CUPRINS:
Introducere. 5
1. Caracterul aleator al viitorulu i. 7
2. „O ştiinţă a ignorantului”. 12
3. Limitele certitudinii. 17
4. Sofismul „pretutindeni şi totdeauna”. 21
5. Urna ternară şi adunarea probabilităţilor. 25
6. Două extrageri dintr-o urnă binară: înmulţirea probabilităţilor. 31
7. O singură dată? Cel puţin o dată? 36
8. Două urne binare: probabilitatea antecedentelor. 40
9. Adevăratul preţ al şansei: speranţă matematică, valoare medie 48
10. Probe repetate; probabilităţi de apariţie. 53
11. Credinţa în compensaţie. 61
12. Cele patru sferturi ale unei serii de probe. 72
13. Probabilităţile abaterilor individuale. 82
14. Legea numerelor mari. 89
15. Hazard statistic şi hazard individual. 94
INTRODUCERE l
La prima vedere, asocierea hazardului cu certitudinea pare o sfidare la adresa bunului simţ: aleator şi indubitabil se opun gramatical, la fel ca jos şi sus, frig şi cald, negru şi alb. Am putea continua la nesfârşit această enumerare, împrumutând limbajul uzual, a cărui principală caracteristică este de a fi, tntr-o manieră naivă, calitativ de vreme ce recurge doar la da sau nu.
Dimpotrivă, limbajul ştiinţific reuşeşte să realizeze o gradaţi” fină pentru fiecare calitate, graţie unor noţiuni cărora prea adesea avem obiceiul de a le subaprecia precizia şi puterea de cuprindere.
Strict vorbind, în jurul nostru totul e întâmplător; totul se eşalonează între certitudine şi imposibilitate.
Certitudine. Aţi spus unui prieten: „Mâine, la ora asta, voi fi acasă”.
Măsura certitudinii. Aveţi patruzeci de ani. Din tabelele de mortalitate aflaţi că aveţi o şansă din 92 de a muri în următoarele 365 de zile, deci o şansă din 33580 de a muri în următoarele douăzeci şi patru de ore. Dacă nu apar alte piedici, proiectul dumneavoastră are 33579 şanse din 33580 de a se realiza.
Imposibilitate. Auziţi pe cineva spunând: „Am luat ultimul bilet la loterie, fiindcă sunt sigur că voi câştiga lozul cel mare”.
Măsura imposibilităţii: Există un singur bilet care asigură ctştigul maxim şi 299999 care nu ne aduc un câştig de cincisprezece milioane1. Fraza pronunţată are trei şanse dinlr-un milion de a deveni realitate. Gradul ei de imposibilitate este „cu mult mai mare” decât gradul de certitudine al afirmaţiei anterioare: în preziua tragerii, fiecare posesor al unui bilet loto are de zece ori mai multe şanse de a muri în următoarele douăzeci şi patru
1 Cel mai mare clştig posibil la loterie în Franţa anilor premergători celui de-al doilea război mondial (N. T.).
De ore decât de a câştiga marele loz. Clte oare din acţiunile noastre sunt sugerate de reguli aiit de precise de conduită1?
Hazardul poate să ocupe orice treaptă între cvasicertitudine şi cvasiimposibilitate. Tocmai aceste grade de incertitudine le evaluează calculul probabilităţilor, într-un mod riguros, cu nimic inferior celui în care procedează celelalte ramuri ale stiin-(ei.
Şi dacă s-ar fi păstrat moda de odinioară de a da unei cărţi două titluri sinonime, am fi ales desigur: „Certitudinile hazardului” sau reperarea exactă a incertitudinii.
M. B.
L
Oamenii de litere şi filosofii au dezbătut îndelung avantajele sau inconvenientele pe care ni le-ar aduce o cunoaştere perfectă a viitorului. Problemă de minimă importanţă, ca să nu spunem de prisos, care ţine de metafizică sau de fabulaţie. In ceea ce priveşte gândirea veritabilă şi, prin urmare, comportamentul adecvat, gânditorii moderni – începând cu Renaşterea – au întors spatele idealului grecilor antici. Pentru antici esenţială era construirea unei imagini a lumii în conformitate cu gustul sau (cum spuneau ei) cu raţiunea lor. Pentru noi, universul este impus omului: nu suntem liberi să ue alegem soarta; dacă vrem să trăim, trebuie să ne acomodăm cu ceea ce există. Lucrurile sunt astăzi atât de diferite de ceea ce erau altădată încât, sincer vorbind, nu putem reproşa nimic anticilor [39]1.
Oricare ar fi subiectul care ne solicită spiritul, cunoaşterea realului este ştiinţă, al cărei scop este enunţarea de legi de previziune. Previziuni inegal încununate de succes şi care se referă la numere, forme, materie şi radiaţie, viaţă, psihic şi intelect, societatea umană.
De mai puţin de un secol ştim, pe baza experienţei, că legile de previziune se împart în două tipuri ireductibile:
1. Legile de lip clasic2, cum ar fi: iluminarea unui ecran de carton variază invers proporţional cu pătratul distanţei care îl desparte de o lampă. Distanţa este numită variabilă independentă, iar iluminarea – variabilă dependentă: dacă
1 Numerele în caractere grase se referă la indexul bibliografic (p. 98). * Aceste legi sunt astăzi cunoscute sub numele de legi deterministe (N. T.).
Alegem pentru distanţă o valoare oarecare, după bunul nostru plac, gradul de iluminare este perfect determinat.
2. Legile zise de probabilitate1, care fac să intervină în plus variabilele aleatoare. Iată un exemplu simplu [11]: nici un savant nu poate să spună dacă un copil care se va naşte peste câteva luni va fi băiat sau fată, dar toţi cei ce se ocupă de demografie cunosc proporţia exactă dintre numărul de naşteri masculine şi cele feminine; ei au din punct de vedere ştiinţific certitudinea că anul viitor se vor naşte puţin mai mulţi băieţi decât fete.
Aceste idei, de achiziţie recentă, alcătuiesc un ansamblu vast, în care bunul simţ cotidian ne induce în eroare aproape totdeauna. Motivele acestei lipse de înţelegere sunt multiple [19]. În viaţa de toate zilele, dorinţele noastre înclină balanţa, făcându-ne să considerăm ca sigură realizarea unui eveniment fericit. Pesimiştii se înşală şi ei, dar în sens invers. Şi mai ales, marele public s-a obişnuit să considere ştiinţa ca deter-ministă, compusă din legi de tip clasic: el vrea certitudini şi cu greu acceptă ideea că un eveniment nu poate fi prevăzut în mod perfect riguros; el nu-şi dă seama că „a prefera certitudinea” (când problema bine formuiată nu comportă certitudine) nu înseamnă decât a prefera că 2 şi cu 2 fac 5 [11]. Multor oameni le este cvasiimposibil să-şi asimileze noţiunea de probabilitate: credulitatea şi neîncrederea sunt singurele lor atitudini curente. Opinia publică este în general formată din opinii extreme, deopotrivă greşit fundamentate [2].
Este deci cât se poate de util să scoatem în evidenţă importanţa şi rolul aleatorului în gândire şi viaţă.
Evenimentele aleatoare figurează, desigur, în limbajul de fiecare zi, sub formă de adjective, substantive şi adverbe. Acest vocabular e relativ bogat, dar mai ales vag, lacunar şi echivoc: enumerarea completă a termenilor uzuali nu prezintă câtuşi de puţin interes.
1 Procesele economice, biologice, intraatomice etc., care sunt guvernate de legităţi statistice (de legi de probabilitate sau probabilistice) slnt desemnate astăzi prin anumiţi termeni sinonimi, cum ar fi: procese aleatoare, procese stochastice, procese probabilistice (N. T.).
Pentru a fixa ideile, vom alege aici treptele următoarei gradaţii:
1 imposibil, neverosimil, îndoielnic, n! O plauzibil, cert;
(punctele înlocuiesc două adjective, care ne lipsesc în limbă şi care ar corespunde, primul lui „foarte plauzibil”, al doilea lui „aproape sigur”). Rupând odată pentru totdeauna cu obiceiul de a face distincţie între lucruri prin „da” şi „nu”, vom spune în mod convenţional că aceste şapte cuvinte (sau locuţiuni) sunt varietăţi ale genului aleator: aleatorul se întinde deci peste nenumărate tranziţii, de la imposibilitate (inclusiv imposibilitatea) până la certitudine (inclusiv certitudinea). Nu ne jenează deloc faptul că, neglijând conformismul verbal, considerăm în principiu imposibilul şi certul drept cazuri particulare ale aleatorului. Pe de o parte, ne pregătim efectiv să evaluăm incertitudinea. Iar pe de altă parte, fără să anticipăm asupra celor ce urmează, ni se întâmplă în fiecare moment să fim puşi în faţa întrebării: în ce măsură cutare eveniment este aleator?
A) Apariţia evenimentului se situează la mijlocul drumului între imposibil şi sigur. Este aproape sensul adjectivului „plauzibil”; dar alte turnuri de frază ar conveni mai bine: „poate că da, poate că nu”; „se poate paria cu şanse egale”; „avem o şansă din două”.
B) Apariţia evenimentului se situează mai aproape de imposibilitate decât de certitudine: eveniment îndoielnic, eveniment neverosimil.
C) Sau mai aproape de certitudine decât de imposibilitate.
D) In fine, evenimentul poate fi perfect cert sau absolut imposibil. Acesta este un răspuns corect şi satisfăcător la problema pusă. În acelaşi timp, începem să înţelegem că legile de tip clasic (determinismul rigid) constituie un caz particular al legilor de probabilitate sau, cum se spune, al determinismului statistic.
Până acum am evitat cu grijă folosirea adjectivelor „probabil” şi „posibil”. „Probabil” nu mai are nimic comun cu sensul său etimologic1. Cit despre „posibil”, el e unul din rarele cuvinte cărora este convenabil să le păstrăm accepţiunea comună: ceea ce se poate întâmpla. Două evenimente sunt egal posibile sau, în limbajul matematic, echiprobabile, dacă ele sunt egal depărtate de certitudine, dacă suntem la fel de nede-cişi asupra apariţiei lor [37]; un moment de gândirc ne va convinge că ne aflăm într-un asemenea caz, dacă vrem să obţinem CAPUL la aruncarea cu moneda sau un NUMĂR PAR (2, 4 sau 6) la aruncarea cu zarul; de asemenea, folosind un singur zar, apariţia lui DOI şi a lui CINCI sunt echiprobabile. Etc.
În treacăt fie zis, înţelegerea greşită a noţiunii de echipro-b-ibilitate este o sursă nesecată de erori şi chiar de prostii, în majoritatea dilemelor („din două, una”), cele două eventualităţi nu sunt echiprobabile. Oricine este îndreptăţii să-şi spună:
Mâine voi fi mort sau voi fi în viaţă. Dar de aici nu trebuie conchis: Am „deci” o şansă din două să mor în timpul nopfii. Căci cele două eventualităţi contrare nu sunt echiprobabile. Nu vă grăbiţi să surâdeţi: o asemenea greşeală grosolană a fost comisă [5] de marele savant D'Alembert2, care a persistat în modul său de a vedea lucrurile, fără a se lăsa convins de un raţionament ireproşabil al matematicianului Euler3.
1 în limba franceză, adjectivul „probabil” derivă din verbul latin „probare”, care înseamnă „a dovedi”, „a demonstra”; ca atare, sensul etimologic este în franceză de „demonstrabil”, „care poate fi dovedit”. Astăzi el este folosit în limba franceză exact cu acelaşi sens ca în limba romană (N. T.).
2 Jean Le Rond D'Alembert (1717 – 1783), filosof iluminist, matematician şi scriitor francez. Membru al Academiei de Ştiinţe, secretar a! Academiei Franceze, a participat la redactarea celebrei Enciclopedii franceze (articolele de matematică şi Discursul preliminar). Ca matematician, a adus o contribuţie importantă la fundamentarea mecanicii, for-mulând regulile generale pe care se bazează stabilirea ecuaţiilor diferenţiale pentru mişcarea sistemelor discrete de puncte materiale; în conştiinţa publicului larg, el rămâne bine cunoscut pvintr-o teoremă esenţială pentru rezolvarea ecuaţiilor algebrice, care îi poartă numele (N. T.).
3 Leonhard Euler (1707 – 1783), matematician şi fizician elveţian, şi-a desfăşurat cea mai mare parte din activitate la Petersburg. A adus contribuţii importante la dezvoltarea analizei matematice, a teoriei ecuaţiilor diferenţiale şi a teoriei numerelor; a fost creatorul calculului variaţiilor (N. T.).
Locul probabilului, respectiv al posibilului, printre celelalte varietăţi de aleator este foarte prost fixat de limbajul curent. Recent, bazându-se pe argumente de ordin etimologic, un distins lingvist a declarat, într-o cronică, că se poate spune: „Este probabil, e chiar posibil.” Personal aş fi preferat: „Este posibil, este chiar probabil.” Opozantul meu a fost de acord cu această formulare; dar ezitarea iniţială [42] este simptomatică.
