Triunghiul de V. Voda
Recent Posts
Matematica distractiva de Pietrani
Alte amuzamente matematice de M.Gardner
Analiza matematica de M.Craiu
Aritmetica distractiva de I.Perelman
Geometria distractiva
Probleme de matematica V-IX de G.Gheba
Probleme celebre de F.Campan
Cum gandim si rezolvam de E. Rusu
De la tabla inmultirii la integrala de E. Colerus
...
Posts
Algebra, geometrie si ecuatii diferentiale de C. Udriste
Alte amuzamente matematice de M.Gardner
Analiza matematica de M.Craiu
Aritmetica distractiva de I.Perelman
Ciurul lui Eratostene
– numerele prime sunt “caramizile” din care sunt formate numerele naturale
Definitie : un numar p apartine lui N (multimea numerele naturale) se numeste numar prim daca are ca divizor pe 1 si p si numai pe acestea
exemplu : 2 are ca divizor pe 1 si pe 2
D= divizor
D(2) = {1,2} = este prim
D(3) = {1,3} = este prim
D(4) = { 1,2,4} = nu este prim
D(5) = { 1,5} = este prim
Ciurul lui Eratostene = luam un sir de numere pana la 25 si le scriem asa :
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
– ce spune algoritmul ? = luam nr. 2 si taiem toti multipli cu 2, adica : 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24
– apoi nr.3 si taiem toti multipli cu 3, adica : 3 6(a fost multiplu si lui 2, deci e taiat deja) 9, 12(a fost si multiplu lui 2), 15, 18( a fost si multiplu lui 2),21
– apoi cu nr. 5 si taiem toti multipli cu 5, adica : 5, 10 (a fost multiplu si lui 2) 15 (a fost multiplu si lui 3), 20 ( a fost multiplu si lui 2) 25
– apoi cu nr. 7 si taiem toti multipli cu 7, adica : 7, 21 (a fost si multiplu lui 3 si deci e taiat deja)
Observam ca au ramas nr. 13, 17, 19, 23,
Metoda numerica a lui Eratostene se utilizeaza si astazi dupa 2500 de ani
Teorema fundamentala a aritmeticii TFA : orice numar natural n mai muc sau egal cu 2 se descompune in factori primi in mod unic
sau altfel explicat :
Matematicianul grec ERATOSTENE (275 – 194 î.Hr.) a aplicat o metodă inedită pentru aflarea numerelor prime.
Se scrie șirul numerelor naturale de la 2 până la 100, de exemplu. Se taie din acest șir toți multiplii numerelor prime, astfel:
numărul 2 este prim, vom tăia deci din acest șir toți multiplii lui 2;
3 este număr prim, deci vom tăia toți multiplii lui 3;
tot așa vom proceda și cu 5;
apoi va urma 7;
următorul număr prim este 11; însă, deoarece 7 * 7 = 49, este mai mic decât 100 și 11 * 11 = 121, care este mai mare decât 100, toate numerele care au rămas după ce am tăiat și multiplii de 7 sunt numere prime;
Multiplii lui 2: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, … 100
Multiplii lui 3: 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, … 99
Multiplii lui 5: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, … 100
Multiplii lui 7: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98
După ce eliminăm multiplii de 2, 3, 5 și 7, mai rămân: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, adică exact lista numerelor prime până la 100.