Recent Posts
Posts
AnnaE
.Post in Ciurul lui Eratostene
Ciurul lui Eratostene – numerele prime sunt “caramizile” din care sunt formate numerele naturale Definitie : un numar p apartine lui N (multimea numerele naturale) se numeste numar prim daca are ca divizor pe 1 si p si numai pe acestea exemplu : 2 are ca divizor pe 1 si pe 2 D= divizor D(2) = {1,2} = este prim D(3) = {1,3} = este prim D(4) = { 1,2,4} = nu este prim D(5) = { 1,5} = este prim Ciurul lui Eratostene = luam un sir de numere pana la 25 si le scriem asa : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 – ce spune algoritmul ? = luam nr. 2 si taiem toti multipli cu 2, adica : 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24 – apoi nr.3 si taiem toti multipli cu 3, adica : 3 6(a fost multiplu si lui 2, deci e taiat deja) 9, 12(a fost si multiplu lui 2), 15, 18( a fost si multiplu lui 2),21 – apoi cu nr. 5 si taiem toti multipli cu 5, adica : 5, 10 (a fost multiplu si lui 2) 15 (a fost multiplu si lui 3), 20 ( a fost multiplu si lui 2) 25 – apoi cu nr. 7 si taiem toti multipli cu 7, adica : 7, 21 (a fost si multiplu lui 3 si deci e taiat deja) Observam ca au ramas nr. 13, 17, 19, 23, Metoda numerica a lui Eratostene se utilizeaza si astazi dupa 2500 de ani Teorema fundamentala a aritmeticii TFA : orice numar natural n mai muc sau egal cu 2 se descompune in factori primi in mod unic   sau altfel explicat : Matematicianul grec ERATOSTENE (275 – 194 î.Hr.) a aplicat o metodă inedită pentru aflarea numerelor prime. Se scrie șirul numerelor naturale de la 2 până la 100, de exemplu. Se taie din acest șir toți multiplii numerelor prime, astfel: numărul 2 este prim, vom tăia deci din acest șir toți multiplii lui 2; 3 este număr prim, deci vom tăia toți multiplii lui 3; tot așa vom proceda și cu 5; apoi va urma 7; următorul număr prim este 11; însă, deoarece 7 * 7 = 49, este mai mic decât 100 și 11 * 11 = 121, care este mai mare decât 100, toate numerele care au rămas după ce am tăiat și multiplii de 7 sunt numere prime; Multiplii lui 2: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, … 100 Multiplii lui 3: 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, … 99 Multiplii lui 5: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, … 100 Multiplii lui 7: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98 După ce eliminăm multiplii de 2, 3, 5 și 7, mai rămân: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, adică exact lista numerelor prime până la 100.
AnnaE
.Post in Istoria matematicii – Fermat – numerele lui Fermat
Pierre de Fermat  Născut:  20 august 1601 Beaumont-de-Lomagne , Franţa Decedat : 12 ianuarie 1665 (cu vârsta 63) Castres , Franţa Reşedinţă:  Franţa Naţionalitate Franceză Domenii : Matematică şi Legea Cunoscut pentru Teoria numerelor Geometrie analitică Principiul lui Fermat Probabilitate Ultima teoremă a lui Fermat   Influenţe:  François Viète Pierre de Fermat (17 august 1601 sau 1607 / 8 – 12 ianuarie 1665) a fost un avocat francez la Parlement de Toulouse, Franţa, dar si un matematician amator, care a fost creditat pentru contributiile care au condus la calculul infinitezimal. În special, el este recunoscut pentru descoperirea unei metode originale pentru găsirea celei mai mari şi celei mai mici ordonate pentru linii curbe, care este analog cu calculul diferenţial, pe atunci necunoscut, precum şi pentru cercetările sale în teoria numerelor.   El a adus contribuţii notabile la geometria analitică, probabilitati şi optică . Este cel mai bine cunoscut pentru Ultima teoremă a lui Fermat, pe care a descris-o într-o notă pe marginea unei copii a cartii lui Diophantus Arithmetica .   Viaţa şi opera   Fermat s-a născut în Beaumont-de-Lomagne, Tarn-et-Garonne, Franţa; intr-un conac de la sfarsitul secolului al 15-lea; conacul in care s-a născut este acum un muzeu. Tatal lui Fermat a fost un negustor bogat de piele şi totodata al doilea consul al Beaumont-de-Lomagne. Pierre a avut un frate şi două surori. Există puţine dovezi privind educaţia sa şcolară, care ar fi fost realizata la o mănăstire franciscana. Bust în Salle des Illustres în Capitoliul de Toulouse A urmat cursurile Universităţii din Toulouse înainte de a se muta in Bordeaux, în a doua jumătate a 1620. In Bordeaux a început cercetarea matematică. In Bordeaux a fost în contact cu Beaugrand şi în acest timp el a obtinut rezultate importante referitoare la maxime şi minime pe care le-a aratat lui Étienne d’Espagnet, iar acesta a împărtăşit în mod clar ideile matematice ale lui Fermat. A fost influentat in cercetarile sale de opera lui François Viète .   De la Bordeaux, Fermat a plecat la Orléans, unde a studiat dreptul la Universitate. A primit o diplomă în drept civil. In 1631 primise titlul de consilier de la Înalta Curte de instanţa în Toulouse, titlu pe care l-a deţinut tot restul vieţii sale. Datorită acestui titlu, a obtinut dreptul de a schimba numele său din Pierre Fermat in Pierre de Fermat. Vorbea fluent limba latină, limba bască, greaca clasică, italiana, spaniola. Fermat a fost lăudat pentru versurile sale scrise în mai multe limbi, iar parerea sa era solicitata deseori cu privire la amendamentele textelor greceşti. El a comunicat cele mai multe din opera sa prin scrisori prietenilor, de multe ori demonstrand puţin sau deloc teoremele sale. Acest lucru i-a permis să păstreze statutul său de “amator”, câştigând în acelaşi timp recunoaşterea dorita. Acest mod a dus la dispute cu colegii contemporani, cum ar fi Descartes şi Wallis .   El a avut o relaţie strânsă cu Blaise Pascal . Anders Hald scrie că, “baza matematică a lui Fermat a fost tratatele clasice grecesti combinate cu metodele algebrice noi ale lui Viete. ” Opera de pionierat a lui Fermat în geometria analitică a circulat în manuscris în anul 1636, anterior publicarii cartii lui Descartes La geometrie. Acest manuscris a fost publicat postum în 1679 în opera Varia Mathematica. În Methodus ad disquirendam maximam et minimasi in De tangentibus linearum curvarum Fermat a dezvoltat o metodă de determinare a maximelor, minimelor şi tangentelor la diferite curbe, ceea ce corespunde diferenţierii. În aceste lucrări, Fermat a obţinut o tehnica pentru găsirea centrelor de greutate ale diverselor figuri plane şi solide. Fermat a fost primul care a evaluat integrala din funcţiile de puteri. Folosind un truc ingenios, el a fost capabil să reducă această evaluare la suma unei serii geometrice. Formula rezultată a fost de ajutor pentru Newton, şi apoi pentru Leibniz, atunci când au dezvoltat, in mod independent unul de altul, teorema fundamentală a calculului .   În teoria numerelor, Fermat studiat ecuaţia lui Pell, numerele perfecte, numerele amiabile şi numerele numite mai târziu numerele Fermat. In timp ce studia numerele perfecte a descoperit mica teorema a lui Fermat. A inventat o metodă de factorizare precum şi o tehnica pe care a folosit-o pentru a demonstra Marea teorema a lui Fermat pentru cazul n = 4. Fermat a aratat că fiecare număr este suma a trei numere triunghiulare (un numar triunghiular este numarul de puncte dint-un triunghi echilateral, uniform umplut cu puncte: 1,3, 6, 10, 15, 21,…) a patru numere la pătrat, a cinci numere pentagonale (un numar pentagonal pn este numarul de puncte distincte, asezate la distanta egala pe laturile unui pentagon regulat, fiecare latura avand n puncte, incluzand varfurile: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92,…), şi aşa mai departe.   Deşi Fermat a pretins că a demonstrat toate teoremele lui aritmetice, doar câteva dintre dovezile sale au supravieţuit. Mulţi matematicieni, inclusiv Gauss, au pus la îndoială afirmatiile matematice ale lui Fermat, având în vedere dificultatea unor probleme şi instrumentele matematice limitate disponibile lui Fermat. Faimosa Ultima Teorema a lui Fermat a fost descoperita de fiul său pe marginea unei copii a unei ediţii de Diophantus; era inclusa afirmaţia că margina era prea mica pentru a include dovada. Nu l-a informat nici pe Marin Mersenne de ea. Nu a fost dovedita până în 1994, folosind tehnici disponibile pentru Fermat. Deşi s-a inspirat din Diophantus, Fermat a început o tradiţie diferită. Fermat a fost interesat doar de soluţiile intregi pentru ecuaţiile sale diofantice şi a cautat toate soluţiile generale posibile. El a dovedit adesea că anumite ecuaţii nu au nici o soluţie, lucru care a uimit pe contemporanii săi.   Prin corespondenţa sa cu Pascal în 1654, Fermat şi Pascal au contribuit la punerea bazelor teoriei probabilităţii. Fermat este creditat cu realizarea primului calcul probabilistic riguros. A fost intrebat de către un jucator profesionist de ce, daca se pariaza pe obtinerea a cel putin un sase la 4 aruncari ale unui zar se castiga pe termen lung, în timp ce a paria pe obtinerea a cel puţin 2 de sase din 24 de aruncări a două zaruri conduce la pierdere. Fermat a dovedit ulterior ca acest lucru se demonstreaza matematic. Principiul lui Fermat din optica a celei mai mici distante dintre doua puncte (pe care l-a folosit pentru a obţine legea lui Snell în 1657) a fost primul principiu variational enunţat în fizica. Astfel, Fermat este recunoscut ca o figură cheie în dezvoltarea istorică a principiului actiunii stationare în fizică. Termenul funcţională Fermat a fost numit în recunoaşterea acestui rol.   Pierre de Fermat, consilier la Inalta Curte şi matematician de renume, cunoscut pentru teorema a n + bn ≠ cn pentru n> 2 A murit la Castres, Tarn. Cel mai vechi şi mai prestigioas liceu din Toulouse ii poarta numele: Lycée Pierre de Fermat. Sculptorul francez Théophile Barrau a făcut o statuie de marmură numita Hommage à Pierre Fermat ca tribut adus lui Fermat, aflata acum la Capitoliul din Toulouse. Evaluarea operei sale Manuscris al lui Fermat, 04 martie 1660 – păstrat la Arhivele departamentale din HauteGaronne, în Toulouse Împreună cu René Descartes, Fermat a fost unul dintre cei doi matematicieni de renume din prima jumătate a secolului al 17-lea.   Independent de Descartes, el a descoperit principiile fundamentale ale geometriei analitice. Impreuna cu Blaise Pascal, el a fost un fondator al teoriei probabilităţii . În ceea ce priveşte opera lui Fermat, Isaac Newton a scris că primele sale idei despre calcul au venit direct de la “felul lui Fermat de a desena tangente.” Datorita rezultatelor sale in teoria numerelor, se considera astazi ca Fermat a pus bazele teoriei  moderne a numerelor.
AnnaE
.Post in Metoda reducerii la absurd
Metoda reducerii la absurd   Există patru numere care să îndeplinească simultan condiţiile a < b, b < c, c < d, d < a? Rezolvare: Presupunem că există patru numere cu proprietatea dată. Din a < b, b < c avem a < c. Din c < d, d < a avem c < a. Cele două relaţii obţinute mai sus nu pot avea loc simultan. Aşadar, nu există patru numere care să îndeplinească simultan cele patru condiţii. Arătaţi că nu există nici un număr natural care împărţit la 8 dă restul 6 şi împărţit la 4 dă restul 3. Rezolvare Prin metoda reducerii la absurd presupunem că există un număr natural n astfel încât n = 8q + 6 şi n = 4q + 3, cu p şi q numere naturale. Vom avea că 8q + 6 = 4q + 3, relaţie care reprezintă egalitatea unui număr natural par cu unul impar. Absurd. Deci nu există nici un număr natural care împărţit la 8 dă restul 6 şi împărţit la 4 dă restul 3.   Fie numerele naturale a şi b astfel încât 2a + 3b, 2a + 4b, 2a + 5b nu se divid prin 3. Arătaţi că b este divizibil cu 3 şi că a nu este divizibil cu 3. Rezolvare Prin metoda reducerii la absurd presupunem că a se divide prin 3. Rezultă că 3 | (2a + 3b) – contradicţie cu ipoteza problemei. Deci a nu se divide prin 3. înseamnă că a este de forma: a = 3k + 1 sau a = 3k + 2, unde k este număr natural. Prin reducere la absurd, presupunem că b nu se divide cu 3. Urmează că b = 3p + 1 sau b = 3p + 2, unde p este număr natural. Pentru orice forma ale lui a şi b, cel puţin unul dintre numerele 2a + 3b, 2a + 4b, 2a + 5b se divide cu 3, ceea ce este fals. Aşadar, b este divizibil cu 3.   Tema pentru acasă (seminarul din săptămâna următoare) Câtul şi restul împărţirii numerelor naturale a şi b sunt 19, respectiv 99. Dacă a-b < 1917, aflaţi numerele a şi b. Aflaţi suma tuturor numerelor naturale cuprinse între 1000 şi 2000 care împărţite la 49 dau câtul şi restul numere egale. Determinaţi cel mai mare număr natural a care, împărţit la 1985 dă câtul mai mic decât restul. Determinaţi toate numerele naturale care împărţite la 36 dau ca rest pătratul câtului. Arătaţi că nu există nici un număr natural a care împărţit la 15 dă restul 7 şi împărţit la 12 dă restul 3.   Suma a zece numere naturale nenule distincte este 103. Demonstraţi că printre ele există cel puţin două numere impare. Cercetaţi dacă există numere naturale m şi n astfel încât (m – n)(m + n + 1) = 1999.   Rezolvări 1. Fie a şi b numere naturale, cu b diferit de zero, astfel încât a = 19b + 99, 0 ≤ 99 < b. Dar a-b < 1917. Rezultă că 19b + 99 – b < 1917, de unde b < 101. Urmează că b = 100.   2. Fie x astfel de numere naturale. x = 49c + c, 0 ≤ c < 49; 1000 < 50c < 2000, de unde, c fiind număr natural, rezultă că c poate fi 21, 22, …, 39. În acest caz, numerele x căutate sunt 50∙21, 50∙22, …, 50∙30, a căror sumă este: S = 50(21 + 22 + … + 39) = 50(60∙9 + 30) = 50∙570 = 28500.   3. a = 1985∙c + r, c < r < 1985. Dar a este maxim. Rezultă că c şi r sunt maxime, adică c = 1984 şi r = 1983. Deci a = 1985∙1983 + 1984.   4. Fie n numerele naturale cerute în enunţ. Avem că n = 36q + q2, 0 ≤ q2 < 36. De unde q poate fi 0, 1, 2, 3, 4, sau 5, deci n este 0, 37, 76, 117, 160 sau 205.   5. Presupunem prin metoda reducerii la absurd că există un număr natural a astfel încât a = 15c1 + 7 (0 ≤ 7 < 15) a = 12c2 + 3 (0 ≤ 3 < 12). Din cea de-a doua relaţie avem că a este multiplu de 3. Folosind acest lucru în prima relaţie, rezultă că M3 = M3 + 7, de unde rezultă că 7 este multiplu de 3. Absurd. Deci, concluzia problemei este adevărată.   6. Presupunem prin reducere la absurd că cele 10 numere sunt pare. Rezultă că 2 + 4 + 6 + … + 20 = = 110. Absurd (suma din ipoteză este 103). Deci, cel puţin unul este impar. Dar, dacă unul singur ar fi impar, atunci suma ar fi impară. Dar suma este pară. Rezultă că cel puţin doi termeni sunt impari.   7. Prin reducere la absurd presupunem că există două numere naturale m şi n astfel încât (m – n)(m + n + 1) = 1999. I. Dacă m şi n-au aceeaşi paritate (ambele pare sau ambele impare), rezultă că m – n este par, deci (m – n)(m + n + 1) este par. II. Dacă m şi n au parităţi diferite, m + n + 1 este un număr par, deci (m – n)(m + n + 1) este par. Contradicţie cu (m – n)(m + n + 1) = 1999. Deci nu există astfel de numere.
AnnaE
.Post in Povestea cifrei Zero
După cum bine ştim, întreg sistemul matematic nu ar fi posibil fără cifra zero. Această cifră este atât de importantă încât chiar niciun sistem matematic nu ar fi posibil fără existenţa sa. Din această cauză este imposibil să nu ne întrebam, cine a inventat această noţiune abstractă? Prin mileniul I î. Hr. babilonienii obişnuiau să lase un spaţiu gol atunci când făceau referire la cifra zero. Mai târziu, prin secolul al IV-lea î. Hr., chinezii i-au copiat pe babilonieni şi nu au putut să definească valoarea lui „zero” decât printr-un spaţiu gol. Abia în anul 200 i. Hr. babilonienii au reuşit să umple spaţiul gol cu un simbol neobişnuit. Aceasta a fost prima formă a cifrei zero. Semnul apărea doar în textele astronomice şi niciodată la sfârşitul unui număr. În anul 1247 apare pentru prima dată cifra zero sub forma pe care o cunoaştem şi în prezent, O. Într-un manuscris chinezesc, în care sunt efectuate mai multe calcule, apare forma actuală a cifrei zero. În mai multe texte indochineze, s-a descoperit recent, că cifra zero era cunoscută şi utilizată aşa cum o cunoaştem noi în prezent. De asemenea şi mayaşii au făcut cunoştinţă cu celebra cifra zero. Ea apărea în diferite forme, uneori sub forma unei scoici, alte ori erau utilizate simboluri stranii. Zero era prima zi din lună, dar întruchipa şi zeul morţii, ceea ce i-a împins pe arheologi să creadă că zero era o noţiune confundată cu sfârşitul. Dar la fel ca babilonienii, mayaşii utilizau cifra zero în raport cu divinitatea. În India, cifra zero a apărut undeva prin anul 200 î Hr. într-un manuscris şi era reprezentată printr-o serie de punctuleţe numite „sunya”, adică alb. De-a lungul secolelor, matematicienii hinduşi au dezvoltat diverse proprietăţi ale cifrei zero şi i-au dat formă sa actuală. În secolul al IX-lea arabii au descoperit sistemul aritmetic hindus şi au tradus „sunya” prin „sifr” şi a fost latinizat odată cu transmiterea sistemului matematic prin Europa. În acest fel, punctele albe s-au transformat într-o cifra care a fost numită zepharum, adică zero. sursa : http://www.efemeride.ro
AnnaE
.Post in Frumusetea numerelor. Calculul piramidelor
O idee pentru dascali, de a le arata copiilor frumusetea numerelor si de a indragi matematica… 9 x 9 + 7 = 88 98 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5 = 8888 9876 x 9 + 4 = 88888 98765 x 9 + 3 = 888888 987654 x 9 + 2 = 8888888 9876543 x 9 + 1 = 88888888 98765432 x 9 + 0 = 888888888 Admirati simetria: 1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321 1111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 123456787654321 111111111 x 111111111 = 12345678987654321
AnnaE
.Post in Numarul de aur - geometria universului
Numarul de aur Secțiunea de aur (numită uneori și Raportul de aur, Proporția de aur, Numărul de aur) (“sectio aurea” în limba latină), notată cu litera greacă Φ (phi majuscul) sau și cu φ (phi minuscul), care se citesc “fi”, este primul număr irațional descoperit și definit în istorie. El este aproximativ egal cu 1,618033 și poate fi întâlnit în cele mai surprinzătoare împrejurări. Grecii, romanii, egiptenii, evreii, in antichitate, par sa fi fost toti de acord ca 1, 618 (un numar irational, exprimand raportul dintre circumferinta si diametrul unui cerc) este numarul de aur, numarul armoniei universale, numarul divin, al Creatiei, al perfectiunii, ascuns in tot ceea ce exista in natura si preluat de om in edificiile consacrate Creatorului, dar si in pictura, sculptura, muzica etc. In cultura greceasca antica, numarul de aur a fost simbolul pitagoricienilor (adeptii scolii filozofice a lui Pitagora, fondata in secolul al VI-lea i.Hr.), care considerau ca 1,618 este expresia vietii, a iubirii si a frumusetii. Se spune că atunci când Hispassus din Metapontum a descoperit, în secolul V î.Hr., că Φ este un număr care nu este nici întreg (ex:1;2;…), nici măcar raportul dintre două numere întregi (precum fracțiile:1/2,7/6,45/90,etc., care sunt cunoscute în ansamblu drept numere raționale), adepții faimosului matematician grec Pitagora și anume pitagoreicii au fost extrem de șocați. Concepția pitagoreică despre lume se baza pe o extremă față de arithmos – adică proprietățile intrinseci ale numerelor întregi și ale fracțiilor lor – și presupusul lor rol în cosmos. Înțelegerea faptului că există numere care precum Φ se repetă la infinit fără a prezenta nici o repetiție sau regularitate a pricinuit o adevărată criză filozofică. Unele surse susțin chiar că pitagoreicii au sacrificat 100 de boi din cauza numărului. Totuși acest lucru pare extrem de improbabil deoarece ei erau vegetarieni stricți. Pitagoreicii erau neîndoielnic convinși că existența unor numere precum Φ era atât de înfricoșătoare încât ea trebuia să reprezinte un fel de eroare cosmică, o informație care ar trebui suprimată și ținută secret. Multa vreme apoi, numarului de aur nu i s-a mai acordat prea multa atentie, revenind intr-o carte din secolul al XIX-lea, a lui Martin Ohm, matematician german, si intr-una de filozofie, apartinand lui Adolf Zeising, unde este apreciat ca « o adevarata cheie » pentru interpretarea a nenumarate domenii artistice sau stiintifice. Ideile lui Zeising si-au gasit ecou, in secolul al XX-lea, in opera unui ofiter de marina, scriitor, matematician, diplomat roman, Matila Costiescu Ghyka (1881 – 1965), profesor de estetica in SUA, dupa cel de-al Doilea Razboi Mondial, autor al unui studiu exhaustiv despre « Phi ». Arhitectul Corbusier, fondator al directiei moderne in arhitectura, se foloseste si el de numarul de aur, stabilind proportiile diverselor constructii in functie de acesta si, implicit, in functie de morfologia corpului uman, unde, de asemenea, « Phi » este prezent. Pictorul Salvador Dali s-a dovedit interesat de proportia de aur, intr-un celebru tablou – «Ultima Cina» – replica la pictura lui Leonardo da Vinci, « Cina cea de taina ». Studii amanuntite au facut ca numarul de aur sa apara in toate segmentele pamantesti si universale : – in proportiile corpului uman ; – in proportiile a numeroase animale si plante, peste tot in natura; – in structura ADN-ului; – in alcatuirea sistemului solar; – in arte (pictura, muzica, arhitectura, sculptura etc.); – in rata de crestere a populatiei; – pe piata actiunilor; – in realizarea fractalilor, figuri geometrice deosebit de estetice, in care fiecare parte este o copie, la dimensiuni mai mici, a intregului, care se construiesc, in intregime, pe baza numarului de aur ; – in Biblie, in Coran si in tehnologie; – in corola de floarea-soarelui, in miezul de ananas, in conurile de pin, in forma scoicilor etc. se gasesc spirale corespunzatoare Sirului lui Fibonacci si unghiuri dupa dimensiunile proportiei de aur. – dimensiunile corpului uman, ale fetei, – spirala de ADN, – sectiunea transversala prin ADN, – molecula de ADN, care cuprinde “programul” pentru intreaga viata, toate se bazeaza pe proportia “Phi”.  
Load More