Matematica pentru invatamantul primar si prescolar

Geometria distractiva

Numarul de aur Secțiunea de aur (numită uneori și Raportul de aur, Proporția de aur, Numărul de aur) (“sectio aurea” în limba latină), notată cu litera greacă Φ (phi majuscul) sau și cu φ (phi minuscul), care se citesc “fi”, este primul număr irațional descoperit și definit în istorie. El este aproximativ egal cu 1,618033 și poate fi întâlnit în cele mai surprinzătoare împrejurări. Grecii, romanii, egiptenii, evreii, in antichitate, par sa fi fost toti de acord ca 1, 618 (un numar irational, exprimand raportul dintre circumferinta si diametrul unui cerc) este numarul de aur, numarul armoniei universale, numarul divin, al Creatiei, al perfectiunii, ascuns in tot ceea ce exista in natura si preluat de om in edificiile consacrate Creatorului, dar si in pictura, sculptura, muzica etc. In cultura greceasca antica, numarul de aur a fost simbolul pitagoricienilor (adeptii scolii filozofice a lui Pitagora, fondata in secolul al VI-lea i.Hr.), care considerau ca 1,618 este expresia vietii, a iubirii si a frumusetii. Se spune că atunci când Hispassus din Metapontum a descoperit, în secolul V î.Hr., că Φ este un număr care nu este nici întreg (ex:1;2;…), nici măcar raportul dintre două numere întregi (precum fracțiile:1/2,7/6,45/90,etc., care sunt cunoscute în ansamblu drept numere raționale), adepții faimosului matematician grec Pitagora și anume pitagoreicii au fost extrem de șocați. Concepția pitagoreică despre lume se baza pe o extremă față de arithmos – adică proprietățile intrinseci ale numerelor întregi și ale fracțiilor lor – și presupusul lor rol în cosmos. Înțelegerea faptului că există numere care precum Φ se repetă la infinit fără a prezenta nici o repetiție sau regularitate a pricinuit o adevărată criză filozofică. Unele surse susțin chiar că pitagoreicii au sacrificat 100 de boi din cauza numărului. Totuși acest lucru pare extrem de improbabil deoarece ei erau vegetarieni stricți. Pitagoreicii erau neîndoielnic convinși că existența unor numere precum Φ era atât de înfricoșătoare încât ea trebuia să reprezinte un fel de eroare cosmică, o informație care ar trebui suprimată și ținută secret. Multa vreme apoi, numarului de aur nu i s-a mai acordat prea multa atentie, revenind intr-o carte din secolul al XIX-lea, a lui Martin Ohm, matematician german, si intr-una de filozofie, apartinand lui Adolf Zeising, unde este apreciat ca « o adevarata cheie » pentru interpretarea a nenumarate domenii artistice sau stiintifice. Ideile lui Zeising si-au gasit ecou, in secolul al XX-lea, in opera unui ofiter de marina, scriitor, matematician, diplomat roman, Matila Costiescu Ghyka (1881 – 1965), profesor de estetica in SUA, dupa cel de-al Doilea Razboi Mondial, autor al unui studiu exhaustiv despre « Phi ». Arhitectul Corbusier, fondator al directiei moderne in arhitectura, se foloseste si el de numarul de aur, stabilind proportiile diverselor constructii in functie de acesta si, implicit, in functie de morfologia corpului uman, unde, de asemenea, « Phi » este prezent. Pictorul Salvador Dali s-a dovedit interesat de proportia de aur, intr-un celebru tablou – «Ultima Cina» – replica la pictura lui Leonardo da Vinci, « Cina cea de taina ». Studii amanuntite au facut ca numarul de aur sa apara in toate segmentele pamantesti si universale : – in proportiile corpului uman ; – in proportiile a numeroase animale si plante, peste tot in natura; – in structura ADN-ului; – in alcatuirea sistemului solar; – in arte (pictura, muzica, arhitectura, sculptura etc.); – in rata de crestere a populatiei; – pe piata actiunilor; – in realizarea fractalilor, figuri geometrice deosebit de estetice, in care fiecare parte este o copie, la dimensiuni mai mici, a intregului, care se construiesc, in intregime, pe baza numarului de aur ; – in Biblie, in Coran si in tehnologie; – in corola de floarea-soarelui, in miezul de ananas, in conurile de pin, in forma scoicilor etc. se gasesc spirale corespunzatoare Sirului lui Fibonacci si unghiuri dupa dimensiunile proportiei de aur. – dimensiunile corpului uman, ale fetei, – spirala de ADN, – sectiunea transversala prin ADN, – molecula de ADN, care cuprinde “programul” pentru intreaga viata, toate se bazeaza pe proportia “Phi”.  

Matematica distractiva de Pietrani

O idee pentru dascali, de a le arata copiilor frumusetea numerelor si de a indragi matematica… 9 x 9 + 7 = 88 98 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5 = 8888 9876 x 9 + 4 = 88888 98765 x 9 + 3 = 888888 987654 x 9 + 2 = 8888888 9876543 x 9 + 1 = 88888888 98765432 x 9 + 0 = 888888888 Admirati simetria: 1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321 1111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 123456787654321 111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Scoala din Milet Nasterea matematicii grecesti este legata de figura legendara a lui Tales (aproximativ 600 i.e.n.) care a fondat in Grecia, cea mai veche scoala filozofica de materialism spontan. Filozofia scolii mileziene, la fel ca si a scolii din Efes, intemeiata de Heraclit (aproximativ 530 -470 i.e.n.) a fost orientata impotriva ideologiei idealiste si metafizice a aristrocratiei gentilice. Conform afirmaiilor lui Herodot, Democrit si Platon, Tales a fost de origine feniciana. El a fost negustor in Milet, centrul comertului peste mari, in prima jumatate a secolului al VI-lea i.e.n., vizitand Egiptul unde a si facut cunostinta cu matematica. Combinarea germenilor de stiinte ale naturii cu filozofia a dus, o data cu rezolvarea problemelor practice, la incercarile unei explicatii moniste a lumii. Tales a incercat sa explice varietatea naturii dintr-un principiu unic, sa gaseasca in haosul aparent al fenomenelor o legitate. Acest principiu, Tales il putea gasi in mitologia culturii insulare egee antice a Egiptului si in special al Mesopotamiei. Tales a luat drept baza primara a intregii existente APA. Spre deosebire de credintele religioase, invatatura lui Tales nu considera lumea creata de zei, ci vesnica si in vesnica schimbare logica. Astfel se contureaza aici pe deplin materialismul spontan initial, care la inceputurile lui considera in chip foarte firesc, ca de la sine inteleasa, unitatea fenmenelor naturii in infinita lor varietate si care cauta aceasta unitate in ceva special, asa cum Tales o cauta in apa. Incercand sa dea explicatii logice, rationale ale fenomenelor, Tales a inceput sa abordeze si propozitiile matematice cu cerinta nu numai de a le expune, ci si de a le demonstra. Lui i se atribuie demonstratia urmatoarelor teoreme : 1) diametrul imparte cercul in doua parti egale 2) egalitatea unghiurilor de la baza in triunghiul isoscel 3) egalitatea unghiurilor drepte 4) egalitatea tringhiurilor care au o latura si unghiurile adiacente egale (asa-numitul al doilea caz de egalitate a triunghiurilor) 5) fsptul ca unghiul inscris intr-un semicerc este drept Generalizand cunostintele egiptenilor si babilonienilor, scoala mileziana a cautat sa gaseasca raspuns la problema fundamentului existentei si in conformitate cu cresterea elementului logic in gandirea sociala, cauta si o fundamentare a diferitelor propozitii ale geometriei. Si daca geometria egipteana ramanea in esenta o geometrie a ariei, pastrand prin aceasta legatura directa cu provenienta ei in agrimensura, la greci a devenit acum mai abstracta. Intr-o masura si mai mare dect la egipteni, erau folosite desene;liniile drepte erau privite numai ca margini ale paralelelor de pamant. Propritatile tringhiurilor, ale unghiurilor, ale cercului, erau studiate pe figura. Un rol important a inceput sa-l joace notiunea de asemanare (similitudine). La fel ca si in patria invatatorilor grecilor,adica, egiptenii si babilonienii,studiul matematicii a fost si in Elada (Grecia) strans legat de necesitatile practice. COnstructia enormelor temple a lui Apolo din Milet, a Herei pe insula Samos si a Artemidei in efes, dateaza din secolele VII si VI i.e.n. Construirea acestor temple dura timp de decenii, ele necesitau calcule si plane exacte, dar si aplicarea unor mecanisme simple. Cunostintele de matematica erau necesare si pentru constructia de vase, ce se dezvolta, si pentru navigatie. Scoala mileziana a numarat o serie intreaga de filozofi-matematicieni, dar s-au pastrat extrem de putine nformatii despre acestia. Continuatorul remarcabil al lui Tales a fost compatriotul, ruda si elevul sau Anaximandru (aproximativ 610-543 i.e.n.), autorul operei “Despre natura”, unde considera drept baza a intregii existente apeiron-ul – “nelimitatul” – o nemarginita in spatiu si timp, fara calitati, care vesnic se schimba, se misca, delimiteaza contrariile si le absoarbe din nou. Emitand pentru prima data ipoteza infinitatii lumilor in universulinfinit si a originii naturale a omului, el a pus prin aceasta pe primul plan ideea legitatii obiective, idee care a stimulat apreciabil dezvoltareastiintei raporturilor cantitative si a formelor spatiale ale realitatii. Din scoala mileziana facea parte si Las din Hermion care a scris in preajma anului 500 i.e.n. o lucrare de muzica, prima lucrare greceasca de acest gen. el efectua experiente de acustica. Din mai multe vase identice, unul ramanea gol, altul era umplut cu lichid pana la jumatate si asa mai departe. Lovind fiecare dintre aceste vase, el a stabilit ca raportul volumelor goale exprima “pentru octava ca 2 : 1, pentru cvinta ca 3 : 2, pentru cvarta ca 4 : 3”. Filozofii scolii pitagoreice au folosit aceasta experienta pentru invatarea lor mistica asupra “armoniei numerelor” atribuind-o lui Pitagora.Astfel experientele lui Las din Hermion precizau doar faptele, incontestabil cunoscute demult de catre constructorii de lire si flaute. Astfel, inca de pe atunci filozofia idealista parazita pe realizarile stiintelor naturii si matematicii, fenomen caracteritic pentru ea de-a lungul intregii istorii si devenit deosebit de izbitor in zilele noastre.