didactic si cu alte mijloace intuitive. Constientizarea elementelor componente ale problemei, ca si notiunile de: problema, rezolvarea problemei, raspunsul la întrebarea problemei le capata copiii cu ocazia rezolvarii problemelor simple, când se prezinta în fata lor probleme vii, probleme-actiune, fragmente autentice de viata. Scolarii mici trebuie mai întâi sa traiasca problema, ca sa învete sa o rezolve. În manualul clasei I, prezentarea problemelor se face gradat, trecând prin etapele: - probleme dupa imagini; - probleme cu imagini si text; - probleme cu text. Introducerea problemelor cu text este conditionata si de învatarea de catre elevi a citirii/ scrierii literelor si cuvintelor componente. Manualul sugereaza si modalitatea de redactare a rezolvarii unei probleme, urmând ca, în absenta unui text scris, institutorul sa-i obisnuiasca pe elevi sa scrie doar datele si întrebarea problemei. Dupa rezolvarea problemei, mentionarea explicita a raspunsului îi determina pe elevi sa constientizeze finalizarea actiunii, fapt ce va deveni vizibil si în caietele lor, unde acest raspuns va separa problema rezolvata de alte sarcini ulterioare de lucru (exercitii sau probleme). Desi rezolvarile de probleme simple par usoare, institutorul trebuie sa aduca în atentia copiilor toate genurile de probleme care se rezolva printr-o singura operatie aritmetica.   Problemele simple bazate pe adunare pot fi: -de aflare a sumei a doi termeni; -de aflare a unui numar mai mare cu un numar de unitati decât un numar dat; -probleme de genul cu atât mai mult. _ Problemele simple bazate pe scadere pot fi: -de aflare a restului; -de aflare a unui numar care sa aiba cu un numar de unitati mai putine decât un numar dat; -de aflare a unui termen atunci când se cunosc suma si celalalt termen al sumei; -problemele de genul cu atât mai putin.   Problemele simple bazate pe înmultire sunt, în general: -de repetare de un numar de ori a unui numar dat; -de aflare a produsului; -de aflare a unui numar care sa fie de un numar de ori mai mare decât un numar dat.   Problemele simple bazate pe împartire pot fi: -de împartire a unui numar dat în parti egale; -de împartire prin cuprindere a unui numar prin altul; -de aflare a unui numar care sa fie de un numar de ori mai mic decât un numar dat; -de aflare a unei parti într-un întreg; -de aflare a raportului dintre doua numere.     Rezolvarea problemelor compuse   Rezolvarea acestor probleme nu înseamna, în esenta, rezolvarea succesiva a unor problem simple. Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compusa constituie dificultatea principala într-o problema cu mai multe operatii, ci legatura dintre verigi, constituirea rationamentului. De aceea, este necesara o perioada de tranzitie de la rezolvarea problemelor simple (cu o operatie) la rezolvarea problemelor compuse (cu doua sau mai multe operatii). Se va porni astfel de la rezolvarea unor probleme alcatuite din succesiunea a doua probleme simple. În cadrul acestei activitati elevii realizeaza mersul rationamentului si învata sa elaboreze tactica si strategia rezolvarii prin elaborarea planului de rezolvare a problemei. Examinarea unei probleme compuse se face, de regula prin metoda analitica sau sintetica. Cele doua metode se pot folosi simultan sau poate sa predomine una sau alta, caz în care metoda care predomina îsi impune specificul asupra cailor care duc la gasirea solutiei. Atât o metoda, cât si cealalta constau în descompunerea problemei date în probleme simple care, prin rezolvare succesiva, duc la gasirea solutiei finale. Deosebirea dintre ele consta practic, în punctul de plecare al rationamentului. O data cu analiza logica a problemei se formuleaza si planul de rezolvare. Planul trebuie scris de institutor pe tabla si de elevi pe caietul lor, mai ales la rezolvarea primelor probleme, scopul fiind acela al formarii deprinderilor de a formula întrebari si pentru alte rezolvari de probleme. O atentie deosebita trebuie sa acorde institutorul problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare. Si aceasta pentru ca prin rezolvarea lor se cultiva mobilitatea gândirii, creativitatea , se formeaza simtul estetic al scolarului. Adesea elevii nu observa de la început existenta mai multor cai de rezolvare. Institutorului, prin tactul lui pedagogic, prin analiza întreprinsa cu clasa, prin întrebari ajutatoare, trebuie sa-i determine pe elevi sa se gândeasca si la alte modalitati de rezolvare.   Metode speciale de rezolvare a problemelor de matematica   Metoda figurativa sau grafica Metoda artitmetica, care pentru reprezentarea marimilor din problema si a relatiilor dintre ele utilizeaza elemente grafice sau desene si scheme se numeste metoda figurativa. În aplicarea acestei metode se poate face apel la orice categorie de elemente grafice sau combinatii ale acestora cu conditia ca ele sa fie adecvate naturii datelor problemei si specificului lor. Astfel, se pot întâlni: -desene care reprezinta actiunea problemei si partile ei componente (pentru clasele mici); -figuri geometrice diferite: segmentul de dreapta, triunghiul, dreptunghiul, patratul, cercul; -figurarea schematica a relatiilor matematice dintre datele problemei; -diverse semne conventionale, unele obisnuite, altele stabilite de comun acord cu elevii; -litere si combinatii de litere; -elemente grafice simple: puncte, linii, ovale, cerculete, etc. Metoda figurativa ajuta la formarea schemei problemei, la concentrarea asupra tuturor conditiilor problemei. În rezolvarea unei probleme care face apel la aceasta metoda, sprijinul se face pe rationament, folosind întelesul concret al operatiilor. Metoda figurativa este situata pe primul loc în ceea ca priveste utilitatea ei, datorita avantajelor pe care le prezinta. Astfel: -are caracter general, utilizându-se la orice categorii de probleme în care se preteaza figurarea si pe diferite trepte ale scolarizarii; -are caracter intuitiv, întelegerea relatiilor dintre datele problemei facându-se pe baza imaginilor vizuale, uneori intervenind actiunea directa, miscarea si transpunerea acesteia pe plan mintal; -prin dimensiunile elementelor figurative si prin proportiile dintre ele se creeaza variate modalitati de stabilire a relatiilor cantitative dintre diferitele valori ale marimilor, se sugereaza aceste relatii, se pun în evidenta.   Metoda comparatiei   Metoda comparatiei consta în a face ca una dintre cele doua marimi sa aiba aceeasi valoare si în acest mod problema se simplifica, devenind cu o singura necunoscuta. Într-o astfel de problema, asezarea datelor se face prin respectarea relatiilor stabilite între marimi si astfel încât comparatia dintre valorile aceleiasi marimi sa fie pusa în evidenta în mod direct, asezând valorile de acelasi fel unele sub altele. Procedeul aritmetic de rezolvare a unor astfel de probleme duce la eliminarea uneia dintre marimi prin reducere, adica prin adunare sau scadere. Daca valorile aceleiasi marimi sunt egale prin enuntul problemei, reducerea este imediata prin scaderea relatiilor respective. Daca din enuntul problemei nu rezulta valori egale, atunci apare necesitatea aducerii la acelasi termen de comparatie.   Metoda falsei ipoteze Problemele din aceasta categorie sunt foarte numeroase. Prin aceasta metoda poate fi rezolvata orice problema ale carei date sunt marimi proportionale.   Metoda falsei ipoteze este metoda aritmetica prin care rezolvarea unei probleme are loc pe baza unei presupuneri, a unei ipoteze, confruntând apoi situatia reala cu cea creata prin introducerea datelor ipotetice. Numele metodei se justifica prin faptul ca ipoteza care se face nu corespunde decât întâmplator cu rezultatul problemei. Ea se utilizeaza în toate cazurile în care, prin ipotezele care se fac, se poate ajunge la stabilirea relatiilor dintre datele problemei si deci la rezolvarea ei. De regula, se pleaca de la întrebarea problemei, în sensul ca asupra marimii care se cauta se face o presupunere complet arbitrara. Se reface apoi problema pe baza presupunerii facute. Deoarece marimile sunt proportionale, rezultatele obtinute pe baza presupunerii se translateaza în plus sau în minus, dupa cum presupunerea facuta este mai mica, respectiv mai mare decât rezultatul real. Refacând, asadar, problema, se ajunge la un rezultat care nu concorda cu cel real din problema. El este fie mai mare, fie mai mic decât acesta. În acest moment se compara rezultatul pe baza presupunerii, cu cel real din punct de vedere al câtului si se observa de câte ori s-a gresit când s-a facut presupunerea. Se obtine, asadar, un numar cu ajutorul caruia se corecteaza presupunerea facuta, în sensul ca se micsoreaza sau se mareste de acest numar de ori. Metoda are si unele variante de aplicare, dar, în principiu, ea ramâne cea descrisa mai sus. Problemele care se rezolva prin aceasta metoda se pot clasifica în doua categorii, în functie de numarul ipotezelor care sunt necesare, pentru orientarea rationamentului si determinarea rezultatelor: 1) Probleme de categoria I pentru rezolvarea carora este suficienta o singura ipoteza; 2) Probleme de categoria a II-a, pentru rezolvarea carora sunt necesare doua sau mai multe ipoteze succesive. 8.5.3.4. Metoda mersului invers Prin metoda mersului invers se rezolva aritmetic anumite probleme în care elementul necunoscut apare în faza de început a sirului de calcule care se impun. Aceasta metoda de rezolvare a problemelor de aritmetica se numeste a mersului invers, deoarece operatiile se reconstituie în sens invers actiunii problemei, adica de la sfârsit spre început, fiecarei operatii corespunzându-i inversa ei. Metoda mersului invers se aplica atât în rezolvarea exercitiilor numerice care contin necunoscuta, cât si în rezolvarea problemelor care se încadreaza în tipul respectiv, adica în care datele depind unele de altele succesiv, iar enuntul respectivei probleme trebuie urmarit de la sfârsit spre început si în fiecare etapa se face operatia inversa celei aparute în problema. Deci, nu numai mersul este invers, ci si operatiile care se fac pentru rezolvare sunt inverse celor din problema. Proba se face aplicând asupra numarului gasit operatiile indicate în enuntul problemei.   Regula de trei simpla   Regula de trei simpla reprezinta o schema de asezare a datelor si de utilizare a acestor date în orientarea si desfasurarea procesului de gândire care intervine în examinarea si rezolvarea unor probleme cu marimi proportionale. În problemele care se rezolva prin regula de trei simpla intervin doua marimi direct sau invers proportionale, fiecare marime cu câte o pereche de valori, una din aceste valori fiind necunoscuta. Prin urmare, în aceasta categorie de probleme se dau trei valori cu ajutorul carora se gaseste cea de-a patra valoare, fapt care justifica numele pe care îl poarta: regula de trei. Se considera marimile X, Y, cu perechile de valori x1, x2, respectiv y1, y2, corespunzatoare, în asa fel încât: valorii x1 Î X îi corespunde valoarea y1 Î Y valorii x2 Î X îi corespunde valoarea y2 Î Y una din cele 4 valori fiind necunoscuta. Daca marimile X, Y sunt direct proportionale, se poate scrie: proportii în care termenul necunoscut reprezinta cel de-al patrulea proportional si se poate afla ca atare. Daca marimile X, Y sunt invers proportionale, se poate scrie: Din cele de mai sus rezulta ca pentru rezolvarea problemelor prin regula de trei simpla este suficient sa se aseze datele conform acestei reguli, iar în rezolvare si calcul sa se utilizeze metoda proportiilor (aflarea celui de-al patrulea proportional). Dar metoda care se utilizeaza cu deosebire în rezolvarea problemelor prin regula de trei simpla este metoda reducerii la unitate. Rezolvarea problemelor prin mai multe cai, verificarea solutiei aflate si scrierea formulei numerice   În munca cu elevii, rezolvarea problemelor prin mai multe cai constituie o modalitate de dezvoltare a gândirii logice, creatoare. Aceasta activitate impulsioneaza elevii la cautarea unor solutii originale. Important este ca ei sa înteleaga în mod constient toate modalitatile de rezolvare, sa le explice si apoi sa le reproduca.   Verificarea (proba) solutiei aflate pentru o problema data este foarte importanta pentru realizarea scopului formativ, pentru dezvoltarea creativitatii gândirii elevilor. În general, proba se face pe doua cai principale: 1) înlocuind rezultatele aflate, în continutul problemei; în acest caz, elevul trebuie sa poata încadra rezultatele (numerele) aflate în enuntul problemei si sa poata verifica conditionarea lor astfel ca sa obtina datele (numerele) initiale; 2) rezolvând problema în doua sau mai multe moduri; în acest caz, elevul trebuie sa obtina acelasi rezultat prin toate caile de rezolvare, pentru a putea trage concluzia ca solutia problemei este buna. Acest procedeu este mai eficient din punct de vedere al antrenarii elevului la munca independenta, creatoare.   Complicarea problemei prin introducerea de noi date, sau prin modificarea întrebarii contribuie în mare masura la dezvoltarea flexibilitatii si creativitatii gândirii.   Formula numerica (sau literala) pentru rezolvarea unei probleme constituie un alt mijloc de stimulare a gândiri logice a elevilor, adesea folosit în activitatea de rezolvare a problemelor, este transpunerea rezolvarii unei probleme sub forma unui singur exercitiu, folosind datele problemei, sau înlocuindu-le cu litere, indiferent daca este sau nu încadrata într-o problema tipica. O asemenea activitate cu elevii este o munca de creatie, de gândire, de stabilire de legaturi logice, pentru a putea pune sub forma unui singur exercitiu, ceea ce de fapt se realizeaza în mai multe etape, prin exercitii distincte. Daca se înlocuiesc numerele din exercitiu (datele problemei) prin litere, atunci procesul devine complet prin generalizare. Elevii trebuie facuti sa înteleaga, ca în formula numerica a problemei se folosesc datele cunoscute ale acesteia, sau operatiile prin care s-au aflat necunoscutele, folosindu-se la nevoie parantezele rotunde, patrate sau acolade. În alcatuirea exercitiului trebuie sa se tina cont de ordinea operatiilor din probleme, de ordinul operatiilor care apar (ordinul I, ordinul II), ca si de proprietatile operatiilor (comutativitate, asociativitate). Rezolvarea exercitiului trebuie sa conduca la rezultatul problemei. În caz contrar, fie s-a gresit rezolvarea problemei, fie ca s-a alcatuit sau rezolvat gresit exercitiul. Câmpul de aplicabilitate al acestei activitati creatoare, este deschis aproape la orice lectie unde se rezolva probleme.   Activitatea de compunere a problemelor de catre elevi Compunerea problemelor de catre elevi ofera terenul cel mai fertil din domeniul activitatilor matematice pentru cultivarea si educarea creativitatii si a inventivitatii. Activitatea de rezolvare a exercitiilor si problemelor se întrepatrunde si se completeaza reciproc cu activitatea de compunere a problemelor. Rezolvarea unei probleme învatate ofera mai putin teren pentru creativitate decât rezolvarea unor probleme noi, care, la rândul ei, este depasita de activitatea de compunere a unor noi probleme. Creativitatea gândirii, miscarea ei libera, nu se poate obtine decât pe baza unor depinderi corect formate. În activitatea de rezolvare a problemelor, deprinderile si abilitatile se refera în special la analiza datelor, la capacitatea de a întelege întrebarea problemei si a orienta întreaga desfasurare a rationamentului în directia gasirii solutiei problemei. Prin compuneri de probleme, elevii sesizeaza legatura care exista între exercitii si probleme, deoarece în procesul formularii unei probleme, elevii au în minte si planul de rezolvare. Activitatea de compunere a problemelor prin munca independenta, în clasa si acasa, reprezinta un mijloc eficient de dezvoltare a spiritului de independenta si creativitate si începe imediat ce elevi au înteles conceputul de problema. Este o activitate complexa, elevul fiind obligat sa respecte cerinta propusa si în raport cu aceasta sa elaboreze textul al carui rationament sa conduca la rezolvarea primita. Criteriile care determina complexitatea acestui gen de activitate sunt aceleasi ca la activitatea rezolutiva: stapânirea tehnicilor de calcul, deprinderea de a realiza rationamente logice, vocabular bogat, capacitatea de a selecta din multitudinea de cunostinte dobândite, pe acelea care conduc la elaborarea textelor cu continut realist. Se pot compune si crea probleme în numeroase forme, într-o succesiune gradata:   1. Compunerea de probleme dupa obiecte concrete, tablouri si imagini Primele probleme create de elevi sunt asemanatoare cu cele ale institutorului rezolvate de ei în clasa, prin folosirea de obiecte. Se trece apoi la fraza semiconcreta, când se folosesc reprezentarile obiectelor si, în locul ghiozdanelor, creioanelor, etc., se folosesc jetoane cu acestea. Dupa ce elevii s-au obisnuit sa creeze probleme pe baza intuitiva, li se cere sa le alcatuiasca pe baza datelor scrise pe tabla. Se urmareste ca elevii sa înteleaga interdependenta dintre enunt si întrebare.   2. Compunerea unei probleme dupa modelul unei probleme rezolvate anterior 3. Completarea întrebarii unei probleme De la primele semne scrise se insista asupra separarii întrebarii de continut. În vederea formarii si dezvoltarii deprinderii de a întelege cele doua parti ale problemei: enuntul si întrebarea, s-au compus probleme din enuntul dat, fie când acestuia îi lipsea întrebarea, fie având întrebarea si lipsind continutul. La acelasi enunt pot fi puse doua sau mai multe întrebari. Separarea întrebarii de enunt si retinerea ei cu claritate este o secventa foarte importanta în rezolvarea problemelor. Elevul trebuie orientat spre finalitatea fireasca: aflarea raspunsului la întrebare. Formularea întrebarii este un pas înainte si presupune din partea elevilor o vedere analitica asupra întregii probleme. Se poate da apoi o problema la care întrebarea este gresita. Dupa ce se rezolva problema, se cere sa se schimbe enuntul problemei astfel încât sa fie buna întrebarea. 4. Compunerea problemelor dupa scheme sau dupa desene Compunerea problemelor dupa scheme simple si apoi mai complicate ofera posibilitatea elevilor de a-si forma deprinderi solide de formulare a problemelor. 5. Probleme de completare a datelor când se cunoaste întrebarea Nu toti elevii vor reusi sa completeze corect datele problemei. Cei mai multi îsi aleg numere formate din zeci si unitati, dar întâmpina greutati în rezolvare având calcule cu trecere peste ordin. Vor fi probabil si elevi care aleg la întâmplare datele problemei, fara sa gândeasca ce operatii au de facut cu ele. 6. Compunerea problemelor cu indicarea operatiilor matematice ce trebuie efectuate Se porneste de la compuneri de probleme dupa exercitii simple, formulate de elevi sub îndrumarea institutorului si apoi independent. Daca elevii stiu sa alcatuiasca corect si cu usurinta probleme dupa o singura operatie, li se poate cere apoi sa compuna probleme indiferent de numarul de operatii. Un accent deosebit trebuie pus pe formularea unor probleme compuse, care ridica probleme deosebite. Dupa ce elevii stapânesc bine compunerea problemelor dupa formule numerice, se va trece la compunerea lor dupa formule literale. Formulele literale dau posibilitatea elevului sa-si aleaga singur numerele si domeniul. 7. Compunerea de probleme dupa un plan stabilit În momentul în care elevii stiu sa rezolve corect si constient problemele compuse pe baza de plan, se poate da elevilor un plan de rezolvare, dupa care sa alcatuiasca o problema. Înainte de a formula problema, se analizeaza despre ce se vorbeste în problema, ce contin întrebarile, cedate numerice se folosesc. 8. Compunerea problemelor cu început dat 9. Compunerea de probleme cu marimi date, cu valori numerice date 10. Probleme cu date incomplete Unii elevi vor sesiza imediat lipsa unei date, altii însa îsi vor da seama de acest lucru numai când se vor apuca de lucru. 11. Probleme cu date suplimentare Aceste probleme solicita gândirea elevilor, dezvolta atentia si-i depisteaza pe cei care lucreaza mecanic, fara sa analizeze suficient datele problemei. 12. Compunerea de probleme cu corectarea continutului si modificarea datelor Elevii vor fi solicitati sa confrunte datele problemei si vor observa greselile sau incorectitudinea întrebarii. Ei pot corecta enuntul problemei în mai multe variante. 13. Probleme cu mai multe solutii si probleme fara solutie Viata, realitatea, demonstreaza ca nu toate situatiile - problema care se întâlnesc au o solutionare unica sau sunt unic determinate. Majoritatea admit mai multe solutii (conducând la alta problema: aceea a alegerii variantei optime de rezolvare, în functie de conditiile date), iar altele nu admit solutii. Cum matematica trebuie sa modeleze realitatea, este necesar a introduce si pentru elev astfel de probleme, cu solutii multiple sau fara solutie. Se ofera astfel multor elevi posibilitatea sa-si prezinte propria rezolvare (corecta), se obisnuiesc cu existenta unor astfel de probleme, sau a unor probleme de decizie (alegerea solutiei celei mai convenabile, dintr-un anumit punct de vedere). Dupa rezolvarea unei astfel de probleme, institutorul trebuie sa aiba o interventie centralizatoare, enumerând solutiile gasite (eventual ordonându-le dupa un anumit criteriu), sistematizându-le (pentru a oferi certitudinea ca nu au fost omise solutii), propunând alegerea celei mai bune solutii (în anumite conditii si dintr-un anumit punct de vedere), contribuind la elucidarea situatiei. În elaborarea textului unei probleme este necesar ca institutorul sa utilizeze date în concordanta cu realitatea, mijloace si procedee care sa ofere elevilor împrejurari de viata corespunzatoare, actiuni veridice, sa stabileasca între datele problemei relatii matematice corespunzatoare. În activitatea de compunere a problemelor trebuie sa se tina seama de posibilitatile elevilor, prin sarcini gradate, trecându-se treptat de la compunerea libera la cea îngradita de cerinte din ce în ce mai restrictive. Institutorul are sarcina sa conduca aceasta activitate prin indicatii clare, prin exemple sugestive, prin cerinte rationale, sa canalizeze gândirea si atentia elevilor prin asocieri din ce în ce mai putin întâmplatoare. În acelasi timp trebuie sa-i faca pe elevi sa aiba încredere în ei, sa le stimuleze eforturile intelectuale, sa le educe calitatile moral-volitive, sa le dezvolte interesul si sensibilitatea, sa fie receptivi la situatiile problematice cu continut matematic. Posibilitatile intelectuale ale elevilor permit rezolvarea unor probleme de dificultate, în masura în care ei dispun de o anumita experienta si de competente necesare activitatii de rezolvare a problemelor. Rezolvarea problemelor cu variante constituie un exercitiu de cultivare a flexibilitatii gândirii, cu conditia de a face din aceasta activitate un antrenament sistematic si permanent. Este de dorit ca periodic sa se faca investigatii în rândul elevilor pentru stabilirea nivelului lor de cunoastere, pentru constatarea gradului de competenta în rezolvarea si compunerea problemelor de matematica, pentru depistarea la timp a eventualelor ramâneri în urma la învatatura, pentru a asigura progresul fiecarui elev în parte. Se recomanda, de asemenea, ca atât compunerea problemelor, cât si rezolvarea acestora sa se faca si în situatii de joc didactic. Competitia generata de joc va contribui nu numai la activizarea intelectuala a copiilor, cât si la formarea personalitatii lor. S-ar putea gasi, crea si folosi o multime de forme si procedee, cum ar fi: -care echipa compune prima, corect si frumos, o problema dupa anumite cerinte; -o echipa sa formuleze continutul problemei si cealalta întrebarea, iar rezolvarea ei sa se faca de ambele echipe simultan; -sa se gaseasca de catre fiecare echipa cât mai multe întrebari la un continut dat, sau mai multe metode de rezolvare a unei probleme date sau compuse; -sa se elimine dintr-un enunt datele de prisos, sau sa se corecteze un enunt formulat intentionat gresit, etc. Este necesar ca în activitatea de compunere a problemelor, institutorul sa aiba permanent în atentie îmbunatatirea continua a exprimarii corecte a copiilor, atât din punct de vedere mathematic cât si gramatical, îmbogatirea vocabularului matematic, cresterea continua a volumului lor de cunostinte, de transfer si de folosire a acestora în practica. Compunerea de probleme la clasele I-IV poate constitui o premisa reala si eficienta pentru o viitoare munca de cercetare, pentru activitatea ulterioara de creatie si cu siguranta o modalitate sigura de sporire a rolului formativ al învatamântului matematic din ciclul primar, în strânsa corelatie cu celelalte discipline de învatamânt.

Elemente pregătitoare pentru formarea conceptului de număr natural           Copiii de vârstă școlară mică se găsesc în stadiul operațiilor concrete. Ei învață prin intuiție si manipulare directă de obiecte concrete, iar activitatea matematică reproduce, între anumite limite, spațiul fizic în care aceștia se dezvoltă. Cercetările psihologice arată că la începutul vârstei școlare mici apar și se dezvoltă primele operații logice elementare: conjuncția, disjuncția logică și negația. Formarea mulțimilor după una sau mai multe proprietăți ale elementelor lor cultivă si dezvoltă copiilor capacitatea de a lega între ele proprietățile obiectelor care alcătuiesc o mulțime, cu ajutorul elementelor de relație: sau - corespunzător disjuncției, și - corespunzător conjuncției, nu - corespunzător negației. Tot prin activități practice, mânuind materialul didactic și verbalizând acțiunile folosind: conjuncția, disjuncția și negația se introduc operațiile cu mulțimi: reuniunea, intersecția și diferența a două mulțimi.         Pentru înțelegerea și însușirea operațiilor cu mulțimi este necesar ca institutorul să folosească jocurile logico-matematice, jocul disjuncției, al conjuncției, al negației, al perechilor, jocuri de formare a unei mulțimi, jocuri de ordonare a elementelor unei mulțimi etc.                   În activitățile cu mulțimi, institutorul va folosi întotdeauna un limbaj matematic clar, precis, pe înțelesul și la nivelul de pregătire al copiilor. Plecând de la activități logice de comparare a mulțimilor, copiii vor deveni conștienți de modul în care se stabilește corespondența (element cu element) a două mulțimi – suportul constituindu-l numeroase situații de viață.         Introducerea conceptului de număr natural impune, ca o etapă premergătoare, familiarizarea copiilor cu noțiunea de relație de echivalență a mulțimilor, de clasă de echivalență, de echipotență între mulțimi stabilită de relația bijectivă tot atâtea, precum și de relația de ordine folosindu-se expresiile mai multe, mai puține.         Activitatea de punere în corespondență a elementelor a două mulțimi se poate desfasura în două direcții principale: - stabilirea echipotenței a două mulțimi (prin relația de corespondență element cu element), - construirea mulțimilor echipotente cu o multime dată (formând o clasă de echivalență).         O atenție deosebită trebuie să se acorde mijloacelor materiale și de comunicare, formulării concluziilor, manipulării obiectelor prin care se formează sau se pun în corespondență mulțimile și folosirii unui limbaj adecvat. De exemplu, în loc de funcție bijectivă se poate spune: corespondență element cu element sau se folosește relația: tot atâtea elemente, care este o relație de echivalență, iar în loc de mulțimi echipotente se spun: mulțimi cu tot atâtea elemente(care au acelasi cardinal). Corespondența element cu element a două mulțimi se poate indica grafic prin unirea cu o linie a unui element dintr-o mulțime cu un element din cea de-a doua sau prin alăturarea la fiecare element din prima mulțime a unui element din cea de-a doua mulțime.                    Folosirea rigletelor oferă institutorului posibilitatea să efectueze cu copiii corespondențe între elementele unei mulțimi oarecare, iar o mulțime formată din riglete unități dispuse în linie dă posibilitatea copiilor să găsească riglete cu același număr de unități cât este numărul elementelor unei mulțimi (prin punere în corespondență).                     Familiarizarea copiilor cu rigletele se realizează după ce în prealabil s-au efectuat exerciții de recunoaștere a culorilor și de egalizare a lungimilor. Comparând două riglete copiii vor deduce dacă au aceeași lungime sau nu, vor așeza în prelungire două sau mai multe riglete pentru a egala o rigletă de lungime mai mare. Cu ajutorul rigletelor se realizează o înțelegere mai rapidă a compunerii și descompunerii unui număr, utilă apoi în efectuarea operațiilor aritmetice.   În prima parte a unei activități de predare a unui număr se efectuează exerciții prin care se consolidează și se verifică în ce masură copiii stăpânesc cunoștințele și deprinderile necesare pentru înțelegerea numărului nou. În cadrul unei lecții se efectuează cu copiii exerciții ca: -formarea mulțimilor; -echipotența mulțimilor; -raportarea numărului la cantitate și a cantității la număr; -număratul în limite cunoscute; -stabilirea vecinilor numerelor; -exerciții de adunare și scădere cu o unitate.   După efectuarea exercițiilor cu caracter pregătitor, se trece la predarea numărului nou.                   Parcurgerea acestui capitol se va face după o necesară evaluare predictivă a elevilor în primele zile de şcoală. Vor fi evaluate acele cunoştinţe, priceperi şi deprinderi ale elevilor ce se regăsesc în structura unităţii şi vor fi explicitate mai jos. În funcţie de rezultatele evaluării, va fi luată o decizie didactică privind ritmul parcurgerii acestui capitol şi implicit, timpul afectat: cu cât rezultatele sunt mai bune, cu atât timpul va fi mai scurt.                      Nu trebuie uitat că acest capitol reprezintă doar o pregătire a elevilor pentru asimilare – adaptare, o modalitate de egalizare a şanselor, de a oferi tuturor copiilor o necesară bază comună de pornire. De aceea, activitatea evaluare predictivǎ a învăţătorului va fi diferenţiată şi individualizată, oferind fiecărui copil un program personal de compensare sau dezvoltare. După parcurgerea acestui capitol şi evaluarea sumativă corespunzătoare, învăţătorul va avea informaţii şi va putea decide şi asupra tipului de curriculum pe care îl va putea aborda cu clasa: trunchiul comun, aprofundare sau extindere.                     Conţinutul Unitǎţii 2 are un vizibil caracter interdisciplinar, cu trimiteri nu numai în interiorul, ci şi în afara ariei curriculare. Se conectează cu zona “limbii şi comunicării” atât prin activizarea unui limbaj specific, cât şi prin solicitările de verbalizare a acţiunilor în exprimări corecte, complete, clare. Cu zona “arte” se leagă prin cunoştinţe (ex.: culorile), priceperi şi deprinderi ce ţin de grafie (trasare de linii, încercuiri, barări), desenare şi colorare. De zona “educaţie fizică” se leagă prin intermediul priceperilor şi deprinderilor motrice, de care depinde realizarea unor acţiuni directe de manipulare a obiectelor.           În interiorul ariei curriculare din care face parte matematica, se conectează cu ştiinţele naturii prin cunoştinţele despre plante şi animale, necesare interpretării unor imagini, în vederea stabilirii unor proprietăţi caracteristice.                    Prezentăm în continuare câte o listă conţinând ce trebuie să ştie (cunoştinţe) şi să facă (priceperi şi deprinderi) elevul clasei I în vedrea înţelegerii conceptului de număr natural.               Cunoştinţe necesare: culori (roşu, galben, albastru); forme geometrice plane: cerc, triunghi, dreptunghi, pătrat; poziţii relative ale obiectelor: sus/jos, faţă/spate, pe/sub,stânga/dreapta, aproape/departe ş.a; mărimea obiectelor: mare/mic, lung/scurt, înalt/scund, lat/îngust; elemente de logică matematică (fără utilizarea terminologiei): propoziţie logică şi negaţia ei, conjuncţia a două propoziţii, disjuncţia a două propoziţii, implicaţia; mulţimi (fără utilizarea terminologiei): determinare, apartenenţă/ neapartenenţă, operaţii cu mulţimi (reuniune, intersecţie, complementara unei submulţimi); corespondenţe: compararea cantitativă a două mulţimi, ordonarea cantitativă a două sau mai multe mulţimi; invarianţa cantităţii.   Priceperi şi deprinderi necesare: - precizarea culorii unui obiect sau a unei imagini date; colorarea unor imagini cu o culoare precizată; - recunoaşterea oricăreia dintre formele geometrice precizate, pe obiecte din mediul înconjurător;  denumire unei forme geometrice date; - recunoaşterea poziţiilor relative ale unor obiecte indicate; plasarea unor obiecte în poziţii relative indicate; găsirea unor obiecte aşezate într-o poziţie precizată faţă de un reper; d) - stabilirea mărimii relative a două obiecte comparate; ordonarea crescătoare/descrescătoare după mărime a două/trei obiecte (sau imagini); e) - sortarea obiectelor care au o proprietate dată; alegerea obiectelor caracterizate prin două atribute simultan; trierea obiectelor care au cel puţin unul dintre atribute date; utilizarea unui raţionament de tipul „dacă …. atunci ……” într-o situaţie practică; descoperirea regulii de formare a unei secvenţe dintr-un şir de obiecte/imagini şi construirea în continuare a şirului;   f) - formarea unor mulţimi de obiecte având o proprietate caracteristică dată; formarea unor mulţimi de obiecte pentru care proprietatea caracteristică este o conjuncţie de două atribute; recunoaşterea proprietăţii caracteristice a unei mulţimi date; sesizarea apartenenţei/neapartenenţei unui element la o mulţime dată; construirea reuniunii a două mulţimi disjuncte de obiecte; precizarea proprietăţii caracteristice a intersecţiei a două mulţimi, folosind conjuncţia; precizarea proprietăţii caracteristice a complementarei unei submulţimi, folosind negaţia; construirea mulţimii diferenţă dintre o mulţime dată şi o submulţime a sa;   - formarea de perechi între elementele a două mulţimi prin corespondenţă „unu la unu”; - stabilirea unei relaţii de ordine între două mulţimi, exprimată prin „tot atât”, „mai mult/puţin”; - aşezarea în ordine crescătoare/descrescătoare a două sau mai multe mulţimi de obiecte sau imagini; - sesizarea faptului că o mulţime rămâne cu „tot atâtea” obiecte, indiferent de poziţia spaţială a acesteia; - sesizarea faptului că mărimea obiectelor din două mulţimi nu decide care dintre are mai multe obiecte.

sectiune "Poate ne este de folos"  

Metodologia predării unităţilor de măsură                             Noţiunea de mărime, ce apare în sistemul predării-învăţării matematicii în ciclul primar este socotită că şi cea de mulţime o noţiune primară, înţelegerea ei făcându-se pe baza de exemple. Mărimile abordate începând cu clasa I sunt: lungimea, volumul (capacitatea vaselor), masă, timpul şi valoarea.                           A măsura o mărime oarecare, înseamnă a compară această mărime cu o altă, luată că unitate de măsură. Prin operaţia de măsurare se stabileşte un raport numeric între mărimea de măsurat şi unitatea de măsură considerată.De exemplu a măsură masă unui obiect înseamnă a o compară cu masă unui alt obiect, pecare îl vom consideră drept unitate de măsură. Elevii trebuie să fie conduşi să simtă necesitatea comparării mărimilor şi introduceriiunitatilor de măsură. Astfel, pentru a putea execută măsurările, elevii vor trebui învăţaţi sainteleaga conceptul de unitate de măsură şi cum să folosească instrumentele de măsură.                         Elevii vor înţelege că măsurările pe care le execută sunt asociate cu comparările pe care încearcă să le facă. Astfel, puşi în faţă situaţiei-problemă de a decide în care dintre două vase prezentate este un volum mai mare de apă, elevii vor încerca diverse rezolvări. Vor compara folosind o ceaşcă, un pahar, un vas de dimensiuni mai mici, stabilind astfel mai multe rezultate ale măsurării. Pe această baza vor înţelege cu mai multă uşurinţă necesitatea existenţei unei unităţi de măsură standard şi anume în cazul de faţă litrul (unitatea principala cu care se măsoară capacitatea vaselor).                           Înţelegerea măsurării şi a unităţilor de măsură nu implică întotdeauna introducerea imediataa unităţilor standard. Institutorul trebuie să utilizeze unităţile nestandard (de exemplu: palmă,creion etc.). După ce se exersează măsurarea unei mărimi cu o unitate nestandard, este importantsa se dea câteva date istorice legate de istoria măsurărilor, la noi şi în alte ţări, din care să reiasaca şi în procesul intensificării schimburilor economice şi ştiinţifice a rezultat că o necesitateunificarea unităţilor de măsură.                                       Predarea-învăţarea mărimilor şi unităţilor de măsură ale acestora vizează realizarea următoarelor obiective:   - cunoaşterea intuitivă a noţiunii de mărime prin prezentarea mărimilor des utilizate: lungime, volum, masă, timp; - dezvoltarea motivaţiei la elevi pentru a realiza necesitatea introducerii unităţilor de măsură nestandard şi apoi standard pentru o mărime considerată; - înţelegerea măsurării că o activitate de determinare a numărului care arată de câte ori se cuprinde etalonul în dimensiunea ce trebuie măsurată; - formarea deprinderii de a măsură, a alege şi a utiliza unele unităţi de măsură nestandard şi de a cunoaşte unităţile principale pentru mărimea studiată; - formarea şi dezvoltarea capacităţii de a cunoaşte şi a utiliza instrumentele de măsură; - formarea capacităţii de a consemna, compară şi interpreta rezultatele măsurărilor; - formarea capacităţii de a aprecia corect diversele mărimi din mediul ambiant; - formarea deprinderii de a opera cu măsurile a două obiecte de acelaşi fel, atât prin acţiune directă, cât şi prin calcul;                Caracteristici generale ale predării-învăţării unităţilor de măsură: - predarea este ciclică; - se porneşte de la unităţi de măsură nestandard către cele standard; - predarea învăţarea oricărei unităţi de măsură are un pronunţat caracter intuitiv şi participativ; - se porneşte de la propria experienţă de viaţă a copiilor legată de mărimi şi măsură; -prin măsurători nestandard se ajunge la ideea necesităţii măsurării cu unităţi standard.   Necesitatea măsurării este dată de necesitatea comparării (în acest caz) lungimilor celor două obiecte. Dacă obiectele sunt deplasabile (de exemplu.: două panglici), atunci compararea se poate face direct, prin aşezarea uneia peste cealaltă, astfel încât să aibă un capăt comun. Poziţia celui de-al doilea capăt indică obiectul mai scurt/lung. Dar dacă obiectele nu sunt deplasabile (de exemplu: două ferestre; lungimea şi lăţimea clasei)? Atunci trebuie să luăm “ceva”, să le măsurăm pe fiecare cu acel “ceva” şi să comparăm numerele obţinute ca rezultate ale măsurării. De fapt, introducem astfel o unitate de măsură nestandard, acel “ceva” constituindu-se într-un etalon arbitrar, subiectiv.    Să presupunem că intenţionăm să măsurăm lungimea unui ghiozdan, lăţimea unui caiet şi înălţimea unei vaze (utilizarea celor trei termeni – lungime, lăţime, înălţime – subliniază varietatea poziţiilor spaţiale ale obiectelor de măsurat).    La început, se poate utiliza ca unitate de măsură nestandard, de exemplu, lungimea unei agrafe de birou. În urma acţiunii efective cu obiectele, se constată că lungimea ghiozdanului este de 10 ori mai mare decât a agrafei, lăţimea caietului este cât 5 agrafe, iar înălţimea vazei este de 15 agrafe. Deci, măsurile lungimilor celor trei obiecte sunt: 10, 5 respectiv 15 (agrafe).    Dacă se schimbă unitatea de măsură, se vor schimba şi măsurile obiectelor. Înlocuind agrafa cu un creion, se constată că lungimea ghiozdanului este de două ori cât lungimea creionului, lăţimea caietului este cât lungimea creionului, iar înălţimea vazei este cât trei creioane. Deci, dimensiunile obiectelor au acum măsurile 2, 1 respectiv 3.    După astfel de experienţe se pot face şi observaţii funcţionale de tipul: creşterea lungimii etalonului conduce la micşorarea corespunzătoare a măsurii obiectului.    Desigur, ”instrumentele” de măsură a lungimii aflate cel mai la îndemână sunt: deschiderea palmei, lăţimea unui deget, lungimea braţului/braţelor, pasul. Utilizarea individuală a acestora întăreşte ideea că rezultatul măsurării se schimbă odată cu schimbarea unităţii de măsură.    Şi atunci, cum putem compara lungimile a două obiecte aflate în locuri diferite (clase diferite, şcoli diferite, localităţi diferite), unde nu dispunem de un acelaşi etalon? Răspunsul la această întrebare conduce la necesitatea introducerii şi utilizării unei unităţi standardizate (metrul), ce urmează a fi studiat în clasa a II-a (conform programei).    Predarea-învăţarea volumului şi masei se realizează în mod asemănător, cu menţiunea că terminologia utilizată la clasă nu poate fi identică cu cea ştiinţifică, astfel că sintagme de tipul “capacitatea vaselor” şi “cântărirea obiectelor” sunt mai apropiate de înţelegerea copilului.    Predarea-învăţarea timpului ridică probleme metodice deosebite, întrucât această mărime este abstractă şi deci mai puţin accesibilă elevilor, care nu o pot vizualiza şi intui direct, ca în cazul celorlalte mărimi. De aceea, predarea-învăţarea timpului se realizează în strânsă legătură cu acţiunile şi evenimentele în care elevii sunt implicaţi. Astfel, ora reprezintă durata unei lecţii (plus pauza), ziua durează de la un răsărit al soarelui până la alt răsărit.    O idee importantă ce trebuie urmărită este cea de succesiune/ simultaneitate a evenimentelor în timp. Elevii vor trebui să sesizeze, să compare şi să precizeze ordinea desfăşurării în timp a două (sau mai multe) evenimente, stabilind dacă unul are loc înaintea altuia sau se realizează în acelaşi timp. Curgerea timpului poate fi materializată prin întocmirea unei “benzi a timpului” (pentru o perioadă mai scurtă sau mai lungă) ori a unui calendar.    Chiar învăţarea unităţilor de măsură pentru timp va fi mai dificilă, deoarece între acestea nu există o relaţie de multiplicitate cu 10 (ca la celelalte trei mărimi anterioare), ci cu 60 (1 oră=60 minute, 1 minut=60 secunde) sau alţi factori (ex.:1 zi=24 ore, 1 săptămână=7 zile).    Şi în predarea-învăţarea timpului se evidenţiază nu numai legătura cu mediul, ci şi interdisciplinaritatea. “Citirea” orelor pe ceas poate fi precedată de realizarea la “abilităţi practice” a unui cadran din carton şi a acelor indicatoare, ce vor fi utilizate în activităţile de învăţare din lecţia de matematică.