Elemente de geometrie Punct, dreaptă, semidreaptă, segment, linie frântă\curbă, unghiuri

AnnaE

January 4, 2019

Punctul

Notații desene

Punctul nu are definiţie. Desenul unui punct este o bulină mică sau o cruciuliţă.
Numele unui punct este A sau B sau ...., deci o literă mare latină.

x A

Desenul punctului este un punct sau semnul x .
A nu se confunda punctul ca desen cu noțiunea de punct.
Punctul nu e nici mai mare , nici mai mic. Desenul lui , da .
P unctul nu are culoare. Desenul lui , da, poate avea.

### A nu apartine lui b 333 ###
Dacă punctele diferite A și B sunt pe dreapta d , atunci dreapta d se mai notează și cu AB.

### fig a//b ###

Dreapta
Dreapta nu are definiţie . Are ca desen o linie dreaptă dusă cu rigla ,
linie care ne imaginăm că poate fi prelungită oricât.
O dreaptă are un nume sau altfel spus o notaţie ca de exemplu a sau b sau orice literă latină mică.
Dreapta este o mulţime de puncte . Pe o dreaptă există cel puţin două puncte diferite.

Dacă punctul A se află pe dreapta b , vom spune punctul A aparține dreptei b și vom scrie A ∈ b .
Se mai spune că dreapta b trece prin punctul A. Semnul ∈ se citește deci ”apaţine (lui)„.

A ∈b

Dacă A nu aparține dreptei BC=a se scrie A ∉ a și desenăm astfel :
Axiomă (postulat = enunț considerat adevărat fără a demonstrație)
Prin 2 puncte diferite (sau distincte) trece o singură dreaptă.

Definiție
Mai multe puncte sunt coliniare dacă sunt pe o aceeași dreaptă.
Dacă A,B,C,... ∈ d , d o dreaptă , atunci A,B,... sunt coliniare.

Semidreapta
Un punct A pe o dreaptă împarte dreapta în două părți numite semidrepte (deschise).
O semidreaptă (deschisă) de la A spre B se notează cu (AB și are desenul .
Semidreapta închisă de la A spre B se notează cu [AB și este (AB ∪ {A} , adică semidreapta deschisă (AB și punctul A. Desenul semidreptei închise [ AB este

Ea are un capăt A și poate fi prelungită oricât de la A spre B.
Punctul A se numește originea semidreptei .
Din A pleacă sau pornește semidreapta.

Desenul semidreptei (deschise) (AB este același doar că paranteza dreaptă este înlocuită cu una rotundă.

Segmentul

Descrierea segmentului

Segmentul [AB] este o parte a unei drepte , parte aflată între punctele A și B de pe dreaptă.
_{A [}________{] B}

[AB] = [AB ∩ [BA .

Segmentul deschis de capete A și B este (AB) = (AB∩ (BA.
_{A (}________{) B}

Avem : [AB] = (AB) ∪ {A,B} .
Lungimea unui segment

Fiecare segment are o însușire (proprietate) numită lungime.
Lungimea unui segment este un număr .
Dacă segmentul [AB] are lungimea u și segmentul [CD] are lungimea x , numărul y = x : u arată de câte ori intră segmentul (bățul) de lungime u în bățul de lungime x. Avem x = y u = lungimea lui x exprimată cu unitatea u.

Exemplu
În desenul următor : CD = 3•AB .
_{A [}_____{] B} _{C [}_______________{] D}

Unități de lungime
Lungimea segmentului [AB] din desenul de mai jos
_{A [}_____{] B}

se numește centimetru și se notează cu cm.
A zecea parte dintr-un cm se numește milimetru și se notează cu mm .
1 cm = cm = 10 mm.
1 mm = mm = 0,1 cm =

cm .

mm și cm sunt 2 unități de lungime.

Mai sunt și alte unități de lungime:
dm = decimetrul = 1 dm = 10 cm.
cm = 1 cm = 0,1 dm =

dm.
m = metrul = 1m = 10 dm = 100 mm.
dam = decametrul = 10m .
hm = 10 dam = 100 m = 1000 dm = 10 000 cm = 100 000 mm =10⁵mm.
km = 1 km = kilometrul = 10 hm .

Prin urmare unitățile de lungime folosite in viața cotidiană sunt mm,cm,dm,m,dam,hm și km.

Exemple
Mașina merge cu 70 de km pe oră.
Lungimea rochiei este de 160 cm .
Sunetul are viteza prin aer de 340km pe secundă.
Pastila are diametrul de 7mm.

Există și alte unități de lungime pentru lungimi pe străți, autostrăzi, ... cum ar fi mila = aproximativ 1,6 km care se folosește in U.S.A = U.S. (United States of America ) .

Canada și U.E. (Uniunea Europeană E.U. = European Union ) deci și România folosește km .

Unități foarte mari sunt anul lumină , parsecul ,....
unitatea astronomic[ = u.a. = 149,5 miliona km = 149,5•10⁶km =149 500 000 km = distanța de la Soare la Pământ..
Parsecul = 3 ani lumină .
Anul lumină = a.l. = distanța parcursă de lumină într-un an = 365•24•3600 secunde• 300 000 km/secundă =.aproximativ 63 000 u.a. = aproximativ 9•10¹² km = aproximativ 0,33 parseci.

Segmente congruente, congruența segmentelor

Două segmente sunt congruente dacă au aceeași lungime.
Dacă segmentele [AB] și [CD] sunt congruente vom scrie [AB]≡ [CD] și înseamnă că lungimile segmentelor sunt egale adică AB = CD sau |AB| = |CD| .

De exemplu marginile de sus și de jos ale unui geam dreptunghiular sunt congruente.
Distanța dintre două puncte
Distanța dintre punctele A și B este lungimea segmentului [AB].
Ea se notează cu d(A,B) .
d(A,B) = AB = |AB|.
Mijlocul unui segment

Mijlocul segmentului [AB] este punctul M de pe segment (M ∈ [AB] ) cu proprietatea [AM] ≡ [MB] .

Exercițiu

M este mijlocul lui [AB] , N mijlocul lui [MB], P mijlocul lui [AN]. Dacă AB=24 cm. Aflați PN.

Rezolvare

M este mijlocul lui [AB] , deci AM=MB = 24 : 2 = 12 cm .
N mijlocul lui [MB] , deci MN=12 : 2 = 6 cm.
AN = AM + MN = 12+6 = 18 cm.
P mijlocul lui [AN], deci PN = 18 : 2 = 9 cm.
Construcția unui segment congruent cu un segment dat

Fie segmentul [AB] . A construi un segment [CD] congruent cu cel dat înseamnă a desena segmentul [CD] de lungime egală cu lungimea lui [AB] .
Dacă avem semidreapta [UV, există un singur punct Q pe semidreaptă astfel încât [AB]≡ [UQ].
Simetricul unui punct față de un punct

Fie puntul fix O. Simetricul unui punct A față de O este acel punct A' cu proprietatea că O este mijlocul srgmentului [AA'].
Pentru a afla punctul A' :
1) se măsoară lungimea lui [AO],
2) se construiește segmentul [AO] și se prelungește acest segment cu încă o dată segmentul [AO]
3) in final se verifică dacă O este mijlocul lui [AA'].

Evident simetricul lui O față de O este chiar O.

Notație utilă
„Simetricul lui A față de O este A' ” se va nota astfel „s_O(A) = A' ” și înseamnă că O este mijlocul lui [AA'].

Planul

Planul este o mulțime de puncte. El se poate desena :
a) ca o suprafață patrulateră

sau
b) ca o suprafață curbă plană

c) etc.

Axiomă
Dacă 2 puncte diferite (sau distincte) sunt într-un plan ,
atunci dreapta care trece prin cele două puncte este inclusă în plan (se află în plan),
adică:
Dacă P= un plan, d = o dreaptă în planul P, A,B ∈ d și A,B∈ P , A≠B,
atunci dreapta d ⊂P.

Axiomă
În orice plan există cel puțin 3 puncte necoliniare

P se va nota cu (ABC).

Axiomă
Prin trei puncte necoliniare trece un singur plan.
Dacă A,B,C sun trei puncte necoliniare , atunci există un singur plan P care le conține.

Dacă punctele necoliniare D,E,F sunt în (ABC) atunci planele (ABC) și (DEF) coincide sau sunt identice , adică (ABC) = (DEF).

Observație
Desenul unui plan , de exemplu

are o margine dar planul trebuie să ne închipuim că nu are margini.(ca și dreapta ).

Semiplane
Axiomă
O dreaptă aflată într-un plan împarte planul în 3 mulțimi și anume dreapta d și două mulțimi s (albastră) și t(verde) numite semiplane deschise.
Semiplan = semiplan deschis (în care nu intră și dreapta d , neagră)

Planul P este deci reuniunea dintre semiplanele s și t și dreapta d.
Dreapta d se mai numește frontiera sau marginea semiplanelor s și t.

Notație
Dacă punctul A este în semiplanul s și B in t , atunci semiplanul s se notează cu (dA ,iar semiplanul t se notează cu (dB.
(dA se citește semiplanul de la d spre A.
(dB se citește de la d spre B .

Semiplanul închis de la dreapta d spre punctul A este notat cu [dA și este reuniunea dintre semiplanul deschis (dA și dreapta d, adică [dA = (dA ∪ d .

Drepte paralele, drepte concurente
1) Drepte paralele

Definiție
Două drepte a și b sunt paralele dacă sunt coplanare (adică într-un același plan) și nu au niciun punct comun (sau altfel spus sunt disjuncte)

Dacă dreptele a și b sunt paralele , notăm acest fapt cu a || b (se citește a paralelă cu b)).

Exemplu

Marginile de sus și cele de jos sunt segmente paralele pe drepte paralele.

2) Drepte concurente

Două drepte sunt concurente dacă au un singur punct comun.
Dacă dreptele a și b sunt concurente în punctul A vom scrie acest lucru astfel a ∩ b = {A}. (se citește "a intersectat cu b este mulțimea formată din punctul A)

sursa:www.matefix.ro