Matematica pentru invatamantul primar si prescolar

Didactica matematicii Mihail Rosu pdf.........

Rezolvarea problemelor de matematică prin metoda grafică (figurativă) Metoda figurativa (grafica) este o metoda matematica de rezolvare a problemelor tipice (probleme pentru a caror rezolvare se aplica un algoritm cunoscut), si face parte din programa scolara a claselor a III-a si a IV-a. O putem intalni si mai devreme in culegeri sau subiecte pentru concursurile scolare. Aceasta metoda presupune rezolvarea unor probleme prin figurarea datelor sub forma de linii, figuri sau diferite alte forme grafice. Metoda segmentelor este de fapt tot metoda figurativa, dar se refera doar la problemele in care reprezentarea datelor problemelor se face cu ajutorul segmentelor. Atunci cand rezolvam probleme de matematica trebuie sa avem in vedere urmatoarele aspecte: intelegerea problemei si exprimarea in limbaj matematic a relatiilor dintre marimile care apar in textul acesteia. Ce trebuie sa stim ? Expresia “cu atat mai mult” inseamna o adunare; Expresia “cu atat mai putin” inseamna o scadere; Expresia “de atatea ori mai mult” inseamna o inmultire”; Expresia “de atatea ori mai putin” inseamna o impartire. Urmatoarele exprimari inseamna : Mariti cu 2 numarul X, adica, X + 2 Micsorati cu 2 numarul X, adica, X – 2 Mariti de 2 ori numarul A, adica, A x 2 Micsorati de 2 ori numarul A, adica, A : 2 Pentru exemplificare, voi prezenta rezolvarea unei probleme, atat prin metoda grafica cat si algebric. Problema 1 : Mama si Irina au impreuna 35 ani. Stiind ca mama are de 6 ori varsta Irinei, sa se afle cati ani au fiecare. Var. 1 – metoda grafica Figurarea datelor – pentru varsta Irinei vom desena un segment, iar pentru varsta mamei vom desena 6 segmente unite astfel: Dupa cum vedem in total sunt 6 segmente (mama) + 1 (Irina) = 7 segmente (sau parti) pentru a afla o parte calculam 35 : 7 = 5 , pentru ca o parte este chiar varsta Irinei, atunci Irina = 5 ani, varsta mamei o putem calcula in doua moduri: fie 35-5=30 ani fie 6 parti x 5 = 30 ani Varianta 2 – algebrica Notam cu x varsta Irinei, x + 6x = 35 7x = 35 x = 35:7 x=5 ani (Irina), 35-5=30 (mama) In rezolvarea algebrica am folosit factorul comun (pentru a aduna x+6x), care face parte din materia de clasa a V-a. Acesta este motivul pentru care ”se complica” iar copiii nu au toate cunostintele pentru a rezolva algebric. De aceea, varianta 1, adica, metoda grafica, ramane accesibila pentru copiii de la invatamantul primar. Tipuri de probleme 1) Andrei si Sorin au impreuna 80 de timbre. Andrei are cu 20 mai multe timbre decat Sorin. Cate timbre are fiecare baiat? – desenam un segment care figureaza cate timbre are Sorin, apoi altul pentru timbrele lui Andrei atfel: – aflam cate timbre ar avea cei doi copii impreuna daca ar avea un numar egal de timbre? 80-20 = 60 (timbre) – apoi cat reprezinta o parte? (sau cate timbre are Sorin?) 60:2 = 30 (timbre Sorin) 30+20 = 50 (timbre Andrei) Verificare: 30+50=80 Atentie! In cazul in care ati optat pentru a afla cate timbre are Andrei astfel: 80-30=50, rezultatul este corect, dar verificarea nu mai aduce siguranta ca nu exista nici o greseala deoarece 30+50=80 este operatia inversa. In rezolvarea mea am aflat cate timbre are Andrei tot cu ajutorul segmentelor. Varianta mai complicata 3 numere consecutive au suma 402, care sunt acestea? In primul rand copilul trebuie sa stie ca un numar consecutiv se scrie cu ”+1” (fie “n” un numar natural, numarul consecutiv acestuia este n+1) Apoi reprezentam grafic trei numere consecutive, cu suma 402: (402-3) : 3 = 399 : 3 = 133 (numarul 1) 133 + 1 = 134 (numarul 2) 133 + 1 + 1 = 135 (numarul 3) V: 133+134+135 = 402 2) In parc se joaca 20 de fete si baieti. Stiind ca baietii sunt cu 10 mai putini decat fetele, aflati cati baieti si cate fete se joaca in parc. Aceasta problema o putem rezolva in doua moduri: A) figurand exact datele problemei (20+10) : 2 = 30 : 2 = 15 (1parte = numarul de fete) 15-10 = 5 (numarul de baieti) V: 15+5=20 B) la fel ca la varianta 1, considerand ca fetele sunt cu 10 mai multe ceea ce este acelasi lucru cu baietii sunt cu zece mai putin si atunci desenam: (20-10) : 2 = 10:2 = 5 (1 parte = numarul de baieti) 5+10 = 15 (numarul de fete) Verificare: 5+15=20 4) Intr-o curte sunt gaini si rate. Numarul gainilor este de trei ori mai mare decat numarul ratelor. Daca scazi din numarul gainilor numarul ratelor obtii 20. Cate gaini si cate rate sunt in curte? (puteti explica usor copilului cu ajutorul unor creioane colorate sau carioci, in loc de segmente) 2parti = 20 1p = 20 : 2 1p = 10 (numarul de rate) 10 x 3 = 30 (numarul de gaini) V: 30-10=20 Astfel de probleme dezvolta inteligenta copiilor, spiritul de cautare a problemei, pentru ca reprezentarea grafica a problemelor e mai la indemana lor prin perceptia vizuala si mai apoi trec la rezolvarea ‘bruta” a calculelor. Accesibilitatea acestui tip de metoda, care se rezolva cu ajutorul figurilor, ori a segmentelor duce la antrenarea imaginatiei si a dorintei de cunoastere si aprofundare a matematicii. Bibliografie : Curs de matematica pentru invatamantul primar si prescolar de lector univ. doctor Costel Chites

Introducere Alegerea viitoarei meserii (în principiu, a facultății ce trebuie urmată) trebuie să fie considerată o decizie esențială în evoluția vieții fiecărei persoane.   Dacă opțiunea este făcută având la bază doar motivația materială (un venit consistent si rapid), structura social economică a societății la acel moment sau dorințele unor părinți prea autoritari, de multe ori se ajunge la insatisfacție sau esec profesional. Nu spunem că aceste aspecte nu trebuie luate în seamă, dar ele nu trebuie să fie dominante în hotărârea fiecăruia (oricum, la ritmul de schimbare a configurației socio-profesionale actuale, ele pot fi înselătoare). E bine să alegem o specialitate care poate oferi posibilitatea de a lucra în mai multe domenii, care este indispensabilă dezvoltării anumitor ramuri economice, stiințifice, etc. Opțiunea trebuie să se bazeze în primul rând pe o analizare critică a aptitudinilor, posibilităților, dorințelor personale, deoarece profesiunea aleasă trebuie să fie practicată din plăcere. Alături de medic si preot, profesorul joacă un rol important în viața fiecăruia. Dacă primii doi au grijă de sufletul si trupul nostru si ne învață cum să le îngrijim, dascălul ne îndrumă în a acumula experiențe, cunostințe, modelează gândirea, dezvoltă personalitatea, oferă exemple de viață si criterii de valoare morală. Din acest motiv, profesiunea de dascăl este una vocațională. Marele matematician Grigore Moisil spunea că profesorul este cel care într-o anumită disciplină, stie în fiecare zi mai mult decât ieri, învățându-l pe altul ce stie el azi, îl pregăteste pentru ce va afla mâine si care poate să fundeze ceea ce stie într-o anumită disciplină, pe ceea ce stie din celelalte discipline pe care aceasta se reazemă. În cadrul pregătirii profesionale a unui profesor se îmbină două laturi: cea stiințifică si cea pedagogică. Este evident că un dascăl bun trebuie să fie o persoană cu o pregătire stiințifică bogată, bine fundamentată, net superioară nivelului la care se predă. Chiar dacă un profesor predă doar la gimnaziu, el trebuie să cunoască ceea ce se predă la orele de matematică în liceu pentru a pregăti corespunzător elevii făcând legătura dintre noțiunile predate de el si cele viitoare, asigurând continuitatea învățării. Considerăm că cea mai mare răspundere în formarea abilităților si gândirii matematice a elevilor o are profesorul de matematică din gimnaziu. El este primul profesor de specialitate care trebuie să-i facă pe copii să îndrăgească matematica si să-i inițieze cu răbdare în tainele acesteia. Pentru aceasta, el are menirea dificilă de a transpune noțiuni, greu de aprofundat în această etapă, într-un limbaj accesibil vârstei, fără a renunŃa la rigoarea matematică. Profesorul care predă doar la liceu trebuie să cunoască exact noțiunile predate în perioada gimnazială, acestea fiind fundamentul pe care va clădi si va dezvolta în continuare. De asemenea, este necesar ca el să fie familiarizat cu metodele specifice de abordare a matematicii în gimnaziu pentru a realiza o punte de legătură cu noile metode din liceu. Ținând cont de faptul că noțiunile din liceu devin din ce în ce mai abstracte (analiza matematică, în special), profesorul trebuie să creeze motivații puternice, să pună accentul pe caracterul interdisciplinar al matematicii, să încurajeze căutarea si cercetarea elevilor. Dacă profesorul pune accentul pe latura problematică a matematicii, adică explică probleme care conduc la introducerea unor noțiuni noi sub forma precizată (de ce a apărut?, la ce foloseste?, de ce asa?), se vor dezvolta motivațiile care stau la baza acestora.   Cărțile de cultură matematică generală joacă aici un rol important. Spre deosebire de manualele, revistele, culegerile de matematică care au o formă conservatoare si rigidă, acestea prezintă rezultate matematice sub o formă mai plăcută, stabilesc mai usor motivații si conexiuni cu alte domenii. Dintre aceste cărți, este bine să nu lipsească din bibliografia de studiu următoarele: Licuricii din adâncuri, Aventura geometriilor neeuclidiene, Istoria numărului pi (Florica T. Câmpan), Vraja geometriei demodate (Viorel Vodă), etc. Un prim pas în dezvoltarea creativității, inteligenței elevilor constă în încurajarea acestora în a întreba (chiar dacă uneori răspunsurile sunt elementare) fără a-i admonesta că sunt obraznici sau a-i face să se simtă stânjeniți. Matematicianul Solomon Marcus subliniază acest fapt precizând că „discursul matematic are totdeauna caracter deschis, generator de întrebări. A învăța să te nedumeresti este lucrul cel mai important. Restul vine aproape ca un corolar.” Atitudinea elevului relativ la învățarea matematicii trebuie să fie activă. El trebuie învățat să gândească singur, să abordeze si să caute soluții personale la anumite probleme sau demonstrații de teoreme pe care apoi să le confrunte cu altele. Acesta este si începutul activității sale de cercetare (care are loc la orice nivel, chiar si în gimnaziu). Oferirea unor „rețete” sau soluții „de-a gata” nu dezvoltă imaginația, căutarea, judecata elevilor. De exemplu, în cazul construcțiilor ajutătoare în problemele de geometrie, dacă nu „se vede” modul de demonstrație, printr-un lanț de întrebări, adecvat alese, elevul poate găsi singur, la un anumit pas, rezolvarea si, pentru a o reține, va avea o motivație mult mai profundă decât cea clasică „pentru că asa se face”. În cadrul concursurilor scolare, am găsit de multe ori abordări originale care nu urmează sablonul clasic, rezolvări inedite, care arată că elevii sunt capabili de activități creatoare începând chiar din cele mai mici clase. Gândirea matematică presupune capacitatea de a raționa în etape riguros alcătuite, fiecare legată de cele anterioare dar si capacitatea de concentrare a atenției pe durată mare. În acest sens, exercițiile de calcul suficient de lung, atât de desconsiderate de mulți, le dovedesc elevilor cât sunt de pregătiți în canalizarea atenției si concentrarea asupra lucrului curent. Concursul „Cangurul” cere si el atenție si concentrare maximă; printre altele, participanții află cât de importantă este citirea cu atenție a enunțului unei probleme. Elevii trebuie să fie constienți de faptul că greselile de calcul conduc la penalizări, chiar dacă raționamentul este corect; ei au datoria ca, prin exercițiu personal, să-si dezvolte capacitatea de concentrare. Problemele de tipul „unde este greseala?” contribuie atât la formarea spiritului de rigoare cât si la testarea cunostințelor asimilate. De asemenea, dacă vom propune analizarea unor texte matematice din cărți, reviste de specialitate, lucrări ale elevilor sau ale profesorului, elevii vor putea comenta forma estetică, modul de expunere, neclaritățile, ambiguitățile, eventualele greseli si se vor acomoda cu studiul stiințific. Astfel, ei vor cerceta învățând. ținând cont de influența tehnicii computaționalizate în viața curentă, profesorul de matematică trebuie să pună accentul pe dezvoltarea gândirii algoritmice a elevilor. Formarea capacității de abstractizare este un alt deziderat în activitatea desfăsurată la orele de matematică. Procesul începe încă din gimnaziu prin exerciții de recunoastere a unor noțiuni, formule, proprietăți, teoreme, indiferent de notație. Pentru aceasta, este important să exprimăm si în cuvinte orice enunț formulat simbolic (mai ales la analiză matematică si algebră). Chiar dacă redactarea simbolică este de cele mai multe ori mai concisă, riguroasă si comodă, pentru a fi reținută si aplicată în alte demonstrații ea trebuie înțeleasă în profunzime. Enunțul matematic transpus numai în cuvinte face apel la un limbaj mult mai familiar elevilor si evidențiază în mod direct semnificația avută în vedere, făcând apel atât la logică cât si la intuiția fiecăruia. Doar pregătirea stiințifică superioară a unui cadru didactic nu reprezintă garantul unui profesor bun. Esențială este si capacitatea de a comunica elevilor cunostințele, de a le prezenta într-o formă accesibilă, comodă, motivată, care să conducă la obținerea unor rezultate cât mai bune. Pentru aceasta, profesorul trebuie să cunoască psihologia copilului, să-si perfecționeze metodica de predare-învățare-evaluare, deținând noțiuni de pedagogie; să aibă tact; să fie deschis la nou. Profesorul de matematică nu are menirea doar de a-i învăța pe elevi matematica. El trebuie să le sublinieze acestora rolul disciplinei în dezvoltarea societății, oferind motivații puternice învățării; prin metodele de lucru si limbajul stiințific, el dezvoltă inteligența, spiritul creator, talentul elevilor, îi învață să gândească logic, să caute adevărul si noutatea, să lucreze singuri, dar si în echipă. De asemenea, el trebuie să le dezvolte spiritul de obiectivitate, de corectitudine, de etică, fiind un exemplu pentru ei în acest sens. Lucrarea de față dezvoltă ideile prezentate si încearcă să ofere o privire de ansamblu asupra actualelor tendințe de dezvoltare a didacticii matematice. Ea face subiectul cursului Didactica matematicii din programa studenților anului II matematică ai Facultății de Matematică- Informatică din Craiova. Deoarece am conceput-o si ca un ghid pentru tinerii profesori în activitatea desfăsurată la clasă si pentru pregătirea examenelor de definitivat, de gradul al II-lea, de titularizare, am înglobat tematica precizată la metodică în programele corespunzătoare la momentul editării. Se pare că în prezent, conceperea unei lucrări nu poate ține pasul cu modificările apărute în sistemul de învățământ; acesta este motivul pentru care pot apărea anumite divergențe între unele probleme tratate în carte si cele specificate în documentele scolare, dar principiul didactic are o remanență mult mai mare; de obicei forma se schimbă mai repede decât fondul. La început, cartea prezintă conceptul de didactică si principiile acesteia, oferind pentru fiecare dintre ele câteva exemple de aplicare ale acestora. Pentru studierea metodicii matematice, capitolul al II-lea este esențial. El oferă informaŃii legate strict de pedagogia predării-învățării acestei discipline, fiind menționate sarcinile didacticii matematicii si strategiile didactice. Dintre metodele didactice, sunt selectate doar cele frecvent întâlnite în activitatea unui profesor de matematică, propunând exemple practice de aplicare ale acestora. Rolul mijloacelor de învățământ în activitatea de predare-învățare-evaluare este subliniat prin modele practice la clasele a VI-a si a VII-a.   Obiectivele educaționale, fundamentale în obținerea unui proces educativ cu un randament ridicat, sunt tratate în mod tradițional, dar si ținând cont de reforma curriculară din învățământ, subliniind rolul obiectivelor operaționale în realizarea strategiilor procesului de instruire pe termen imediat (la fiecare lecție), cu importanță maximă în evaluarea tacticii alese. Capitolul III prezintă finalitățile sistemului românesc de învățământ si problemele actuale, caracteristice reformei curriculare din învățământ: planul-cadru, finalități pe cicluri curriculare, curriculum la decizia scolii. Produsele curriculare sunt prezentate în forma lor actuală (pentru anul scolar 2006-2007), putând varia, în funcție de modificările ce pot surveni pe parcurs. Esența unei proiectări corecte, riguroase a activităților instructive considerăm că nu este trecătoare, ci doar forma ei de redactare (cerută la un anumit moment). Ceea ce trebuie avut în vedere când parcurgem capitolul al IV-lea, nu este grija de a avea „documentele la zi”, ci efor8 tul constant de a te pregăti pentru fiecare lecție susținută la clasă, chiar dacă ea a fost predată mulți ani: o lecție care tratează o tematică stabilită devine diferită ca mod de abordare în funcție de clasa la care este predată si de experiența noastră pedagogică acumulată. łinând cont de acest fapt, putem elimina atributul de „monoton” legat de activitatea de predare a matematicii. Capitolul mai furnizează o formă de proiect pentru o unitate de învățare si a unui opțional. Chiar dacă forma actuală de proiectare este unitatea de învățare, forma fundamentală este lecția.   În capitolul V sunt prezentate tipurile clasice de lecție, punând accentul asupra evaluării eficienței acesteia. Procesul de verificare si evaluare în procesul de învățământ este esențial în evaluarea rezultatelor scolare, în stabilirea eficienței activității de predare-învățare. În acest cadru sunt precizate criterii de gradare a evoluării performanțelor scolare, sunt prezentate metode tradiționale si complementare de verificare si evaluare si este subliniat rolul itemilor în formularea unor teste docimologice cât mai performante. Capitolul VII subliniază câteva aspecte ale comunicării didactice: relația profesor-elev, latura psihopedagogică a comunicării. Definirea corectă a noțiunilor matematice este esențială în înŃelegerea conceptelor de bază. Elevii nu trebuie să reproducă mecanic definițiile introduse ci trebuie să ajungă să le folosească în cazuri concrete care nu specifică cadrul capitolului tematic în care se încadrează. În capitolul VIII sunt prezentate: elementele structurale ale unei noŃiuni, legătura dintre acestea; raporturile existente între diferite noțiuni; tipuri de definire a unui concept, fiecare însoțit de exemple; operațiile logice de diviziune a noțiunilor si de clasificare a obiectelor. Deoarece limbajul matematic se realizează folosind limba română, se spune că limba română este metalimbajul folosit în studiul limbajului- obiect, cel matematic. Acestea se întrepătrund de cele mai multe ori în sensul că orice text matematic are o componentă naturală (limba română) si una artificială (simboluri, formule, etc.). łinând cont de faptul că la baza expunerii matematice (definiții, teoreme, demonstrații) stau propozițiile logice, am considerat necesară introducerea unui capitol de logică matematică. Capitolul IX subliniază succint rezultate importante legate de calculul propozițional, predicate si raționament matematic. Elevii trebuie să stie să formeze propoziții corecte din punctul de vedere al logicii matematice; să diferențieze propozițiile logice de predicate; să identifice cuantificatorii logici într-un text matematic si să efectueze corect operația de negare a unei afirmații, operație cu rol esențial în raŃionamentul prin reducere la absurd; să distingă ipoteza de concluzie, condiția necesară de cea suficientă; să generalizeze un concept; să înțeleagă ideea de reciprocă a unei teoreme; să raționeze deductiv. Aplicațiile cuprinse în capitolul al X-lea evidențiază aria largă de aplicabilitate a două metode de raŃionament deductiv: reducerea la absurd si inducția matematică. Ultimul capitol este rezervat rezolvării de probleme. Temele tratate pot constitui capitole în cadrul unor opționale, activități suplimentare de pregătire a elevilor pentru concursurile scolare, puncte de pornire în activități de cercetare ale scolarilor. Atât principiul lui Dirichlet cât si principiul includerii si excluderii sunt metode des întâlnite în rezolvarea problemelor propuse la olimpiade. Problemele de loc geometric si cele de construcții cu rigla si compasul sunt doar două tipuri de aplicații care si-au pierdut importanța în programele actuale dar au o contribuție majoră în dezvoltarea intuiției, raționamentului, înțelegerii proprietăților geometrice si stabilirii de legături interdisciplinare (de exemplu, numărul de aur). Mulțumim pe această cale tuturor dascălilor care au contribuit prin exemplul lor de adevărați profesionisti la formarea noastră stiințifică si metodică. descarcati de mai jos  

Probleme de algebra IX-XII de C.Nastasescu

Cum gandim si rezolvam de E. Rusu