Metoda comparaţiei
Comparaţia, ca operaţi...
Recent Posts
Metoda presupunerii (a falsei ipoteze)
Ex...
Metoda mersului invers.
...
Metoda reducerii la unitate.
Două mărimi...
Metode de rezolvare a problemelor
...
Metodologia predării elementelor de geometrie
...
Metodologia predării unităţilor de măsură
...
Metodologia predării fracţiilor şi operaţiilor cu ...
Metodologia didactică specifică predarii-învățării...
Metodologia didactică specifică predării operaţiil...
Posts
1. Multimi
Definitia multimii.
Definitia 1.1. (Cantor) Prin multime întelegem o colectie de obiecte bine determinate ¸si distincte. Obiectele din care este constituita multimea se numesc elementele multimii. Doua multimi sunt egale daca ele sunt formate din exact aceleasi elemente.
Notatia 1.2. Daca x este un obiect ¸ si A este o multime, vom nota
x ∈ A daca x este element al lui A; - x /∈ A daca x nu este element al lui A.
Observatia 1.3. Doua multimi A ¸si B sunt egale daca ¸si numai daca are loc echivalenta (x ∈ A ⇔ x ∈ B).
Moduri de a defini o multime:
sintetic, prin enumerarea elementelor multimii, e.g. A = {0,1};
analitic, cu ajutorul unei proprietati ce caracterizeaza elementele multimii:
A = {x | x are proprietatea P}
e.g. A = {x | x ∈ N, x < 2} = {x ∈ R | x2 = x}.
Multimi importante.
Multimea numerelor naturale:
N = {0,1,2,...,n,n + 1,...}
N∗ = {1,2,...,n,n + 1,...}
Multimea numerelor întregi
Z = {...,−n − 1,−n,...,−2,−1,0,1,2,...,n,n + 1,...}
Multimea numerelor rationale
Multimea numerelor reale: R
Multimea numerelor complexe: C = {x + iy | x,y ∈ R} - Multimea vida ∅ = {x | x 6= x}.
1
Incluziunea multimilor.
Definitia 1.4. Daca A ¸si B sunt multimi, spunem ca A este submultime a multimii B daca toate elementele lui A sunt ¸ si elemente ale lui B.
Notatia 1.5. Notam A ⊆ B faptul ca A este o submultime a multimii B.
Observatia 1.6. Urmatoarele afirmatii sunt adevarate, oricare ar fi multimile A, B ¸si C.
i) A ⊆ B ⇔ (∀x ∈ A,x ∈ B) ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B). ii) A = B ⇔ (A ⊆ B ¸si B ⊆ A) (antisimetria).
iii) A ⊆ B ¸si B ⊆ C ⇒ A ⊆ C. iv) A ⊆ A. v) ∅ ⊆ A.
Operatii cu multimi.
intersectia: A ∩ B = {x | x ∈ A ¸si x ∈ B}
reuniunea: A ∪ B = {x | x ∈ A sau x ∈ B} - diferenta: A \ B = {x | x ∈ A ¸si x /∈ B}
complementara: Daca A ⊆ E, atunci CE(A) = E \ A.
Propozitia 1.7. Urmatoarele afirmatii sunt adevarate pentru orice multii A, B, C ¸si E.
(as) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C; A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C; (asociativitatea operatiilor ∩ ¸si ∪)
(com) A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A; (comutativitatea operatiilor ∩ ¸si ∪)
(dis) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C); A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C);
(distributivitatea operatiei ∩ fata de ∪, respectiv a operatiei ∪ fata de ∩)
(abs) A ∩ (A ∪ B) = A; A ∪ (A ∩ B) = A; (absortia)
(dM) CE(A∩B) = CEA∪CEB; CE(A∪B) = CEA∩CEB (formulele lui de Morgan).
N-multimea numerelor naturale; N={0,1,2,3,……}
Z-multimea numerelor intregi; Z={……,-3,-2,-1,0,1,2,3,…….}
Q-multimea numerelor rationale; Q={a/b /a∈z si b∈Z*}
R-multimea numerelor reale.
In continuare vom face cateva obervatii asupra acestor notiuni de teoria multimilor:
Atunci cand o multime are in dreapta sus simbolul * ,atunci aceea multime nu contine elementul 0;
Atunci cand o multime are in dreapta jos simbolul + sau -,atuni aceea multime contine doar elementele pozitive,respectiv doar elementele negative din aceea multime;
Intre aceste patru multimi exista o incluziune si anume: N⊂Z⊂Q⊂Z;
R/Q=I-multimea numerelor irationale;
Cardinalul unei multimi reprezinta numarul de elemente al acelei multimi;
Multimea care nu are niciun element se numeste multime vida si se noteaza cu ∅.
Aplicatii:
1.Stabiliti valoarea de adevar a propozitiilor:
a)2∈Z*; b)2,4∈N; c)4∈R; d)-1∈Z+; e)1,3∈R/Q; f)-6∈Z-; g)0∈Q*; h)5∈Q;
Rezolvare 1:
a)A; b)F; c)A; d)F; e)F; f)A; g)F; h)A.
Principalele operatii cu multimi:
Reuniunea(totalitatea elementelor din cele doua multimi scrise o singura data); A∪B={x/x∈A sau x∈B}
Intersectia(totalitatea elementelor comune din cele doua multimi scrise o singura data); A∩B={x/x∈A si x∈B}
Diferenta(totalitatea elementelor care se afla in prima multime si nu se afla in a doua); A/B={x/x∈A si x∉B}
Aplicatii:
1.Se dau multimile A={1,4,7,3,-5,2,8} si B={1,2,3,-3,-5,9,11}.Sa se determine:A∪B,A∩B,A/B,B/A.
Rezolvare 1:
A∪B={-5,-3,1,2,3,4,7,8,9,11}; A∩B={-5,1,3}; A/B={4,7,2,8}; B/A={-3,2,9,11}.
2.Se dau multimile D={0,1,2,3,4} si E={3,4,5,6,7,8}.
Sa se determine: card(D), card(E),D∩E*,E/D,D/E,E∩Z-,E∩Z+.
Rezolvare 2:
card(D)=5; card(E)=5; D∩N*={1,2,3,4}; E/D={5,6,7,8}; D/E={0,1,2}; E∩Z-=∅; E∩Z+=E={3,4,5,6,7,8}.
Exercitii cu multimi
Fiind date doua multimi A si B, se numeste reuniunea lor (si se noteaza AÜB) multimea care contine acele elemente care apartin cel putin uneia dintre multimile A si B.
Vom scrie :AÜB={x|xεA sau xεB} Exemplu: Fie multimile: A={c, i, f, r, a} şi B={n, u, m, ă, r}.
Reuniunea mulţimilor A şi B este mulţimea:A∪B={c,i,f,r,ă,n,u,m}.
Fiind date multimile A si B, numim intersectia lor (si notam A∩B) multimea care contine elementele comune multimilor A si B.
Vom scrie A∩B={x| xεA si xεB}
Exemplu: Fie multimile: A={c, i, f, r, ã} şi B={n, u, m, ă, r}.
Intersectia mulţimilor A şi B este mulţimea:A∩B={r,ă}.
Fiind date doua multimi A si B, se numeste diferenta lor (si se noteaza A\B), multimea care contine acele elemente care se afla in multimea A si nu se afla in multimea B.
Vom scrie: A\B={x| x apartine lui A si x nu apartine lui B};
Exemplu: Fie multimile: A={c, i, f, r, ã} şi B={n, u, m, ă, r}. Diferenta mulţimilor A şi B este mulţimea:A\B={c,i,f}.