Metoda reducerii la absurd
Există patru numere care să îndeplinească simultan condiţiile a < b, b >
Rezolvare:
Presupunem că există patru numere cu proprietatea dată. Din a < b, b >
Cele două relaţii obţinute mai sus nu pot avea loc simultan. Aşadar, nu există patru numere care să îndeplinească simultan cele patru condiţii.
Arătaţi că nu există nici un număr natural care împărţit la 8 dă restul 6 şi împărţit la 4 dă restul 3.
Rezolvare
Prin metoda reducerii la absurd presupunem că există un număr natural n astfel încât n = 8q + 6 şi n = 4q + 3, cu p şi q numere naturale.
Vom avea că 8q + 6 = 4q + 3, relaţie care reprezintă egalitatea unui număr natural par cu unul impar. Absurd.
Deci nu există nici un număr natural care împărţit la 8 dă restul 6 şi împărţit la 4 dă restul 3.
Fie numerele naturale a şi b astfel încât 2a + 3b, 2a + 4b, 2a + 5b nu se divid prin 3.
Arătaţi că b este divizibil cu 3 şi că a nu este divizibil cu 3.
Rezolvare
Prin metoda reducerii la absurd presupunem că a se divide prin 3. Rezultă că 3 | (2a + 3b) – contradicţie cu ipoteza problemei. Deci a nu se divide prin 3. înseamnă că a este de forma: a = 3k + 1 sau a = 3k + 2, unde k este număr natural.
Prin reducere la absurd, presupunem că b nu se divide cu 3. Urmează că b = 3p + 1 sau b = 3p + 2, unde p este număr natural.
Pentru orice forma ale lui a şi b, cel puţin unul dintre numerele 2a + 3b, 2a + 4b, 2a + 5b se divide cu 3, ceea ce este fals. Aşadar, b este divizibil cu 3.
Tema pentru acasă (seminarul din săptămâna următoare)
Câtul şi restul împărţirii numerelor naturale a şi b sunt 19, respectiv 99. Dacă a-b < 1917, aflaţi numerele a şi b.>
Aflaţi suma tuturor numerelor naturale cuprinse între 1000 şi 2000 care împărţite la 49 dau câtul şi restul numere egale.
Determinaţi cel mai mare număr natural a care, împărţit la 1985 dă câtul mai mic decât restul.
Determinaţi toate numerele naturale care împărţite la 36 dau ca rest pătratul câtului.
Arătaţi că nu există nici un număr natural a care împărţit la 15 dă restul 7 şi împărţit la 12 dă restul 3.
Suma a zece numere naturale nenule distincte este 103.
Demonstraţi că printre ele există cel puţin două numere impare.
Cercetaţi dacă există numere naturale m şi n astfel încât (m – n)(m + n + 1) = 1999.
Rezolvări
1. Fie a şi b numere naturale, cu b diferit de zero, astfel încât a = 19b + 99, 0 ≤ 99 < b.>
Dar a-b < 1917. Rezultă că 19b + 99 – b >
Urmează că b = 100.
2. Fie x astfel de numere naturale. x = 49c + c, 0 ≤ c < 49; 1000 >
În acest caz, numerele x căutate sunt 50∙21, 50∙22, …, 50∙30, a căror sumă este: S = 50(21 + 22 + … + 39) = 50(60∙9 + 30) = 50∙570 = 28500.
3. a = 1985∙c + r, c < r >
Dar a este maxim.
Rezultă că c şi r sunt maxime, adică c = 1984 şi r = 1983.
Deci a = 1985∙1983 + 1984.
4. Fie n numerele naturale cerute în enunţ.
Avem că n = 36q + q2, 0 ≤ q2 < 36.>
De unde q poate fi 0, 1, 2, 3, 4, sau 5, deci n este 0, 37, 76, 117, 160 sau 205.
5. Presupunem prin metoda reducerii la absurd că există un număr natural a astfel încât a = 15c1 + 7 (0 ≤ 7 < 15) a = 12c2 + 3 (0 ≤ 3 >
Din cea de-a doua relaţie avem că a este multiplu de 3.
Folosind acest lucru în prima relaţie, rezultă că M3 = M3 + 7, de unde rezultă că 7 este multiplu de 3. Absurd.
Deci, concluzia problemei este adevărată.
6. Presupunem prin reducere la absurd că cele 10 numere sunt pare.
Rezultă că 2 + 4 + 6 + … + 20 = = 110. Absurd (suma din ipoteză este 103).
Deci, cel puţin unul este impar.
Dar, dacă unul singur ar fi impar, atunci suma ar fi impară.
Dar suma este pară.
Rezultă că cel puţin doi termeni sunt impari.
7. Prin reducere la absurd presupunem că există două numere naturale m şi n astfel încât (m – n)(m + n + 1) = 1999.
I. Dacă m şi n-au aceeaşi paritate (ambele pare sau ambele impare), rezultă că m – n este par, deci (m – n)(m + n + 1) este par.
II. Dacă m şi n au parităţi diferite, m + n + 1 este un număr par, deci (m – n)(m + n + 1) este par.
Contradicţie cu (m – n)(m + n + 1) = 1999. Deci nu există astfel de numere.