Metoda mersului invers.
În general o problemă din această categorie are ca cerinţă aflarea valorii iniţiale a unei mărimi, valoare ce a fost supusă unor modificări succesive, prezentate în text, rezultatul final al acestor modificări fiind cunoscut. Este vorba deci de alfarea unui număr nucunoscut asupra căruia s-au efectuat anumite operaţii al căror rezultat este cunoscut.
Analizând textul problemei vom constata că pentru rezolvarea ei pornim de la ultima valoare cunoscută şi aflăm succesiv valorile premergătoare ei până ajungem să aflăm valoarea iniţială. Dacă textul segerează anumite oparaţii, într-o anumită ordine pentru rezolvarea problemei vom efectua de regulă operaţii inverse celor indicate de text şi în ordinea inversă ordinii din text.
1. M-am gândit la un număr, l-am împărţit la 4, la rezultat am adunat 8 iar din suma obţinută înjumătăţită am scăzut 5 şi apoi am înmulţit cu 2 obţinând 18. La ce număr m-am gândit?
Vom transforma problema compusă într-o succesiune de probleme simple:
„Ce număr înmulţim cu 2 ca să obţinem 18 ?” 18: 2 = 9
„Din ce număr scădem 5 ca să obţinem 9 ?” 9 + 5 = 14
„Ce număr înjumătăţim ca să obţinem 14 ?” 14 x 2 = 28
„Ce număr adunăm cu 8 ca să obţinem 28 ?” 28 – 8 = 20
„Ce număr împărţim la 4 ca să obţinem 20 ?” 20 x 4 = 80
Observaţie: Problema poate fi reprezentată sub formă de exerciţiu astfel:
[(x: 4 + 8): 2 – 5] x 2 = 18, la care avem rezolvarea cu rezultatul x = 80.
Este şi motivul pentru care în rezolvarea unor astfel de probleme se spune că se foloseşte metoda mersului invers, ceea ce în multe situaţii este şi adevărat.
2. Mama lasă într-o farfurie prune pentru cei trei copii ai săi. Fiecare vine şi, neştiind dacă ceilalţi au venit şi au consumat din fructele lăsate de mama, consumă o treime din prunele pe care le găseşte. Când vine mama constată că fiecare copil a mâncat prune şi că au rămas 8 prune. Câte prune au fost la început ?
Rezolvare:
8: 2 = 4 (prune, reprezintă 1/3 din ce a găsit al III-lea)
4 x 3 =12 (prune, a lăsat al II-lea)
164: 2 = 6 (prune, 1/3 din ce a găsit al II-lea)
6 x 3 = 18 (prune, a lăsat primul)
18: 2 = 9 (prune, 1/3 din ce a găsit primul) 9 x 3 = 27 (prune, a găsit primul copil)
Formularea acestei probleme, destul de des întâlnită la problemele din această categorie îndreptăţeşte denumirea de „probleme de rest din rest” care mai este folosită la astfel de probleme.
3. M ergând în excursie un copil cheltuieşte a şaptea parte din banii pe care-i avea şi încă 20 000 lei în prima zi. A doua zi cheltuieşte o pătrime din rest şi încă 20 000 lei iar a treia zi cheltuieşte două cincimi din noul rest şi încă 10 000 lei şi-i mai rămân 50 000 lei. Ce sumă a avut copilul la început?
Dacă în prima zi se cheltuia numai 1/7 din sumă aveam :
Cum s-au cheltuit şi cei 20 000, după a doua zi, dacă ar fi cheltuit numai ¼ din rest ar fi avut:
Cheltuindu-se şi cei 20 000 lei a doua zi, dacă în a III-a zi se cheltuia numai 2/5 din ultimul rest am fi avut:
Rezolvare:
50 000 + 10 000 = 60 000 (lei ar fi rămas dacă în a III-a zi se cheltuia numai 2/5 din rest)
60 000: 3 = 20 000 (lei reprezintă 1/5 din suma ramasă după a II-a zi)
20 000 x 5 = 100 000 (lei rămaşi a II-a zi)
100 000 + 20 000 = 120 000 (lei ar fi rămas dacă a II-a zi se cheltuia numai ¼ din cea rămas după prima zi)
120 000: 3 = 40 000 (lei, ¼ din suma rămasă după prima zi)
40 000 x 4 = 160 000 (suma rămasă după prima zi)
160 000 + 20 000 =180 000 (lei, suma ce ar fi rămas după prima zi dacă cheltuia numai ½ din sumă)
180 000: 6 = 30 000 (lei, 1/7 din suma avută)
30 00 x 7 = 210 000 (lei, suma avută)