Matematica pentru invatamantul primar si prescolar

Triunghiul de V. Voda

Sistemul zecimal este un sistem de numeratie pozitional, având baza 10. Este cel mai utilizat sistem de numerație, motivul presupus fiind că oamenii au zece degete la cele două mâini. Termenul „zecimal” provine din latina decimal (după zece) Sistemul de numerație zecimal a fost folosit elaborat în India și este descris în edictele din Ashoka (mileniul I î.Hr.). Aici se foloseau cifrele fără zero Încă din vechime unele elemente au fost preluate în China. Arabii l-au adoptat de la indieni în secolul al VIII-lea iar contribuția lor majoră la sistem a fost introducerea cifrei zero, a cărei primă apariție este în lucrările lui al-Khwarizmi. În Europa el a fost introdus în 1202 de către Leonardo Fibonacci care l-a tradus din arabă în cartea sa, Liber Abaci. Notația zecimală este scrierea numerelor în sistemul de numerație baza 10. Pentru reprezentarea oricăror numere, indiferent cât de mari, se folosesc exact 10 cifre, având 10 valori diferite: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9. Simbolurile acestor cifre, folosite actual în întreaga lume, sunt denumite de europeni cifre arabe, iar de arabi cifre indiene, după culturile de la care fiecare le-au preluat. Grafia acestor simboluri însă diferă de la cultură la cultură. Sistemul zecimal este un sistem de numerație pozițional, în care poziția fiecărei cifre indică înmulțirea valorii cifrei respective cu o putere a lui 10. Fiecare poziție indică o valoare de 10 ori mai mare decât poziția din dreapta sa. Dacă există parte fractionara, ea urmează după număr, după un separator zecimal, care în Romania este virgula. Semnul numărului este plasat înaintea lui și este unul dintre simbolurile + (pentru numere pozitive) sau − (pentru numere negative) sursa: wikipedia

Scoala din Milet Nasterea matematicii grecesti este legata de figura legendara a lui Tales (aproximativ 600 i.e.n.) care a fondat in Grecia, cea mai veche scoala filozofica de materialism spontan. Filozofia scolii mileziene, la fel ca si a scolii din Efes, intemeiata de Heraclit (aproximativ 530 -470 i.e.n.) a fost orientata impotriva ideologiei idealiste si metafizice a aristrocratiei gentilice. Conform afirmaiilor lui Herodot, Democrit si Platon, Tales a fost de origine feniciana. El a fost negustor in Milet, centrul comertului peste mari, in prima jumatate a secolului al VI-lea i.e.n., vizitand Egiptul unde a si facut cunostinta cu matematica. Combinarea germenilor de stiinte ale naturii cu filozofia a dus, o data cu rezolvarea problemelor practice, la incercarile unei explicatii moniste a lumii. Tales a incercat sa explice varietatea naturii dintr-un principiu unic, sa gaseasca in haosul aparent al fenomenelor o legitate. Acest principiu, Tales il putea gasi in mitologia culturii insulare egee antice a Egiptului si in special al Mesopotamiei. Tales a luat drept baza primara a intregii existente APA. Spre deosebire de credintele religioase, invatatura lui Tales nu considera lumea creata de zei, ci vesnica si in vesnica schimbare logica. Astfel se contureaza aici pe deplin materialismul spontan initial, care la inceputurile lui considera in chip foarte firesc, ca de la sine inteleasa, unitatea fenmenelor naturii in infinita lor varietate si care cauta aceasta unitate in ceva special, asa cum Tales o cauta in apa. Incercand sa dea explicatii logice, rationale ale fenomenelor, Tales a inceput sa abordeze si propozitiile matematice cu cerinta nu numai de a le expune, ci si de a le demonstra. Lui i se atribuie demonstratia urmatoarelor teoreme : 1) diametrul imparte cercul in doua parti egale 2) egalitatea unghiurilor de la baza in triunghiul isoscel 3) egalitatea unghiurilor drepte 4) egalitatea tringhiurilor care au o latura si unghiurile adiacente egale (asa-numitul al doilea caz de egalitate a triunghiurilor) 5) fsptul ca unghiul inscris intr-un semicerc este drept Generalizand cunostintele egiptenilor si babilonienilor, scoala mileziana a cautat sa gaseasca raspuns la problema fundamentului existentei si in conformitate cu cresterea elementului logic in gandirea sociala, cauta si o fundamentare a diferitelor propozitii ale geometriei. Si daca geometria egipteana ramanea in esenta o geometrie a ariei, pastrand prin aceasta legatura directa cu provenienta ei in agrimensura, la greci a devenit acum mai abstracta. Intr-o masura si mai mare dect la egipteni, erau folosite desene;liniile drepte erau privite numai ca margini ale paralelelor de pamant. Propritatile tringhiurilor, ale unghiurilor, ale cercului, erau studiate pe figura. Un rol important a inceput sa-l joace notiunea de asemanare (similitudine). La fel ca si in patria invatatorilor grecilor,adica, egiptenii si babilonienii,studiul matematicii a fost si in Elada (Grecia) strans legat de necesitatile practice. COnstructia enormelor temple a lui Apolo din Milet, a Herei pe insula Samos si a Artemidei in efes, dateaza din secolele VII si VI i.e.n. Construirea acestor temple dura timp de decenii, ele necesitau calcule si plane exacte, dar si aplicarea unor mecanisme simple. Cunostintele de matematica erau necesare si pentru constructia de vase, ce se dezvolta, si pentru navigatie. Scoala mileziana a numarat o serie intreaga de filozofi-matematicieni, dar s-au pastrat extrem de putine nformatii despre acestia. Continuatorul remarcabil al lui Tales a fost compatriotul, ruda si elevul sau Anaximandru (aproximativ 610-543 i.e.n.), autorul operei “Despre natura”, unde considera drept baza a intregii existente apeiron-ul – “nelimitatul” – o nemarginita in spatiu si timp, fara calitati, care vesnic se schimba, se misca, delimiteaza contrariile si le absoarbe din nou. Emitand pentru prima data ipoteza infinitatii lumilor in universulinfinit si a originii naturale a omului, el a pus prin aceasta pe primul plan ideea legitatii obiective, idee care a stimulat apreciabil dezvoltareastiintei raporturilor cantitative si a formelor spatiale ale realitatii. Din scoala mileziana facea parte si Las din Hermion care a scris in preajma anului 500 i.e.n. o lucrare de muzica, prima lucrare greceasca de acest gen. el efectua experiente de acustica. Din mai multe vase identice, unul ramanea gol, altul era umplut cu lichid pana la jumatate si asa mai departe. Lovind fiecare dintre aceste vase, el a stabilit ca raportul volumelor goale exprima “pentru octava ca 2 : 1, pentru cvinta ca 3 : 2, pentru cvarta ca 4 : 3”. Filozofii scolii pitagoreice au folosit aceasta experienta pentru invatarea lor mistica asupra “armoniei numerelor” atribuind-o lui Pitagora.Astfel experientele lui Las din Hermion precizau doar faptele, incontestabil cunoscute demult de catre constructorii de lire si flaute. Astfel, inca de pe atunci filozofia idealista parazita pe realizarile stiintelor naturii si matematicii, fenomen caracteritic pentru ea de-a lungul intregii istorii si devenit deosebit de izbitor in zilele noastre.

Rezolvarea problemelor de matematică prin metoda grafică (figurativă) Metoda figurativa (grafica) este o metoda matematica de rezolvare a problemelor tipice (probleme pentru a caror rezolvare se aplica un algoritm cunoscut), si face parte din programa scolara a claselor a III-a si a IV-a. O putem intalni si mai devreme in culegeri sau subiecte pentru concursurile scolare. Aceasta metoda presupune rezolvarea unor probleme prin figurarea datelor sub forma de linii, figuri sau diferite alte forme grafice. Metoda segmentelor este de fapt tot metoda figurativa, dar se refera doar la problemele in care reprezentarea datelor problemelor se face cu ajutorul segmentelor. Atunci cand rezolvam probleme de matematica trebuie sa avem in vedere urmatoarele aspecte: intelegerea problemei si exprimarea in limbaj matematic a relatiilor dintre marimile care apar in textul acesteia. Ce trebuie sa stim ? Expresia “cu atat mai mult” inseamna o adunare; Expresia “cu atat mai putin” inseamna o scadere; Expresia “de atatea ori mai mult” inseamna o inmultire”; Expresia “de atatea ori mai putin” inseamna o impartire. Urmatoarele exprimari inseamna : Mariti cu 2 numarul X, adica, X + 2 Micsorati cu 2 numarul X, adica, X – 2 Mariti de 2 ori numarul A, adica, A x 2 Micsorati de 2 ori numarul A, adica, A : 2 Pentru exemplificare, voi prezenta rezolvarea unei probleme, atat prin metoda grafica cat si algebric. Problema 1 : Mama si Irina au impreuna 35 ani. Stiind ca mama are de 6 ori varsta Irinei, sa se afle cati ani au fiecare. Var. 1 – metoda grafica Figurarea datelor – pentru varsta Irinei vom desena un segment, iar pentru varsta mamei vom desena 6 segmente unite astfel: Dupa cum vedem in total sunt 6 segmente (mama) + 1 (Irina) = 7 segmente (sau parti) pentru a afla o parte calculam 35 : 7 = 5 , pentru ca o parte este chiar varsta Irinei, atunci Irina = 5 ani, varsta mamei o putem calcula in doua moduri: fie 35-5=30 ani fie 6 parti x 5 = 30 ani Varianta 2 – algebrica Notam cu x varsta Irinei, x + 6x = 35 7x = 35 x = 35:7 x=5 ani (Irina), 35-5=30 (mama) In rezolvarea algebrica am folosit factorul comun (pentru a aduna x+6x), care face parte din materia de clasa a V-a. Acesta este motivul pentru care ”se complica” iar copiii nu au toate cunostintele pentru a rezolva algebric. De aceea, varianta 1, adica, metoda grafica, ramane accesibila pentru copiii de la invatamantul primar. Tipuri de probleme 1) Andrei si Sorin au impreuna 80 de timbre. Andrei are cu 20 mai multe timbre decat Sorin. Cate timbre are fiecare baiat? – desenam un segment care figureaza cate timbre are Sorin, apoi altul pentru timbrele lui Andrei atfel: – aflam cate timbre ar avea cei doi copii impreuna daca ar avea un numar egal de timbre? 80-20 = 60 (timbre) – apoi cat reprezinta o parte? (sau cate timbre are Sorin?) 60:2 = 30 (timbre Sorin) 30+20 = 50 (timbre Andrei) Verificare: 30+50=80 Atentie! In cazul in care ati optat pentru a afla cate timbre are Andrei astfel: 80-30=50, rezultatul este corect, dar verificarea nu mai aduce siguranta ca nu exista nici o greseala deoarece 30+50=80 este operatia inversa. In rezolvarea mea am aflat cate timbre are Andrei tot cu ajutorul segmentelor. Varianta mai complicata 3 numere consecutive au suma 402, care sunt acestea? In primul rand copilul trebuie sa stie ca un numar consecutiv se scrie cu ”+1” (fie “n” un numar natural, numarul consecutiv acestuia este n+1) Apoi reprezentam grafic trei numere consecutive, cu suma 402: (402-3) : 3 = 399 : 3 = 133 (numarul 1) 133 + 1 = 134 (numarul 2) 133 + 1 + 1 = 135 (numarul 3) V: 133+134+135 = 402 2) In parc se joaca 20 de fete si baieti. Stiind ca baietii sunt cu 10 mai putini decat fetele, aflati cati baieti si cate fete se joaca in parc. Aceasta problema o putem rezolva in doua moduri: A) figurand exact datele problemei (20+10) : 2 = 30 : 2 = 15 (1parte = numarul de fete) 15-10 = 5 (numarul de baieti) V: 15+5=20 B) la fel ca la varianta 1, considerand ca fetele sunt cu 10 mai multe ceea ce este acelasi lucru cu baietii sunt cu zece mai putin si atunci desenam: (20-10) : 2 = 10:2 = 5 (1 parte = numarul de baieti) 5+10 = 15 (numarul de fete) Verificare: 5+15=20 4) Intr-o curte sunt gaini si rate. Numarul gainilor este de trei ori mai mare decat numarul ratelor. Daca scazi din numarul gainilor numarul ratelor obtii 20. Cate gaini si cate rate sunt in curte? (puteti explica usor copilului cu ajutorul unor creioane colorate sau carioci, in loc de segmente) 2parti = 20 1p = 20 : 2 1p = 10 (numarul de rate) 10 x 3 = 30 (numarul de gaini) V: 30-10=20 Astfel de probleme dezvolta inteligenta copiilor, spiritul de cautare a problemei, pentru ca reprezentarea grafica a problemelor e mai la indemana lor prin perceptia vizuala si mai apoi trec la rezolvarea ‘bruta” a calculelor. Accesibilitatea acestui tip de metoda, care se rezolva cu ajutorul figurilor, ori a segmentelor duce la antrenarea imaginatiei si a dorintei de cunoastere si aprofundare a matematicii. Bibliografie : Curs de matematica pentru invatamantul primar si prescolar de lector univ. doctor Costel Chites

Probleme de matematica V-IX de G.Gheba

Probleme de algebra IX-XII de C.Nastasescu

Probleme celebre de F.Campan

Proba inmultirii cu 9 – Sumita Este deosebit de util sa verificam rapid si elegant daca produsul a doua numere s-a determinat corect. Prin impartirea produsului la unul dintre factori pentru a obtine celalalt factor este de multe ori anevoios si ne ia timp. Hai sa incercam o metoda simpla si rapida. Calculam suma cifrelor deinmultitului pana obtinem o singura cifra (sumita). Calculam suma cifrelor inmultitorului pana la o cifra(sumita). Inmultim cele doua sumite si determinam suma produsului. Daca aceasta este egala cu sumita produsului celor doua numere atunci inmultirea este corecta. Exemplu : 475 x 65 = 30.875 Si adunam 4+7+5 = 16, adunam din nou 1+ 6 =7, deci sumita deinmultitului este 7. Adunam sumita inmultitorului : 6 + 5 =11 si inca o data 1+1=2 Apoi inmultim cele doua sumite 2 x 7 = 14…ce are sumita 5, adica 1+4=5 Daca inmultirea este corecta sumita produsului trebuie sa fie egala cu 5 Verificam suma produsului : 3 +0 + 8 +7 + 5 = 23 ce are sumita 5 adica. 2 + 3 = 5 Deci inmultirea este corecta !

După cum bine ştim, întreg sistemul matematic nu ar fi posibil fără cifra zero. Această cifră este atât de importantă încât chiar niciun sistem matematic nu ar fi posibil fără existenţa sa. Din această cauză este imposibil să nu ne întrebam, cine a inventat această noţiune abstractă? Prin mileniul I î. Hr. babilonienii obişnuiau să lase un spaţiu gol atunci când făceau referire la cifra zero. Mai târziu, prin secolul al IV-lea î. Hr., chinezii i-au copiat pe babilonieni şi nu au putut să definească valoarea lui „zero” decât printr-un spaţiu gol. Abia în anul 200 i. Hr. babilonienii au reuşit să umple spaţiul gol cu un simbol neobişnuit. Aceasta a fost prima formă a cifrei zero. Semnul apărea doar în textele astronomice şi niciodată la sfârşitul unui număr. În anul 1247 apare pentru prima dată cifra zero sub forma pe care o cunoaştem şi în prezent, O. Într-un manuscris chinezesc, în care sunt efectuate mai multe calcule, apare forma actuală a cifrei zero. În mai multe texte indochineze, s-a descoperit recent, că cifra zero era cunoscută şi utilizată aşa cum o cunoaştem noi în prezent. De asemenea şi mayaşii au făcut cunoştinţă cu celebra cifra zero. Ea apărea în diferite forme, uneori sub forma unei scoici, alte ori erau utilizate simboluri stranii. Zero era prima zi din lună, dar întruchipa şi zeul morţii, ceea ce i-a împins pe arheologi să creadă că zero era o noţiune confundată cu sfârşitul. Dar la fel ca babilonienii, mayaşii utilizau cifra zero în raport cu divinitatea. În India, cifra zero a apărut undeva prin anul 200 î Hr. într-un manuscris şi era reprezentată printr-o serie de punctuleţe numite „sunya”, adică alb. De-a lungul secolelor, matematicienii hinduşi au dezvoltat diverse proprietăţi ale cifrei zero şi i-au dat formă sa actuală. În secolul al IX-lea arabii au descoperit sistemul aritmetic hindus şi au tradus „sunya” prin „sifr” şi a fost latinizat odată cu transmiterea sistemului matematic prin Europa. În acest fel, punctele albe s-au transformat într-o cifra care a fost numită zepharum, adică zero. sursa : http://www.efemeride.ro

   

Numarul de aur Secțiunea de aur (numită uneori și Raportul de aur, Proporția de aur, Numărul de aur) (“sectio aurea” în limba latină), notată cu litera greacă Φ (phi majuscul) sau și cu φ (phi minuscul), care se citesc “fi”, este primul număr irațional descoperit și definit în istorie. El este aproximativ egal cu 1,618033 și poate fi întâlnit în cele mai surprinzătoare împrejurări. Grecii, romanii, egiptenii, evreii, in antichitate, par sa fi fost toti de acord ca 1, 618 (un numar irational, exprimand raportul dintre circumferinta si diametrul unui cerc) este numarul de aur, numarul armoniei universale, numarul divin, al Creatiei, al perfectiunii, ascuns in tot ceea ce exista in natura si preluat de om in edificiile consacrate Creatorului, dar si in pictura, sculptura, muzica etc. In cultura greceasca antica, numarul de aur a fost simbolul pitagoricienilor (adeptii scolii filozofice a lui Pitagora, fondata in secolul al VI-lea i.Hr.), care considerau ca 1,618 este expresia vietii, a iubirii si a frumusetii. Se spune că atunci când Hispassus din Metapontum a descoperit, în secolul V î.Hr., că Φ este un număr care nu este nici întreg (ex:1;2;…), nici măcar raportul dintre două numere întregi (precum fracțiile:1/2,7/6,45/90,etc., care sunt cunoscute în ansamblu drept numere raționale), adepții faimosului matematician grec Pitagora și anume pitagoreicii au fost extrem de șocați. Concepția pitagoreică despre lume se baza pe o extremă față de arithmos – adică proprietățile intrinseci ale numerelor întregi și ale fracțiilor lor – și presupusul lor rol în cosmos. Înțelegerea faptului că există numere care precum Φ se repetă la infinit fără a prezenta nici o repetiție sau regularitate a pricinuit o adevărată criză filozofică. Unele surse susțin chiar că pitagoreicii au sacrificat 100 de boi din cauza numărului. Totuși acest lucru pare extrem de improbabil deoarece ei erau vegetarieni stricți. Pitagoreicii erau neîndoielnic convinși că existența unor numere precum Φ era atât de înfricoșătoare încât ea trebuia să reprezinte un fel de eroare cosmică, o informație care ar trebui suprimată și ținută secret. Multa vreme apoi, numarului de aur nu i s-a mai acordat prea multa atentie, revenind intr-o carte din secolul al XIX-lea, a lui Martin Ohm, matematician german, si intr-una de filozofie, apartinand lui Adolf Zeising, unde este apreciat ca « o adevarata cheie » pentru interpretarea a nenumarate domenii artistice sau stiintifice. Ideile lui Zeising si-au gasit ecou, in secolul al XX-lea, in opera unui ofiter de marina, scriitor, matematician, diplomat roman, Matila Costiescu Ghyka (1881 – 1965), profesor de estetica in SUA, dupa cel de-al Doilea Razboi Mondial, autor al unui studiu exhaustiv despre « Phi ». Arhitectul Corbusier, fondator al directiei moderne in arhitectura, se foloseste si el de numarul de aur, stabilind proportiile diverselor constructii in functie de acesta si, implicit, in functie de morfologia corpului uman, unde, de asemenea, « Phi » este prezent. Pictorul Salvador Dali s-a dovedit interesat de proportia de aur, intr-un celebru tablou – «Ultima Cina» – replica la pictura lui Leonardo da Vinci, « Cina cea de taina ». Studii amanuntite au facut ca numarul de aur sa apara in toate segmentele pamantesti si universale : – in proportiile corpului uman ; – in proportiile a numeroase animale si plante, peste tot in natura; – in structura ADN-ului; – in alcatuirea sistemului solar; – in arte (pictura, muzica, arhitectura, sculptura etc.); – in rata de crestere a populatiei; – pe piata actiunilor; – in realizarea fractalilor, figuri geometrice deosebit de estetice, in care fiecare parte este o copie, la dimensiuni mai mici, a intregului, care se construiesc, in intregime, pe baza numarului de aur ; – in Biblie, in Coran si in tehnologie; – in corola de floarea-soarelui, in miezul de ananas, in conurile de pin, in forma scoicilor etc. se gasesc spirale corespunzatoare Sirului lui Fibonacci si unghiuri dupa dimensiunile proportiei de aur. – dimensiunile corpului uman, ale fetei, – spirala de ADN, – sectiunea transversala prin ADN, – molecula de ADN, care cuprinde “programul” pentru intreaga viata, toate se bazeaza pe proportia “Phi”.  

Metoda reducerii la absurd   Există patru numere care să îndeplinească simultan condiţiile a < b, b < c, c < d, d < a? Rezolvare: Presupunem că există patru numere cu proprietatea dată. Din a < b, b < c avem a < c. Din c < d, d < a avem c < a. Cele două relaţii obţinute mai sus nu pot avea loc simultan. Aşadar, nu există patru numere care să îndeplinească simultan cele patru condiţii. Arătaţi că nu există nici un număr natural care împărţit la 8 dă restul 6 şi împărţit la 4 dă restul 3. Rezolvare Prin metoda reducerii la absurd presupunem că există un număr natural n astfel încât n = 8q + 6 şi n = 4q + 3, cu p şi q numere naturale. Vom avea că 8q + 6 = 4q + 3, relaţie care reprezintă egalitatea unui număr natural par cu unul impar. Absurd. Deci nu există nici un număr natural care împărţit la 8 dă restul 6 şi împărţit la 4 dă restul 3.   Fie numerele naturale a şi b astfel încât 2a + 3b, 2a + 4b, 2a + 5b nu se divid prin 3. Arătaţi că b este divizibil cu 3 şi că a nu este divizibil cu 3. Rezolvare Prin metoda reducerii la absurd presupunem că a se divide prin 3. Rezultă că 3 | (2a + 3b) – contradicţie cu ipoteza problemei. Deci a nu se divide prin 3. înseamnă că a este de forma: a = 3k + 1 sau a = 3k + 2, unde k este număr natural. Prin reducere la absurd, presupunem că b nu se divide cu 3. Urmează că b = 3p + 1 sau b = 3p + 2, unde p este număr natural. Pentru orice forma ale lui a şi b, cel puţin unul dintre numerele 2a + 3b, 2a + 4b, 2a + 5b se divide cu 3, ceea ce este fals. Aşadar, b este divizibil cu 3.   Tema pentru acasă (seminarul din săptămâna următoare) Câtul şi restul împărţirii numerelor naturale a şi b sunt 19, respectiv 99. Dacă a-b < 1917, aflaţi numerele a şi b. Aflaţi suma tuturor numerelor naturale cuprinse între 1000 şi 2000 care împărţite la 49 dau câtul şi restul numere egale. Determinaţi cel mai mare număr natural a care, împărţit la 1985 dă câtul mai mic decât restul. Determinaţi toate numerele naturale care împărţite la 36 dau ca rest pătratul câtului. Arătaţi că nu există nici un număr natural a care împărţit la 15 dă restul 7 şi împărţit la 12 dă restul 3.   Suma a zece numere naturale nenule distincte este 103. Demonstraţi că printre ele există cel puţin două numere impare. Cercetaţi dacă există numere naturale m şi n astfel încât (m – n)(m + n + 1) = 1999.   Rezolvări 1. Fie a şi b numere naturale, cu b diferit de zero, astfel încât a = 19b + 99, 0 ≤ 99 < b. Dar a-b < 1917. Rezultă că 19b + 99 – b < 1917, de unde b < 101. Urmează că b = 100.   2. Fie x astfel de numere naturale. x = 49c + c, 0 ≤ c < 49; 1000 < 50c < 2000, de unde, c fiind număr natural, rezultă că c poate fi 21, 22, …, 39. În acest caz, numerele x căutate sunt 50∙21, 50∙22, …, 50∙30, a căror sumă este: S = 50(21 + 22 + … + 39) = 50(60∙9 + 30) = 50∙570 = 28500.   3. a = 1985∙c + r, c < r < 1985. Dar a este maxim. Rezultă că c şi r sunt maxime, adică c = 1984 şi r = 1983. Deci a = 1985∙1983 + 1984.   4. Fie n numerele naturale cerute în enunţ. Avem că n = 36q + q2, 0 ≤ q2 < 36. De unde q poate fi 0, 1, 2, 3, 4, sau 5, deci n este 0, 37, 76, 117, 160 sau 205.   5. Presupunem prin metoda reducerii la absurd că există un număr natural a astfel încât a = 15c1 + 7 (0 ≤ 7 < 15) a = 12c2 + 3 (0 ≤ 3 < 12). Din cea de-a doua relaţie avem că a este multiplu de 3. Folosind acest lucru în prima relaţie, rezultă că M3 = M3 + 7, de unde rezultă că 7 este multiplu de 3. Absurd. Deci, concluzia problemei este adevărată.   6. Presupunem prin reducere la absurd că cele 10 numere sunt pare. Rezultă că 2 + 4 + 6 + … + 20 = = 110. Absurd (suma din ipoteză este 103). Deci, cel puţin unul este impar. Dar, dacă unul singur ar fi impar, atunci suma ar fi impară. Dar suma este pară. Rezultă că cel puţin doi termeni sunt impari.   7. Prin reducere la absurd presupunem că există două numere naturale m şi n astfel încât (m – n)(m + n + 1) = 1999. I. Dacă m şi n-au aceeaşi paritate (ambele pare sau ambele impare), rezultă că m – n este par, deci (m – n)(m + n + 1) este par. II. Dacă m şi n au parităţi diferite, m + n + 1 este un număr par, deci (m – n)(m + n + 1) este par. Contradicţie cu (m – n)(m + n + 1) = 1999. Deci nu există astfel de numere.

Matematica distractiva de Pietrani

Elenismul La sfarsitul secolului al IV-leai.e.n. dupa campaniile lui Alexandru Macedon, a fost creat un imes imperiu, de scurta durata, care includea Grecia, Egiptul, Mesopotamia, Persia, Asia Mica, tarmul Marii Negre si o serie de alte tari din jurul Marii Mediterane si din Orientul Apropiat si Mijlociu. Dupa moartea lui Alexandru, imperiul sau s-a descompus in statul Ptolomeilor in Africa, statul Selecuzilor in Asia si o serie de state mai mici, insa relatiile reciproce dintre diferitele popoare ale imperiului lui Alexandru au exercitat o influenta exceptionala asupra culturii acestor tari. Baza economica a tarilor elenistice o constituia aceeasi oranduire sclavagista ce domnea in aceste tari inainte de campaniile lui Alexandru, insa pe primul lor se ridica in aceste tari elita militara, din mediul careia provin si dinastiile regale a Ptolomeilor si Selecuzilor. Perioada elenistica a durat pana la cucerirea tarilor elenistice de catre Roma, care s-a incheiat in primul secol i.e.n.. Cele mai mari centre culturale au fost Alexandria, Antiohia, Pergamul si insula Rodos. Scoala alexandrină. In aceasta perioada cea mai mare importantao capata Alexandria, intemeiata de Alexandruin 332-331 i.e.n. in Egipt, care mai tarziu a devenit capitala statului Ptolomeilor. In Alexandria se adunasera bogatiile jefuite in cursul razboaielor. Orasul fiind situat la incrucisarea drumurilor comerciale dintre Orient si Occident, a luat cu timpul o mare dezvoltare, comertul maritim; pe baza exploatarii crunte a muncii sclavilor, au inflorit mestesugurile. S-au imbogatit paturile privilegiate ale societatii, proprietarii de sclavi si bineinteles, elita ptolomeica de la curte. Spre deosebire de cultura greaca clasica, cultura alexandrina era caracterizata printr-o mare specializare, prin particularitatile sale individuale. Centrul stiintei era Muzeul, unde se pastrau sute de mii de manuscrise. Ca niciodata stiinta era subventionata de dinastia Ptolomelor care concurau cu celelalte monarhii elenistice. Inflorirea matematicii dar si a stiintelor naturii si stiintelor tehnice a fost provocata direct sau indirect de cerintele practice ale societatii din perioada alexandrina. Acumularea de bogatii materiale si de rezerve de arme a dus la trecerea de la armata de militie la armatele de profesiune, permanente, cu un efectiv numeros, la mercenari, iar, in stransa legatura cu aceasta, la noi procedee de ducere a razboiului, si la o noua tehnica militara. Dezvoltarea constructiilor vaselor de razboi, a turnurilor, a berbecilor de lupta, a aruncatoarelor pentru asediere, ridicarea de cetati si faruri, crearea de harti geografice, ordonarea calendarului, au impus dezvoltarea mecanicii, astronomiei deci si a matematicii. Ptolomeii care tindeau la o imitatie de parada a culturii grecesti si a celei egiptene antice, ridicau palate, creau constructii hidrotehnice, contribuiau la dezvoltarea cunostintelor tehnice, a cunostintelor de stiintele naturii si prin urmare a cunostintelor matematice. Deci in conditiile societatii sclavagiste, stiinta a atins in Alexandria o dezvoltare apreciabila, ea purtand pecetea acestei oranduiri sociale. Matematica culturii alexandrine, cultura care se extindea nu numai asupra Egiptului ci si asupratuturor tarilor elenistice, reprezenta treapta cea mai inalta de dezvoltare a matematicii din lumea antica, adunand de peste tot pe cei mai mari invatati ai secolului al III-lea i.e.n. dar si matematiciei remarcabili cum sunt : Euclid, Eratostene si Apoloniu din Perga, dar si pe Arhimede. Matematica din aceasta perioada a lasat mult in urma realizarile vechi, chiar cele mai inalte, ale bablonienilor, egiptenilor si ale grecilor insisi.

Domeniul de studiu cunoscut sub numele istoria matematicii reprezintă o investigare a originii descoperirilor în matematică şi într-un sens mai larg, o investigare a metodelor matematice şi a notaţiilor din trecut. Înainte de perioada modernă, când a avut loc o răspândire a cunoştinţelor matematice și nu numai în întreaga lume, dovezi ale descoperirilor matematice au fost găsite doar în câteva locuri. Cele mai vechi texte matematic sunt Plimpton 332 (text babilonian din 1900 I.C.), Rhind Mathematical Papyrus (text egiptean 2000-1800 I.C.) si Moscow Mathematical Papyrus (text egiptean 1890 I.C.). Aceste texte se referă la teorema lui Pitagora, care pare a fi cea mai veche şi mai difuzată descoperire matematică după aritmetica de bază şi geometrie. Contribuţia greacă în matematică a constat într-o rafinare a metodelor (în special prin introducerea de raţionamente deductive şi de rigoare matematică în demonstraţii) şi a extins subiectul de studiu al matematicii. Studiul matematicii ca şi subiect propriu-zis începe cu secolul al 6-lea I.C. cu şcoala pitagoreică, care a introdus cuvântul matematică de la cuvântul grec μάθημα (mathema), însemnând ”subiect de instrucţie.” Matematica chineză a avut contribuţii timpurii, incluzând scrierea într-un sistem numeric. Sistemul numeric indiano-arabic şi regulile de folosire a operaţiilor, aşa cum le utilizăm astăzi, au evoluat de-a lungul primului mileniu în India şi a fost transmis în vest prin matematicienii islamici. Aceştia, la rândul lor, au dezvoltat şi extins matematicile cunoscute până atunci. Multe texte matematice greceşti şi arabe au fost traduse in latină, care au contribuit la o dezvoltare ulterioară a matematicii în Europa medievală. Din timpuri străvechi până la Evul Mediu, perioadele de înflorire a creativităţii matematice au fost urmate de secole de stagnare. Începind cu Renaşterea italiană din sec. al 16-lea, noi dezvoltări matematice, interacţionând cu noi descoperiri ştiinţifice, au fost realizate într-un ritm crescător, care continuă şi astăzi. descarcați de aici : Istoria matematicii......

Pierre de Fermat  Născut:  20 august 1601 Beaumont-de-Lomagne , Franţa Decedat : 12 ianuarie 1665 (cu vârsta 63) Castres , Franţa Reşedinţă:  Franţa Naţionalitate Franceză Domenii : Matematică şi Legea Cunoscut pentru Teoria numerelor Geometrie analitică Principiul lui Fermat Probabilitate Ultima teoremă a lui Fermat   Influenţe:  François Viète Pierre de Fermat (17 august 1601 sau 1607 / 8 – 12 ianuarie 1665) a fost un avocat francez la Parlement de Toulouse, Franţa, dar si un matematician amator, care a fost creditat pentru contributiile care au condus la calculul infinitezimal. În special, el este recunoscut pentru descoperirea unei metode originale pentru găsirea celei mai mari şi celei mai mici ordonate pentru linii curbe, care este analog cu calculul diferenţial, pe atunci necunoscut, precum şi pentru cercetările sale în teoria numerelor.   El a adus contribuţii notabile la geometria analitică, probabilitati şi optică . Este cel mai bine cunoscut pentru Ultima teoremă a lui Fermat, pe care a descris-o într-o notă pe marginea unei copii a cartii lui Diophantus Arithmetica .   Viaţa şi opera   Fermat s-a născut în Beaumont-de-Lomagne, Tarn-et-Garonne, Franţa; intr-un conac de la sfarsitul secolului al 15-lea; conacul in care s-a născut este acum un muzeu. Tatal lui Fermat a fost un negustor bogat de piele şi totodata al doilea consul al Beaumont-de-Lomagne. Pierre a avut un frate şi două surori. Există puţine dovezi privind educaţia sa şcolară, care ar fi fost realizata la o mănăstire franciscana. Bust în Salle des Illustres în Capitoliul de Toulouse A urmat cursurile Universităţii din Toulouse înainte de a se muta in Bordeaux, în a doua jumătate a 1620. In Bordeaux a început cercetarea matematică. In Bordeaux a fost în contact cu Beaugrand şi în acest timp el a obtinut rezultate importante referitoare la maxime şi minime pe care le-a aratat lui Étienne d’Espagnet, iar acesta a împărtăşit în mod clar ideile matematice ale lui Fermat. A fost influentat in cercetarile sale de opera lui François Viète .   De la Bordeaux, Fermat a plecat la Orléans, unde a studiat dreptul la Universitate. A primit o diplomă în drept civil. In 1631 primise titlul de consilier de la Înalta Curte de instanţa în Toulouse, titlu pe care l-a deţinut tot restul vieţii sale. Datorită acestui titlu, a obtinut dreptul de a schimba numele său din Pierre Fermat in Pierre de Fermat. Vorbea fluent limba latină, limba bască, greaca clasică, italiana, spaniola. Fermat a fost lăudat pentru versurile sale scrise în mai multe limbi, iar parerea sa era solicitata deseori cu privire la amendamentele textelor greceşti. El a comunicat cele mai multe din opera sa prin scrisori prietenilor, de multe ori demonstrand puţin sau deloc teoremele sale. Acest lucru i-a permis să păstreze statutul său de “amator”, câştigând în acelaşi timp recunoaşterea dorita. Acest mod a dus la dispute cu colegii contemporani, cum ar fi Descartes şi Wallis .   El a avut o relaţie strânsă cu Blaise Pascal . Anders Hald scrie că, “baza matematică a lui Fermat a fost tratatele clasice grecesti combinate cu metodele algebrice noi ale lui Viete. ” Opera de pionierat a lui Fermat în geometria analitică a circulat în manuscris în anul 1636, anterior publicarii cartii lui Descartes La geometrie. Acest manuscris a fost publicat postum în 1679 în opera Varia Mathematica. În Methodus ad disquirendam maximam et minimasi in De tangentibus linearum curvarum Fermat a dezvoltat o metodă de determinare a maximelor, minimelor şi tangentelor la diferite curbe, ceea ce corespunde diferenţierii. În aceste lucrări, Fermat a obţinut o tehnica pentru găsirea centrelor de greutate ale diverselor figuri plane şi solide. Fermat a fost primul care a evaluat integrala din funcţiile de puteri. Folosind un truc ingenios, el a fost capabil să reducă această evaluare la suma unei serii geometrice. Formula rezultată a fost de ajutor pentru Newton, şi apoi pentru Leibniz, atunci când au dezvoltat, in mod independent unul de altul, teorema fundamentală a calculului .   În teoria numerelor, Fermat studiat ecuaţia lui Pell, numerele perfecte, numerele amiabile şi numerele numite mai târziu numerele Fermat. In timp ce studia numerele perfecte a descoperit mica teorema a lui Fermat. A inventat o metodă de factorizare precum şi o tehnica pe care a folosit-o pentru a demonstra Marea teorema a lui Fermat pentru cazul n = 4. Fermat a aratat că fiecare număr este suma a trei numere triunghiulare (un numar triunghiular este numarul de puncte dint-un triunghi echilateral, uniform umplut cu puncte: 1,3, 6, 10, 15, 21,…) a patru numere la pătrat, a cinci numere pentagonale (un numar pentagonal pn este numarul de puncte distincte, asezate la distanta egala pe laturile unui pentagon regulat, fiecare latura avand n puncte, incluzand varfurile: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92,…), şi aşa mai departe.   Deşi Fermat a pretins că a demonstrat toate teoremele lui aritmetice, doar câteva dintre dovezile sale au supravieţuit. Mulţi matematicieni, inclusiv Gauss, au pus la îndoială afirmatiile matematice ale lui Fermat, având în vedere dificultatea unor probleme şi instrumentele matematice limitate disponibile lui Fermat. Faimosa Ultima Teorema a lui Fermat a fost descoperita de fiul său pe marginea unei copii a unei ediţii de Diophantus; era inclusa afirmaţia că margina era prea mica pentru a include dovada. Nu l-a informat nici pe Marin Mersenne de ea. Nu a fost dovedita până în 1994, folosind tehnici disponibile pentru Fermat. Deşi s-a inspirat din Diophantus, Fermat a început o tradiţie diferită. Fermat a fost interesat doar de soluţiile intregi pentru ecuaţiile sale diofantice şi a cautat toate soluţiile generale posibile. El a dovedit adesea că anumite ecuaţii nu au nici o soluţie, lucru care a uimit pe contemporanii săi.   Prin corespondenţa sa cu Pascal în 1654, Fermat şi Pascal au contribuit la punerea bazelor teoriei probabilităţii. Fermat este creditat cu realizarea primului calcul probabilistic riguros. A fost intrebat de către un jucator profesionist de ce, daca se pariaza pe obtinerea a cel putin un sase la 4 aruncari ale unui zar se castiga pe termen lung, în timp ce a paria pe obtinerea a cel puţin 2 de sase din 24 de aruncări a două zaruri conduce la pierdere. Fermat a dovedit ulterior ca acest lucru se demonstreaza matematic. Principiul lui Fermat din optica a celei mai mici distante dintre doua puncte (pe care l-a folosit pentru a obţine legea lui Snell în 1657) a fost primul principiu variational enunţat în fizica. Astfel, Fermat este recunoscut ca o figură cheie în dezvoltarea istorică a principiului actiunii stationare în fizică. Termenul funcţională Fermat a fost numit în recunoaşterea acestui rol.   Pierre de Fermat, consilier la Inalta Curte şi matematician de renume, cunoscut pentru teorema a n + bn ≠ cn pentru n> 2 A murit la Castres, Tarn. Cel mai vechi şi mai prestigioas liceu din Toulouse ii poarta numele: Lycée Pierre de Fermat. Sculptorul francez Théophile Barrau a făcut o statuie de marmură numita Hommage à Pierre Fermat ca tribut adus lui Fermat, aflata acum la Capitoliul din Toulouse. Evaluarea operei sale Manuscris al lui Fermat, 04 martie 1660 – păstrat la Arhivele departamentale din HauteGaronne, în Toulouse Împreună cu René Descartes, Fermat a fost unul dintre cei doi matematicieni de renume din prima jumătate a secolului al 17-lea.   Independent de Descartes, el a descoperit principiile fundamentale ale geometriei analitice. Impreuna cu Blaise Pascal, el a fost un fondator al teoriei probabilităţii . În ceea ce priveşte opera lui Fermat, Isaac Newton a scris că primele sale idei despre calcul au venit direct de la “felul lui Fermat de a desena tangente.” Datorita rezultatelor sale in teoria numerelor, se considera astazi ca Fermat a pus bazele teoriei  moderne a numerelor.

 Ingeniozitate si surpriza in matematica de C.Trigg

Pana la George Cantor, matematicienii adoptau punctul de vedere al filozofilor Greciei Antice….  

Geometria distractiva