Corpuri: paralelipided, cub, piramidă, cilindru, con, sferă (recunoaştere, construcţie).

AnnaE

January 4, 2019

Corpuri, scurtă descriere, clasificări
Un poliedru este un corp mărginit doar de suprafeţe plane.
1. Corpurile care se studiază în clasa a VIII-a sunt : câteva poliedre si câteva corpuri de rotaţie.
  Poliedrele care sunt studiate în cls. a VIII-a au fost prezentate într-o lecţie anterioară şi reamintim care sunt ele :
  prisme dreapte , câteva piramide regulate şi trunchiril de piramidă regulate .
  
  Corpurile de rotaţie vor fi : cilindrul circular drept, conul circular drept, trunchiul de con circular drept şi sfera.
  
  Le vom studia în continuare .
2. Construcţia corpurilor de rotaţie - desene
  Un corp de rotaţie ia naştere prin rotirea unei suprafeţe în jurul unei drepte numită axa de rotaţie.
  
  Dacă suprafaţa care se roteşte este o suprafaţă dreptunghiulară şi are o latură pe axa de rotaţie , atunci corpul de rotaţie se numeşte cilindru circular drept.
  
  Dacă suprafaţa care se roteşte este o suprafaţă triunghiulară dreptunghică şi are o catetă pe axa de rotaţie , atunci corpul de rotaţie se numeşte con circular drept.
  
  Dacă suprafaţa care se roteşte este o suprafaţă trapezoidală dreptunghiulară ABCD cu bazele AB şi CD şi AD perpendiculară pe AB şi latura AD este pe axa de rotaţie , atunci corpul de rotaţie se numeşte trunchi de con circular drept.
  
  Dacă suprafaţa care se roteşte este un disc şi are un diametru pe axa de rotaţie , atunci corpul de rotaţie se numeşte sferă.
  
  Se observă că în fiecare din corpurile de mai sus apar cercuri , discuri..
  
  Reamintim că
  a) lungimea sau circumferinţa sau perimetrul cercului de rază R este P=2πR, unde π este un număr iraţional ,
  aproximativ egal cu numărul raţional 3,14.
  b) de asemenea , aria cercului de rază R este πR² .
  c) volumul unui corp are ca unităţi de măsură m³ şi multipli şi submultipli ai acestuia.
  d) capacitatea unui corp are ca unitate de măsură ³ şi multipli şi submultipli ai acestuia.
  e) 1 litru = 1 = 1 dm³ .

Cilindrul circular drept , definiţie, descriere, notaţii, desfăşurare, formule
1. Cilindrul circular drept ,descriere, desen , notaţii
  
  Cilindrul circular drept ABB'A' este corpul care ia naştere prin rotaţia
  unui dreptunghi AOO'A' în jurul unei drepte pe care se află una
  din laturile dreptunghiului , de exemplu în jurul dreptei OO'.
  OO' se numeşte axa de rotaţie a cilindrului.
  
  Planele celor două cercuri sunt paralele.
  Cercul de sus se numeşte cercul superior.
  Cercul de jos se numeşte cercul inferior.
  Cele două discuri se numesc bazele cilindrului.
  Dreptele AA',BB',OO',MM',NN', sunt perpendiculare pe planele bazelor,
  unde MM' || OO', M' pe cercul superior şi M pe cercul inferior şi analog NN..
2. Cilindrul circular drept : desfăşurare şi formule
  
  În figura 1, Notăm cilindru cu ABCD. Înălţimea h a cilindrului este distanţa dintre cele două baze, adică distanţa dintre planele lor şi este lungimea h=AD=BC=A'D'= OO'=.... Cele două discuri sunt congruente , adică au aceeaşi rază pe care o notăm cu R.
  Exemple de raze R = OC = OD = O'A = O'B = OT = OT', unde T este orice punct de pe cercul de jos, iar T' orice punct de pe cercul de sus.
  
  Aria unei baze este Aria cercului = πR² .
  Aria laterală a cilindrului circular drept din figura 1 este aria dreptunghiului AA'D'D din figura 2, deci
  Aria laterală = AA' • AC = perimetrul cercului bază • h = 2πR•h .
  Reţinem că Al = 2πRh.
  
  Aria totală a cilindrului circular drept este
  
  At = Al+2 A_baza= 2πRh+2πR²=2πR(h+R)
  
  deci At = 2πR(h+R) .
  
  Volumul cilindrului circular drept este
  
  V= A_bază• h = πR²h, deci V = πR²h.

Conul circular drept, definiţie, descriere, notaţii, desfăşurare, formule
1. Conul circular drept: descriere, desen, notaţii
  
  Fie triunghiul AVOdreptunghic în O.
  
  Conul circular drept AVB este corpul care ia naştere prin rotaţia
  suprafeţei triunghiulare AVO în jurul unei drepte pe care se află una
  din catetele triunghiului , de exemplu în jurul dreptei VO.
  
  Dreapta VO se numeşte axa de rotaţie a conului .
  
  Discul de jos, care ia naştere prin rotirea catetei [OA] în jurul axei VO
  este baza conului.
  
  Segmentul VO este perpendicular pe planul bazei.
2. Conul circular drept: desfăşurare, formule
  În figura 1 , notăm conul circular drept cu VAB.
  Înălţimea h a conului este distanţa de la v\rful V
  la planul bazei, adică h=VO, VO⊥ planul bazei.
  Raza cercului se notează cu R. R=OA=OB=OT,
  unde T este orice punct de pe cerc.
  
  În triunghiul dreptunghic VOB din fig. 1 ,
  cu teorema lui Pitagora, avem : G²=h²+R².
  
  Aria bazei = "aria cercului de rază R" = πR² .
  Aria laterală a conului circular drept este aria
  sectorului de cerc VAA' din figura 2 , deci πRG .
  Al = πRG.
  
  Aria totală a conului circular drept este
  At = Al+A_baza= πRG+πR² =πR(G+R) deci
  
  At = πR(G+R) .
  
  Volumul conului circular drept este
  
  .
Trunchi de con circular drept , definiţie, descriere, notaţii,
desfăşurare, formule
1. Trunchi de con circular drept , descriere, desen, notaţii
  Fie trapezul dreptunghic AOO'A', cu bazele [AO] şi [A'O']
  şi OO'⊥ AO. Trunchiul de con circular drept ABB'A' este
  corpul care ia naştere prin rotaţia suprafeţei trapezoidale AOO'A'
2. în jurul dreptei OO'.
  Dreapta OO' se numeşte axa de rotaţie a trunchiului .
  Cele două discuri sunt în plane paralele şi
  au razele R şi r, cu R > r. Discul de jos, este baza inferioară
  a trunchiului de con, iar cel de sus, baza superioară sau mică.
  Segmentul OO' este perpendiculare pe planele bazelor şi
  este înălţimea h a trunchiului ca şi B'D şi altele . G=AA' =
  = BB' = MM' ese generatoarea trunchiului, unde M este pe
  cercul de jos , iar M' pe cel de sus a.î. O'OMM' să fie
  trapez dreptunghic..
3. Trunchiul de con circular drept: desfăşurare, formule
  
  În figura 1 , notăm trunchiul de con
  circular drept cu ABB'A'.
  
  Înălţimea lui , notată cu h, este distanţa
  OO' dintre baze.
  h=VO, VO⊥ planele bazelor.
  
  Raza cercului de jos se notează cu R.
  R=OA, iar cea de sus r=O'A'.
  
  Aria bazei mari = S =
  "aria cercului de rază R" = πR²
  Aria bazei mici = s =
  "aria cercului de rază r" = π r² .
  
  Aria laterală a trunchiului de con
  circular drept din figura 1 este aria
  sectorului de coroană AA'EC
  din figura 2,deci Al = πG( R+ r ).
  
  Aria totală a trunchiului de con
  circular drept este
  At = Al+S+s = πG( R+r) + πR² +π r²
  
  Înălţimile VO şi VO' ale celor două
  conuri se pot exprima cu ajutorul lui R.r
  şi h=OO' astfel:
  Demonstraţie
  
  Notăm
  
  V=V_con =Volumul conului mare din care provine trunchiul ,
  
  v=v_con = volumul conului mic de sus şi
  
  Vt = volumul trunchiului de con .
  
  Demonstrăm că
  
  Rezolvare
  
  Sfera , definiţie, descriere, notaţii, desfăşurare, formule
1. Sfera (goală), descriere, desen, notaţii
  Sfera , ca suprafaţă, este mulţimea punctelor din spaţiu egal depărtate de un punct fix din spaţiu. O notăm cu Sf. Punctul fix se numeşte centrul sferei şi se notează de obicei cu O. Orice punct A,B,C, M, ... de pe sferă se află la o distanţă R de centrul O. R se numeşte raza sferei.
  Orice segment ce trece prin centrul O al sferei şi are capetele pe suprafaţa sferei se numeşte diametru al sferei. Diametru are lungimea egală cu 2R.
  Teoremă
  1) Dacă planul α intersectează sfera , atunci există un diametru
  al sferei perpendicular pe acest plan.
  2) Intersecţia dintre un plan şi o sferă este un punct ,
  un cerc sau mulţimea vidă.
  3) Dacă intersecţia dintre o sferă şi un plan este un cerc ,
  atunci diametrul perpendicular pe plan intersectează
  planul cercului în centrul cercului.
  
  Dacă planele paralele α şi β intersectează o sferă
  după două cercuri de centre M şi respectiv N şi
  de raze r, respectiv r₁ , atunci există diametrul AB
  perpendicular pe cele două plane.
  Fie M şi N centrele cercurilor de intersecţie,
  M şi N pe (AO), respectiv (OB) astfel încât
  OM=d şi ON = d ₁.
  
  Sfera este împărţită de cele două plane în trei părţi :
  sus şi jos sunt 2 părţi numite calote sferice ,
  iar între ele este a treia parte numită zonă sferică.
  Zona sferică este partea din sferă aflată între două
  plane paralele( şi perpendiculare pe un diametru al sferei).
2. Sfera : desfăşurare, formule
  Aria sferei este S_sferă=4πR².
  
  Volumul sferei este
  
  AB este perpendiculară pe cele două plane de secţiune şi
  AB este perpendiculară pe diametrul [CD].
  Cum OD=OC=R=raza sferei rezultă că triunghiul OCD
  este isoscel , deci M este mijlocul lui [CD]. iar MC=MD = r
  este raza cercului de secţiune dintre planul α cu sfera.
  În triunghiul dreptunghic ODM, cu ∠M drept ,
  putem aplica teorema lui Pitagora :
  OD²= OM²+MD² , adica R² = d²+r² şi de asemenea
  putem aplica şi teorema catetei , înălţimii, formule trigonometrice.
  Ultima formulă o denumim formula cercului de secţiune.

Test
1. Aria laterală a cilindrului este egală cu ....
2. Volumul conului circular drept este ....
3. Care este formula cercului de secţiune a sferei ?
4. Aria laterală a conului este egală cu ....
5. Care este aria laterală a cilindrului care are aria totală 16π cm² aria unei baze de 2π ?
6. Volumul sferei este egal cu ... ?
7. 12 = ? dm ³
8. Volumul unui con este 42π cm² şi raza lui este de 3 cm . Aflaţi înălţimea conului.
9. Se varsă apa dintr-un pahar cilindric plin cu apă şi cu raza de 5cm şi înălţimea de 10 cm în pahar cubic cu
  latura de 5 cm . Încape apa în cub ?
10. Desfăşurarea suprafeţei laterale a unui trunchi de con este o secţiune de co... y