Matematica definitivat 2023-2024. Metodica predării matematicii

Patrulaterele pe care le-am invatat sunt: paralelogramul, dreptunghiul, rombul, patratul, dar si trapezul. Astfel: Aria unui paralelogram este egala cu produsul dintre lungimea unei laturi si lungimea inaltimii corespunzatoare ei. Matematic scriem , unde b este baza, h este inaltimea corespunzatoare bazei. Exemplu: 1) Un paralelogram ABCD,  perpendicular pe AB si AC=24 cm, iar AB=18 cm. a) Calculati aria paralelogramului ABCD b) Stiind ca BC=30 cm calculati inaltimea paralelogramului dusa la latura BC Dem: Triunghiul ABC dreptunghic aplicam formula pentru aria triunghiului dreptunghic Triunghiul ABC este congruent cu triunghiul ADC dupa cum bine observati, deci aria paralelogramului este: . b) Stiind aria paralelogramului de baza DC, aplicam aria paralelogramului cand BC este baza, deci obtinem: . Def: Aria unui dreptunghi este egala cu produsul dintre lungime si latime. Exemplu: 2) Calculati aria unui dreptunghi cu semiperimetru de 60 cm si latimea un sfert din lungime. Solutie: , unde p=semiperimetru si P=perimetru Deci obtinem: , iar latimea . Deci aria dreptunghiului . Aria rombului Def: Aria rombului este egala cu semiprodusul celor doua diagonale. . Exemplu: 3) Un romb are diagonalele de 18 cm si 2,4 dm si latura egala cu 15 cm. Calculati: a) aria rombului b) inaltimea rombului Solutie Ca sa aflam aria rombului aplicam formula de mai sus astfel, dar mai intai transformam decimetri in centimetri astfel obtinem 2,4 dm=24 cm : b) Cum stim ca rombul este un caz particular de paralelogram aplicam formula urmatoare pentru a afla inaltimea  Cum aria rombului este 216 cm egalam si obtinem: Aria patratului Def: Aria unui patrat este egala cu patratul lungimii laturii sale l. Exemplu: 4) Daca aria unui patrat are perimetrul egal cu 48 cm atunci aria patrartului este: Dupa cum stiti ca perimetrul unui patratului este 4l obtinem Si astfel . Aria trapezului Def: Aria unui trapez este egala cu semiprodusul dintre suma lungimilor bazelor si lungimea inaltimii h a trapezului. Obs: Inaltimea intr-un trapez este distanta dintre dreptele ce contin bazele. , unde B este baza mare, b= este baza mica si h este inaltimea. Exemplu: 5) Trapezul dreptunghic ABCD are AB|| CD  si . Stiind ca CD=10 cm si AB=2CD, aflati: a) inaltimea trapezului b) aria trapezului Solutie:   Observam ca masura unghiului ABC este de 45 de grade, observam ca am construit si perpendiculara CE pe dreapta AB, observam ca masura unghiului CEB este de 90 de grade si astfel obtinem  Cum  obtinem: , deci triunghiul CEB dreptunghi isoscel si astfel obtinem ca EB=EC=10 cm, deci am aflat inaltimea trapezului care este de 10 cm (stiti ca daca un triunghi are unghiurile alaturate bazei congruente atunci triunghiul este isoscel si daca mai are si un unghi de 90 de grade se numeste triunghi dreptunghic isoscel). b) Acum stiind si baza mare, dar si baza mica, dar si inaltimea putem aplica formula pentru aria trapezului . Deci e important la ariile patrulaterelor sa stim formulele, dar si elementele componente ale figurilor care le-am studiat. sursa:matepedia.ro

  Corpuri, scurtă descriere, clasificări Un poliedru este un corp mărginit doar de suprafeţe plane. Corpurile care se studiază în clasa a VIII-a sunt : câteva poliedre si câteva corpuri de rotaţie. Poliedrele care sunt studiate în cls. a VIII-a au fost prezentate într-o lecţie anterioară şi reamintim care sunt ele : prisme dreapte , câteva piramide regulate şi trunchiril de piramidă regulate . Corpurile de rotaţie vor fi : cilindrul circular drept, conul circular drept, trunchiul de con circular drept şi sfera.  Le vom studia în continuare . Construcţia corpurilor de rotaţie - desene Un corp de rotaţie ia naştere prin rotirea unei suprafeţe în jurul unei drepte numită axa de rotaţie. Dacă suprafaţa care se roteşte este o suprafaţă dreptunghiulară şi are o latură pe axa de rotaţie , atunci corpul de rotaţie se numeşte cilindru circular drept. Dacă suprafaţa care se roteşte este o suprafaţă triunghiulară dreptunghică şi are o catetă pe axa de rotaţie , atunci corpul de rotaţie se numeşte con circular drept. Dacă suprafaţa care se roteşte este o suprafaţă trapezoidală dreptunghiulară ABCD cu bazele AB şi CD şi AD perpendiculară pe AB şi latura AD este pe axa de rotaţie , atunci corpul de rotaţie se numeşte trunchi de con circular drept. Dacă suprafaţa care se roteşte este un disc şi are un diametru pe axa de rotaţie , atunci corpul de rotaţie se numeşte sferă. Se observă că în fiecare din corpurile de mai sus apar cercuri , discuri.. Reamintim că  a) lungimea sau circumferinţa sau perimetrul cercului de rază R este P=2πR, unde π este un număr iraţional , aproximativ egal cu numărul raţional 3,14.  b) de asemenea , aria cercului de rază R este πR2 .  c) volumul unui corp are ca unităţi de măsură m3 şi multipli şi submultipli ai acestuia. d) capacitatea unui corp are ca unitate de măsură  3 şi multipli şi submultipli ai acestuia. e) 1 litru = 1  = 1 dm 3 .   Cilindrul circular drept , definiţie, descriere, notaţii, desfăşurare, formule   Cilindrul circular drept ,descriere, desen , notaţii Cilindrul circular drept ABB'A' este corpul care ia naştere prin rotaţia  unui dreptunghi AOO'A' în jurul unei drepte pe care se află una  din laturile dreptunghiului , de exemplu în jurul dreptei OO'.  OO' se numeşte axa de rotaţie a cilindrului.  Planele celor două cercuri sunt paralele. Cercul de sus se numeşte cercul superior.  Cercul de jos se numeşte cercul inferior.  Cele două discuri se numesc bazele cilindrului. Dreptele AA',BB',OO',MM',NN', sunt perpendiculare pe planele bazelor, unde MM' || OO', M' pe cercul superior şi M pe cercul inferior şi analog NN.. Cilindrul circular drept : desfăşurare şi formule În figura 1, Notăm cilindru cu ABCD. Înălţimea h a cilindrului este distanţa dintre cele două baze, adică distanţa dintre planele lor şi este lungimea h=AD=BC=A'D'= OO'=.... Cele două discuri sunt congruente , adică au aceeaşi rază pe care o notăm cu R.  Exemple de raze R = OC = OD = O'A = O'B = OT = OT', unde T este orice punct de pe cercul de jos, iar T' orice punct de pe cercul de sus.  Aria unei baze este Aria cercului = πR2 .  Aria laterală a cilindrului circular drept din figura 1 este aria dreptunghiului AA'D'D din figura 2, deci  Aria laterală = AA' • AC = perimetrul cercului bază • h = 2πR•h .  Reţinem că Al = 2πRh.  Aria totală a cilindrului circular drept este  At = Al+2 Abaza= 2πRh+2πR2=2πR(h+R)  deci At = 2πR(h+R) . Volumul cilindrului circular drept este  V= Abază• h = πR2h, deci V = πR2h.   Conul circular drept, definiţie, descriere, notaţii, desfăşurare, formule Conul circular drept: descriere, desen, notaţii Fie triunghiul AVOdreptunghic în O. Conul circular drept AVB este corpul care ia naştere prin rotaţia  suprafeţei triunghiulare AVO în jurul unei drepte pe care se află una  din catetele triunghiului , de exemplu în jurul dreptei VO.  Dreapta VO se numeşte axa de rotaţie a conului .  Discul de jos, care ia naştere prin rotirea catetei [OA] în jurul axei VO  este baza conului. Segmentul VO este perpendicular pe planul bazei.   Conul circular drept: desfăşurare, formule În figura 1 , notăm conul circular drept cu VAB.  Înălţimea h a conului este distanţa de la v\rful V  la planul bazei, adică h=VO, VO⊥ planul bazei.  Raza cercului se notează cu R. R=OA=OB=OT,  unde T este orice punct de pe cerc.  În triunghiul dreptunghic VOB din fig. 1 ,  cu teorema lui Pitagora, avem : G2=h2+R2. Aria bazei = "aria cercului de rază R" = πR2 .  Aria laterală a conului circular drept este aria  sectorului de cerc VAA' din figura 2 , deci πRG .  Al = πRG.  Aria totală a conului circular drept este  At = Al+Abaza= πRG+πR2 =πR(G+R) deci  At = πR(G+R) .  Volumul conului circular drept este .   Trunchi de con circular drept , definiţie, descriere, notaţii, desfăşurare, formule Trunchi de con circular drept , descriere, desen, notaţii Fie trapezul dreptunghic AOO'A', cu bazele [AO] şi [A'O'] şi OO'⊥ AO. Trunchiul de con circular drept ABB'A' este corpul care ia naştere prin rotaţia suprafeţei trapezoidale AOO'A' în jurul dreptei OO'.  Dreapta OO' se numeşte axa de rotaţie a trunchiului .  Cele două discuri sunt în plane paralele şi au razele R şi r, cu R > r. Discul de jos, este baza inferioară a trunchiului de con, iar cel de sus, baza superioară sau mică.  Segmentul OO' este perpendiculare pe planele bazelor şi este înălţimea h a trunchiului ca şi B'D şi altele . G=AA' =  = BB' = MM' ese generatoarea trunchiului, unde M este pe cercul de jos , iar M' pe cel de sus a.î. O'OMM' să fie  trapez dreptunghic..  Trunchiul de con circular drept: desfăşurare, formule În figura 1 , notăm trunchiul de con circular drept cu ABB'A'. Înălţimea lui , notată cu h, este distanţa OO' dintre baze. h=VO, VO⊥ planele bazelor.  Raza cercului de jos se notează cu R. R=OA, iar cea de sus r=O'A'.  Aria bazei mari = S =  "aria cercului de rază R" = πR2 Aria bazei mici = s =  "aria cercului de rază r" = π r2 . Aria laterală a trunchiului de con  circular drept din figura 1 este aria  sectorului de coroană AA'EC  din figura 2,deci Al = πG( R+ r ). Aria totală a trunchiului de con circular drept este  At = Al+S+s = πG( R+r) + πR2 +π r2 Înălţimile VO şi VO' ale celor două conuri se pot exprima cu ajutorul lui R.r  şi h=OO' astfel:  Demonstraţie   Notăm  V=Vcon =Volumul conului mare din care provine trunchiul ,  v=vcon = volumul conului mic de sus şi  Vt = volumul trunchiului de con .  Demonstrăm că Rezolvare Sfera , definiţie, descriere, notaţii, desfăşurare, formule Sfera (goală), descriere, desen, notaţii Sfera , ca suprafaţă, este mulţimea punctelor din spaţiu egal depărtate de un punct fix din spaţiu. O notăm cu Sf. Punctul fix se numeşte centrul sferei şi se notează de obicei cu O. Orice punct A,B,C, M, ... de pe sferă se află la o distanţă R de centrul O. R se numeşte raza sferei.  Orice segment ce trece prin centrul O al sferei şi are capetele pe suprafaţa sferei se numeşte diametru al sferei. Diametru are lungimea egală cu 2R.  Teoremă  1) Dacă planul α intersectează sfera , atunci există un diametru al sferei perpendicular pe acest plan. 2) Intersecţia dintre un plan şi o sferă este un punct ,  un cerc sau mulţimea vidă.  3) Dacă intersecţia dintre o sferă şi un plan este un cerc , atunci diametrul perpendicular pe plan intersectează  planul cercului în centrul cercului.  Dacă planele paralele α şi β intersectează o sferă după două cercuri de centre M şi respectiv N şi de raze r, respectiv r1 , atunci există diametrul AB perpendicular pe cele două plane.  Fie M şi N centrele cercurilor de intersecţie,  M şi N pe (AO), respectiv (OB) astfel încât  OM=d şi ON = d 1. Sfera este împărţită de cele două plane în trei părţi :  sus şi jos sunt 2 părţi numite calote sferice , iar între ele este a treia parte numită zonă sferică.  Zona sferică este partea din sferă aflată între două plane paralele( şi perpendiculare pe un diametru al sferei).    Sfera : desfăşurare, formule Aria sferei este Ssferă=4πR2. Volumul sferei este  AB este perpendiculară pe cele două plane de secţiune şi  AB este perpendiculară pe diametrul [CD]. Cum OD=OC=R=raza sferei rezultă că triunghiul OCD este isoscel , deci M este mijlocul lui [CD]. iar MC=MD = r este raza cercului de secţiune dintre planul α cu sfera. În triunghiul dreptunghic ODM, cu ∠M drept ,  putem aplica teorema lui Pitagora :  OD2= OM2+MD2 , adica R2 = d2+r2 şi de asemenea putem aplica şi teorema catetei , înălţimii, formule trigonometrice.  Ultima formulă o denumim formula cercului de secţiune.    Test Aria laterală a cilindrului este egală cu .... Volumul conului circular drept este .... Care este formula cercului de secţiune a sferei ? Aria laterală a conului este egală cu .... Care este aria laterală a cilindrului care are aria totală 16π cm2 aria unei baze de 2π ? Volumul sferei este egal cu ... ? 12 = ? dm 3 Volumul unui con este 42π cm2 şi raza lui este de 3 cm . Aflaţi înălţimea conului.  Se varsă apa dintr-un pahar cilindric plin cu apă şi cu raza de 5cm şi înălţimea de 10 cm în pahar cubic cu latura de 5 cm . Încape apa în cub ? Desfăşurarea suprafeţei laterale a unui trunchi de con este o secţiune de co... y sursa:matefix.ro 

 

                                                    Conceptul de numar natural                                           Numerele naturale ca numere cardinale            Pentru a contura conceptul de numar natural se va porni de la notiunile de multime si relatie. A B   Fie A si B doua multimi. Se va spune ca cele doua multimi sunt echipotente daca exista o bijectie ƒ a multimii A pe multimea B. Acest fapt se scrie astfel: “A ~ B” si se citeste: multimea A este echipotenta cu multimea B. De exemplu, multimile A = {a1, a2, a3} si B = {b1, b2, b3} sunt echipotente - lucru ce rezulta din fig. 3.1.   Relatia de echipotenta “~” se bucura de urmatoarele proprietati: 1. Relatia de echipotenta “~” este reflexiva, adica A ~ A. 2. Este simetrica, adica, daca A ~ B _ B ~ A. 3. Este tranzitiva, adica, daca A ~ B si B ~ C _ A ~ C. Aceste proprietati se verifica imediat: 1. A ~ A, oricare ar fi multimea A, pentru ca functia ƒ : A ® A, ƒ(x) = x este o bijectie. 2. A ~ B _ B ~ A, caci daca exista o bijectie ƒ : A ® B, atunci exista functia inversa ƒ−1 : B ® A, care este tot o bijectie. 3. A ~ B si B ~ C _ A ~ C, deoarece daca exista functiile bijective ƒ : A ® B si g : B ® C, atunci functia compusa g ° ƒ : A ® C este tot o bijectie.   Relatia de echipotenta fiind reflexiva, simetrica si tranzitiva este o relatie de echivalenta. Înseamna ca multimile sunt împartite de relatia de echipotenta “~” în clase de echivalenta (disjuncte), numite clase de echipotenta.   Definitie: Se numesc cardinale, clasele de echipotenta determinate de relatia “~”. Clasa de echipotenta careia îi apartine multimea A se numeste cardinalul multimii A si se noteaza cu A , sau cu card A. Din definitie rezulta ca A = B Û A ~ B. Dupa cum se observa, definitia notiunii de numar cardinal este foarte abstracta deci ea nu poate fi introdusa astfel copiilor. Problema care se pune este cum trebuie introdus acest concept la micii scolari. Se impune ca institutorul sa înteleaga foarte bine semnificatia notiunii de aspect cardinal care sta la baza notiunii de numar natural.   Se considera o multime M si fie multimea partilor ei, P(M). O asemenea multime ar fi formata din multimea vida, din multimi cu câte un element, din multimi cu câte doua elemente s.a.m.d. Nu intereseaza natura elementelor acestor multimi. În aceasta multime P(M) exista submultimi vide, submultimi cu câte 1 element cu câte 2 elemente, cu câte 3 elemente etc.   Pe aceasta multime se defineste relatia de echipotenta “~”, astfel: multimea care are un triunghi este echipotenta cu multimea care are o steluta sau cu multimea formata dintr-un dreptunghi s.a.m.d. Deci, relatia de echipotenta strânge toate multimile care au aceasta proprietate, anume aceea de a avea un singur element, într-o clasa de echipotenta.   Aceasta clasa este numita numarul cardinal unu si se noteaza cu semnul 1. La fel, toate submultimile cu câte doua elemente sunt echipotente între ele formeaza o noua clasa, care este numita numarul cardinal doi si se noteaza cu simbolul 2. Se observa ca aceasta clasa nu are elemente comune cu prima, deci ele sunt disjuncte. Procedând în acelasi mod, relatia de echipotenta aduna într-o noua clasa toate submultimile cu câte trei elemente, obtinând astfel clasa numita numarul cardinal trei, care se noteaza cu semnul 3. Multimea vida va determina clasa careia i se spune zero si care se noteaza cu semnul 0. Se construiesc progresiv toate clasele de echipotenta, deci toate numerele cardinale. Ce trebuie înteles asadar, prin numarul cardinal 5? Se întelege clasa tuturor multimilor cu cinci elemente indiferent de natura elementelor lor (din cinci caiete, cinci creioane, cinci nuci, cinci copii etc.). Se retine numai proprietatea comuna de a avea cinci elemente. Trebuie, asadar, ca elevul sa înteleaga faptul ca numarul 2, de pilda, este proprietatea comuna a tuturor multimilor formate cu doua elemente etc. Se numeste numar natural cardinalul unei multimi finite. Deci, cardinalele construite pe aceasta cale, în exemplul de mai sus, sunt numere naturale. Multimea numerelor naturale este notata cu N si este formata din urmatoarele elemente: N = {0, 1, 2, 3, …}.   Aspectul cardinal al numarului natural   Înca din cele mai vechi timpuri omul a trebuit sa compare diferite multimi de obiecte pentru a vedea care multime contine mai multe obiecte. Astazi acest lucru se face prin numararea si compararea numerelor obtinute ca rezultate ale numararii. Aceasta presupune ca se cunosc deja numerele si ca se stie a se numara.   Cum procedeaza micul scolar în fata unei asemenea necesitati? El realizeaza o ordonare în perechi a elementelor multimilor ce se compara (bineînteles finite), adica realizeaza ceea ce se numeste corespondenta unu la unu. Daca aceasta ordonare se poate realiza, atunci cele doua multimi au tot atâtea elemente sau cele doua multimi, diferite prin natura elementelor lor, sunt echipotente. Daca însa toate elementele primei multimi sunt puse în corespondenta numai cu o parte a elementelor celei de a doua multimi, atunci se spune ca prima multime are mai putine elemente decât a doua sau ca a doua multime are mai multe elemente decât prima. În primul caz  a) multimile A si B au tot atâtea elemente. În cazul al doilea, multimea C are mai putine elemente decât multimea D, sau multimea D are mai multe elemente decât multimea C.   Toate multimile care pot fi ordonate complet în acest fel au o proprietate comuna, anume aceea ca au acelasi numar de elemente. Astfel se formeaza notiunea de numar cardinal.   Aspectul ordinal al numarului natural   Necesitatea de a stabili o ordine în interiorul unei multimi a condus la aspectul ordinal al numarului natural. Dupa un anumit criteriu, de exemplu, rezultatele la învatatura exprimate prin mediile obtinute, se poate alcatui o ierarhie a elevilor într-o clasa stabilind cine este primul la învatatura, cine este al doilea, al treilea s.a.m.d. (la o disciplina, sau ca medie generala etc.). Numarul de ordine atasat într-o asemenea succesiune se numeste numar ordinal. Aspectele cardinale si ordinale s-au dezvoltat într-o legatura permanenta unele cu altele si formeaza cele doua aspecte ale numerelor naturale, la care se adauga numarul zero.   Probleme generale si specifice ale predarii-învatarii numeratiei în gradinita si clasa I Copiii de vârsta scolara mica se gasesc în stadiul operatiilor concrete. Ei învata prin intuitie si manipulare directa de obiecte concrete, iar activitatea matematica reproduce, între anumite limite, spatiul fizic în care acestia se dezvolta.   Cercetarile psihologice arata ca la începutul vârstei scolare mici apar si se dezvolta primele operatii logice elementare: conjunctia, disjunctia logica si negatia. Formarea multimilor dupa una sau mai multe proprietati ale elementelor lor cultiva si dezvolta copiilor capacitatea de a lega între ele proprietatile obiectelor care alcatuiesc o multime, cu ajutorul elementelor de relatie: sau - corespunzator disjunctiei, si - corespunzator conjunctiei, nu - corespunzator negatiei. Tot prin activitati practice, mânuind materialul didactic si verbalizând actiunile folosind: conjunctia, disjunctia si negatia se introduc operatiile cu multimi: reuniunea, intersectia si diferenta a doua multimi.   Pentru întelegerea si însusirea operatiilor cu multimi este necesar ca institutorul sa foloseasca jocurile logico-matematice, jocul disjunctiei, al conjunctiei, al negatiei, al perechilor, jocuri de formare a unei multimi, jocuri de ordonare a elementelor unei multimi etc.   În activitatile cu multimi, institutorul va folosi întotdeauna un limbaj matematic clar, precis, pe întelesul si la nivelul de pregatire al copiilor. Plecând de la activitati logice de comparare a multimilor, copiii vor deveni constienti de modul în care se stabileste corespondenta (element cu element) a doua multimi - suportul constituindu-l numeroase situatii de viata. Introducerea conceptului de numar natural impune, ca o etapa premergatoare, familiarizarea copiilor cu notiunea de relatie de echivalenta a multimilor, de clasa de echivalenta, de echipotenta între multimi stabilita de relatia bijectiva tot atâtea, precum si de relatia de ordine folosindu-se expresiile mai multe, mai putine.   Activitatea de punere în corespondenta a elementelor a doua multimi se poate desfasura în doua directii principale: - stabilirea echipotentei a doua multimi (prin relatia de corespondenta element cu element), - construirea multimilor echipotente cu o multime data (formând o clasa de echivalenta). O atentie deosebita trebuie sa se acorde mijloacelor materiale si de comunicare, formularii concluziilor, manipularii obiectelor prin care se formeaza sau se pun în corespondenta multimile si folosirii unui limbaj adecvat. De exemplu, în loc de functie bijectiva se poate spune: corespondenta element cu element sau se foloseste relatia: tot atâtea elemente, care este o relatie de echivalenta, iar în loc de multimi echipotente se spun: multimi cu tot atâtea elemente (care au acelasi cardinal).   Corespondenta element cu element a doua multimi se poate indica grafic prin unirea cu o linie a unui element dintr-o multime cu un element din cea de-a doua sau prin alaturarea la fiecare element din prima multime a unui element din cea de-a doua multime. Folosirea rigletelor ofera institutorului posibilitatea sa efectueze cu copiii corespondente între elementele unei multimi oarecare, iar o multime formata din riglete unitati dispuse în linie da posibilitatea copiilor sa gaseasca riglete cu acelasi numar de unitati cât este numarul elementelor unei multimi (prin punere în corespondenta).   Familiarizarea copiilor cu rigletele se realizeaza dupa ce în prealabil s-au efectuat exercitii de recunoastere a culorilor si de egalizare a lungimilor. Comparând doua riglete copiii vor deduce daca au aceeasi lungime sau nu, vor aseza în prelungire doua sau mai multe riglete pentru a egala o rigleta de lungime mai mare. Cu ajutorul rigletelor se realizeaza o întelegere mai rapida a compunerii si descompunerii unui numar, utila apoi în efectuarea operatiilor aritmetice.   În prima parte a unei activitati de predare a unui numar se efectueaza exercitii prin care se consolideaza si se verifica în ce masura copiii stapânesc cunostintele si deprinderile necesare pentru întelegerea numarului nou.   În cadrul unei lectii se efectueaza cu copiii exercitii ca: -formarea multimilor; -echipotenta multimilor; -raportarea numarului la cantitate si a cantitatii la numar; -numaratul în limite cunoscute; -stabilirea vecinilor numerelor; -exercitii de adunare si scadere cu o unitate. Dupa efectuarea exercitiilor cu caracter pregatitor, se trece la predarea numarului nou.   Compunerea si descompunerea numerelor naturale Compunerea si descompunerea numerelor naturale trebuie sa aiba ca punct de plecare procesul de formare a numarului prin adaugarea unei unitati la numarul anterior. Prin exercitii de compunere si descompunere se realizeaza întelegerea componentei numarului si pregatirea copiilor pentru însusirea operatiilor aritmetice de adunare si scadere.   Pentru a usura întelegerea compunerii unui numar, se pot confectiona tablouri individuale în doua culori. Folosind materialul primit, de exemplu 5 creioane, se va cere copiilor sa gaseasca variante de compunere a numarului 5, asezând un numar diferit de creioane pe ambele culori ale tabloului. Fiecare copil anunta posibilitatile gasite (3+2, 4+1, 1+4, 2+3, 0+5), explicând cum a lucrat. Pentru a cunoaste toate variantele de compunere a numarului 5, se vor efectua exercitii pe tabla magnetica. Se va aseza pe tabla o multime cu 4 creioane, se va cere copiilor sa numere elementele multimii si sa aseze alaturi cifra corespunzatoare. Se va solicita apoi copiilor sa specifice câte creioane trebuie adaugate pentru a avea 5. Se va trage concluzia ca numarul 5 a fost compus dintr-o multime cu 4 elemente la care s-a reunit o multime cu un element. În continuare se va proceda la fel în cazul compunerii numarului 5 din: 3+2, 2+3, 1+4, 0+5.   Compunerea se poate realiza si prin desen. Copiii pot desena un numar de patratele pe care le coloreaza în doua culori, dupa preferinta. La examinarea desenelor se va arata câte patratele au o culoare si câte alta culoare. Pentru descompunerea numerelor, copiii vor primi câte un cartonas despartit în doua parti egale. Imaginar, acest cartonas reprezinta o vitrina cu doua rafturi, pe care copiii trebuie sa aseze 5 mingi, dupa preferinta. Discutând variantele gasite de copii, acestia sunt dirijati sa ajunga la concluzia ca, oricum ar aseza elementele multimii, tot cinci sunt. În ultima parte, se procedeaza ca în cazul compunerii. Institutorul va aseza toate elementele multimii pe raftul de sus si va lua pe rând câte o minge si o va aseza pe raftul de jos. Copiii vor citi variantele descompunerii numarului 5 în: 5 si 0, 4 si 1, 3 si 2, 2 si 3, 1 si 4, 0 si 5. Trebuie sa li se atraga atentia copiilor ca fiecare numar este format din unitati si ca atunci când este descompus în doua numere, acestea doua sunt mai mici fiecare decât numarul descompus, dar ca împreuna formeaza acelasi numar Este bine ca aceste grupari, în cazul compunerii si descompunerii numerelor sa fie citite ca exercitii de adunare si scadere, apoi scrise la tabla magnetica cu ajutorul cifrelor. Operatiile de calcul mintal (adunarea si scaderea) au la baza tocmai aceste reguli pe care copilul le-a descoperit asezând obiectele în diverse combinatii.     Predarea-învatarea numerelor naturale în concentrul 0-10 Metodologia formarii conceptului de numar natural se bazeaza pe faptul ca elevii din clasele I-IV se afla în stadiul operatiilor concrete, învatând în special prin intuire si manipulare directa a obiectelor. Pe masura apropierii de clasa a IV-a are loc trecerea treptata catre general si abstract.   În formarea conceptului de numar natural, actiunea va precede intuitia, parcurgându-se urmatoarele etape: -activitati si actiuni cu multimi de obiecte (etapa actionala); -schematizarea actiunii si reprezentarea grafica a multimilor (etapa iconica); -traducerea simbolica a actiunilor (etapa simbolica).   Raportul dintre aceste etape se schimba în mod treptat pe parcursul evolutiei de la intuitiv la logic, de la concret la abstract. La început se va acorda un volum mai mare de timp activitatilor cu multimi de obiecte, dupa care, treptat, se vor utiliza, cu precadere, corespondentele realizate grafic pe tabla sau pe fise întocmite de institutor si difuzate copiilor.   La conceptul de numar elevul ajunge progresiv si dupa o anumita perioada pregatitoare. În aceasta perioada este initiat în activitati de compunere si punere în corespondenta a multimilor pentru a desprinde ideea de multimi echivalente sau multimi care au acelasi numar de elemente, de constituire, dupa anumite criterii, de submultimi date, de numarare a elementelor unei multimi, de transpunere prin simboluri a unei multimi.   Înregistrarea în scris a numarului reprezinta o etapa superioara a procesului de abstractizare. Scrierea numerelor ridica, de cele mai multe ori, dificultati de ordin psihologic pentru copil, unele chiar mai mari decât greutatile pe care el le întâmpina când învata sa scrie primele semne ale alfabetului. Cifra reprezinta semnul grafic al numarului, asa cum litera reprezinta semnul grafic al sunetului. Dificultatile sporesc fiindca el trebuie sa realizeze o legatura strânsa între trei elemente: conceptul numeric, exprimarea sa verbala si semnul grafic.   Scrierea de mâna a cifrei se face o data cu predarea corespunzatoarea numarului pentru a se realiza o strânsa legatura între numar, exprimarea sa verbala si simbolul sau grafic. Activitatile de stabilire a corespondentei element cu element a multimilor urmaresc sa dezvolte la copil întelegerea continutului esential al notiunii de numar, ca o clasa de echivalenta a multimilor finite echipotente cu o multime data.   Elevii construiesc multimi echivalente cu o multime data si, în acest proces activ de comparare, înteleg mai bine proprietatile numerice ale multimilor care au acelasi numar de elemente. Folosind denumirea de multimi cu tot atâtea elemente se detaseaza progresiv, notiunea de numar ca o clasa de echivalenta.   Clasa tuturor multimilor finite echivalente cu multimea cu un singur element este numarul natural 1. Clasa multimilor echivalente cu o multime cu doua elemente este numarul natural 2. Clasa multimilor echivalente cu o multime cu trei elemente este numarul natural 3 s.a.m.d. O atentie speciala trebuie acordata procesului de întelegere a semnificatiei cifrei 0 (zero), deoarece aceasta reprezinta pentru copil o dubla abstractie: cifra zero nu mai exprima ceva concret, ea este simbolul clasei de multimi care nu au nici un element, adica a multimilor vide.   Pentru a-i deprinde pe elevi cu succesiunea numerelor este necesar ca, în acelasi timp cu introducerea numarului nou, sa se predea si relatia de ordine a acestuia cu numarul si numerele predate anterior (în ordine crescatoare si descrescatoare).   Procesul constructiei sirului numerelor pâna la 10 se face progresiv. Din clasa multimilor echivalente cu o multime data se aleg 2-3 multimi model, ca reprezentanti ai clasei. Esential este ca elevii sa înteleaga faptul ca exista un numar nesfârsit de multimi echivalente cu multimea model, precum si distinctia dintre numar si semnul sau grafic.   Însusirea constienta a notiunii de numar natural se fundamenteaza pe: -întelegerea de catre copil a numarului ca proprietate a multimilor cu acelasi numar de elemente (cardinalul multimilor echivalente); -întelegerea locului fiecarui numar în sirul numerelor de la 0 la 10 (aspectul ordinal al numarului); -întelegerea semnificatiei reale a relatiei de ordine pe multimea numerelor naturale si a denumirilor corespunzatoare (mai mare, mai mic); -cunoasterea cifrelor corespunzatoare numarului; -citirea cifrelor de tipar si scrierea cifrelor de mâna.   Elevii trebuie sa înteleaga ca relatia de ordine pe multimea numerelor naturale nu este data de denumirea lor, care de multe ori se învata mecanic, ci de relatiile mai mic sau mai mare care se stabilesc între numere si care corespund relatiilor: mai putin sau mai mult între multimile ce reprezinta numerele date.   Din punct de vedere metodico-stiintific, numarul natural poate fi introdus pe baza: -notiunii de corespondenta element cu element între multimi finite; -notiunii de succesiune din axiomatica lui Peano; -exprimarii rezultatului masurarii unei marimi.   Calea cea mai folosita de predare a numerelor naturale este prima si se realizeaza parcurgând urmatoarele etape: -se construieste o multime de obiecte având atâtea elemente cât este ultimul numar cunoscut; -se construieste o alta multime echipotenta cu prima; -se adauga la cea de a doua multime înca un element; -se constata, prin formarea de perechi, ca noua multime are cu un obiect mai mult decât prima multime; -se specifica numarul elementelor si modul de obtinere a multimii noi; -se construiesc si alte multimi echipotente cu a doua multime, formate din alte obiecte, pentru a sublinia independenta de alegerea reprezentantilor; -se prezinta cifra corespunzatoare noului numar introdus; -se fac exercitii variate cu caracter aplicativ pentru fixarea numarului predat; -se cere copiilor: sa descopere în clasa multimi care sa aiba un numar de elemente corespunzator numarului predat, sa aseze pe etajera un anumit numar de carti, sa determine prin pipait numarul de obiecte, sa bata din palme de un anumit numar de ori, sa stabileasca locul numarului în sirul numerelor naturale, sa formeze scara numerica.   Predarea-învatarea numerelor naturale în concentrul 10-100   În aceasta etapa sunt urmarite urmatoarele aspecte de baza, specifice ei; -întelegerea zecii ca unitate de numeratie, baza a sistemului utilizat; -largirea notiunii de zece ca unitate de calcul, scrierea si citirea numerelor formate din zeci, introducerea notiunii de suta. -formarea, citirea, scrierea si compararea numerelor naturale formate din zeci si unitati; -relatia de ordine realizata prin compararea si ordonarea numerelor învatate; -constientizarea semnificatiei cifrelor dupa locul pe care îl ocupa în scrierea numerelor.   Modalitatea de introducere a numerelor naturale mai mari decât 10 este similara cu cea din concentrul anterior învatat. De exemplu pentru a introduce numarul 11 se pleaca de la cea mai mare multime formata (cea cu 10 elemente), lânga care se formeaza o multime cu un element (se poate face pe table magnetica, cu figurine, cu riglete, urmata de desen pe tabla). Se reunesc cele doua multimi, obtinându-se o multime formata din 10 elemente si înca un element. Se spune ca aceasta multime are 11 elemente si ca semnul grafic sau simbolul acestui numar este “11” , adica doua cifre 1, prima reprezentând zecea si cea de-a doua, unitatea adaugata zecii respective. Se continua cu aplicatii gen comparatii: 10 < 11, 11 > 10, etc. Se pot gasi toate posibilitatile de compunere a numarului 11.   Cu introducerea numarului 20, ca o zece si înca alte 10 unitati, adica doua zeci, se încheie etapa de baza în scopul întelegerii ulterioare a modului de formare, scriere si citire a oricarui numar natural. Prin scrierea numerelor formate din zeci si unitati, elevii iau contact cu ideea de baza a sistemului zecimal de scriere si notare a numerelor. Institutorul va pune accent pe pronuntia si scrierea corecta a numerelor.   Predarea-învatarea numerelor naturale scrise cu trei sau mai multe cifre   În predarea-învatarea numerelor naturale scrise cu trei sau mai multe cifre se foloseste analogia cu procedeele din concentrul anterior învatat. Se formeaza ideea ca 10 unitati de un anumit fel formeaza o unitate noua, mai mare. Elevii adauga la unitatile de numeratie cunoscute: unitatea simpla, zecea, unitati noi: suta, mia, s.a.m.d., fixându-si ideea ca zece sute formeaza o mie, s.a.m.d.   Predarea oricarui numar natural mai mare decât o suta se realizeaza dupa algoritmul cunoscut de la formarea numerelor naturale mai mari decât 10: o suta si înca o unitate formeaza 101, s.a.m.d. Problema metodica noua ce apare în acest concentru este legata de formarea, citirea si scrierea numerelor ce contin pe 0 (zero), care semnifica absenta unitatilor de un anumit ordin.   Tot acum se introduc notiunile de: ordin (ce reprezinta numarul de ordine în scrierea numarului: unitatile vor fi numite unitati de ordinul întâi, zecile –unitati de ordinul doi, sutele –unitati de ordinul trei, unitatile de mii –unitati de ordinul patru, zecile de mii –unitati de ordinal cinci, s.a.m.d.) si clasa (o structura noua formata dintr-un grup de trei ordine consecutive: ordinele întâi, doi si trei formeaza clasa unitatilor, ordinele patru, cinci si sase -clasa miilor, ordinele sapte, opt si noua –clasa milioanelor, s.a.m.d., sugerând astfel ca procedeul poate fi aplicat în continuare la nesfârsit, deci ca exista numere naturale oricât de mari).   În scrierea numerelor naturale din acest concentru evidentierea claselor se realizeaza prin plasarea unui spatiu liber între ele. Se vor forma deprinderi corecte si constiente de citire si scriere a numerelor naturale de mai multe cifre, în special a celor în care lipsesc una sau mai multe unitati de un anumit ordin. Se vor realiza corelatii interdisciplinare, se va matematiza realitatea înconjuratoare obtinând numeroase posibilitati de exersare a numerelor, se va utiliza frecvent jocul didactic matematic.

Metoda reducerii la unitate.     Două mărimi care depind una de alta se numesc direct/ invers proporţionale dacă, atunci când una din ele creşte de un număr de ori, cealaltă se micşorează de acelaşi număr de ori. Metoda reducerii la unitate se aplică în rezolvarea problemelor în care se face referire la o mărime ce depinde direct sau invers proporţional de una sau mai multe mărimi.   Metoda constă în evidenţierea numărului de unităţi dintr-o mărime ce corespun d unei unităţi dintr-o altă mărime, numărul respectiv fiind ceea ce numim factor de proporţionalitate.   Alegerea mărimii care va fi redusă la unitate este deosebit de importantă, mai ales la clasele primare, unde unele operaţii nu pot fi efectuate. Cele 210 kg de roşii recoltate într-o zi din grădină sunt ambalate pentru piaţă în 30 de lădiţe.   Câte lădiţe vor fi necesare pentru a ambala în altă zi 350 kg de roşii? 210 kg …………………………..30 lădiţe 350 kg ………………………….. ? lădiţe   Judecata şi rezolvarea: Dacă în 30 de lădiţe sunt 210 kg de roşii, atunci într-o lădiţă sunt de 30 de ori mai puţine kg, adică: 210 kg: 30 = 7 kg Câte grupe de câte 7 kg se pot forma cu 350 kg? 350 kg: 7 kg/lădiţă = 50 lădiţe   10 caiete costă 48 000 lei. Cât costă 7 caiete ? 10 caiete ………………………….. 48 000 lei 7 caiete   ………………………….. ? lei   Rezolvare:    48 000: 10 = 4 800 (lei, costă un caiet) 4 800 x 7 = 33 600 (lei, costă 7 caiete)   Observaţie: de regulă reducem la unitate o mărime cunoscută, ca în problema rezolvată mai sus, dar sunt şi situaţii când reducem la unitate mărimea în care intervine necunoscuta, ca în problema rezolvată 1.   15 muncitori pot termina o lucrare în 8 zile. În câte zile ar termina lucrarea 6 muncitori care muncesc în acelaşi ritm mediu ca ceilalţi 15 ? 15 muncitori ………………………….. 8 zile 6 muncitori  ………………………….. ? zile   Judecata şi rezolvarea:   Dacă 15 muncitori pot termina o lucrare în 8 zile, atunci un muncitor ar termina-o în de 15 ori mai multe zile : 15 x 8 = 120 (zile)   Dacă un muncitor termină lucrarea în 120 zile, atunci 6 muncitori ar termina lucrarea în de 6 ori mai puţine zile : 120: 6 = 20 (zile)   Aceeaşi problemă poate fi abordată şi în alt mod:   Acceptând că realizează zilnic aceeaşi parte din lucrare – pe care o numim normă – atunci 15 muncitori realizează într-o zi 15 norme, iar în 8 zile realizează: 15 norme x 8 = 120 norme lucrători realizează într-o zi 6 norme. În câte zile vor realiza ei 120 norme ? Obţinem acest rezultat dacă aflăm de câte ori se cuprinde 6 în      120 norme: 6 norme/zi = 20 zile   20 de robinete cu acelaşi debit sunt deschise pentru a evacua în 30 de minute apa dintr-un bazin. După 10 minute, 4 robinete se defectează şi sunt închise. Care este, în aceste condiţii, durata totală de golire a bazinului?              După 10 minute:           20 robinete …………….20 minute ……………. rest bazin                                                   16 robinete …………….  ? minute ……………. rest bazin                       Rezolvare:                     20 robinete ……………. 20 minute ……………. rest bazin                                                   1 robinet ………20 min x 20 = 400 min…….....rest bazin   16 robinete …….400 min: 16 = 25 min ……..rest bazin 25 min + 10 min = 35 min (durata totală)   În 6 zile, 100 vite consumă 6000 kg de furaj. În câte zile 120 de vite vor consuma 9 600 kg de furaj ?   zile ……………. 100 vite ……………. 6 000 kg                    ? zile ……………. 120 vite ……………. 9 600 kg   Rezolvare: 6 zile ……………. 100 vite ……………. 6 000 kg 1 zi ……………. 100 vite ……………. 6 000 kg: 6 = 1 000kg 1 zi ……………. 1 vită ……………. 1 000 kg: 100 = 10 kg 1 zi …………….120 vite ……………. 10 kg x 120 = 1 200 kg 9 600 kg: 1 200 kg / zi = 8 zile ………….120 vite …………….9 600 kg.