AnnaE
#0

 

  1. Corpuri, scurtă descriere, clasificări
  2. Un poliedru este un corp mărginit doar de suprafeţe plane.
    1. Corpurile care se studiază în clasa a VIII-a sunt : câteva poliedre si câteva corpuri de rotaţie.
      Poliedrele care sunt studiate în cls. a VIII-a au fost prezentate într-o lecţie anterioară şi reamintim care sunt ele :
      prisme dreapte , câteva piramide regulate şi trunchiril de piramidă regulate .

      Corpurile de rotaţie vor fi : cilindrul circular drept, conul circular drept, trunchiul de con circular drept şi sfera. 
      ### corpuri de rotatie pe orizontala ###

      Le vom studia în continuare .

    2. Construcţia corpurilor de rotaţie - desene

      ### corpuri de rot toate vertical ###Un corp de rotaţie ia naştere prin rotirea unei suprafeţe în jurul unei drepte numită axa de rotaţie.

      Dacă suprafaţa care se roteşte este o suprafaţă dreptunghiulară şi are o latură pe axa de rotaţie , atunci corpul de rotaţie se numeşte cilindru circular drept.

      Dacă suprafaţa care se roteşte este o suprafaţă triunghiulară dreptunghică şi are o catetă pe axa de rotaţie , atunci corpul de rotaţie se numeşte con circular drept.


      Dacă suprafaţa care se roteşte este o suprafaţă trapezoidală dreptunghiulară ABCD cu bazele AB şi CD şi AD perpendiculară pe AB şi latura AD este pe axa de rotaţie , atunci corpul de rotaţie se numeşte trunchi de con circular drept.

      Dacă suprafaţa care se roteşte este un disc şi are un diametru pe axa de rotaţie , atunci corpul de rotaţie se numeşte sferă.





      Se observă că în fiecare din corpurile de mai sus apar cercuri , discuri..

      Reamintim că 
      a) lungimea sau circumferinţa sau perimetrul cercului de rază R este P=2πR, unde π este un număr iraţional ,
      aproximativ egal cu numărul raţional 3,14. 
      b) de asemenea , aria cercului de rază R este πR2 . 
      c) volumul unui corp are ca unităţi de măsură m3 şi multipli şi submultipli ai acestuia.
      d) capacitatea unui corp are ca unitate de măsură ### litru ### 3 şi multipli şi submultipli ai acestuia.
      e) 1 litru = 1 ### litru ### = 1 dm 3 .

    3.  

  3. Cilindrul circular drept , definiţie, descriere, notaţii, desfăşurare, formule

     

    1. Cilindrul circular drept ,descriere, desen , notaţii

      ### cilindrul de rotatie fig 1 desen ###
      Cilindrul circular drept ABB'A' este corpul care ia naştere prin rotaţia 
      unui dreptunghi AOO'A' în jurul unei drepte pe care se află una 
      din laturile dreptunghiului , de exemplu în jurul dreptei OO'. 
      OO' se numeşte axa de rotaţie a cilindrului. 

      Planele celor două cercuri sunt paralele.
      Cercul de sus se numeşte cercul superior. 
      Cercul de jos se numeşte cercul inferior. 
      Cele două discuri se numesc bazele cilindrului.
      Dreptele AA',BB',OO',MM',NN', sunt perpendiculare pe planele bazelor,
      unde MM' || OO', M' pe cercul superior şi M pe cercul inferior şi analog NN..
    2. Cilindrul circular drept : desfăşurare şi formule

      ### cilindru desen cilindru+ desfasurare desen 2###

      ### cilindru sesen 2 ptr desfasurare ###În figura 1, Notăm cilindru cu ABCD. Înălţimea h a cilindrului este distanţa dintre cele două baze, adică distanţa dintre planele lor şi este lungimea h=AD=BC=A'D'= OO'=.... Cele două discuri sunt congruente , adică au aceeaşi rază pe care o notăm cu R. 
      Exemple de raze R = OC = OD = O'A = O'B = OT = OT', unde T este orice punct de pe cercul de jos, iar T' orice punct de pe cercul de sus. 

      Aria unei baze este Aria cercului = πR2 
      Aria laterală a cilindrului circular drept din figura 1 este aria dreptunghiului AA'D'D din figura 2, deci 
      Aria laterală = AA' • AC = perimetrul cercului bază • h = 2πR•h . 
      Reţinem că Al = 2πRh


      ### cilindru desen 3 doar desfasurarea ###Aria totală a cilindrului circular drept este 

      At = Al+2 Abaza= 2πRh+2πR2=2πR(h+R) 

      deci At = 2πR(h+R) .

      Volumul cilindrului circular drept 
      este 

      V=
       Abază• h = πR2h, deci V = πR2h.




       


  4. Conul circular drept, definiţie, descriere, notaţii, desfăşurare, formule

    1. Conul circular drept: descriere, desen, notaţii

      ### Conul circ drept desen 1 ###
      Fie triunghiul AVOdreptunghic în O.

      Conul circular drept AVB este corpul care ia naştere prin rotaţia 
      suprafeţei triunghiulare AVO în jurul unei drepte pe care se află una 
      din catetele triunghiului , de exemplu în jurul dreptei VO. 

      Dreapta VO se numeşte axa de rotaţie a conului . 

      Discul de jos, care ia naştere prin rotirea catetei [OA] în jurul axei VO 
      este baza conului.

      Segmentul VO este perpendicular pe planul bazei.




    2.  
    3. Conul circular drept: desfăşurare, formule

      ### con desfasurare si formule desen 2 ###În figura 1 , notăm conul circular drept cu VAB. 
      Înălţimea h a conului 
      este distanţa de la v\rful V 
      la planul bazei, adică h=VO, VO⊥ planul bazei. 
      Raza cercului se notează 
      cu R. R=OA=OB=OT, 
      unde T este orice punct de pe cerc. 

      În triunghiul dreptunghic VOB din fig. 1 , 
      cu teorema lui Pitagora, avem : G2=h2+R2.

      Aria bazei = "aria cercului de rază R" = πR2 
      Aria laterală a conului circular drept este aria 
      sectorului de cerc VAA' din figura 2 , deci πRG . 
      Al = πRG

      ### con desfasurare si formule desen 2 ###Aria totală a conului circular drept este 
      At = Al+Abaza= πRG+πR2 =πR(G+R) deci 

      At = πR(G+R) 

      Volumul conului circular drept 
      este

      ### con volumul dem ###

      .


       
  5. Trunchi de con circular drept , definiţie, descriere, notaţii,
    desfăşurare, formule

    1. Trunchi de con circular drept , descriere, desen, notaţii

      ### trunchiul de con circular drept desen 1 ###Fie trapezul dreptunghic AOO'A', cu bazele [AO] şi [A'O']
      şi OO'⊥ AO. Trunchiul de con circular drept ABB'A' este
      corpul care ia naştere prin rotaţia suprafeţei trapezoidale AOO'A'
    2. în jurul dreptei OO'. 
      Dreapta OO' se numeşte axa de rotaţie a trunchiului . 
      Cele două discuri sunt în plane paralele şi
      au razele R şi r, cu R > r. Discul de jos, este baza inferioară
      a trunchiului de con, iar cel de sus, baza superioară sau mică. 
      Segmentul OO' este perpendiculare pe planele bazelor şi
      este înălţimea h a trunchiului ca şi B'D şi altele . G=AA' = 
      = BB' = MM' ese generatoarea trunchiului, unde M este pe
      cercul de jos , iar M' pe cel de sus a.î. O'OMM' să fie 
      trapez dreptunghic.. 
    3. Trunchiul de con circular drept: desfăşurare, formule

      ### trcon desfasurare 11 ###În figura 1 , notăm trunchiul de con
      circular drept cu ABB'A'.

      Înălţimea lui , notată cu h, 
      este distanţa
      OO' dintre baze.
      h=VO, VO⊥ planele bazelor. 

      Raza cercului de jos se notează 
      cu R.
      R=OA, iar cea de sus r=O'A'. 

      Aria bazei mari = S = 
      "aria cercului de rază R" = πR2
      Aria bazei mici 
      = s = 
      "aria cercului de rază r" = π r2 .


      ### trcon desfasurare 11 ###Aria laterală a trunchiului de con 
      circular drept 
      din figura 1 este aria 
      sectorului de coroană AA'EC 
      din figura 2,deci Al = πG( R+ r ).

      Aria totală a trunchiului de con
      circular drept 
      este 
      At = Al+S+s = πG( R+r) + πR2 +π r2

      Înălţimile VO şi VO' ale celor două
      conuri se pot exprima cu ajutorul lui R.r 
      şi h=OO' astfel: ### tr con inaltimile conurilor in fct de R r h=OO' ###
      Demonstraţie

       


      ### trcon desfasurare 11 ###Notăm 

      V=Vcon =Volumul conului mare din care provine trunchiul , 

      v=vcon = volumul conului mic de sus şi 

      Vt = volumul trunchiului de con . 


      Demonstrăm că### volum tr de con FORMULA ###

      Rezolvare




      Sfera , definiţie, descriere, notaţii, desfăşurare, formule
    1. Sfera (goală), descriere, desen, notaţii

      ### sfera desen 1 al 2 ###Sfera , ca suprafaţă, este mulţimea punctelor din spaţiu egal depărtate de un punct fix din spaţiu. O notăm cu Sf. Punctul fix se numeşte centrul sferei şi se notează de obicei cu O. Orice punct A,B,C, M, ... de pe sferă se află la o distanţă R de centrul O. R se numeşte raza sferei. 
      Orice segment ce trece prin centrul O al sferei şi are capetele pe suprafaţa sferei se numeşte diametru al sfereiDiametru are lungimea egală cu 2R. 
      Teoremă 
      1) Dacă planul α intersectează sfera , atunci există un diametru
      al sferei perpendicular pe acest plan.
      2) Intersecţia dintre un plan şi o sferă este un punct , 
      un cerc sau mulţimea vidă. 
      3) Dacă intersecţia dintre o sferă şi un plan este un cerc ,
      atunci diametrul perpendicular pe plan intersectează 
      planul cercului în centrul cercului. 

      Dacă planele paralele α şi β intersectează o sferă
      ### sfera desen 1 al 2 ###după două cercuri de centre M şi respectiv N şi
      de raze r, respectiv r1 , atunci există diametrul AB
      perpendicular pe cele două plane. 
      Fie M şi N centrele cercurilor de intersecţie, 
      M şi N pe (AO), respectiv (OB) astfel încât 
      OM=d şi ON = d 1.

      Sfera este împărţită de cele două plane în trei părţi : 
      sus şi jos sunt 2 părţi numite calote sferice ,
      iar între ele este a treia parte numită zonă sferică. 
      Zona sferică este partea din sferă aflată între două
      plane paralele( şi perpendiculare pe un diametru al sferei). 

       

    2. Sfera : desfăşurare, formule

      ### sfera desen 1 ###Aria sferei este Ssferă=4πR2.

      Volumul sferei este ### sfera volum formula rosie ###

      AB este perpendiculară pe cele două plane de secţiune şi 
      AB este perpendiculară pe diametrul [CD].
      Cum OD=OC=R=raza sferei rezultă că triunghiul OCD
      este isoscel , deci M este mijlocul lui [CD]. iar MC=MD = r
      este raza cercului de secţiune dintre planul α cu sfera.
      În triunghiul dreptunghic ODM, cu ∠M drept , 
      putem aplica teorema lui Pitagora : 
      OD2= OM2+MD2 , adica R2 = d2+r2 şi de asemenea
      putem aplica şi teorema catetei , înălţimii, formule trigonometrice. 
      Ultima formulă o denumim formula cercului de secţiune. 
       

  6. Test

    1. Aria laterală a cilindrului este egală cu ....
    2. Volumul conului circular drept este ....
    3. Care este formula cercului de secţiune a sferei ?
    4. Aria laterală a conului este egală cu ....
    5. Care este aria laterală a cilindrului care are aria totală 16π cm2 aria unei baze de 2π ?
    6. Volumul sferei este egal cu ... ?
    7. 12### litru ### = ? dm 3
    8. Volumul unui con este 42π cm2 şi raza lui este de 3 cm . Aflaţi înălţimea conului. 
    9. Se varsă apa dintr-un pahar cilindric plin cu apă şi cu raza de 5cm şi înălţimea de 10 cm în pahar cubic cu
      latura de 5 cm . Încape apa în cub ?
    10. Desfăşurarea suprafeţei laterale a unui trunchi de con este o secţiune de co... y

sursa:matefix.ro