Punctul
Notații desene
Punctul nu are definiţie. Desenul unui punct este o bulină mică sau o cruciuliţă.
Numele unui punct este A sau B sau ...., deci o literă mare latină.
x A
Desenul punctului este un punct sau semnul x .
A nu se confunda punctul ca desen cu noțiunea de punct.
Punctul nu e nici mai mare , nici mai mic. Desenul lui , da .
P unctul nu are culoare. Desenul lui , da, poate avea.
Dacă punctele diferite A și B sunt pe dreapta d , atunci dreapta d se mai notează și cu AB.
-
Dreapta
Dreapta nu are definiţie . Are ca desen o linie dreaptă dusă cu rigla ,
linie care ne imaginăm că poate fi prelungită oricât.
O dreaptă are un nume sau altfel spus o notaţie ca de exemplu a sau b sau orice literă latină mică.
Dreapta este o mulţime de puncte . Pe o dreaptă există cel puţin două puncte diferite.
Dacă punctul A se află pe dreapta b , vom spune punctul A aparține dreptei b și vom scrie A ∈ b .
Se mai spune că dreapta b trece prin punctul A. Semnul ∈ se citește deci ”apaţine (lui)„.
A ∈b
Dacă A nu aparține dreptei BC=a se scrie A ∉ a și desenăm astfel : - Axiomă (postulat = enunț considerat adevărat fără a demonstrație)
Prin 2 puncte diferite (sau distincte) trece o singură dreaptă.
Definiție
Mai multe puncte sunt coliniare dacă sunt pe o aceeași dreaptă.
Dacă A,B,C,... ∈ d , d o dreaptă , atunci A,B,... sunt coliniare.
-
Semidreapta
Un punct A pe o dreaptă împarte dreapta în două părți numite semidrepte (deschise).
O semidreaptă (deschisă) de la A spre B se notează cu (AB și are desenul .
Semidreapta închisă de la A spre B se notează cu [AB și este (AB ∪ {A} , adică semidreapta deschisă (AB și punctul A. Desenul semidreptei închise [ AB este
Ea are un capăt A și poate fi prelungită oricât de la A spre B.
Punctul A se numește originea semidreptei .
Din A pleacă sau pornește semidreapta.
Desenul semidreptei (deschise) (AB este același doar că paranteza dreaptă este înlocuită cu una rotundă.
-
Segmentul
- Descrierea segmentului
Segmentul [AB] este o parte a unei drepte , parte aflată între punctele A și B de pe dreaptă.
A [_______] B
[AB] = [AB ∩ [BA .
Segmentul deschis de capete A și B este (AB) = (AB∩ (BA.
A (_______) B
Avem : [AB] = (AB) ∪ {A,B} .
- Lungimea unui segment
Fiecare segment are o însușire (proprietate) numită lungime.
Lungimea unui segment este un număr .
Dacă segmentul [AB] are lungimea u și segmentul [CD] are lungimea x , numărul y = x : u arată de câte ori intră segmentul (bățul) de lungime u în bățul de lungime x. Avem x = y u = lungimea lui x exprimată cu unitatea u.
Exemplu
În desenul următor : CD = 3•AB .
A [____] B C [______________] D
- Unități de lungime
Lungimea segmentului [AB] din desenul de mai jos
A [____] B
se numește centimetru și se notează cu cm.
A zecea parte dintr-un cm se numește milimetru și se notează cu mm .
1 cm = cm = 10 mm.
1 mm = mm = 0,1 cm =
cm .
mm și cm sunt 2 unități de lungime.
Mai sunt și alte unități de lungime:
dm = decimetrul = 1 dm = 10 cm.
cm = 1 cm = 0,1 dm =dm.
m = metrul = 1m = 10 dm = 100 mm.
dam = decametrul = 10m .
hm = 10 dam = 100 m = 1000 dm = 10 000 cm = 100 000 mm =105mm.
km = 1 km = kilometrul = 10 hm .
Prin urmare unitățile de lungime folosite in viața cotidiană sunt mm,cm,dm,m,dam,hm și km.
Exemple
Mașina merge cu 70 de km pe oră.
Lungimea rochiei este de 160 cm .
Sunetul are viteza prin aer de 340km pe secundă.
Pastila are diametrul de 7mm.
Există și alte unități de lungime pentru lungimi pe străți, autostrăzi, ... cum ar fi mila = aproximativ 1,6 km care se folosește in U.S.A = U.S. (United States of America ) .
Canada și U.E. (Uniunea Europeană E.U. = European Union ) deci și România folosește km .
Unități foarte mari sunt anul lumină , parsecul ,....
unitatea astronomic[ = u.a. = 149,5 miliona km = 149,5•106km =149 500 000 km = distanța de la Soare la Pământ..
Parsecul = 3 ani lumină .
Anul lumină = a.l. = distanța parcursă de lumină într-un an = 365•24•3600 secunde• 300 000 km/secundă =.aproximativ 63 000 u.a. = aproximativ 9•1012 km = aproximativ 0,33 parseci.
- Segmente congruente, congruența segmentelor
Două segmente sunt congruente dacă au aceeași lungime.
Dacă segmentele [AB] și [CD] sunt congruente vom scrie [AB]≡ [CD] și înseamnă că lungimile segmentelor sunt egale adică AB = CD sau |AB| = |CD| .
De exemplu marginile de sus și de jos ale unui geam dreptunghiular sunt congruente.
- Distanța dintre două puncte
Distanța dintre punctele A și B este lungimea segmentului [AB].
Ea se notează cu d(A,B) .
d(A,B) = AB = |AB|.
- Mijlocul unui segment
Mijlocul segmentului [AB] este punctul M de pe segment (M ∈ [AB] ) cu proprietatea [AM] ≡ [MB] .
Exercițiu
M este mijlocul lui [AB] , N mijlocul lui [MB], P mijlocul lui [AN]. Dacă AB=24 cm. Aflați PN.
Rezolvare
M este mijlocul lui [AB] , deci AM=MB = 24 : 2 = 12 cm .
N mijlocul lui [MB] , deci MN=12 : 2 = 6 cm.
AN = AM + MN = 12+6 = 18 cm.
P mijlocul lui [AN], deci PN = 18 : 2 = 9 cm.
- Construcția unui segment congruent cu un segment dat
Fie segmentul [AB] . A construi un segment [CD] congruent cu cel dat înseamnă a desena segmentul [CD] de lungime egală cu lungimea lui [AB] .
Dacă avem semidreapta [UV, există un singur punct Q pe semidreaptă astfel încât [AB]≡ [UQ].
- Simetricul unui punct față de un punct
Fie puntul fix O. Simetricul unui punct A față de O este acel punct A' cu proprietatea că O este mijlocul srgmentului [AA'].
Pentru a afla punctul A' :
1) se măsoară lungimea lui [AO],
2) se construiește segmentul [AO] și se prelungește acest segment cu încă o dată segmentul [AO]
3) in final se verifică dacă O este mijlocul lui [AA'].
Evident simetricul lui O față de O este chiar O.
Notație utilă
„Simetricul lui A față de O este A' ” se va nota astfel „sO(A) = A' ” și înseamnă că O este mijlocul lui [AA'].
- Descrierea segmentului
-
Planul
Planul este o mulțime de puncte. El se poate desena :
a) ca o suprafață patrulateră
sau
b) ca o suprafață curbă plană
c) etc.
Axiomă
Dacă 2 puncte diferite (sau distincte) sunt într-un plan ,
atunci dreapta care trece prin cele două puncte este inclusă în plan (se află în plan),
adică:
Dacă P= un plan, d = o dreaptă în planul P, A,B ∈ d și A,B∈ P , A≠B,
atunci dreapta d ⊂P.
Axiomă
În orice plan există cel puțin 3 puncte necoliniare
P se va nota cu (ABC).
Axiomă
Prin trei puncte necoliniare trece un singur plan.
Dacă A,B,C sun trei puncte necoliniare , atunci există un singur plan P care le conține.
Dacă punctele necoliniare D,E,F sunt în (ABC) atunci planele (ABC) și (DEF) coincide sau sunt identice , adică (ABC) = (DEF).
Observație
Desenul unui plan , de exemplu
are o margine dar planul trebuie să ne închipuim că nu are margini.(ca și dreapta ).
-
Semiplane
Axiomă
O dreaptă aflată într-un plan împarte planul în 3 mulțimi și anume dreapta d și două mulțimi s (albastră) și t(verde) numite semiplane deschise.
Semiplan = semiplan deschis (în care nu intră și dreapta d , neagră)
Planul P este deci reuniunea dintre semiplanele s și t și dreapta d.
Dreapta d se mai numește frontiera sau marginea semiplanelor s și t.
Notație
Dacă punctul A este în semiplanul s și B in t , atunci semiplanul s se notează cu (dA ,iar semiplanul t se notează cu (dB.
(dA se citește semiplanul de la d spre A.
(dB se citește de la d spre B .
Semiplanul închis de la dreapta d spre punctul A este notat cu [dA și este reuniunea dintre semiplanul deschis (dA și dreapta d, adică [dA = (dA ∪ d .
-
Drepte paralele, drepte concurente
1) Drepte paralele
Definiție
Două drepte a și b sunt paralele dacă sunt coplanare (adică într-un același plan) și nu au niciun punct comun (sau altfel spus sunt disjuncte)
Dacă dreptele a și b sunt paralele , notăm acest fapt cu a || b (se citește a paralelă cu b)).
- Exemplu
Marginile de sus și cele de jos sunt segmente paralele pe drepte paralele.
2) Drepte concurente
Două drepte sunt concurente dacă au un singur punct comun.
Dacă dreptele a și b sunt concurente în punctul A vom scrie acest lucru astfel a ∩ b = {A}. (se citește "a intersectat cu b este mulțimea formată din punctul A)
sursa:www.matefix.ro