Matematica pentru invatamantul primar si prescolar

Triunghiul de V. Voda

Sistemul zecimal este un sistem de numeratie pozitional, având baza 10. Este cel mai utilizat sistem de numerație, motivul presupus fiind că oamenii au zece degete la cele două mâini. Termenul „zecimal” provine din latina decimal (după zece) Sistemul de numerație zecimal a fost folosit elaborat în India și este descris în edictele din Ashoka (mileniul I î.Hr.). Aici se foloseau cifrele fără zero Încă din vechime unele elemente au fost preluate în China. Arabii l-au adoptat de la indieni în secolul al VIII-lea iar contribuția lor majoră la sistem a fost introducerea cifrei zero, a cărei primă apariție este în lucrările lui al-Khwarizmi. În Europa el a fost introdus în 1202 de către Leonardo Fibonacci care l-a tradus din arabă în cartea sa, Liber Abaci. Notația zecimală este scrierea numerelor în sistemul de numerație baza 10. Pentru reprezentarea oricăror numere, indiferent cât de mari, se folosesc exact 10 cifre, având 10 valori diferite: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9. Simbolurile acestor cifre, folosite actual în întreaga lume, sunt denumite de europeni cifre arabe, iar de arabi cifre indiene, după culturile de la care fiecare le-au preluat. Grafia acestor simboluri însă diferă de la cultură la cultură. Sistemul zecimal este un sistem de numerație pozițional, în care poziția fiecărei cifre indică înmulțirea valorii cifrei respective cu o putere a lui 10. Fiecare poziție indică o valoare de 10 ori mai mare decât poziția din dreapta sa. Dacă există parte fractionara, ea urmează după număr, după un separator zecimal, care în Romania este virgula. Semnul numărului este plasat înaintea lui și este unul dintre simbolurile + (pentru numere pozitive) sau − (pentru numere negative) sursa: wikipedia

Scoala din Milet Nasterea matematicii grecesti este legata de figura legendara a lui Tales (aproximativ 600 i.e.n.) care a fondat in Grecia, cea mai veche scoala filozofica de materialism spontan. Filozofia scolii mileziene, la fel ca si a scolii din Efes, intemeiata de Heraclit (aproximativ 530 -470 i.e.n.) a fost orientata impotriva ideologiei idealiste si metafizice a aristrocratiei gentilice. Conform afirmaiilor lui Herodot, Democrit si Platon, Tales a fost de origine feniciana. El a fost negustor in Milet, centrul comertului peste mari, in prima jumatate a secolului al VI-lea i.e.n., vizitand Egiptul unde a si facut cunostinta cu matematica. Combinarea germenilor de stiinte ale naturii cu filozofia a dus, o data cu rezolvarea problemelor practice, la incercarile unei explicatii moniste a lumii. Tales a incercat sa explice varietatea naturii dintr-un principiu unic, sa gaseasca in haosul aparent al fenomenelor o legitate. Acest principiu, Tales il putea gasi in mitologia culturii insulare egee antice a Egiptului si in special al Mesopotamiei. Tales a luat drept baza primara a intregii existente APA. Spre deosebire de credintele religioase, invatatura lui Tales nu considera lumea creata de zei, ci vesnica si in vesnica schimbare logica. Astfel se contureaza aici pe deplin materialismul spontan initial, care la inceputurile lui considera in chip foarte firesc, ca de la sine inteleasa, unitatea fenmenelor naturii in infinita lor varietate si care cauta aceasta unitate in ceva special, asa cum Tales o cauta in apa. Incercand sa dea explicatii logice, rationale ale fenomenelor, Tales a inceput sa abordeze si propozitiile matematice cu cerinta nu numai de a le expune, ci si de a le demonstra. Lui i se atribuie demonstratia urmatoarelor teoreme : 1) diametrul imparte cercul in doua parti egale 2) egalitatea unghiurilor de la baza in triunghiul isoscel 3) egalitatea unghiurilor drepte 4) egalitatea tringhiurilor care au o latura si unghiurile adiacente egale (asa-numitul al doilea caz de egalitate a triunghiurilor) 5) fsptul ca unghiul inscris intr-un semicerc este drept Generalizand cunostintele egiptenilor si babilonienilor, scoala mileziana a cautat sa gaseasca raspuns la problema fundamentului existentei si in conformitate cu cresterea elementului logic in gandirea sociala, cauta si o fundamentare a diferitelor propozitii ale geometriei. Si daca geometria egipteana ramanea in esenta o geometrie a ariei, pastrand prin aceasta legatura directa cu provenienta ei in agrimensura, la greci a devenit acum mai abstracta. Intr-o masura si mai mare dect la egipteni, erau folosite desene;liniile drepte erau privite numai ca margini ale paralelelor de pamant. Propritatile tringhiurilor, ale unghiurilor, ale cercului, erau studiate pe figura. Un rol important a inceput sa-l joace notiunea de asemanare (similitudine). La fel ca si in patria invatatorilor grecilor,adica, egiptenii si babilonienii,studiul matematicii a fost si in Elada (Grecia) strans legat de necesitatile practice. COnstructia enormelor temple a lui Apolo din Milet, a Herei pe insula Samos si a Artemidei in efes, dateaza din secolele VII si VI i.e.n. Construirea acestor temple dura timp de decenii, ele necesitau calcule si plane exacte, dar si aplicarea unor mecanisme simple. Cunostintele de matematica erau necesare si pentru constructia de vase, ce se dezvolta, si pentru navigatie. Scoala mileziana a numarat o serie intreaga de filozofi-matematicieni, dar s-au pastrat extrem de putine nformatii despre acestia. Continuatorul remarcabil al lui Tales a fost compatriotul, ruda si elevul sau Anaximandru (aproximativ 610-543 i.e.n.), autorul operei “Despre natura”, unde considera drept baza a intregii existente apeiron-ul – “nelimitatul” – o nemarginita in spatiu si timp, fara calitati, care vesnic se schimba, se misca, delimiteaza contrariile si le absoarbe din nou. Emitand pentru prima data ipoteza infinitatii lumilor in universulinfinit si a originii naturale a omului, el a pus prin aceasta pe primul plan ideea legitatii obiective, idee care a stimulat apreciabil dezvoltareastiintei raporturilor cantitative si a formelor spatiale ale realitatii. Din scoala mileziana facea parte si Las din Hermion care a scris in preajma anului 500 i.e.n. o lucrare de muzica, prima lucrare greceasca de acest gen. el efectua experiente de acustica. Din mai multe vase identice, unul ramanea gol, altul era umplut cu lichid pana la jumatate si asa mai departe. Lovind fiecare dintre aceste vase, el a stabilit ca raportul volumelor goale exprima “pentru octava ca 2 : 1, pentru cvinta ca 3 : 2, pentru cvarta ca 4 : 3”. Filozofii scolii pitagoreice au folosit aceasta experienta pentru invatarea lor mistica asupra “armoniei numerelor” atribuind-o lui Pitagora.Astfel experientele lui Las din Hermion precizau doar faptele, incontestabil cunoscute demult de catre constructorii de lire si flaute. Astfel, inca de pe atunci filozofia idealista parazita pe realizarile stiintelor naturii si matematicii, fenomen caracteritic pentru ea de-a lungul intregii istorii si devenit deosebit de izbitor in zilele noastre.

Rezolvarea problemelor de matematică prin metoda grafică (figurativă) Metoda figurativa (grafica) este o metoda matematica de rezolvare a problemelor tipice (probleme pentru a caror rezolvare se aplica un algoritm cunoscut), si face parte din programa scolara a claselor a III-a si a IV-a. O putem intalni si mai devreme in culegeri sau subiecte pentru concursurile scolare. Aceasta metoda presupune rezolvarea unor probleme prin figurarea datelor sub forma de linii, figuri sau diferite alte forme grafice. Metoda segmentelor este de fapt tot metoda figurativa, dar se refera doar la problemele in care reprezentarea datelor problemelor se face cu ajutorul segmentelor. Atunci cand rezolvam probleme de matematica trebuie sa avem in vedere urmatoarele aspecte: intelegerea problemei si exprimarea in limbaj matematic a relatiilor dintre marimile care apar in textul acesteia. Ce trebuie sa stim ? Expresia “cu atat mai mult” inseamna o adunare; Expresia “cu atat mai putin” inseamna o scadere; Expresia “de atatea ori mai mult” inseamna o inmultire”; Expresia “de atatea ori mai putin” inseamna o impartire. Urmatoarele exprimari inseamna : Mariti cu 2 numarul X, adica, X + 2 Micsorati cu 2 numarul X, adica, X – 2 Mariti de 2 ori numarul A, adica, A x 2 Micsorati de 2 ori numarul A, adica, A : 2 Pentru exemplificare, voi prezenta rezolvarea unei probleme, atat prin metoda grafica cat si algebric. Problema 1 : Mama si Irina au impreuna 35 ani. Stiind ca mama are de 6 ori varsta Irinei, sa se afle cati ani au fiecare. Var. 1 – metoda grafica Figurarea datelor – pentru varsta Irinei vom desena un segment, iar pentru varsta mamei vom desena 6 segmente unite astfel: Dupa cum vedem in total sunt 6 segmente (mama) + 1 (Irina) = 7 segmente (sau parti) pentru a afla o parte calculam 35 : 7 = 5 , pentru ca o parte este chiar varsta Irinei, atunci Irina = 5 ani, varsta mamei o putem calcula in doua moduri: fie 35-5=30 ani fie 6 parti x 5 = 30 ani Varianta 2 – algebrica Notam cu x varsta Irinei, x + 6x = 35 7x = 35 x = 35:7 x=5 ani (Irina), 35-5=30 (mama) In rezolvarea algebrica am folosit factorul comun (pentru a aduna x+6x), care face parte din materia de clasa a V-a. Acesta este motivul pentru care ”se complica” iar copiii nu au toate cunostintele pentru a rezolva algebric. De aceea, varianta 1, adica, metoda grafica, ramane accesibila pentru copiii de la invatamantul primar. Tipuri de probleme 1) Andrei si Sorin au impreuna 80 de timbre. Andrei are cu 20 mai multe timbre decat Sorin. Cate timbre are fiecare baiat? – desenam un segment care figureaza cate timbre are Sorin, apoi altul pentru timbrele lui Andrei atfel: – aflam cate timbre ar avea cei doi copii impreuna daca ar avea un numar egal de timbre? 80-20 = 60 (timbre) – apoi cat reprezinta o parte? (sau cate timbre are Sorin?) 60:2 = 30 (timbre Sorin) 30+20 = 50 (timbre Andrei) Verificare: 30+50=80 Atentie! In cazul in care ati optat pentru a afla cate timbre are Andrei astfel: 80-30=50, rezultatul este corect, dar verificarea nu mai aduce siguranta ca nu exista nici o greseala deoarece 30+50=80 este operatia inversa. In rezolvarea mea am aflat cate timbre are Andrei tot cu ajutorul segmentelor. Varianta mai complicata 3 numere consecutive au suma 402, care sunt acestea? In primul rand copilul trebuie sa stie ca un numar consecutiv se scrie cu ”+1” (fie “n” un numar natural, numarul consecutiv acestuia este n+1) Apoi reprezentam grafic trei numere consecutive, cu suma 402: (402-3) : 3 = 399 : 3 = 133 (numarul 1) 133 + 1 = 134 (numarul 2) 133 + 1 + 1 = 135 (numarul 3) V: 133+134+135 = 402 2) In parc se joaca 20 de fete si baieti. Stiind ca baietii sunt cu 10 mai putini decat fetele, aflati cati baieti si cate fete se joaca in parc. Aceasta problema o putem rezolva in doua moduri: A) figurand exact datele problemei (20+10) : 2 = 30 : 2 = 15 (1parte = numarul de fete) 15-10 = 5 (numarul de baieti) V: 15+5=20 B) la fel ca la varianta 1, considerand ca fetele sunt cu 10 mai multe ceea ce este acelasi lucru cu baietii sunt cu zece mai putin si atunci desenam: (20-10) : 2 = 10:2 = 5 (1 parte = numarul de baieti) 5+10 = 15 (numarul de fete) Verificare: 5+15=20 4) Intr-o curte sunt gaini si rate. Numarul gainilor este de trei ori mai mare decat numarul ratelor. Daca scazi din numarul gainilor numarul ratelor obtii 20. Cate gaini si cate rate sunt in curte? (puteti explica usor copilului cu ajutorul unor creioane colorate sau carioci, in loc de segmente) 2parti = 20 1p = 20 : 2 1p = 10 (numarul de rate) 10 x 3 = 30 (numarul de gaini) V: 30-10=20 Astfel de probleme dezvolta inteligenta copiilor, spiritul de cautare a problemei, pentru ca reprezentarea grafica a problemelor e mai la indemana lor prin perceptia vizuala si mai apoi trec la rezolvarea ‘bruta” a calculelor. Accesibilitatea acestui tip de metoda, care se rezolva cu ajutorul figurilor, ori a segmentelor duce la antrenarea imaginatiei si a dorintei de cunoastere si aprofundare a matematicii. Bibliografie : Curs de matematica pentru invatamantul primar si prescolar de lector univ. doctor Costel Chites

Probleme de matematica V-IX de G.Gheba