Matematica definitivat 2023-2024. Metodica predării matematicii

Metodologia predării fracţiilor şi operaţiilor cu fracţii     Introducerea, în clasa a IV-a, a noţiunii de fracţie reprezint ă prima lărgire a conceptului de număr. Elevii vor învăţa că noua mulţime numerică o include pe cea a numerelor naturale, prin înţelegerea faptului că o fracţie cu numitorul 1 reprezintă un număr natural.   Formarea noţiunii de fracţie este un proces mai complicat, ce va conduce, în timp, la conceptul de număr raţional. Bazele psihopedagogice ale predării-învăţării fracţiilor sunt determinate de sporirea experienţ ei de viaţă şi didactice a elevilor, a maturizării lor cognitive, a lărgirii ariei cunoştinţelor lor matematice şi din alte domenii ale cunoaşterii. Demersul didactic trebuie să aibă traseul obişnuit în învăţarea la această vârstă: de la elementele acţionale, concrete, la cele de reprezentare iconică şi atingând nivelul abstracţiunii, prin elemente simbolice.   Învăţarea fracţiilor în clasa a IV-a nu porneşte de pe un loc gol. În clasa a II-a, elevii au cunoscut termenii de jumătate (doime) şi sfert (pătrime), în legătură cu împărţirea unui număr la 2, respectiv la 4, lucruri ce pot fi valorificate în acest capitol. Astfel, ştiind că una din cele două părţi de aceeaşi mă rime în care a fost împărţit un întreg reprezint ă o doime, că una din cele 4 părţi de aceeaşi mărime în care a fost împărţit întregul reprezintă o pătrime, se pot aborda alte cazuri particulare, ce vor conduce la generalizarea ce defineşte unitatea fracţionară: o parte dintrun întreg care a fost împărţit în părţi la fel de mari. Elevii vor fi conduşi să intuiască întregul ca un obiect, o figură geometrică, o mulţime de obiecte sau imagini de acelaşi fel sau chiar număr.   Date fiind experienţa matematică redusă a elevilor, capacităţile de abstractizare şi generalizare încă nematurizate, precum şi noutatea noţiunii , învăţarea acesteia parcurge mai multe etape: etapa de fracţionare efectivă a unor obiecte concrete (măr, pâine, portocală ş.a.) şi de partiţie a unor mulţimi de obiecte concrete (nuci, creioane, beţişoare, jetoane ş.a.); etapa de fracţionare prin îndoirea unor figuri geometrice plane care au axe de simetrie (pătrate, dreptunghiuri, cercuri); etapa de fracţionare prin trasarea unor linii pe un desen geometric dat, pe care-l împart în părţi la fel de mari (axe de simetrie ale unui pătrat, dreptunghi,cerc ş.a) sau fracţionarea unor imagini de obiecte (trasarea unor linii pe imaginea unui măr, a unei clădiri ş.a) etapa de fracţionare a numerelor, reductibilă la împărţirea acestora la un număr dat (2, pentru aflarea unei doimi; 4, pentru aflarea unei pătrimi ş.a.m.d.)   În cadrul fiecărei etape se va evidenţ ia unitatea fracţionară şi se va sublinia faptul că întregul a fost împărţit în părţi la fel de mari.   Se introduce apoi noţiunea de fracţie, ca fiind una sau mai multe unităţi fracţionare şi scrierea/citirea acesteia. Pentru ca elevii să reţină mai uşor denumirile celor doi termeni ai unei fracţii, se poate preciza că numitorul “numeşte” unitatea fracţionară (de exemplu, 2 – întregul a fost împărţit în două părţi la fel de mari, numite doimi), iar numărătorul “numără” câte unităţi fracţionare formează fracţia dată. În citirea unei fracţii se va urmări ca exprimările elevilor să fie complete şi corecte (ex. 3/4 = trei pătrimi şi nu “3 pe 4”sau “3 supra 4”), pentru a conştientiza no ţiunea de fracţie, evitând formalizări ce nu spun nimic elevului din clasa a IV-a. De asemenea, din punct de vedere metodic, se recomandă folosirea unei fracţii ai căror numărători/numitori sunt numere mai mici decât 10.   Compararea unei fracţii cu întregul   Următoarele informaţii pe care şi le pot însuşi elevii se referă la tipurile de fracţ ii date de compararea cu întregul (subunitare, echiunitare, supraunitare). Prin acţiune direct ă cu obiecte sau cu imagini, aceştia constată că dacă numărătorul fracţiei este mai mic decât numitorul, trebuie luate în considerare mai puţine unităţ i fracţionare decât are întregul în cazul dat (ex.: pentru fracţia ¾, întregul a fost împărţit în 4 părţi la fel de mari şi s-au luat în considerare doar 3 dintre ele), deci fracţ ia reprezintă, în acest caz, mai puţin decât un întreg, numindu-se subunitar ă. Dacă număr ătorul fracţiei este egal cu numitorul, atunci se iau în considerare toate unit ăţile fracţionare ale întregului, deci tot întregul, fracţia reprezentând, în acest caz, chiar întregul şi numindu-se echiunitară. Dacă numărătorul fracţiei este mai mare decât numitorul, elevii constată că nu sunt suficiente unităţ i fracţionare ale întregului şi este necesară considerarea încă unui întreg (sau mai mulţi) de acelaşi fel, pentru a obţine fracţia. Fireşte, în acest caz, fracţia reprezintă mai mult decât un întreg şi se va numi supraunitară. Treptat, concretul reprezentat de obiecte sau imagini va dispărea şi elevii îşi vor forma priceperea de a sesiza tipul fracţiei, prin simpla comparare a numărătorului cu numitorul.   Fracţii egale   Fracţiile egale sunt definite ca fiind frac ţiile ce reprezintă aceeaşi parte dintr-un întreg sau din întregi identici. Această definiţie nu poate fi asimilată de elevi decât prin intuirea unor situaţii particulare. Astfel, se poate cere elevilor să plieze o foaie de hârtie dreptunghiulară astfel încât să obţ ină două părţi la fel de mari, apoi să haşureze/coloreze într-un anumit mod, una dintre părţi (deci, 1/2). Apoi se cere plierea aceleiaşi foi astfel încât să se obţină patru părţi la fel de mari şi să se haşureze/coloreze într-un alt mod, două părţi (deci, 2/4). Se compară apoi părţile haşurate/colorate, constatându-se că reprezintă aceeaşi parte din întreg, motiv pentru care vor fi numite fracţii egale şi se va scrie 1/2 = 2/4.   Acţiunile de acest tip ar putea continua, elevii descoperind că 1/2 = 2/4 = 4/8, ceea ce constituie un prim pas în sesizarea proprietăţii de amplificare (înmulţirea atât a numărătorului cât şi a numitorului cu un acelaşi număr nenul), ce reprezintă şi o modalitate de obţinere a fracţiilor egale cu o fracţie dată. Analiza şirului de egalităţi scrise în ordine inversă (4/8 = 2/4 = 1/2) sugerează proprietatea de simplificare a fracţiilor (împărţirea atât a numărătorului cât şi a numitorului cu un acelaşi număr nenul).   Compararea a două fracţii   Problema comparării a două frac ţii apare imediat după problema egalităţii: dacă fracţiile nu sunt egale, trebuie stabilit care dintre ele este mai mică/mare.   În acest fel se va introduce o relaţie de ordine în mulţimea fracţiilor. La clasa a IV-a, sunt abordate doar două situaţii în compararea fracţiilor: fracţiile au acelaşi numitor; fracţiile au acelaşi numărător.   Primul caz nu ridică probleme metodice deosebite, elevii intuind cu uşurinţă că, fracţiile având acelaşi numitor, “părţile” (unităţile fracţionare) sunt la fel de mari, deci va fi mai mică fracţia cu numărătorul  mai mic, deoarece se “iau mai puţine unităţi fracţionare.   Pentru compararea fracţiilor care au acelaşi numărător, elevii trebuie să înţeleagă că, împărţind  un întreg în părţi (egale) mai multe, părţile vor fi mai mici.  Această  aserţiune  poate  fi  intuită  cu  uşurinţă  prin  prezentarea problematizată  a unei situaţii de tipul: Avem două prăjituri egale, una împărţită în două părţi (egale), cealaltă în trei părţi (egale); pe care bucată ai alege-o şi de ce? În acest fel, elevii pot realiza că 1/2 > 1/3 şi prin abordarea altor cazuri particulare, că 1/2 > 1/3 > 1/4 >…, adică, dintre două unităţi fracţionare diferite este mai mare cea cu numitorul mai mic. În acest context este mai uşor pentru elevi să ordoneze descrescător mai multe unităţi fracţionare diferite. După asimilarea faptului că 1/2 > 1/3, se deduce imediat că 1/3 < 1/2 şi prin inducţie, se ajunge la regula ce permite ordonarea  crescătoare a unităţilor fracţionare: dintre două unităţi fracţionare este mai mică cea care are numitorul mai mare.   În etapa următoare se consideră nu câte o unitate fracţionară, ci mai multe (dar tot atâtea din fiecare întreg!), adică fracţii cu numărători egali. Cunoscând faptul că o pătrime reprezintă mai mult decât o cincime (din acelaşi întreg sau din doi întregi egali), elevii intuiesc cu uşurinţă că dacă se iau câte 3 asemenea părţi, 3  Operaţii cu fracţii   Adunarea şi scăderea fracţiilor cu acelaşi numitor) nu ridică probleme metodice deosebite deoarece, în aceast ă etapă, elevii pot discrimina cu uşurinţă tipul de problemă simplă întâlnit, iar partea calculatorie este corect intuită, după utilizarea unui desen sugestiv şi a unor exprimări neformalizate (de tipul: două cincimi + o cincime =?, trei cincimi – două cincimi =?). Se ajunge astfel la regulile cunoscute: pentru a aduna/scădea două fracţii cu acelaşi numitor se adună/scad numărătorii, numitorul rămânând neschimbat.   În perspectiva simetriei relaţiei de egalitate, pentru cultivarea reversibilităţii gândirii elevilor este necesară abordarea unor sarcini de tipul scrierii unei fracţii ca o sumă/diferenţă de fracţii având acelaşi numitor (ex. 3/5 = 1/5 + ; 5/6 = /6 + ; 6/7 = +  şi analog pentru scădere). Mai menţionăm că, la nivelul trunchiului comun al programei, este suficient să se opereze cu fracţii subunitare, deoarece utilizarea celorlalte tipuri de fracţii (echiunitare, supraunitare) ar atrage după sine o altă problemă: scoaterea întregilor din fracţie.   O eventuală extindere la cazul adunării/scăderii fracţiilor cu numitori diferiţi este posibilă doar în situaţia în care elevii au capacitatea de a obţine fracţii egale cu o fracţie dată (vezi amplificarea) şi de a o alege pe cea utilă. Poate fi abordat cazul în care unul dinte numitori este numitorul comun al fracţiilor date (de exemplu, 2/5 + 1/10, 3/4 – 1/2, 2/3 – 4/9). Aflarea unei fracţii dintr-un întreg   Aflarea unei fracţii dintr-un întreg trebuie realizată metodic în două etape: aflarea unei (singure) unităţi fracţionare dintr-un întreg; aflarea unei fracţii (mai multe unităţi fracţionare) dintr-un întreg.    Prima etapă se parcurge apelând mai întâi la intuiţie, prin utilizarea unui material didactic tridimensional (obiecte) şi plan (imagini, figuri). Problema aflării unei doimi dintr-un astfel de întreg este transpusă cu uşurinţă de către elevi în plan operaţional, la împărţirea acestuia în două părţi egale.    Prin inducţie se ajunge la concluzia că aflarea unei unităţi fracţionare dintr-un întreg este reductibilă la împărţirea acestuia în atâtea părţi egale cât arată numitorul. Apoi se află unităţi fracţ ionare din întregi ce reprezint ă mase, lungimi, volume, cantităţi (ex.: 1/2 din 10 kg, 1/3 din 9m, 1/4 din 12 l), reţinând ideea: împ ărţire (în părţi egale). De aici, se trece la aflarea unei unităţi fracţionare dintr-un număr (1/2 din 10, 1/3 din 9, 1/4 din 12), subliniind procedeul: împărţire.   Parcurgerea celei de-a două etape (aflarea unei frac ţii dintr-un întreg) presupune doi paşi: aflarea unei singure unităţi fracţionare de tipul indicat de numitor şi apoi aflarea fracţiei respective din întreg.    De exemplu, problema aflării a 3/4 din 12 este reductibilă la: aflarea unei pătrimi din 12 (ceea ce elevii ştiu) şi constatarea că 3 astfel de părţ i (pătrimi) înseamnă de 3 ori mai mult decât una singură (deci înmulţire cu 3).   După rezolvarea mai multor cazuri particulare se sintetizează modul de lucru în regula: pentru a afla cât reprezintă o fracţie dintr-un număr (natural), împărţim numărul la numitorul fracţiei şi înmulţim rezultatul cu numărătorul.   Din punct de vedere metodic, această ultimă etapă poate fi parcursă, funcţie de particularităţile clasei, trecând prin fiecare dintre fazele concretă, semiconcretă şi abstract ă sau numai prin ultimele/ultima. Considerăm că elevii şi-au însuşit procedeul aflării unei fracţii dintrun întreg, dacă vor avea capacitatea să gândească şi să exprime (oral sau scris) de tipul 3/4 din 12 = 12 : 4 x 3.

Patrulaterele pe care le-am invatat sunt: paralelogramul, dreptunghiul, rombul, patratul, dar si trapezul. Astfel: Aria unui paralelogram este egala cu produsul dintre lungimea unei laturi si lungimea inaltimii corespunzatoare ei. Matematic scriem , unde b este baza, h este inaltimea corespunzatoare bazei. Exemplu: 1) Un paralelogram ABCD,  perpendicular pe AB si AC=24 cm, iar AB=18 cm. a) Calculati aria paralelogramului ABCD b) Stiind ca BC=30 cm calculati inaltimea paralelogramului dusa la latura BC Dem: Triunghiul ABC dreptunghic aplicam formula pentru aria triunghiului dreptunghic Triunghiul ABC este congruent cu triunghiul ADC dupa cum bine observati, deci aria paralelogramului este: . b) Stiind aria paralelogramului de baza DC, aplicam aria paralelogramului cand BC este baza, deci obtinem: . Def: Aria unui dreptunghi este egala cu produsul dintre lungime si latime. Exemplu: 2) Calculati aria unui dreptunghi cu semiperimetru de 60 cm si latimea un sfert din lungime. Solutie: , unde p=semiperimetru si P=perimetru Deci obtinem: , iar latimea . Deci aria dreptunghiului . Aria rombului Def: Aria rombului este egala cu semiprodusul celor doua diagonale. . Exemplu: 3) Un romb are diagonalele de 18 cm si 2,4 dm si latura egala cu 15 cm. Calculati: a) aria rombului b) inaltimea rombului Solutie Ca sa aflam aria rombului aplicam formula de mai sus astfel, dar mai intai transformam decimetri in centimetri astfel obtinem 2,4 dm=24 cm : b) Cum stim ca rombul este un caz particular de paralelogram aplicam formula urmatoare pentru a afla inaltimea  Cum aria rombului este 216 cm egalam si obtinem: Aria patratului Def: Aria unui patrat este egala cu patratul lungimii laturii sale l. Exemplu: 4) Daca aria unui patrat are perimetrul egal cu 48 cm atunci aria patrartului este: Dupa cum stiti ca perimetrul unui patratului este 4l obtinem Si astfel . Aria trapezului Def: Aria unui trapez este egala cu semiprodusul dintre suma lungimilor bazelor si lungimea inaltimii h a trapezului. Obs: Inaltimea intr-un trapez este distanta dintre dreptele ce contin bazele. , unde B este baza mare, b= este baza mica si h este inaltimea. Exemplu: 5) Trapezul dreptunghic ABCD are AB|| CD  si . Stiind ca CD=10 cm si AB=2CD, aflati: a) inaltimea trapezului b) aria trapezului Solutie:   Observam ca masura unghiului ABC este de 45 de grade, observam ca am construit si perpendiculara CE pe dreapta AB, observam ca masura unghiului CEB este de 90 de grade si astfel obtinem  Cum  obtinem: , deci triunghiul CEB dreptunghi isoscel si astfel obtinem ca EB=EC=10 cm, deci am aflat inaltimea trapezului care este de 10 cm (stiti ca daca un triunghi are unghiurile alaturate bazei congruente atunci triunghiul este isoscel si daca mai are si un unghi de 90 de grade se numeste triunghi dreptunghic isoscel). b) Acum stiind si baza mare, dar si baza mica, dar si inaltimea putem aplica formula pentru aria trapezului . Deci e important la ariile patrulaterelor sa stim formulele, dar si elementele componente ale figurilor care le-am studiat. sursa:matepedia.ro

  Corpuri, scurtă descriere, clasificări Un poliedru este un corp mărginit doar de suprafeţe plane. Corpurile care se studiază în clasa a VIII-a sunt : câteva poliedre si câteva corpuri de rotaţie. Poliedrele care sunt studiate în cls. a VIII-a au fost prezentate într-o lecţie anterioară şi reamintim care sunt ele : prisme dreapte , câteva piramide regulate şi trunchiril de piramidă regulate . Corpurile de rotaţie vor fi : cilindrul circular drept, conul circular drept, trunchiul de con circular drept şi sfera.  Le vom studia în continuare . Construcţia corpurilor de rotaţie - desene Un corp de rotaţie ia naştere prin rotirea unei suprafeţe în jurul unei drepte numită axa de rotaţie. Dacă suprafaţa care se roteşte este o suprafaţă dreptunghiulară şi are o latură pe axa de rotaţie , atunci corpul de rotaţie se numeşte cilindru circular drept. Dacă suprafaţa care se roteşte este o suprafaţă triunghiulară dreptunghică şi are o catetă pe axa de rotaţie , atunci corpul de rotaţie se numeşte con circular drept. Dacă suprafaţa care se roteşte este o suprafaţă trapezoidală dreptunghiulară ABCD cu bazele AB şi CD şi AD perpendiculară pe AB şi latura AD este pe axa de rotaţie , atunci corpul de rotaţie se numeşte trunchi de con circular drept. Dacă suprafaţa care se roteşte este un disc şi are un diametru pe axa de rotaţie , atunci corpul de rotaţie se numeşte sferă. Se observă că în fiecare din corpurile de mai sus apar cercuri , discuri.. Reamintim că  a) lungimea sau circumferinţa sau perimetrul cercului de rază R este P=2πR, unde π este un număr iraţional , aproximativ egal cu numărul raţional 3,14.  b) de asemenea , aria cercului de rază R este πR2 .  c) volumul unui corp are ca unităţi de măsură m3 şi multipli şi submultipli ai acestuia. d) capacitatea unui corp are ca unitate de măsură  3 şi multipli şi submultipli ai acestuia. e) 1 litru = 1  = 1 dm 3 .   Cilindrul circular drept , definiţie, descriere, notaţii, desfăşurare, formule   Cilindrul circular drept ,descriere, desen , notaţii Cilindrul circular drept ABB'A' este corpul care ia naştere prin rotaţia  unui dreptunghi AOO'A' în jurul unei drepte pe care se află una  din laturile dreptunghiului , de exemplu în jurul dreptei OO'.  OO' se numeşte axa de rotaţie a cilindrului.  Planele celor două cercuri sunt paralele. Cercul de sus se numeşte cercul superior.  Cercul de jos se numeşte cercul inferior.  Cele două discuri se numesc bazele cilindrului. Dreptele AA',BB',OO',MM',NN', sunt perpendiculare pe planele bazelor, unde MM' || OO', M' pe cercul superior şi M pe cercul inferior şi analog NN.. Cilindrul circular drept : desfăşurare şi formule În figura 1, Notăm cilindru cu ABCD. Înălţimea h a cilindrului este distanţa dintre cele două baze, adică distanţa dintre planele lor şi este lungimea h=AD=BC=A'D'= OO'=.... Cele două discuri sunt congruente , adică au aceeaşi rază pe care o notăm cu R.  Exemple de raze R = OC = OD = O'A = O'B = OT = OT', unde T este orice punct de pe cercul de jos, iar T' orice punct de pe cercul de sus.  Aria unei baze este Aria cercului = πR2 .  Aria laterală a cilindrului circular drept din figura 1 este aria dreptunghiului AA'D'D din figura 2, deci  Aria laterală = AA' • AC = perimetrul cercului bază • h = 2πR•h .  Reţinem că Al = 2πRh.  Aria totală a cilindrului circular drept este  At = Al+2 Abaza= 2πRh+2πR2=2πR(h+R)  deci At = 2πR(h+R) . Volumul cilindrului circular drept este  V= Abază• h = πR2h, deci V = πR2h.   Conul circular drept, definiţie, descriere, notaţii, desfăşurare, formule Conul circular drept: descriere, desen, notaţii Fie triunghiul AVOdreptunghic în O. Conul circular drept AVB este corpul care ia naştere prin rotaţia  suprafeţei triunghiulare AVO în jurul unei drepte pe care se află una  din catetele triunghiului , de exemplu în jurul dreptei VO.  Dreapta VO se numeşte axa de rotaţie a conului .  Discul de jos, care ia naştere prin rotirea catetei [OA] în jurul axei VO  este baza conului. Segmentul VO este perpendicular pe planul bazei.   Conul circular drept: desfăşurare, formule În figura 1 , notăm conul circular drept cu VAB.  Înălţimea h a conului este distanţa de la v\rful V  la planul bazei, adică h=VO, VO⊥ planul bazei.  Raza cercului se notează cu R. R=OA=OB=OT,  unde T este orice punct de pe cerc.  În triunghiul dreptunghic VOB din fig. 1 ,  cu teorema lui Pitagora, avem : G2=h2+R2. Aria bazei = "aria cercului de rază R" = πR2 .  Aria laterală a conului circular drept este aria  sectorului de cerc VAA' din figura 2 , deci πRG .  Al = πRG.  Aria totală a conului circular drept este  At = Al+Abaza= πRG+πR2 =πR(G+R) deci  At = πR(G+R) .  Volumul conului circular drept este .   Trunchi de con circular drept , definiţie, descriere, notaţii, desfăşurare, formule Trunchi de con circular drept , descriere, desen, notaţii Fie trapezul dreptunghic AOO'A', cu bazele [AO] şi [A'O'] şi OO'⊥ AO. Trunchiul de con circular drept ABB'A' este corpul care ia naştere prin rotaţia suprafeţei trapezoidale AOO'A' în jurul dreptei OO'.  Dreapta OO' se numeşte axa de rotaţie a trunchiului .  Cele două discuri sunt în plane paralele şi au razele R şi r, cu R > r. Discul de jos, este baza inferioară a trunchiului de con, iar cel de sus, baza superioară sau mică.  Segmentul OO' este perpendiculare pe planele bazelor şi este înălţimea h a trunchiului ca şi B'D şi altele . G=AA' =  = BB' = MM' ese generatoarea trunchiului, unde M este pe cercul de jos , iar M' pe cel de sus a.î. O'OMM' să fie  trapez dreptunghic..  Trunchiul de con circular drept: desfăşurare, formule În figura 1 , notăm trunchiul de con circular drept cu ABB'A'. Înălţimea lui , notată cu h, este distanţa OO' dintre baze. h=VO, VO⊥ planele bazelor.  Raza cercului de jos se notează cu R. R=OA, iar cea de sus r=O'A'.  Aria bazei mari = S =  "aria cercului de rază R" = πR2 Aria bazei mici = s =  "aria cercului de rază r" = π r2 . Aria laterală a trunchiului de con  circular drept din figura 1 este aria  sectorului de coroană AA'EC  din figura 2,deci Al = πG( R+ r ). Aria totală a trunchiului de con circular drept este  At = Al+S+s = πG( R+r) + πR2 +π r2 Înălţimile VO şi VO' ale celor două conuri se pot exprima cu ajutorul lui R.r  şi h=OO' astfel:  Demonstraţie   Notăm  V=Vcon =Volumul conului mare din care provine trunchiul ,  v=vcon = volumul conului mic de sus şi  Vt = volumul trunchiului de con .  Demonstrăm că Rezolvare Sfera , definiţie, descriere, notaţii, desfăşurare, formule Sfera (goală), descriere, desen, notaţii Sfera , ca suprafaţă, este mulţimea punctelor din spaţiu egal depărtate de un punct fix din spaţiu. O notăm cu Sf. Punctul fix se numeşte centrul sferei şi se notează de obicei cu O. Orice punct A,B,C, M, ... de pe sferă se află la o distanţă R de centrul O. R se numeşte raza sferei.  Orice segment ce trece prin centrul O al sferei şi are capetele pe suprafaţa sferei se numeşte diametru al sferei. Diametru are lungimea egală cu 2R.  Teoremă  1) Dacă planul α intersectează sfera , atunci există un diametru al sferei perpendicular pe acest plan. 2) Intersecţia dintre un plan şi o sferă este un punct ,  un cerc sau mulţimea vidă.  3) Dacă intersecţia dintre o sferă şi un plan este un cerc , atunci diametrul perpendicular pe plan intersectează  planul cercului în centrul cercului.  Dacă planele paralele α şi β intersectează o sferă după două cercuri de centre M şi respectiv N şi de raze r, respectiv r1 , atunci există diametrul AB perpendicular pe cele două plane.  Fie M şi N centrele cercurilor de intersecţie,  M şi N pe (AO), respectiv (OB) astfel încât  OM=d şi ON = d 1. Sfera este împărţită de cele două plane în trei părţi :  sus şi jos sunt 2 părţi numite calote sferice , iar între ele este a treia parte numită zonă sferică.  Zona sferică este partea din sferă aflată între două plane paralele( şi perpendiculare pe un diametru al sferei).    Sfera : desfăşurare, formule Aria sferei este Ssferă=4πR2. Volumul sferei este  AB este perpendiculară pe cele două plane de secţiune şi  AB este perpendiculară pe diametrul [CD]. Cum OD=OC=R=raza sferei rezultă că triunghiul OCD este isoscel , deci M este mijlocul lui [CD]. iar MC=MD = r este raza cercului de secţiune dintre planul α cu sfera. În triunghiul dreptunghic ODM, cu ∠M drept ,  putem aplica teorema lui Pitagora :  OD2= OM2+MD2 , adica R2 = d2+r2 şi de asemenea putem aplica şi teorema catetei , înălţimii, formule trigonometrice.  Ultima formulă o denumim formula cercului de secţiune.    Test Aria laterală a cilindrului este egală cu .... Volumul conului circular drept este .... Care este formula cercului de secţiune a sferei ? Aria laterală a conului este egală cu .... Care este aria laterală a cilindrului care are aria totală 16π cm2 aria unei baze de 2π ? Volumul sferei este egal cu ... ? 12 = ? dm 3 Volumul unui con este 42π cm2 şi raza lui este de 3 cm . Aflaţi înălţimea conului.  Se varsă apa dintr-un pahar cilindric plin cu apă şi cu raza de 5cm şi înălţimea de 10 cm în pahar cubic cu latura de 5 cm . Încape apa în cub ? Desfăşurarea suprafeţei laterale a unui trunchi de con este o secţiune de co... y sursa:matefix.ro 

 

Metoda reducerii la unitate.     Două mărimi care depind una de alta se numesc direct/ invers proporţionale dacă, atunci când una din ele creşte de un număr de ori, cealaltă se micşorează de acelaşi număr de ori. Metoda reducerii la unitate se aplică în rezolvarea problemelor în care se face referire la o mărime ce depinde direct sau invers proporţional de una sau mai multe mărimi.   Metoda constă în evidenţierea numărului de unităţi dintr-o mărime ce corespun d unei unităţi dintr-o altă mărime, numărul respectiv fiind ceea ce numim factor de proporţionalitate.   Alegerea mărimii care va fi redusă la unitate este deosebit de importantă, mai ales la clasele primare, unde unele operaţii nu pot fi efectuate. Cele 210 kg de roşii recoltate într-o zi din grădină sunt ambalate pentru piaţă în 30 de lădiţe.   Câte lădiţe vor fi necesare pentru a ambala în altă zi 350 kg de roşii? 210 kg …………………………..30 lădiţe 350 kg ………………………….. ? lădiţe   Judecata şi rezolvarea: Dacă în 30 de lădiţe sunt 210 kg de roşii, atunci într-o lădiţă sunt de 30 de ori mai puţine kg, adică: 210 kg: 30 = 7 kg Câte grupe de câte 7 kg se pot forma cu 350 kg? 350 kg: 7 kg/lădiţă = 50 lădiţe   10 caiete costă 48 000 lei. Cât costă 7 caiete ? 10 caiete ………………………….. 48 000 lei 7 caiete   ………………………….. ? lei   Rezolvare:    48 000: 10 = 4 800 (lei, costă un caiet) 4 800 x 7 = 33 600 (lei, costă 7 caiete)   Observaţie: de regulă reducem la unitate o mărime cunoscută, ca în problema rezolvată mai sus, dar sunt şi situaţii când reducem la unitate mărimea în care intervine necunoscuta, ca în problema rezolvată 1.   15 muncitori pot termina o lucrare în 8 zile. În câte zile ar termina lucrarea 6 muncitori care muncesc în acelaşi ritm mediu ca ceilalţi 15 ? 15 muncitori ………………………….. 8 zile 6 muncitori  ………………………….. ? zile   Judecata şi rezolvarea:   Dacă 15 muncitori pot termina o lucrare în 8 zile, atunci un muncitor ar termina-o în de 15 ori mai multe zile : 15 x 8 = 120 (zile)   Dacă un muncitor termină lucrarea în 120 zile, atunci 6 muncitori ar termina lucrarea în de 6 ori mai puţine zile : 120: 6 = 20 (zile)   Aceeaşi problemă poate fi abordată şi în alt mod:   Acceptând că realizează zilnic aceeaşi parte din lucrare – pe care o numim normă – atunci 15 muncitori realizează într-o zi 15 norme, iar în 8 zile realizează: 15 norme x 8 = 120 norme lucrători realizează într-o zi 6 norme. În câte zile vor realiza ei 120 norme ? Obţinem acest rezultat dacă aflăm de câte ori se cuprinde 6 în      120 norme: 6 norme/zi = 20 zile   20 de robinete cu acelaşi debit sunt deschise pentru a evacua în 30 de minute apa dintr-un bazin. După 10 minute, 4 robinete se defectează şi sunt închise. Care este, în aceste condiţii, durata totală de golire a bazinului?              După 10 minute:           20 robinete …………….20 minute ……………. rest bazin                                                   16 robinete …………….  ? minute ……………. rest bazin                       Rezolvare:                     20 robinete ……………. 20 minute ……………. rest bazin                                                   1 robinet ………20 min x 20 = 400 min…….....rest bazin   16 robinete …….400 min: 16 = 25 min ……..rest bazin 25 min + 10 min = 35 min (durata totală)   În 6 zile, 100 vite consumă 6000 kg de furaj. În câte zile 120 de vite vor consuma 9 600 kg de furaj ?   zile ……………. 100 vite ……………. 6 000 kg                    ? zile ……………. 120 vite ……………. 9 600 kg   Rezolvare: 6 zile ……………. 100 vite ……………. 6 000 kg 1 zi ……………. 100 vite ……………. 6 000 kg: 6 = 1 000kg 1 zi ……………. 1 vită ……………. 1 000 kg: 100 = 10 kg 1 zi …………….120 vite ……………. 10 kg x 120 = 1 200 kg 9 600 kg: 1 200 kg / zi = 8 zile ………….120 vite …………….9 600 kg.