Matematica definitivat 2023-2024. Metodica predării matematicii

Metoda comparaţiei   Comparaţia, ca operaţie a gândirii, este des utilizată de către elevii din învăţământul primar şi la alte discipline decât matematica:   Literatură, compararea unor personaje literare;   Ştiiinţe, compararea a două plante, animale;   Geografie, compararea unor forme de relief;   Istorie, compararea unor perioade istorice.   Aşadar pentru a face o comparaţie, trebuie să existe cel puţindouă elemente analizate, comparate.   În aritmetică metoda comparaţiei se aplică, după cum vom demonstra, prin algoritmi de calcul precişi, iar operaţiile ce compun aceşti algoritmi sunt la îndemâna elevilor, fiind operaţii matematice uzuale pe care ei le-au învăţat.   Aceşti algoritmi vor conduce la eliminarea succesivă a unormărimi ale problemei până când problema rămâne cu o singură necunoscută ce urmeaza a fi aflată. Există două procedee principale de a realiza această eleiminare:   A. Eliminare prin reducere B. Eliminare prin înlocuire   Problemele de categoria A se disting prin faptul că în ele sunt prezentate două (uneori trei) mărimi caracterizae în două (respectiv trei) situaţii diferite, existând de fiecare dată un element de legăatură între mărimi.               Exemplu:       Pentru 3 pixuri şi 6 stilouri s-au platit 135 000 lei, iar                         Pentru 3 pixuri şi 4 stilouri s-au plătit 95 000 lei.  Cât costă un pix şi cât costă un stilou ?               În această problemă se disting:  - cele doua mărimi: pixuri şi stilouri -           două situaţii diferite:  a) 3 pixuri şi 6 stilouri b) 3 pixuri şi 4 stilouri elementul de legătură între mărimi (în fapt o altă mărime) valoarea cumulată a pixurilor şi stilourilor în fiecare din cele două situaţii: -       135 000 lei şi respectiv 95 000 lei.   Cele două mărimi pot fi : lucruri (rigle şi creioane, cărţi şi caiete, stofă şi mătase) fiinţe (cai şi vaci, capre şi oi) fructe (mere şî pere, struguri şi prune) figuri geometrice (triunghiuri şi pătrate)   Valorile atribuite unei mărimi în situaţii diferite sunt diferite (cel puţin pentru una din mărimi). În cazul nostru diferă doar valorile numerice atribuite mărimii „stilouri”, mărimea „pixuri” păstrând aceeaşi valoare numerică în cele două situaţii prezentate.   Procedeul de „eliminare prin reducere” constă în eliminarea uneia dintre mărimi care are, sau ajunge să aibă, valori identice în situaţii diferite. Scrierea datelor unele sub altele, conform enunţului, aşa încât ele să poată fi uşor comparate, este de mare importanţă.   Pentru a ilustra aplicarea acestui procedeu vom rezolva problema enunţului mai sus. Scrierea datelor:   3 pixuri .................... 6 stilori ....................135 000 lei 3 pixuri .................... 4 stilouri ....................95 000 lei   Din compararea datelor se observă că numărul pixurilor este acelaşi şi, deci, diferenţa de valoare se datorează numai deferenţei dintre numărul de stilouri cumpărat prima dată şi numărul de stilouri cumpărat a doua oară.   Aşadar eliminăm pixurile şi obţinem:   2 stilouri .................... 40 000 lei , de unde rezultă 1 stilou .................... 40 000: 2 = 20 000 lei   În continuare rezolvarea devine simplă:   Se calculează, într-una dintre situaţii, valoarea stilourilor: 6 x 20 000 = 120 000 (lei costă 6 stilouri)   Se face diferenţa pentru a afla cât costă pixurile:  135 000 – 120 000 = 15 000 (lei costă 3 pixuri) Se calculează preţul unui pix:  15 000: 3 = 5000 lei.   În cazul problemelor de categoria B, compararea mărimior conduce la înlocuirea unei mărimi necunoscute cu alta, reducându-se astfel numărul de necunoscute. Comparaţia duce la observaţia existenţei unei relaţii între cele două mărimi exprimată prin diferenţa valorilor ce li se atribuie sau prin raportul acestor valori.   Exemplu :      Pentru 3 creioane şi 2 stilouri s-au plătit 46 000 lei.Cât costă un stilou şi cât costă un creion dacă un stilou costă cât 10 creioane ?             Rezolvare:                      3 creioane ..................... 2 stilouri ...................... 46 000 lei                                         3 creioane .................... 20 creioane ................... 46 000 lei                                       23 creioane ....................................................... ...46 000 lei                                          1 creion .................................................. 46 000: 23 = 2 000 lei                                          1 stilou ................................................... 2 000 x 10 = 20 000 lei 

 Metoda presupunerii (a falsei ipoteze)   Există situaţii când, în încercarea de a „debloca” rezolvarea unei probleme, ne întrebăm ce consecinţe ar produce modificarea unora din datele iniţiale. Comparând aceste consecinţe cu enuntul problemei, sesizam anumite nepotriviri şi încercăm să aflăm cauzele lor. Odată aflate cauzele, putem stabili şi drumul spre rezolvare.   Numărul ipotezelor (al presupunerilor) este variabil şi depinde de complexitatea problemei. La limită, şi rezolvarea prin încercări, care presupune cercetarea situaţiilor create prin atribuirea tuturor valorilor posibile mărimilor necunoscute (uneori însoţită de justificarea logică a renunţării la anumite valori) se încadrează în această metodă.   1. Într-un parc se plimbau 15 copii cu biciclete şi triciclete care au în total 39 roţi. Câţi copii se plimbau cu biciclete?   Presupunem că cei 15 copii se plimbau doar pe biciclete. Acestea ar avea: 15 roţi x 2 = 30 roţi Constatam că în felul acesta nu au fost luate în considerare:  39 roţi – 30 roţi = 9 roţi   De ce ? Pentru că la fiecare tricicletă s-a neglijat : 3 roţi – 2 roţi = 1 roată   De câte ori s-a întâmplat aşa ceva ? De 9: 1 = 9 ori   Deducem că există 9 triciclete. Aflăm apoi că există 15 – 9 = 6 biciclete Răspuns: 6 biciclete     2. Un turist urcă pe munte cu viteza de 3 km/h şi coboară cu viteza de 5 km/h. ştiind că deplasarea dus-întors a durat 8 ore (excluzând timpul pentru staţionarea din varf) să se afle ce distanţă a parcurs turistul.     Să speram că duratele deplasării la dus şi respectiv la întors sunt numere naturale. În acest caz numărul de km parcurşi la urcare (egal cu cel de la coborâre) se împarte exact la 5 şi la 3. Să presupunem că la urcare sunt 30 km şi la coborâre tot atat. Atunci durata totală a deplasării este:  30: 3 + 30: 5 = 16 (ore)   Adică de două ori mai mult decât în realitate. Înseamnă că de fapt sunt  30: 2 = 15 km şi verificând constatăm că 3 + 15: 5 = 8 ore, ceea ce confirmă că d = 15 km.     3. Un copil cumpără 15 caiete de 5 000 lei, 7 000 lei şi respectiv, 10 000 lei, plătind 117 000. Numărul caietelor de 10 000 lei este de două ori mai mare decât al celor de 5 000 lei. Câte caiete sunt de fiecare fel?   5 000 + 2 x 10 000 = 25 000 lei (costă o grupă formată dintr-un caiet de 5 000 lei şi 2 caiete de 10 000 lei) 7 000 x 15 = 105 000 (lei ar costa caietele dacă toate ar fi de 7 000 lei/buc) 117 000 lei – 105 000 = 12 000 (lei s-ar economisi) 25 000 lei – 3 x 7 000 lei = 4 000 (lei s-ar economisi la fiecare grupă formată dintr-un caiet de 5 000 lei şi 2 caiete de 10 000 lei. 12 000: 4 000 = 3 (grupe formate din 2 caiete de 10 000 lei/buc şi 1 caiet de 5 000 lei buc) 15 caiete – 3x3 caiete = 6 (caiete de 7 000 lei bucata) 3 x 1 = 3 (caiete de 5 000 lei bucata) 3 x 2 = 6 (caiete de 10 000 lei bucata)  

  Metoda mersului invers.     În general o problemă din această categorie are ca cerinţă aflarea valorii iniţiale a unei mărimi, valoare ce a fost supusă unor modificări succesive, prezentate în text, rezultatul final al acestor modificări fiind cunoscut. Este vorba deci de alfarea unui număr nucunoscut asupra căruia s-au efectuat anumite operaţii al căror rezultat este cunoscut.   Analizând textul problemei vom constata că pentru rezolvarea ei pornim de la ultima valoare cunoscută şi aflăm succesiv valorile premergătoare ei până ajungem să aflăm valoarea iniţială. Dacă textul segerează anumite oparaţii, într-o anumită ordine pentru rezolvarea problemei vom efectua de regulă operaţii inverse celor indicate de text şi în ordinea inversă ordinii din text.   1. M-am gândit la un număr, l-am împărţit la 4, la rezultat am adunat 8 iar din suma obţinută înjumătăţită am scăzut 5 şi apoi am înmulţit cu 2 obţinând 18. La ce număr m-am gândit?   Vom transforma problema compusă într-o succesiune de probleme simple: „Ce număr înmulţim cu 2 ca să obţinem 18 ?” 18: 2 = 9 „Din ce număr scădem 5 ca să obţinem 9 ?” 9 + 5 = 14 „Ce număr înjumătăţim ca să obţinem 14 ?” 14 x 2 = 28 „Ce număr adunăm cu 8 ca să obţinem 28 ?” 28 – 8 = 20 „Ce număr împărţim la 4 ca să obţinem 20 ?” 20 x 4 = 80   Observaţie: Problema poate fi reprezentată sub formă de exerciţiu astfel: [(x: 4 + 8): 2 – 5] x 2 = 18, la care avem rezolvarea cu rezultatul x = 80.   Este şi motivul pentru care în rezolvarea unor astfel de probleme se spune că se foloseşte metoda mersului invers, ceea ce în multe situaţii este şi adevărat.   2. Mama lasă într-o farfurie prune pentru cei trei copii ai săi. Fiecare vine şi, neştiind dacă ceilalţi au venit şi au consumat din fructele lăsate de mama, consumă o treime din prunele pe care le găseşte. Când vine mama constată că fiecare copil a mâncat prune şi că au rămas 8 prune. Câte prune au fost la început ?   Rezolvare:  8: 2 = 4 (prune, reprezintă 1/3 din ce a găsit al III-lea) 4 x 3 =12 (prune, a lăsat al II-lea) 164: 2 = 6 (prune, 1/3 din ce a găsit al II-lea) 6 x 3 = 18 (prune, a lăsat primul) 18: 2 = 9 (prune, 1/3 din ce a găsit primul) 9 x 3 = 27 (prune, a găsit primul copil)   Formularea acestei probleme, destul de des întâlnită la problemele din această categorie îndreptăţeşte denumirea de „probleme de rest din rest” care mai este folosită la astfel de probleme.   3. M ergând în excursie un copil cheltuieşte a şaptea parte din banii pe care-i avea şi încă 20 000 lei în prima zi. A doua zi cheltuieşte o pătrime din rest şi încă 20 000 lei iar a treia zi cheltuieşte două cincimi din noul rest şi încă 10 000 lei şi-i mai rămân 50 000 lei.  Ce sumă a avut copilul la început? Dacă în prima zi se cheltuia numai 1/7 din sumă aveam :   Cum s-au cheltuit şi cei 20 000, după a doua zi, dacă ar fi cheltuit numai ¼ din rest ar fi avut:   Cheltuindu-se şi cei 20 000 lei a doua zi, dacă în a III-a zi se cheltuia numai 2/5 din ultimul rest am fi avut:    Rezolvare: 50 000 + 10 000 = 60 000 (lei ar fi rămas dacă în a III-a zi se cheltuia numai 2/5 din rest) 60 000: 3 = 20 000 (lei reprezintă 1/5 din suma ramasă după a II-a zi) 20 000 x 5 = 100 000 (lei rămaşi a II-a zi) 100 000 + 20 000 = 120 000 (lei ar fi rămas dacă a II-a zi se cheltuia numai ¼ din cea rămas după prima zi) 120 000: 3 = 40 000 (lei, ¼ din suma rămasă după prima zi) 40 000 x 4 = 160 000 (suma rămasă după prima zi) 160 000 + 20 000 =180 000 (lei, suma ce ar fi rămas după prima zi dacă cheltuia numai ½ din sumă) 180 000: 6 = 30 000 (lei, 1/7 din suma avută) 30 00 x 7 = 210 000 (lei, suma avută)

Metoda reducerii la unitate.     Două mărimi care depind una de alta se numesc direct/ invers proporţionale dacă, atunci când una din ele creşte de un număr de ori, cealaltă se micşorează de acelaşi număr de ori. Metoda reducerii la unitate se aplică în rezolvarea problemelor în care se face referire la o mărime ce depinde direct sau invers proporţional de una sau mai multe mărimi.   Metoda constă în evidenţierea numărului de unităţi dintr-o mărime ce corespun d unei unităţi dintr-o altă mărime, numărul respectiv fiind ceea ce numim factor de proporţionalitate.   Alegerea mărimii care va fi redusă la unitate este deosebit de importantă, mai ales la clasele primare, unde unele operaţii nu pot fi efectuate. Cele 210 kg de roşii recoltate într-o zi din grădină sunt ambalate pentru piaţă în 30 de lădiţe.   Câte lădiţe vor fi necesare pentru a ambala în altă zi 350 kg de roşii? 210 kg …………………………..30 lădiţe 350 kg ………………………….. ? lădiţe   Judecata şi rezolvarea: Dacă în 30 de lădiţe sunt 210 kg de roşii, atunci într-o lădiţă sunt de 30 de ori mai puţine kg, adică: 210 kg: 30 = 7 kg Câte grupe de câte 7 kg se pot forma cu 350 kg? 350 kg: 7 kg/lădiţă = 50 lădiţe   10 caiete costă 48 000 lei. Cât costă 7 caiete ? 10 caiete ………………………….. 48 000 lei 7 caiete   ………………………….. ? lei   Rezolvare:    48 000: 10 = 4 800 (lei, costă un caiet) 4 800 x 7 = 33 600 (lei, costă 7 caiete)   Observaţie: de regulă reducem la unitate o mărime cunoscută, ca în problema rezolvată mai sus, dar sunt şi situaţii când reducem la unitate mărimea în care intervine necunoscuta, ca în problema rezolvată 1.   15 muncitori pot termina o lucrare în 8 zile. În câte zile ar termina lucrarea 6 muncitori care muncesc în acelaşi ritm mediu ca ceilalţi 15 ? 15 muncitori ………………………….. 8 zile 6 muncitori  ………………………….. ? zile   Judecata şi rezolvarea:   Dacă 15 muncitori pot termina o lucrare în 8 zile, atunci un muncitor ar termina-o în de 15 ori mai multe zile : 15 x 8 = 120 (zile)   Dacă un muncitor termină lucrarea în 120 zile, atunci 6 muncitori ar termina lucrarea în de 6 ori mai puţine zile : 120: 6 = 20 (zile)   Aceeaşi problemă poate fi abordată şi în alt mod:   Acceptând că realizează zilnic aceeaşi parte din lucrare – pe care o numim normă – atunci 15 muncitori realizează într-o zi 15 norme, iar în 8 zile realizează: 15 norme x 8 = 120 norme lucrători realizează într-o zi 6 norme. În câte zile vor realiza ei 120 norme ? Obţinem acest rezultat dacă aflăm de câte ori se cuprinde 6 în      120 norme: 6 norme/zi = 20 zile   20 de robinete cu acelaşi debit sunt deschise pentru a evacua în 30 de minute apa dintr-un bazin. După 10 minute, 4 robinete se defectează şi sunt închise. Care este, în aceste condiţii, durata totală de golire a bazinului?              După 10 minute:           20 robinete …………….20 minute ……………. rest bazin                                                   16 robinete …………….  ? minute ……………. rest bazin                       Rezolvare:                     20 robinete ……………. 20 minute ……………. rest bazin                                                   1 robinet ………20 min x 20 = 400 min…….....rest bazin   16 robinete …….400 min: 16 = 25 min ……..rest bazin 25 min + 10 min = 35 min (durata totală)   În 6 zile, 100 vite consumă 6000 kg de furaj. În câte zile 120 de vite vor consuma 9 600 kg de furaj ?   zile ……………. 100 vite ……………. 6 000 kg                    ? zile ……………. 120 vite ……………. 9 600 kg   Rezolvare: 6 zile ……………. 100 vite ……………. 6 000 kg 1 zi ……………. 100 vite ……………. 6 000 kg: 6 = 1 000kg 1 zi ……………. 1 vită ……………. 1 000 kg: 100 = 10 kg 1 zi …………….120 vite ……………. 10 kg x 120 = 1 200 kg 9 600 kg: 1 200 kg / zi = 8 zile ………….120 vite …………….9 600 kg.

Metode de rezolvare a problemelor     Predarea – invatarea matematicii in ciclul primar nu se poate realiza fara activitatea de rezolvare a problemelor, activitate complexa, de profunzime, in care sunt exersate la nivel superior analiza si sinteza. Activitatea de rezolvare a problemelor imbina eforturile mentale de intelegere a notiunilor invatate, a algoritmilor de calcul formati cu structurile conduitei creative si inventive.    Notiunea de problema are un continut larg de priceperi si actiuni din domenii diferite. In sens psihologic „o problema” este orice situatie, dificultate, obstacol intampinat de gandire in activitatea practica sau teoretica pentru care nu exista un raspuns gata formulat.   Activitatea de rezolvare a problemelor pune elevii in situatia de a descoperi singuri modul de rezolvare, de a emite ipoteze si a le verifica, actiuni care sporesc caracterul formativ. Rezolvarea problemelor de matematica contribuie la dezvoltarea capacitatilor creatoare ale gandirii, la sporirea flexibilitatii ei si la educarea perspicacitatii.   Rezolvarea problemelor de matematica in clasele I-IV reprezinta in esenta, rezolvarea unor situatii problematice reale pe care le putem intalni in practica, in viata. Rezolvarea problemei implica o succesiune de operatii logice, care conduc la solutii. Aceasta succesiune logica nu este altceva decat schema de rezolvare a problemei, firul de judecati oranduite logic, care alcatuiesc rationamentul problemei.   Problema de matematica reprezinta transpunerea unei situatii practice in relatii cantitative in care intervin valori numerice cunoscute si necunoscute, relatii pe baza carora se solicita determinarea valorilor necunoscute.   Scopul descoperirii implicatiei ascunse, a necunoscutei, a elaborarii rationale a solutiei, in cazul situatiilor problema, este aplicarea creatoare a cunostintelor si tehnicilor de care dispune rezolvatorul.   In cautarea caii de rezolvare a problemei se emit si se verifica o serie de ipoteze, pana se ajunge la solutia problemei care reprezinta o sinteza superioara inchiderii circuitului nervos. Schita problemei apare ca un rezultat al efortului gandirii. Procesul de rezolvare a problemelor este un proces analitico-sintetic. Analiza are un caracter general de orientare  asupra continutului problemei.   Cautarea unor procedee de analiza si sinteza cat mai eficiente, pentru a conduce gandirea elevului pe cai cat mai scurte si mai sigure catre aflarea necunoscutei, constituie una din sarcinile de baza ce-i revin invatatorului.    Problema impune in rezolvarea ei o activitate de descoperire. Textul problemei indica datele, conditia problemei (relatiile dintre date si necunoscuta) si intrebarea problemei.    Varietatea si complexitatea problemelor pe care le rezolva elevii sporeste efortul mental si eficienta formativa a activitatii de rezolvare a problemelor. In rezolvarea problemelor intervine o serie de tehnici, procedee, modul de actiune, de deprinderi si activitati de munca intelectuala.  In activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape. In fiecare etapa are loc un proces de reorganizare a datelor si de reformulare a problemei, pe baza activitatii de orientare a rezolvatorului pe drumul si in directia solutiei problemei.    In rezolvarea problemelor de o mare importanta este intelegerea structurii si a logicii rezolvarii ei. Elevul trebuie sa cuprinda in sfera gandirii sale intregul „film” al desfasurarii rationamentului si sa-l retina drept element esential. Pentru generalizarea rationamentului, elevii trebuie sa aiba formate capacitatile si de a intelege datele problemei, de a sesiza conditia problemei si de a orienta logic sirul de judecari catre intrebarea problemei. Pentru rezolvarea corecta a problemei trebuie sa parcurgem urmatoarele etape:   I. Cunoasterea enuntului problemei Aceasta etapa de inceput presupune citirea enuntului problemei, de catre institutor sau elevi de mai multe ori, pana la insusirea corecta. Se pun in evidenta datele si legaturile dintre ele, se scriu pe tabla si in caiet. Elevul care rezolva problema trebuie sa identifice cerinta problemei, adica elementul necunoscut.   II. Intelegerea enuntului problemei Deoarece enuntul problemei contine un minim de informatii, el trebuie  optimizat prin delimitarea datelor, prin evidentierea relatiilor dintre ele si stabilirea intrebarii problemei. Aceasta optimizare se realizeaza prin discutii cu elevii. In acest sens se pot folosi si alte mijloace: ilustrarea prin imagini, scheme, grafice, etc.  Intelegerea enuntului permite generalizarea si abstractizarea prin construirea unei scheme care contine esentialul, eliminand aspectele descriptive.   III.  Analiza problemei si intocmirea planului de rezolvare   In aceasta etapa se descopera calea de rezolvare a problemei,  eliminandu-se elementele nesemnificative si se elaboreaza planul logic de rezolvare. Astfel cel care rezolva problema efectueaza un sir de rationamente care vor duce la alcatuirea problemei simple prin a caror rezolvare se ajunge la raspuns. Examinarea problemei se face prin cele doua metode generale, metoda analitica si metoda sintetica.   IV. Alegerea si efectuarea operatiilor corespunzatoare  succesiunii planului de rezolvare    Din planul de rezolvare elevii aleg si efectueaza calculele constientizand semnificatia fiecarui calcul oral sau scris si realizeaza conexiunile necesare pentru obtinerea rezultatului final. Se va acorda o importanta deosebita redactarii planului de rezolvare, consemnand judecatile intelegand corect unitatile de masura si finalizand cu scrierea rezultatului.   V. Activitati suplimentare   In aceasta etapa se pot concretiza urmatoarele: verificarea solutiei problemei; scrierea problemei sub forma de exercitiu; depistarea altor variante de rezolvare; generalizare; compunere de probleme.   Chiar daca aceasta etapa este facultativa pentru formarea priceperilor  si a deprinderilor corecte de rezolvare a unei probleme este necesara verificarea solutiei deoarece astfel se realizeaza autocontrolul asupra corectitudinii demersului de rezolvare. Aceasta etapa poate fi valorificata de institutor in directia cultivarii creativitatii elevilor si a cresterii interesului pentru matematica.   Modul de prezentare si solutionare a problemelor se va face prin respectarea particularitatilor de varsta de la concret-intuitiv (cum ar fi manipularea obiectelor, a instrumentelor de masura: balantele, metrul, banii, etc. ; decupaje si asamblari de figuri geometrice; experimente asupra unor masuratori, cantariri etc.), la reprezentare grafica imagistica (probleme pe baza unor imagini cu concretizarea relatiilor intre marimi prin segmente, diagrame, sageti etc.), la descompunerea problemelor compuse in probleme simple, fara a fi rezolvate succesiv, deoarece nu acest fapt intereseaza, ci construirea rationamentului, legatura dintre secvente.    In cadrul acestor activitati, elevii sunt dirijati sa sesizeze mersul rationamentului si sa invete sa elaboreze tactica si strategia solutionarii prin elaborarea planului de rezolvare a problemei.   Examinarea unei probleme compuse se realizeaza, de obicei, prin metodele analitica, sintetica sau folosite simultan.   Deosebirea dintre ele consta, practic, in punctul de plecare al rationamentului. Prin metoda sintezei se porneste de la datele problemei spre aflarea solutiei, iar prin metoda analizei se pleaca de la intrebarea problemei spre aflarea solutiei, iar prin metoda analizei se pleaca de la intrebarea problemei spre datele ei si stabilirea relatiilor matematice dintre acestea.   Practica a demonstrat ca metoda sintezei este mai accesibila, dar nu solicita prea mult gandirea elevilor, uneori abatandu-le atentia de la intrebarea problemei.   Metoda analitica pare mai dificila, dar solicita mai mult gandirea elevilor, determinandui sa priveasca problema in totalitatea ei.   Analiza logica a problemei, dupa repetarea si intelegerea enuntului, se realizeaza concomitent cu formularea orala a planului de rezolvare, urmate de consemnarea in scris a acestuia prin activitate frontala sau independenta, sub variate forme: de intrebari, titluri, enunturi succinte etc.   Rezolvarea poate fi scrisa prin intercalarea intrebarilor din plan cu calculul, asigurand o estetica a asezarii in pagina, care ilustreaza legatura intre consemnarea succinta a datelor enuntului, a planului gandit si a calculului realizat, cu marcarea raspunsului obtinut si generalizarea prin transpunerea problemei in expresie numerica sau formula literala.   Este oportun sa se rezolve nu mai mult de una-doua probleme intr-o ora de curs, insistand asupra rationamentului si investigand solutionarea pe mai multe cai, pentru exersarea flexibilitatii gandirii decat sa se exagereze cu solutionarea stereotipa, superficiala a mai multor probleme sau sa se consume timpul pentru o singura problema.   Locul problemei in succesiunea secventelor instruirii trebuie bine ales, in functie de curba de efort la care este solicitat copilul si obiectivele stabilite.   Este indicat sa se evite situatiile  in care problemele sunt planificate exclusiv la sfarsitul lectiei, lasand sarcina efectuarii lor complete in recreatie sau acasa.   Procesul de gandire care are loc in scopul precizarii problemelor simple ce alcatuiesc o problema compusa si a succesiunii lor, astfel incat intrebarea ultimei probleme simple sa coincida cu intrebarea finala a problemei date se numeste examinare sau analiza a problemei.  

  Metodologia predării elementelor de geometrie                            Ţinând cont de stadialitatea vârstei elevilor din ciclul primar, se poate afirmă că succesul în dobândirea cunoştinţelor de geometrie depinde în mod semnificativ de institutor, de felul cum acesta reuşeşte să conducă procesul predării-învăţării şi evaluării, de felul cum sunt orientaţi elevii să poată conştientiza, descoperi şi aplică prin transfer aceste cunoştinţe, priceperi şi deprinderi. Reuşită didactică a procesului predării-învăţării elementelor de geometrie este influenţată, chiar determinată în multele ei aspecte, de respectarea următoarelor cerinţe metodice analizate în continuare.                          Învăţarea noţiunilor de geometrie în special prin procese intuitive şi formarea lor iniţialã pe cale inductivă. Această cerinţă impune că studiul elementelor de geometrie să înceapă cu cercetarea directă (văz, pipăit, manipulare) a mai multor obiecte din lumea reală, situate în diverse poziţii în spaţiul înconjurător, în vederea sesizării (descoperirii) acelei (acelor) caracteristici comune care conturează imaginea geometrică materializată. Imaginea geometrică materializată în obiecte este apoi transpusă în imagine, concretizată prin desen, ceea ce reprezintă o detaşare a imaginii geometrice de obiectele care o generează.           Concretizarea prin desen a imaginii geometrice se realizează la tablă cu instrumentele de geometrie, iar elevii o execută în caiete, tot cu ajutorul instrumentelor. Este foarte important că această concretizare prin desen să se facă în cât mai multe poziţii pentru a nu crea limite în recunoaşterea ei. Aceste concretizări pot fi completate cu prezentarea unor planşe întocmite special pentru această. Imaginea geometrică concretizată prin desen este apoi proiectată în limbajul geometriei şi apare astfel noţiunea geometrică.                          Pe baza limbajului geometric, şi prin apel la experienţa perceptivă a elevilor, institutorul va contura imaginea geometrică a noţiunii considerate şi în alte situaţii din realitatea exterioară clasei, altele decât cele cercetate de elevi. Se va observa, de asemenea, că, pe măsură ce sunt dobândite elementele fundamentale ale geometriei (punctul, dreapta), elevul va urca spre stadiul înţelegerii şi asimilării unor figure geometrice mai complicate (poligoane: dreptunghiul, pătratul, trapezul, triunghiul).           Alături de procesele intuitive (perceperea vizuală şi tactilă a modelelor materiale), respectiv concretizate de desen, predarea-învăţarea presupune şi acţiuni de măsurare efectivă a cestora, de comparare a rezultatelor, decupări de figuri, descompuneri ale figurii, prin figuricomponente ce le implică etc. Explicaţiile date de institutor referitor la aşezarea instrumentelor şi la poziţia din care trebuie făcută citirea rezultatului măsurării şi eventualele reluări ale procesului de măsurare, cu admiterea unor aproximări (la mm, în foaia de caiet), vor convinge elevii asupra valorii concluziilor obţinute de ei în lecţie pe baza figurilor studiate.                        Cu privire la instrumentele de geometrie (rigla şi echerul), trebuie avută în vedere necesitatea ca elevii să-şi formeze deprinderi de folosire corectă şi rapidă a acestora. Trasarea de drepte, segmente, unghiuri, drepte perpendiculare, drepte paralele, dreptunghiuri, pătrate, romburi etc., în diverse poziţii în plan (tablă, foaia de hârtie) şi realizarea de măsurări trebuie să fie executate cu precizie şi rapid.                         Referitor la desen, trebuie să se ţină cont de necesitatea efectuării lui numai cu instrumentele, atât la tablă, cât şi în caiete. Acurateţea desenului este o cerinţă importantă, la care se adaugă elementele de expresivitate, adică folosirea cretei colorate, trasări discontinue etc., pentru a pune în evidenţă anumite părţi ale figurii care prezintă interes în planul înţelegerii noţiunii geometrice. În utilizarea materialului didactic se impun atenţiei câteva condiţii, pe care trebuie să le îndeplinească atât modelul confecţionat, cât şi modul, în care este folosit de institutor şi elevi:   - materialul confecţionat va avea dimensiuni suficient de mari pentru a fi văzut cu claritate din orice punct al clasei, precum şi o construcţie clară, satisfăcând condiţiile estetice;   - materialul didactic trebuie să fie expresia fidelă a ceea ce trebuie să reprezinte, să contribuie la uşurarea transpunerii în desen a figurii geometrice studiate, a elementelor sale şi a relaţiilor ce există între ele (de mărime, de paralelism, de perpendicularitate etc.);   - materialul didactic trebuie să se adreseze elevilor respectând însă particularităţile lor de vârstă; cu cât aceştia sunt mai mici se impune că el să fie mai atractiv, dar simplu, amănuntele fără interes ştiinţific să nu între în câmpul atenţiei elevilor, rămânând elemente ale fondului perceptiv.                 Referitor la folosirea materialului didactic se mai impun şi alte câteva observaţii: -o insuficientă valorificare a acestuia duce la însuşirea formală a cunoştinţelor, influenţând negativ procesul formării reprezentărilor spaţiale;   - o folosire în exces a acestuia duce la o saturaţie perceptivă, la repetare de observaţii cu amplificări nefireşti, uneori chiar la observaţii inutile, ceea ce ar putea abate atenţia elevilor de la scopul observaţiilor şi intuiţilor, afectând modul de utilizare a timpului, producând greutăţi în realizarea generalizărilor, a însăşi imaginii geometrice.                             Deşi suportul de bază al predării-învăţării elementelor de geometrie în clasele I-IV este cel intuitiv, totuşi sistemul cunoştinţelor de geometrie asimilate de elevi trebuie să corespundă rigurozităţii geometriei.    Întâi, pentru că ele trebuie să reprezinte elemente corecte ale cunoaşterii matematice, servind elevului în orientarea şi rezolvarea problemelor de adaptare în spaţiul înconjurător. În al doilea rând, pentru că toate aceste cunoştinţe geometrice vor stă la baza continuităţii studiului geometriei în clasele următoare, servind treptat la formarea temeinică a conceptelor geometriei.    Intuirea punctului poate începe cu faza de concretizare prin desen, că fiind urma lăsată pe hârtie de vârful creionului bine ascuţit (vârful pixului sau al peniţei stiloului) aşezat să se sprijine în vârf, sau pe tablă de vârful cretei. De aici, copilul va înţelege că dreapta concretizată prin desen este formată din punctele, pe care vârful creionului (cretei etc.), sprijinit pe rigla şi aflat şi mişcare le lasă pe hârtie (tablă).    El va mai înţelege că segmentul concretizat prin desen este format din puncte, iar extremităţile lui sunt primul şi ultimul punct al concretizării. Limbajul geometric este definit prin două proprietăţi simple şi anume: corectitudinea şi consecvenţă folosirii lui. În acest sens, institutorul trebuie să utilizeze corect limbajul simbolic, nu va utiliza notaţii specifice, cu excepţia notarii prin litere a segmentelor, vârfurilor unui poligon (notaţia unghiului prin trei litere este în afara programei).                Etapele, pe care trebuie să le aibă în vedere institutorul în formarea unei noţiuni geometrice sunt următoarele:   - intuirea obiectelor lumii reale, care evidenţiază noţiunea cu dirijarea atenţiei elevilor către ceea ce se urmăreşte să fie observat; - observarea proprietăţilor caracteristice evidenţiate de obiectele intuite; - compararea şi analizarea proprietăţilor pe un material didactic care materializează noţiunea; - reprezentarea prin desen a noţiunii materializate de obiecte şi materialul didactic; - formularea definiţiei, prin precizarea genului proxim şi a diferenţei specifice, acolo unde este posibil, sau prin stabilirea proprietăţilor caracteristice care determina sfera noţiunii şi proiectarea acesteia în limbajul geometriei; - identificarea noţiunii şi în alte poziţii, situaţii corespunzătoare realităţii; - construirea materializată a noţiunii folosind carton, hârtie, beţişoare, etc; - clasificarea figurilor care fac parte din aceeaşi categorie; - utilizarea noţiunii în rezolvarea problemelor specifice şi transferul ei în situaţii geometrice noi.                     Este de menţionat că unele noţiuni geometrice impun parcurgerea tuturor acestor faze, pe când altele nu; unele noţiuni sunt realizabile într-o lecţie, pe când altele într-un şir de lecţii.                Adevăratul proces de formare a noţiunilor geometrice este unul de durata şi nu trebuie confundat cu procesul învăţării de noţiuni.

Metodologia predării unităţilor de măsură                             Noţiunea de mărime, ce apare în sistemul predării-învăţării matematicii în ciclul primar este socotită că şi cea de mulţime o noţiune primară, înţelegerea ei făcându-se pe baza de exemple. Mărimile abordate începând cu clasa I sunt: lungimea, volumul (capacitatea vaselor), masă, timpul şi valoarea.                           A măsura o mărime oarecare, înseamnă a compară această mărime cu o altă, luată că unitate de măsură. Prin operaţia de măsurare se stabileşte un raport numeric între mărimea de măsurat şi unitatea de măsură considerată.De exemplu a măsură masă unui obiect înseamnă a o compară cu masă unui alt obiect, pecare îl vom consideră drept unitate de măsură. Elevii trebuie să fie conduşi să simtă necesitatea comparării mărimilor şi introduceriiunitatilor de măsură. Astfel, pentru a putea execută măsurările, elevii vor trebui învăţaţi sainteleaga conceptul de unitate de măsură şi cum să folosească instrumentele de măsură.                         Elevii vor înţelege că măsurările pe care le execută sunt asociate cu comparările pe care încearcă să le facă. Astfel, puşi în faţă situaţiei-problemă de a decide în care dintre două vase prezentate este un volum mai mare de apă, elevii vor încerca diverse rezolvări. Vor compara folosind o ceaşcă, un pahar, un vas de dimensiuni mai mici, stabilind astfel mai multe rezultate ale măsurării. Pe această baza vor înţelege cu mai multă uşurinţă necesitatea existenţei unei unităţi de măsură standard şi anume în cazul de faţă litrul (unitatea principala cu care se măsoară capacitatea vaselor).                           Înţelegerea măsurării şi a unităţilor de măsură nu implică întotdeauna introducerea imediataa unităţilor standard. Institutorul trebuie să utilizeze unităţile nestandard (de exemplu: palmă,creion etc.). După ce se exersează măsurarea unei mărimi cu o unitate nestandard, este importantsa se dea câteva date istorice legate de istoria măsurărilor, la noi şi în alte ţări, din care să reiasaca şi în procesul intensificării schimburilor economice şi ştiinţifice a rezultat că o necesitateunificarea unităţilor de măsură.                                       Predarea-învăţarea mărimilor şi unităţilor de măsură ale acestora vizează realizarea următoarelor obiective:   - cunoaşterea intuitivă a noţiunii de mărime prin prezentarea mărimilor des utilizate: lungime, volum, masă, timp; - dezvoltarea motivaţiei la elevi pentru a realiza necesitatea introducerii unităţilor de măsură nestandard şi apoi standard pentru o mărime considerată; - înţelegerea măsurării că o activitate de determinare a numărului care arată de câte ori se cuprinde etalonul în dimensiunea ce trebuie măsurată; - formarea deprinderii de a măsură, a alege şi a utiliza unele unităţi de măsură nestandard şi de a cunoaşte unităţile principale pentru mărimea studiată; - formarea şi dezvoltarea capacităţii de a cunoaşte şi a utiliza instrumentele de măsură; - formarea capacităţii de a consemna, compară şi interpreta rezultatele măsurărilor; - formarea capacităţii de a aprecia corect diversele mărimi din mediul ambiant; - formarea deprinderii de a opera cu măsurile a două obiecte de acelaşi fel, atât prin acţiune directă, cât şi prin calcul;                Caracteristici generale ale predării-învăţării unităţilor de măsură: - predarea este ciclică; - se porneşte de la unităţi de măsură nestandard către cele standard; - predarea învăţarea oricărei unităţi de măsură are un pronunţat caracter intuitiv şi participativ; - se porneşte de la propria experienţă de viaţă a copiilor legată de mărimi şi măsură; -prin măsurători nestandard se ajunge la ideea necesităţii măsurării cu unităţi standard.   Necesitatea măsurării este dată de necesitatea comparării (în acest caz) lungimilor celor două obiecte. Dacă obiectele sunt deplasabile (de exemplu.: două panglici), atunci compararea se poate face direct, prin aşezarea uneia peste cealaltă, astfel încât să aibă un capăt comun. Poziţia celui de-al doilea capăt indică obiectul mai scurt/lung. Dar dacă obiectele nu sunt deplasabile (de exemplu: două ferestre; lungimea şi lăţimea clasei)? Atunci trebuie să luăm “ceva”, să le măsurăm pe fiecare cu acel “ceva” şi să comparăm numerele obţinute ca rezultate ale măsurării. De fapt, introducem astfel o unitate de măsură nestandard, acel “ceva” constituindu-se într-un etalon arbitrar, subiectiv.    Să presupunem că intenţionăm să măsurăm lungimea unui ghiozdan, lăţimea unui caiet şi înălţimea unei vaze (utilizarea celor trei termeni – lungime, lăţime, înălţime – subliniază varietatea poziţiilor spaţiale ale obiectelor de măsurat).    La început, se poate utiliza ca unitate de măsură nestandard, de exemplu, lungimea unei agrafe de birou. În urma acţiunii efective cu obiectele, se constată că lungimea ghiozdanului este de 10 ori mai mare decât a agrafei, lăţimea caietului este cât 5 agrafe, iar înălţimea vazei este de 15 agrafe. Deci, măsurile lungimilor celor trei obiecte sunt: 10, 5 respectiv 15 (agrafe).    Dacă se schimbă unitatea de măsură, se vor schimba şi măsurile obiectelor. Înlocuind agrafa cu un creion, se constată că lungimea ghiozdanului este de două ori cât lungimea creionului, lăţimea caietului este cât lungimea creionului, iar înălţimea vazei este cât trei creioane. Deci, dimensiunile obiectelor au acum măsurile 2, 1 respectiv 3.    După astfel de experienţe se pot face şi observaţii funcţionale de tipul: creşterea lungimii etalonului conduce la micşorarea corespunzătoare a măsurii obiectului.    Desigur, ”instrumentele” de măsură a lungimii aflate cel mai la îndemână sunt: deschiderea palmei, lăţimea unui deget, lungimea braţului/braţelor, pasul. Utilizarea individuală a acestora întăreşte ideea că rezultatul măsurării se schimbă odată cu schimbarea unităţii de măsură.    Şi atunci, cum putem compara lungimile a două obiecte aflate în locuri diferite (clase diferite, şcoli diferite, localităţi diferite), unde nu dispunem de un acelaşi etalon? Răspunsul la această întrebare conduce la necesitatea introducerii şi utilizării unei unităţi standardizate (metrul), ce urmează a fi studiat în clasa a II-a (conform programei).    Predarea-învăţarea volumului şi masei se realizează în mod asemănător, cu menţiunea că terminologia utilizată la clasă nu poate fi identică cu cea ştiinţifică, astfel că sintagme de tipul “capacitatea vaselor” şi “cântărirea obiectelor” sunt mai apropiate de înţelegerea copilului.    Predarea-învăţarea timpului ridică probleme metodice deosebite, întrucât această mărime este abstractă şi deci mai puţin accesibilă elevilor, care nu o pot vizualiza şi intui direct, ca în cazul celorlalte mărimi. De aceea, predarea-învăţarea timpului se realizează în strânsă legătură cu acţiunile şi evenimentele în care elevii sunt implicaţi. Astfel, ora reprezintă durata unei lecţii (plus pauza), ziua durează de la un răsărit al soarelui până la alt răsărit.    O idee importantă ce trebuie urmărită este cea de succesiune/ simultaneitate a evenimentelor în timp. Elevii vor trebui să sesizeze, să compare şi să precizeze ordinea desfăşurării în timp a două (sau mai multe) evenimente, stabilind dacă unul are loc înaintea altuia sau se realizează în acelaşi timp. Curgerea timpului poate fi materializată prin întocmirea unei “benzi a timpului” (pentru o perioadă mai scurtă sau mai lungă) ori a unui calendar.    Chiar învăţarea unităţilor de măsură pentru timp va fi mai dificilă, deoarece între acestea nu există o relaţie de multiplicitate cu 10 (ca la celelalte trei mărimi anterioare), ci cu 60 (1 oră=60 minute, 1 minut=60 secunde) sau alţi factori (ex.:1 zi=24 ore, 1 săptămână=7 zile).    Şi în predarea-învăţarea timpului se evidenţiază nu numai legătura cu mediul, ci şi interdisciplinaritatea. “Citirea” orelor pe ceas poate fi precedată de realizarea la “abilităţi practice” a unui cadran din carton şi a acelor indicatoare, ce vor fi utilizate în activităţile de învăţare din lecţia de matematică.

Metodologia predării fracţiilor şi operaţiilor cu fracţii     Introducerea, în clasa a IV-a, a noţiunii de fracţie reprezint ă prima lărgire a conceptului de număr. Elevii vor învăţa că noua mulţime numerică o include pe cea a numerelor naturale, prin înţelegerea faptului că o fracţie cu numitorul 1 reprezintă un număr natural.   Formarea noţiunii de fracţie este un proces mai complicat, ce va conduce, în timp, la conceptul de număr raţional. Bazele psihopedagogice ale predării-învăţării fracţiilor sunt determinate de sporirea experienţ ei de viaţă şi didactice a elevilor, a maturizării lor cognitive, a lărgirii ariei cunoştinţelor lor matematice şi din alte domenii ale cunoaşterii. Demersul didactic trebuie să aibă traseul obişnuit în învăţarea la această vârstă: de la elementele acţionale, concrete, la cele de reprezentare iconică şi atingând nivelul abstracţiunii, prin elemente simbolice.   Învăţarea fracţiilor în clasa a IV-a nu porneşte de pe un loc gol. În clasa a II-a, elevii au cunoscut termenii de jumătate (doime) şi sfert (pătrime), în legătură cu împărţirea unui număr la 2, respectiv la 4, lucruri ce pot fi valorificate în acest capitol. Astfel, ştiind că una din cele două părţi de aceeaşi mă rime în care a fost împărţit un întreg reprezint ă o doime, că una din cele 4 părţi de aceeaşi mărime în care a fost împărţit întregul reprezintă o pătrime, se pot aborda alte cazuri particulare, ce vor conduce la generalizarea ce defineşte unitatea fracţionară: o parte dintrun întreg care a fost împărţit în părţi la fel de mari. Elevii vor fi conduşi să intuiască întregul ca un obiect, o figură geometrică, o mulţime de obiecte sau imagini de acelaşi fel sau chiar număr.   Date fiind experienţa matematică redusă a elevilor, capacităţile de abstractizare şi generalizare încă nematurizate, precum şi noutatea noţiunii , învăţarea acesteia parcurge mai multe etape: etapa de fracţionare efectivă a unor obiecte concrete (măr, pâine, portocală ş.a.) şi de partiţie a unor mulţimi de obiecte concrete (nuci, creioane, beţişoare, jetoane ş.a.); etapa de fracţionare prin îndoirea unor figuri geometrice plane care au axe de simetrie (pătrate, dreptunghiuri, cercuri); etapa de fracţionare prin trasarea unor linii pe un desen geometric dat, pe care-l împart în părţi la fel de mari (axe de simetrie ale unui pătrat, dreptunghi,cerc ş.a) sau fracţionarea unor imagini de obiecte (trasarea unor linii pe imaginea unui măr, a unei clădiri ş.a) etapa de fracţionare a numerelor, reductibilă la împărţirea acestora la un număr dat (2, pentru aflarea unei doimi; 4, pentru aflarea unei pătrimi ş.a.m.d.)   În cadrul fiecărei etape se va evidenţ ia unitatea fracţionară şi se va sublinia faptul că întregul a fost împărţit în părţi la fel de mari.   Se introduce apoi noţiunea de fracţie, ca fiind una sau mai multe unităţi fracţionare şi scrierea/citirea acesteia. Pentru ca elevii să reţină mai uşor denumirile celor doi termeni ai unei fracţii, se poate preciza că numitorul “numeşte” unitatea fracţionară (de exemplu, 2 – întregul a fost împărţit în două părţi la fel de mari, numite doimi), iar numărătorul “numără” câte unităţi fracţionare formează fracţia dată. În citirea unei fracţii se va urmări ca exprimările elevilor să fie complete şi corecte (ex. 3/4 = trei pătrimi şi nu “3 pe 4”sau “3 supra 4”), pentru a conştientiza no ţiunea de fracţie, evitând formalizări ce nu spun nimic elevului din clasa a IV-a. De asemenea, din punct de vedere metodic, se recomandă folosirea unei fracţii ai căror numărători/numitori sunt numere mai mici decât 10.   Compararea unei fracţii cu întregul   Următoarele informaţii pe care şi le pot însuşi elevii se referă la tipurile de fracţ ii date de compararea cu întregul (subunitare, echiunitare, supraunitare). Prin acţiune direct ă cu obiecte sau cu imagini, aceştia constată că dacă numărătorul fracţiei este mai mic decât numitorul, trebuie luate în considerare mai puţine unităţ i fracţionare decât are întregul în cazul dat (ex.: pentru fracţia ¾, întregul a fost împărţit în 4 părţi la fel de mari şi s-au luat în considerare doar 3 dintre ele), deci fracţ ia reprezintă, în acest caz, mai puţin decât un întreg, numindu-se subunitar ă. Dacă număr ătorul fracţiei este egal cu numitorul, atunci se iau în considerare toate unit ăţile fracţionare ale întregului, deci tot întregul, fracţia reprezentând, în acest caz, chiar întregul şi numindu-se echiunitară. Dacă numărătorul fracţiei este mai mare decât numitorul, elevii constată că nu sunt suficiente unităţ i fracţionare ale întregului şi este necesară considerarea încă unui întreg (sau mai mulţi) de acelaşi fel, pentru a obţine fracţia. Fireşte, în acest caz, fracţia reprezintă mai mult decât un întreg şi se va numi supraunitară. Treptat, concretul reprezentat de obiecte sau imagini va dispărea şi elevii îşi vor forma priceperea de a sesiza tipul fracţiei, prin simpla comparare a numărătorului cu numitorul.   Fracţii egale   Fracţiile egale sunt definite ca fiind frac ţiile ce reprezintă aceeaşi parte dintr-un întreg sau din întregi identici. Această definiţie nu poate fi asimilată de elevi decât prin intuirea unor situaţii particulare. Astfel, se poate cere elevilor să plieze o foaie de hârtie dreptunghiulară astfel încât să obţ ină două părţi la fel de mari, apoi să haşureze/coloreze într-un anumit mod, una dintre părţi (deci, 1/2). Apoi se cere plierea aceleiaşi foi astfel încât să se obţină patru părţi la fel de mari şi să se haşureze/coloreze într-un alt mod, două părţi (deci, 2/4). Se compară apoi părţile haşurate/colorate, constatându-se că reprezintă aceeaşi parte din întreg, motiv pentru care vor fi numite fracţii egale şi se va scrie 1/2 = 2/4.   Acţiunile de acest tip ar putea continua, elevii descoperind că 1/2 = 2/4 = 4/8, ceea ce constituie un prim pas în sesizarea proprietăţii de amplificare (înmulţirea atât a numărătorului cât şi a numitorului cu un acelaşi număr nenul), ce reprezintă şi o modalitate de obţinere a fracţiilor egale cu o fracţie dată. Analiza şirului de egalităţi scrise în ordine inversă (4/8 = 2/4 = 1/2) sugerează proprietatea de simplificare a fracţiilor (împărţirea atât a numărătorului cât şi a numitorului cu un acelaşi număr nenul).   Compararea a două fracţii   Problema comparării a două frac ţii apare imediat după problema egalităţii: dacă fracţiile nu sunt egale, trebuie stabilit care dintre ele este mai mică/mare.   În acest fel se va introduce o relaţie de ordine în mulţimea fracţiilor. La clasa a IV-a, sunt abordate doar două situaţii în compararea fracţiilor: fracţiile au acelaşi numitor; fracţiile au acelaşi numărător.   Primul caz nu ridică probleme metodice deosebite, elevii intuind cu uşurinţă că, fracţiile având acelaşi numitor, “părţile” (unităţile fracţionare) sunt la fel de mari, deci va fi mai mică fracţia cu numărătorul  mai mic, deoarece se “iau mai puţine unităţi fracţionare.   Pentru compararea fracţiilor care au acelaşi numărător, elevii trebuie să înţeleagă că, împărţind  un întreg în părţi (egale) mai multe, părţile vor fi mai mici.  Această  aserţiune  poate  fi  intuită  cu  uşurinţă  prin  prezentarea problematizată  a unei situaţii de tipul: Avem două prăjituri egale, una împărţită în două părţi (egale), cealaltă în trei părţi (egale); pe care bucată ai alege-o şi de ce? În acest fel, elevii pot realiza că 1/2 > 1/3 şi prin abordarea altor cazuri particulare, că 1/2 > 1/3 > 1/4 >…, adică, dintre două unităţi fracţionare diferite este mai mare cea cu numitorul mai mic. În acest context este mai uşor pentru elevi să ordoneze descrescător mai multe unităţi fracţionare diferite. După asimilarea faptului că 1/2 > 1/3, se deduce imediat că 1/3 < 1/2 şi prin inducţie, se ajunge la regula ce permite ordonarea  crescătoare a unităţilor fracţionare: dintre două unităţi fracţionare este mai mică cea care are numitorul mai mare.   În etapa următoare se consideră nu câte o unitate fracţionară, ci mai multe (dar tot atâtea din fiecare întreg!), adică fracţii cu numărători egali. Cunoscând faptul că o pătrime reprezintă mai mult decât o cincime (din acelaşi întreg sau din doi întregi egali), elevii intuiesc cu uşurinţă că dacă se iau câte 3 asemenea părţi, 3  Operaţii cu fracţii   Adunarea şi scăderea fracţiilor cu acelaşi numitor) nu ridică probleme metodice deosebite deoarece, în aceast ă etapă, elevii pot discrimina cu uşurinţă tipul de problemă simplă întâlnit, iar partea calculatorie este corect intuită, după utilizarea unui desen sugestiv şi a unor exprimări neformalizate (de tipul: două cincimi + o cincime =?, trei cincimi – două cincimi =?). Se ajunge astfel la regulile cunoscute: pentru a aduna/scădea două fracţii cu acelaşi numitor se adună/scad numărătorii, numitorul rămânând neschimbat.   În perspectiva simetriei relaţiei de egalitate, pentru cultivarea reversibilităţii gândirii elevilor este necesară abordarea unor sarcini de tipul scrierii unei fracţii ca o sumă/diferenţă de fracţii având acelaşi numitor (ex. 3/5 = 1/5 + ; 5/6 = /6 + ; 6/7 = +  şi analog pentru scădere). Mai menţionăm că, la nivelul trunchiului comun al programei, este suficient să se opereze cu fracţii subunitare, deoarece utilizarea celorlalte tipuri de fracţii (echiunitare, supraunitare) ar atrage după sine o altă problemă: scoaterea întregilor din fracţie.   O eventuală extindere la cazul adunării/scăderii fracţiilor cu numitori diferiţi este posibilă doar în situaţia în care elevii au capacitatea de a obţine fracţii egale cu o fracţie dată (vezi amplificarea) şi de a o alege pe cea utilă. Poate fi abordat cazul în care unul dinte numitori este numitorul comun al fracţiilor date (de exemplu, 2/5 + 1/10, 3/4 – 1/2, 2/3 – 4/9). Aflarea unei fracţii dintr-un întreg   Aflarea unei fracţii dintr-un întreg trebuie realizată metodic în două etape: aflarea unei (singure) unităţi fracţionare dintr-un întreg; aflarea unei fracţii (mai multe unităţi fracţionare) dintr-un întreg.    Prima etapă se parcurge apelând mai întâi la intuiţie, prin utilizarea unui material didactic tridimensional (obiecte) şi plan (imagini, figuri). Problema aflării unei doimi dintr-un astfel de întreg este transpusă cu uşurinţă de către elevi în plan operaţional, la împărţirea acestuia în două părţi egale.    Prin inducţie se ajunge la concluzia că aflarea unei unităţi fracţionare dintr-un întreg este reductibilă la împărţirea acestuia în atâtea părţi egale cât arată numitorul. Apoi se află unităţi fracţ ionare din întregi ce reprezint ă mase, lungimi, volume, cantităţi (ex.: 1/2 din 10 kg, 1/3 din 9m, 1/4 din 12 l), reţinând ideea: împ ărţire (în părţi egale). De aici, se trece la aflarea unei unităţi fracţionare dintr-un număr (1/2 din 10, 1/3 din 9, 1/4 din 12), subliniind procedeul: împărţire.   Parcurgerea celei de-a două etape (aflarea unei frac ţii dintr-un întreg) presupune doi paşi: aflarea unei singure unităţi fracţionare de tipul indicat de numitor şi apoi aflarea fracţiei respective din întreg.    De exemplu, problema aflării a 3/4 din 12 este reductibilă la: aflarea unei pătrimi din 12 (ceea ce elevii ştiu) şi constatarea că 3 astfel de părţ i (pătrimi) înseamnă de 3 ori mai mult decât una singură (deci înmulţire cu 3).   După rezolvarea mai multor cazuri particulare se sintetizează modul de lucru în regula: pentru a afla cât reprezintă o fracţie dintr-un număr (natural), împărţim numărul la numitorul fracţiei şi înmulţim rezultatul cu numărătorul.   Din punct de vedere metodic, această ultimă etapă poate fi parcursă, funcţie de particularităţile clasei, trecând prin fiecare dintre fazele concretă, semiconcretă şi abstract ă sau numai prin ultimele/ultima. Considerăm că elevii şi-au însuşit procedeul aflării unei fracţii dintrun întreg, dacă vor avea capacitatea să gândească şi să exprime (oral sau scris) de tipul 3/4 din 12 = 12 : 4 x 3.

Metodologia didactică specifică predarii-învățării ordinii efectuării operațiilor și utilizării parantezelor    În clasele I – II, exerciţiile sunt astfel alcătuite încât să se efectueze corect în ordinea în care sunt scrise. Până acum s-au întâlnit numai exerciţii în care apăreau operaţii de acelaşi ordin: adunări / scăderi sau înmulţiri/împărţiri. În acest fel, elevii îşi formează deprinderea de a efectua succesiv operaţiile, fără să-şi pună problema existenţei unor reguli referitoare la ordinea efectuării acestora.    În clasa a III-a, după ce elevii au învăţat cele 4 operaţii cu numere naturale, sunt puşi în faţa efectuării unor exerciţii de tipul 4 + 6 x 5. Abordări diferite (schimbarea ordinii efectuării operaţiilor) conduc la rezultate diferite, ceea ce impune stabilirea unor reguli după care se efectuează operaţiile într-un astfel de exerciţiu.    Pentru descoperirea regulilor, este necesar să se pornească de la o problemă, a cărei rezolvare să poată fi scrisă sub forma exerciţiului abordat. Pentru exerciţiul menţionat mai sus, o astfel de problemă poate fi: „Andrei are pe prima pagină a clasorului său, 4 timbre, iar pe fiecare dintre celelalte 6 pagini, câte 5 timbre. Câte timbre are Andrei în acest clasor?”. Analiza, împreună cu clasa, a acestei probleme, evidenţiază că primul pas în rezolvare este aflarea numărului de timbre de pe cele 6 pagini (6 x 5) şi apoi se află numărul de timbre din clasor (4 + 6 x 5).    Exemple de acest tip îi vor conduce pe elevi la constatarea că, întrun exerciţiu cu mai multe operaţii, înmulţirile şi împărţirile se efectuează cu prioritate faţă de adunări şi scăderi, indiferent de locul unde apar.    Se ajunge astfel la regula cunoscută: într-un exerciţiu cu mai multe operaţii, se efectuează mai întâi (dacă există) înmulţirile şi împărţirile (numite operaţii de ordinul a doilea), în ordinea în care apar şi apoi adunările şi scăderile (numite operaţii de ordinul I), în ordinea scrierii lor. În acest fel este rezolvată şi problema apariţiei în exerciţiu doar a unor operaţii de acelaşi ordin: acestea se efectuează în ordinea indicată de exerciţiu.    Pentru formarea la elevi a priceperilor şi deprinderilor de efectuare a unor astfel de exerciţii cu mai multe operaţii diferite, este necesar ca în exerciţiile propuse să fie utilizate numere mici, care orientează atenţia copiilor spre aspectul esenţial (ordinea efectuării) şi nu spre efectuarea în sine a fiecărei operaţii.    Aceste exerciţii trebuie să fie gradate, conţinând, mai întâi, doar două operaţii de ordine diferite ( a + b x c; a – b x c; a + b : c; a – b : c). Lungimea unui astfel de exerciţiu nu trebuie să fie foarte mare pentru că poate induce la elevi oboseala şi neatenţia, ce se vor reflecta în obţinerea unor rezultate greşite. Acelaşi efect îl poate avea şi solicitarea de a rezolva, prea mult timp, numai sarcini de acest tip.    Folosirea parantezelor    Uneori, contextul matematic impune efectuarea mai întâi a unor operaţii de ordinul I şi apoi a altora, de ordinul II. Ar apărea astfel o contradicţie cu regula privind ordinea efectuării operaţiilor. De aceea, într-o asemenea situaţie, acordarea priorităţilor de calcul este impusă de paranteze: mici (rotunde), mari (drepte), acolade. Acestea se folosesc doar perechi şi conţin, între ele, secvenţa de exerciţiu căreia i se acordă prioritate.    Introducerea parantezelor se face tot prin intermediul unor probleme. De exemplu:   „Bogdan şi Cristian au cules cireşe: 23 kg şi 17 kg. Cireşele culese au fost puse în lădiţe de câte 5 kg fiecare. Câte lădiţe s-au umplut?”. Analizând rezolvarea şi expresia numerică a acesteia, se constată că, în acest caz, se efectuează mai întâi adunarea şi apoi împărţirea. Pentru a marca prioritatea (adunarea), se folosesc parantezele mici, astfel încât scrierea rezolvării problemei este (23 + 17) : 5.    În mod asemănător se pot introduce parantezele mari şi acoladele, ajungând la desprinderea regulii cunoscute: într-un exerciţiu cu paranteze se efectuează mai întâi operaţiile din parantezele mici, apoi cele din parantezele mari şi, la urmă, cele din interiorul acoladelor. Se ajunge astfel la un exerciţiu fără paranteze, în care acţionează regula stabilită anterior privind ordinea efectuării operaţiilor.    Într-o posibilă lecţie de recapitulare, la clasa a IV-a, poate fi evidenţiat un algoritm de efectuare a oricărui exerciţiu numeric, ce sintetizează toate regulile cunoscute. Decisive sunt două întrebări:    1. Exerciţiul conţine paranteze? Dacă da, se efectuează operaţiile din parantezele rotunde, apoi cele din cele mari (dacă există) şi apoi din acolade (dacă există). Dacă nu, se trece la întrebarea a doua.    2. Exerciţiul conţine operaţii de ordine diferite? Dacă da, se efectuează întâi operaţiile de ordinul II, în ordinea în care sunt date, apoi cele de ordinul I, în ordinea în care sunt date. Dacă nu, se efectuează operaţiile în ordinea în care sunt scrise în exerciţiu.

Metodologia didactică specifică predării operaţiilor matematice                   În scopul formării noţiunii de adunare se porneşte de la operaţii cu mulţimi de obiecte concrete (etapă perceptivă), după care se trece la efectuarea de operaţii cu reprezentări ce au tendinţa de a generaliza (etapă reprezentărilor), pentru că, în final, să se poată face saltul la conceptul matematic de adunare (etapă abstractă).             Introducerea operaţiei de adunare se face folosind reuniunea a două mulţimi disjuncte.          În etapa concretă, elevii formează, de exemplu, o mulţime de brăduţi ninşi cu 3 elemente şi a mulţime de brăduţi albi cu 4 elemente. Reunindu-se cele două mulţimi de brăduţi se formează o mulţime care are 7 brăduţi: ninşi sau albi. Se repetă apoi acţiunea folosind alte obiecte (de exemplu, baloane, beţişoare, flori, creioane s.a.), până ce elevii conştientizează că reunind o mulţime formată din 3 obiecte cu o altă mulţime formată din 4 obiecte (indiferent ce sunt acestea) se obţine o mulţime formată din 7 obiecte. În această etapă, acţiunea elevului vizează număratul sau compunerea unui număr, date fiind două componente.           Etapa a două, semiabstractă, este caracterizată de utilizarea reprezentărilor simbolice, cum ar fi: În această etapă se introduc semnele grafice “+” şi “=”, explicându-se ce reprezintă fiecare şi se insistă pe faptul că acestea se scriu doar între numere.            În etapa a treia, abstractă, dispare suportul intuitiv, folosindu-se doar numerele.  În această etapă se introduce terminologia specifică (termeni, suma/total) şi se scot în evidenţă proprietăţile adunării (comutativitate, asociativitate, existenţa elementului neutru), fără utilizarea acestor termeni şi cu apelare la intuire, ori de câte ori este necesar. Tot în această etapă se poate sublinia reversibilitatea operaţiei, prin scrierea unui număr că suma de două numere (descompunerea numărului). Acest tip de solicitare conduce la dezvoltarea creativităţii elevului care, în urmă unui raţionament probabilistic, trebuie să găsească toate soluţiile posibile, anticipând, în acelaşi timp, operaţia de scădere.                       Scăderea se introduce folosind operaţia de diferenţă dintre o mulţime şi o submulţime a să (complementară unei submulţimi). În prima etapă concretă, dintr-o mulţime de obiecte ce au o proprietate comună se elimina o submulţime de obiecte şi se precizează câte obiecte rămân în mulţime. Acţiunea mentală a elevului vizează număratul sau descompunerea unui număr în două componente, dată fiind una dintre acestea.                       Etapa a două, semiabstractă, este caracterizată de utilizarea reprezentărilor simbolice, cum ar fi diagramele . În această etapă se introduce semnul grafic “−“ explicându-se ce reprezintă şi se precizează că acesta se scrie doar între numere.                         În etapa a treia abstractă, în care se folosesc doar numerele, se introduce terminologia specifică (descăzut, scăzător, rest/diferenţa) şi se evidenţiază proprietăţile scăderii numerelor naturale (operaţia este posibilă doar dacă descăzutul este mai mare sau egal cu scăzătorul; în cazul egalităţii, restul este zero), şi se compară cu proprietăţile adunării (scăderea nu este comutativă) şi subliniind faptul că, la adunare, rezultatul (suma) este mai mare decât oricare dintre numerele care se adună (termeni), iar la scădere, rezultatul (diferenţa) este mai mic decât descăzutul.                         Legătura dintre adunare şi scădere trebuie subliniată prin realizarea probei fiecăreia dintre cele două operaţii: la adunare, se scade din suma unul din termeni şi trebuie să se obţină cel de-al doilea termen, iar la scădere, se adună diferenţa cu scăzătorul şi trebuie să se obţină descăzutul. De asemenea, aceste relaţii se evidenţiază şi în cazul aflării unui termen necunoscut la adunare sau scădere, eliminând ghicirea, ce apelează la memorie sau procedeul încercare-eroare.                          Înţelegerea acestor aspecte implică în clasele următoare şi formarea capacităţii elevilor de a utiliza terminologia: mai mult cu…, mai puţin cu…, ce vor stă la baza rezolvării problemelor simple. Rezolvarea unor situaţii-problema (îndeosebi ilustrate cu material didactic concret sau prin imagini, dar şi prezentate oral) ce conduc la una dintre cele două operaţii se realizează frecvent, încă înainte de abordarea conceptului restrâns de problema din matematică. Şi prin aceste situaţii-problema poate fi valorificată legătură dintre cele două operaţii, anticipând cunoaşterea faptului că din orice problema de adunare se pot obţine două probleme de scădere.                De exemplu, o imagine ce reprezintă un lac pe care plutesc 5 nuferi, iar pe mal sunt alţi 4 nuferi, poate fi exploatată maximal (din punct de vedere matematic) prin formulări de tipul: -Pe lac sunt 5 nuferi, iar pe mal sunt 4 nuferi. Câţi nuferi sunt în total?   - Pe lac au fost 9 nuferi, iar 4 dintre ei au fost culeşi. Câţi nuferi au rămas pe lac?   - Pe lac au fost 9 nuferi, dar acum sunt doar 5. Câţi nuferi au fost culeşi?                            Introducerea operaţiilor de înmulţire şi împărţire cu numere naturale se face după ce elevii au dobândit cunoştinţe şi au priceperi şi deprinderi de calcul formate, corespunzătoare operaţiilor de adunare şi scădere. Operaţiile de înmulţire şi împărţire se introduc separat, mai întâi înmulţirea (că adunare repetată de termeni egali), apoi împărţirea (că scădere repetată a aceluiaşi număr natural). Abia după introducerea lor şi stăpânirea lor de către elevi se va evidenţia legătură dintre aceste două operaţii.                         Deoarece predarea-învăţarea acestor două operaţii se face prin intermediare.Operaţia de înmulţire se introduce ţinând seama de definiţia înmulţirii că: adunarea repetată a aceluiaşi termen. De aceea pentru stabilirea rezultatului înmulţirii se pot utiliza două procedee:   - Efectuarea adunării repetate a numărului respectiv şi exprimarea acestei adunări prin înmulţire: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10, deci: 2 × 5 = 10. - Efectuarea înmulţirii prin grupare: 2 × 2 = 4, 2 × 3 = 6, 4 + 6 = 10, deci: 2 × 5 = 10.                        Primul procedeu se întrebuinţează mai ales pentru stabilirea tablei înmulţirii, iar al doilea se bazează pe primul, cu deosebire pe înmulţirile numerelor 1-10 cu numere până la 5. Ordinea exerciţiilor de înmulţire respectă ordinea prevăzută în tablă înmulţirii, astfel că se învaţă întâi înmulţirea numărului 2, apoi a numărului 3 etc.           Exprimarea în cazul înmulţirii trebuie să corespundă întru totul procesului de gândire care are loc, astfel încât elevul să-şi poată însuşi în mod conştient şi cu uşurinţă această operaţie. De aceea, se va folosi întâi exprimarea care utilizează cuvintele: a luat de b ori, apoi exprimarea: a înmulţit cu b şi în sfârşit exprimarea: a ori b, această fiind cea mai scurtă şi deci cea care se va folosi mai târziu în mod curent. Este recomandabil că la înmulţirea numărului 2 să se întrebuinţeze pentru toate înmulţirile numărului, respectiv întâi exprimarea a luat de b ori şi numai după ce elevii au deprins această exprimare, sau numai la înmulţirile numerelor următoare să se treacă la celelalte moduri de exprimare.                         Pentru stabilirea rezultatului unei înmulţiri, spre exemplu 2 × 3 = 6 se procedează în felul următor:   - se demonstrează cu ajutorul a 2 - 3 materiale didactice, apoi pe baza de reprezentări cât fac 2 luat de 3 ori şi trecându-se pe plan abstract se stabileşte că 2 luat de 3 ori fac 6;   - se scrie această concluzie în două feluri: sub formă de adunare şi sub formă de înmulţire, adică: 2 + 2 + 2 = 6 2 × 3 = 6   - se citeşte operaţia de înmulţire în cele 3 moduri arătate mai sus.                Trecerea de la adunarea repetată la înmulţire se face în două moduri.   I. Prin stabilirea rezultatului fiecărei adunări repetate a numărului dat şi exprimarea acestei operaţii sub formă de adunare, apoi sub formă de înmulţire, urmată de scrierea în cele două feluri a acesteia; exemple: Cât fac trei creioane luate de 4 ori. Cum aţi socotit ? (3 + 3 + 3 + 3 = 12). Cum putem spune altfel? (3 luat de 4 ori fac 12). Cum scriem? (3 + 3 + 3 + 3 = 12 sau 3 × 4 = 12). În felul acesta elevii se deprind să identifice operaţia de adunare repetată a aceluiaşi termen cu operaţia de înmulţire, să substituie o operaţie prin altă, ceea ce de altfel se şi urmăreşte. II. Prin stabilirea tuturor operaţiilor de adunare repetată a aceluiaşi termen programate pentru lecţia respectivă şi apoi scrierea acestora sub formă de înmulţiri. Adică, dacă este vorba despre înmulţirea numărului 3, se stabilesc şi se scriu toate adunările numărului 3 până la 18:   3 3 + 3 = 6 3 + 3 + 3 = 9 3 + 3 + 3 + 3 = 12 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18 apoi se transformă pe rând aceste adunări în înmulţiri, scriindu-se în dreptul fiecărei adunări înmulţirea corespunzătoare, astfel:   3 × 1 = 3 3 × 2 = 6 3 × 3 = 9 3 × 4 = 12 3 × 5 = 15 3 × 6 = 18                    Dintre aceste două procedee se consideră că primul este mai indicat pentru motivul că elevii sunt puşi în situaţia să participe în mod conştient la scrierea fiecărei adunări sub formă de înmulţire, câtă vreme după al doilea procedeu, chiar dacă elevii participa conştient la scrierea primelor două adunări sub formă de înmulţiri, celelalte transformări le vor face mecanic pe baza observaţiei că numărul 3 este luat pe rând de 2 ori, de 3 ori etc.                         De altfel, între cele două procedee nu se poate stabili o ierarhizare absolută, ele urmând a fi utilizate după preferinţele propunătorului şi ţinând seama de condiţiile în care lucrează. Semnul înmulţirii se introduce cu prilejul scrierii primei operaţii de înmulţire, că o prescurtare a cuvintelor luat de … ori. În operaţiile următoare, se va arată că semnul “×” mai ţine locul cuvintelor înmulţit sau ori.                         Pentru memorarea tablei înmulţirii se utilizează procedeele specificate pentru memorarea tablei adunării şi scăderii. Apoi, la fiecare lecţie, trecerea la predarea cunoştinţelor noi este precedată de calcul mintal, iar în ascultare şi în fixarea cunoştinţelor se rezolva probleme aplicative. De asemenea este indicat să se rezolve cât mai multe exerciţii în care lipseşte unul din factori, întâi exerciţii în care lipseşte factorul al doilea, apoi exerciţii în care lipseşte primul factor: 3 × ? = 15 sau ? × 5 = 15, întrucât aceste categorii de exerciţii contribuie într-o măsură mai mare la clasificarea şi consolidarea înmulţirilor.                          În cadrul numerelor până la 100, tablă înmulţirii se completează cu toate înmulţirile numerelor de o singură cifra, devenind apoi elementul de baza în toate calculele care utilizează operaţiile de gradul al doilea.                Predarea înmulţirii în acest concentru prezintă următoarele caracteristici:   - elevii sesizează rolul pe care îl îndeplineşte primul factor că număr ce se repetă şi rolul pe care îl îndeplineşte cel de al doilea factor că număr ce arată de câte ori se repetă primul factor; -se scoate în evidenţă şi se aplică proprietatea comutativităţii înmulţirii, în special pentru stabilirea rezultatelor înmulţirii cu 1, 2, 3, 4, 5 a numerelor 6, 7, 8 şi 9. Această proprietate se generalizează în cadrul numerelor până la 100, astfel încât o bună parte din tablă înmulţirii va constitui doar o repetare a celor învăţate anterior;   - pe baza comutativităţii produsului se alcătuieşte tablă înmulţirii cu înmulţitorul constant, care va constitui elementul principal în introducerea împărţirii prin cuprindere;   - pentru stabilirea rezultatelor înmulţirilor, elevii vor putea întrebuinţa o mare varietate de procedee raţionale: adunarea repetată, gruparea, comutativitatea care nu vor avea un character limitat, ci vor capătă un câmp larg de desfăşurare.                          În ceea ce priveşte intuiţia, această nu mai are rol predominant, întrucât elevii au dobândit multe cunoştinţe în legătură cu operaţiile aritmetice, şi-au format anumite priceperi şi au sesizat mecanismul scrierii adunării repetate sub formă de înmulţiri şi tehnică formării tablei înmulţirii, astfel încât insistenţă institutorului de a demonstra totul cu material didactic ar frână însuşirea într-un ritm mai rapid a cunoştinţelor.    Nu se renunţă complet la materialul didactic, dar acesta se utilizează numai în măsură în care el este necesar pentru că elevii să-şi însuşească în mod conştient operaţiile respective. Astfel pe parcursul aceleiaşi lecţii, că şi în eşalonarea lecţiilor aparţinătoare capitolului respectiv, dozarea materialului didactic se face în aşa fel încât la început să se utilizeze mai mult material didactic şi să se treacă prin toate cele trei faze, apoi din ce în ce mai puţin, ajutându-se că ultimele operaţii să se bazeze doar pe gândirea abstractă.                 Exemplu, la înmulţirea numărului 7:   - primele 6 operaţii nu este necesar să fie demonstrate, deoarece se cunosc de la înmulţirile cu înmulţitorul constant al numerelor 1, 2, …, 6, ci doar se repetă înmulţirile respective, se reamintesc demonstraţiile sau se repetă unele dintre ele dacă se consideră necesar;   - operaţiile 7 × 7 şi 7 × 8 se pot demonstra cu 1-2 materiale (bile şi beţişoare, cuburi şi buline, creioane şi o planşă cu figuri), dintre care un material este indicat să fie o planşă cu figure decupate şi lipite sau cu figuri mobile, trecându-se apoi la faza semiconcreta şi apoi abstractă; -operaţia 7 × 9 poate fi ilustrată numai cu ajutorul unor reprezentări, după care se trece la faza abstractă;   - rezultatul operaţiei 7 × 10 se poate stabili numai pe baza fazei abstracte.                       De asemenea, în şirul lecţiilor: înmulţirea numărului 2, înmulţirea numărului 3 etc., bogăţia şi varietatea materialului didactic trebuie să fie în descreştere, pe măsură ce elevii dobândesc noi cunoştinţe şi-şi formează noi priceperi şi deprinderi. Ordinea în care se predau cunoştinţele privitoare la înmulţirea numerelor este cea prevăzută de tablă înmulţirii, iar după epuizarea acesteia se trece la tratarea cazurilor speciale.                Fazele principale prin care trece o lecţie de înmulţire a unui număr, cu stabilirea tablei înmulţirii respective, sunt următoarele:   - repetarea tablei înmulţirii cu numărul precedent, sau cu numerele precedente;   - numărarea ascendentă cu acel număr de unităţi şi scrierea rezultatelor numărării;   - adăugarea repetată a acelui număr, o dată, de două ori etc., cu scrierea pe tablă şi pe caiete a operaţiei;   - scrierea adunării repetate sub formă de înmulţire;   - stabilirea completă a tablei înmulţirii cu acel număr, inclusiv înmulţirea cu unitatea; -memorarea tablei stabilite, întrebuintand forme de activitate şi procedee cât mai variate; -rezolvarea de exerciţii şi probleme aplicative în legătură cu înmulţirile învăţate.                    Procedee pentru stabilirea rezultatelor la înmulţire:   - procedeul adunării repetate; 4 × 3 = 12 pentru că 4 + 4 + 4 = 12.   - procedeul utilizării grupărilor; 4 × 7 = 28 pentru că 4 × 3 = 12, 4 × 4 = 16 şi 12 + 16 = 28 sau 4 × 7 = 28 pentru că 4 × 5 = 20, 4 × 2 = 8 şi 20 + 8 = 28.   - procedeul comutativităţii; 7 × 3 = 21, pentru că 3 × 7 = 21 9 × 6 = 54, pentru că 6 × 9 = 54. -procedeul rotunjirii; 9 × 3 = 27, pentru că 10 × 3 = 30, 1 × 3 = 3 şi 30 - 3 = 27.                 Fazele principale prin care trece o lecţie de înmulţire a unui număr, cu stabilirea tablei înmulţirii respective, sunt următoarele:     - repetarea tablei înmulţirii cu numărul precedent, sau cu numerele precedente;   - numărarea ascendentă cu acel număr de unităţi şi scrierea rezultatelor numărării;   - adăugarea repetată a acelui număr, o dată, de două ori etc., cu scrierea pe tablă şi pe caiete a operaţiei;   - scrierea adunării repetate sub formă de înmulţire;   - stabilirea completă a tablei înmulţirii cu acel număr, inclusiv înmulţirea cu unitatea; -memorarea tablei stabilite, întrebuintand forme de activitate şi procedee cât mai variate; -rezolvarea de exerciţii şi probleme aplicative în legătură cu înmulţirile învăţate.                          Programa şcolară prevede pentru clasa a IV-a, în cadrul numerelor până la 1000, numai cazurile simple de înmulţire orală, şi anume, înmulţirea zecilor şi a sutelor cu un număr de o singură cifra, precum şi înmulţirea cu 10, 100 şi 1000. Procedeele de înmulţire în aceste cazuri se bazează pe regulile stabilite la înmulţirea unităţilor şi a zecilor. Astfel, înmulţirea 50 × 3 se scrie: 5 zeci × 3 = 15 zeci, adică 50 × 3 = 150; sau înmulţirea 300 × 2 se scrie 3 sute × 2 = 6 sute, adică 300 × 2 = 600. Prin urmare, înmulţirea zecilor şi a sutelor se reduce la înmulţirea unităţilor, regulă fiind:zecile şi sutele se înmulţesc că şi unităţile, dar la produs se adaugă un zero, respectiv două zerouri.                   Succesiunea acestor exerciţii de înmulţire orală este următoarea: -înmulţirea sutelor cu un număr de o singură cifra fără trecere peste mie.   Exemple: 400 × 2; 200 × 3; 500 × 2 etc. -înmulţirea zecilor cu un număr de o singură cifra.   Exemple: 70 × 4; 50 × 7; 80 × 5; 30 × 9 etc                  În acest concentru se introduce şi se studiază numai împărţirea în părţi egale, deoarece aceasta, spre deosebire de împărţirea prin cuprindere, este înţeleasă mai uşor de către elevi, exprimarea întrebuinţată este în concordanţă cu datele experienţei şi cu procesul de gândire care are loc, iar demonstrarea operaţiilor se face fără dificultăţi. Întrucât împărţirea în părţi egale se bazează pe înmulţire, ordinea exerciţiilor este aceeaşi, adică se tratează întâi împărţirea numerelor 2, 4 , 6, …, 20 la 2, apoi a numerelor 3, 6, 9, …, 18 la 3 etc.                        Demonstrarea operaţiilor se face prin întrebuinţarea unor materiale  cat mai variate, unele dintre ele corespunzătoare experienţei proprii a elevilor: creioane, caiete, nuci, castane, lei etc., altele din cele întrebuinţate în mod obişnuit în clasa: bile, beţişoare, cuburi, buline etc.                        Procedeul iniţial este următorul:   - se stabileşte numărul de obiecte ce trebuie împărţit şi numărul părţilor, spre exemplu: 18 creioane împărţite în mod egal la 6 copii;   - se repartizează fiecărei părţi (fiecărui copil) câte un creion, deci în total 6 creioane, stabilindu-se că au mai rămas 12, apoi se mai repartizează câte încă un creion, stabilindu-se că au mai rămas 6, care de asemenea se repartizează şi nu mai rămâne nici un creion; -se verifică numărul creioanelor repartizate fiecărei părţi (fiecărui copil);   - se stabileşte, se repetă şi se scrie concluzia: 18 creioane împărţite în mod egal la 6 copii fac 3 creioane, sau 18 creioane împărţite în 6 părţi egale fac 3 creioane.                        Pentru a realiza trecerea treptată de la concret la abstract, materialele care se întrebuinţează în continuare: beţişoare, cuburi, castane etc., chiar pentru aceeaşi operaţie, se împart în părţi egale, deci nu la un număr de copii, obiectele aşezându-se în grupe separate, după care se trece la faza semiconcreta, în cadrul căreia copiii vor împărţi mintal, în acelaşi număr de părţi egale, diferite numere ce reprezintă obiecte pe care nu le au în faţă şi cu care nu lucrează efectiv: piese, maşini, pere, castane, precum şi găini, ouă etc.                         În rezolvarea primelor exerciţii de împărţire, stabilirea rezultatului operaţiei se face prin separarea efectivă în părţi egale şi distincte a numărului total de obiecte, iar verificarea se face prin înmulţire. Îndată însă ce elevii dovedesc că au pătruns înţelesul operaţiei de împărţire şi au reuşit să-şi însuşească în condiţii satisfăcătoare mecanismul acestei operaţii, trebuie să depăşească faza împărţirii efective a obiectelor şi să treacă neîntârziat la stabilirea prin înmulţire a rezultatului unei împărţiri, realizându-se astfel legătură strânsă dintre cele două operaţii.                     Spre exemplu: 18 împărţit în 6 părţi egale fac 3, pentru că 3 luat de 6 ori fac 18, ceea ce se scrie:18 : 6 = 3, pentru că 3 × 6 = 18.                      În stabilirea pe baza înmulţirii a rezultatului unei împărţiri nu numai că nu se pot evita încercările, dar se consideră indicat să se apeleze mereu la aceste încercări, întrucât ele aduc o contribuţie hotărâtoare la dezvoltarea gândirii şi la înţelegerea relaţiilor de independenţa dintre cele două operaţii aritmetice, punând astfel accentul pe ceea ce este esenţial în împărţire, şi anume faptul că este operaţia inversă înmulţirii.                Exemplu:   18 : 6 fac 1 ? NU, pentru că 1 × 6 = 6, nu 18; 18 : 6 fac 2 ? NU, pentru că 2 × 6 = 12, nu 18; 18 : 6 fac 3 ? DA, pentru că 3 × 6 = 18.                    Procedând în acest fel, elevii vor ajunge să stabilească rezultatele diferitelor împărţiri numai pe baza tablei înmulţirii pe care au învăţat-o sau pe care o pot învaţă cu mai multă uşurinţă.              Exemplu: La împărţirea 15 : 3, elevii vor stabili rezultatul răspunzând mintal la întrebarea: cât ori 3 fac 15 ?  deci, 15 : 3 = 5 pentru că 5 × 3 = 15.                     Un alt procedeu pentru stabilirea rezultatului unei împărţiri şi care se poate introduce treptat este procedeul grupărilor, adică al descompunerii deîmpărţitului în două, trei grupe, care se împart, adunându-se rezultatele.              Exemplu:   12 : 3 = 4   9 : 3 = 3   3 : 3 = 1  3 + 1 = 4               În ceea ce priveşte exprimarea, este necesar să se întrebuinţeze la început exprimarea completă, corespunzătoare proceselor practice şi de gândire care au loc: 18 împărţit în 6 părţi egale fac 3 şi paralel cu această să se întrebuinţeze exprimarea prescurtată: 18 împărţit la 6 fac 3.                                                              Caracteristici specifice împărţirii numerelor naturale mai mici decât 100 - în cadrul numerelor până la 100 se studiază atât împărţirea în părţi egale, cât şi împărţirea prin cuprindere (în această ordine); - operaţia de împărţire se studiază în strânsă legătură cu înmulţirea, atât în ceea ce priveşte stabilirea şi motivarea rezultatului, cât şi prin sesizarea relaţiilor care duc la constatarea că cele două operaţii sunt inverse una alteia, adică ceea ce se face prin înmulţire se desface prin împărţire şi invers; - împărţirea în părţi egale se bazează pe înmulţirea cu înmulţitorul constant, acesta devenind împărţitor; - ordinea operaţiilor este aceeaşi că şi la înmulţire.                   Procedeele întrebuinţate pentru stabilirea rezultatelor la împărţire sunt următoarele: -legătura dintre înmulţire şi împărţire, legătură cu ajutorul căreia se găseşte şi se motivează rezultatul;                  Exemplu: 24 : 6 = ? Câtul este acel număr din înmulţirea căruia cu împărţitorul se obţine deîmpărţitul, adică 4, deci: 24 : 6 = 4, pentru că 4 × 6 = 24. -descompunerea deîmpărţitului în termeni mai mici, astfel că aceşti termeni să fie divizibiliprin împărţitor;                  Exemplu: 56 : 7 = 8 pentru că: 28 : 7 = 4 , 28 : 7 = 4 şi 4 + 4 = 8. -împărţirea succesivă a deîmpărţitului prin factorii împărţitorului;                  Exemplu: 28 : 4 = 7, pentru că: 28 : 2 = 14 şi 14 : 2 = 7                   Împărţirea prin cuprindere se bazează pe înmulţirea cu împărţitorul constant. Etapele metodice în tratarea împărţirii prin cuprindere pot fi formulate astfel: - formarea noţiunii de împărţire prin cuprindere, scrierea şi citirea acestei împărţiri.                             Pentru a ajunge la înţelegerea acestor noţiuni, trebuie să se lămurească şi să se delimiteze înţelesul expresiilor: în părţi egale, în grupe de câte … obiecte, grupate, cuprindere. În acest scop trebuie să se utilizeze exemple concludente, legate de experienţă şi cunoştinţele elevilor.                          Astfel, elevii sunt aşezaţi în bănci câte doi, în grupe de câte doi, dar aceiaşi elevi pot fi grupaţi câte 3, câte 4 etc., sau în grupe de câte 3, câte 4. Pentru o mai bună precizare a lucrurilor se consideră un anumit număr de elevi, spre exemplu 16 şi se fac toate grupările posibile: câte 1, câte 2, câte 4, câte 8 şi câte 16, stabilindu-se numărul grupelor formate şi întrebuințându-se exprimarea corespunzătoare:   16 elevi împărţiţi în grupe de câte 2 elevi fac 8 grupe; 16 elevi împărţiţi în grupe de câte 4 elevi fac 4 grupe; 16 elevi împărţiţi în grupe de câte 8 elevi fac 2 grupe etc.                  Apoi se lămureşte procesul de gândire care are loc pentru stabilirea grupelor precizându-se că 16 elevi împărţiţi în grupe de câte 2 fac 8 grupe, adică 2 în 16 se cuprinde de 8 ori, fiindcă 2 elevi repetaţi de 8 ori fac 16, sau 16 elevi împărţiţi în grupe de câte 4 fac 4 grupe, adică 4 în 16 se cuprinde de 4 ori, fiindcă 4 elevi repetaţi de 4 ori fac 16. După această se trece la demonstrarea împărţirii prin cuprindere întrebuintand diferite materiale didactice cu care lucrează atât institutorul cât şi elevii.               Exemplu: Dacă se lucrează cu beţişoare, acestea se grupează câte 1, câte 2, câte 4, stabilindu-se de fiecare dată numărul grupelor ce se obţin, cu repetarea în cuvinte a procesului aritmetic: 12 beţişoare împărţite în grupe de câte 2 beţişoare fac 8 grupe, pentru că 2 se cuprinde în 16 de 8 ori etc.               După tratarea a 2-3 exemple concrete, se trece la faza semiconcreta şi apoi abstractă, stabilindu-se drept concluzie.   16 împărţit în grupe de câte 2 fac 8, sau 2 se cuprinde în 16 de 8 ori; 16 împărţit în grupe de câte 4 fac 4, sau 4 se cuprinde în 16 de 4 ori; 16 împărţit în grupe de câte 8 fac 2, sau 8 se cuprinde în 16 de 2 ori etc.                 Un exemplu sau două din aceste operaţii se scriu pe tablă şi pe caiete, scoţându-se în evidenţă faptul că scrierea acestei împărţiri este cea cunoscută, însă citirea ei se face altfel.                  Exemplu: Operaţia: 16 : 4 = 4 se citeşte că împărţire prin cuprindere astfel: 16 împărţit în grupe de câte 4 fac 4, sau 4 în 16 se cuprinde de 4 ori.                      Numai după ce elevii încep să pătrundă sensul expresiilor care caracterizează împărţirea prin cuprindere se poate trece la studiul sistematic al acestei operaţii, tratandu-se pe rând împărţirea la 2 prin cuprindere, apoi la 3 şi aşa mai departe, în strânsă legătură cu înmulţirea numărului respectiv şi cu împărţirea în părţi egale prin acel număr.         - probleme de împărţire prin cuprindere.                      Tot ceea ce s-a arătat până aici în legătură cu împărţirea prin cuprindere are drept scop să familiarizeze pe elevi cu exprimarea caracteristică acestei împărţiri şi să-i facă să pătrundă înţelesul şi esenţă operaţiei. Dacă însă într-o problema este vorba de împărţire prin cuprindere, sau de împărţire prin părţi egale, acestea se pot stabili numai prin textul problemei, mai ales că formă sub care se scrie operaţia corespunzătoare fiecărei împărţiri este aceeaşi şi diferă doar exprimarea. Urmărind că elevii să facă distincţie clară între cele două feluri de împărţiri, este necesar să se formeze, cu aceleaşi date, o problema de împărţire în părţi egale şi altă prin cuprindere.    Spre exemplu: folosind relaţia 15 : 3 = 5, se pot formulă următoarele probleme: O cantitate de 15 litri de ulei s-a pus în mod egal în 3 bidoane. Câţi litri de ulei sau pus într-un bidon?   Operaţia se scrie:15 l : 3 = 5 l şi se citeşte:15 l împărţit în 3 părţi egale (bidoane) fac 5 l. O cantitate de 15 l de ulei s-a turnat în bidoane de câte 3 l . Câte bidoane sunt necesare? Operaţia se scrie: 15 l : 3 l = 5 şi se citeşte: 15 l împărţit în părţi (bidoane) de câte 3 l fac 5 (bidoane), sau: 3 l se cuprind în 15 l de 5 ori, deci sunt necesare 5 bidoane.       La împărţirea în părţi egale se observă că deîmpărţitul şi catul sunt numere concrete (reprezintă unităţi sau lucruri de acelaşi fel), iar împărţitorul este număr abstract şi arată numărul părţilor egale în care s-a făcut împărţirea. La împărţirea prin cuprindere, deîmpărţitul şi împărţitorul sunt numere concrete, iar catul este număr abstract şi arată de câte ori se cuprinde împărţitorul în deîmpărţit. Aceste observaţii caracterizează în mod general cele două feluri de împărţire.    Caracteristici specifice împărţirii numerelor naturale mai mici decât 100: -în cadrul numerelor până la 100 se studiază atât împărţirea în părţi egale, cât şi împărţirea prin cuprindere (în această ordine); -operaţia de împărţire se studiază în strânsă legătură cu înmulţirea, atât în ceea ce priveşte stabilirea şi motivarea rezultatului, cât şi prin sesizarea relaţiilor care duc la constatarea că cele două operaţii sunt inverse una alteia, adică ceea ce se face prin înmulţire se desface prin împărţire şi invers; -împărţirea în părţi egale se bazează pe înmulţirea cu înmulţitorul constant, acesta devenind împărţitor; -ordinea operaţiilor este aceeaşi că şi la înmulţire.  

Elemente pregătitoare pentru formarea conceptului de număr natural           Copiii de vârstă școlară mică se găsesc în stadiul operațiilor concrete. Ei învață prin intuiție si manipulare directă de obiecte concrete, iar activitatea matematică reproduce, între anumite limite, spațiul fizic în care aceștia se dezvoltă. Cercetările psihologice arată că la începutul vârstei școlare mici apar și se dezvoltă primele operații logice elementare: conjuncția, disjuncția logică și negația. Formarea mulțimilor după una sau mai multe proprietăți ale elementelor lor cultivă si dezvoltă copiilor capacitatea de a lega între ele proprietățile obiectelor care alcătuiesc o mulțime, cu ajutorul elementelor de relație: sau - corespunzător disjuncției, și - corespunzător conjuncției, nu - corespunzător negației. Tot prin activități practice, mânuind materialul didactic și verbalizând acțiunile folosind: conjuncția, disjuncția și negația se introduc operațiile cu mulțimi: reuniunea, intersecția și diferența a două mulțimi.         Pentru înțelegerea și însușirea operațiilor cu mulțimi este necesar ca institutorul să folosească jocurile logico-matematice, jocul disjuncției, al conjuncției, al negației, al perechilor, jocuri de formare a unei mulțimi, jocuri de ordonare a elementelor unei mulțimi etc.                   În activitățile cu mulțimi, institutorul va folosi întotdeauna un limbaj matematic clar, precis, pe înțelesul și la nivelul de pregătire al copiilor. Plecând de la activități logice de comparare a mulțimilor, copiii vor deveni conștienți de modul în care se stabilește corespondența (element cu element) a două mulțimi – suportul constituindu-l numeroase situații de viață.         Introducerea conceptului de număr natural impune, ca o etapă premergătoare, familiarizarea copiilor cu noțiunea de relație de echivalență a mulțimilor, de clasă de echivalență, de echipotență între mulțimi stabilită de relația bijectivă tot atâtea, precum și de relația de ordine folosindu-se expresiile mai multe, mai puține.         Activitatea de punere în corespondență a elementelor a două mulțimi se poate desfasura în două direcții principale: - stabilirea echipotenței a două mulțimi (prin relația de corespondență element cu element), - construirea mulțimilor echipotente cu o multime dată (formând o clasă de echivalență).         O atenție deosebită trebuie să se acorde mijloacelor materiale și de comunicare, formulării concluziilor, manipulării obiectelor prin care se formează sau se pun în corespondență mulțimile și folosirii unui limbaj adecvat. De exemplu, în loc de funcție bijectivă se poate spune: corespondență element cu element sau se folosește relația: tot atâtea elemente, care este o relație de echivalență, iar în loc de mulțimi echipotente se spun: mulțimi cu tot atâtea elemente(care au acelasi cardinal). Corespondența element cu element a două mulțimi se poate indica grafic prin unirea cu o linie a unui element dintr-o mulțime cu un element din cea de-a doua sau prin alăturarea la fiecare element din prima mulțime a unui element din cea de-a doua mulțime.                    Folosirea rigletelor oferă institutorului posibilitatea să efectueze cu copiii corespondențe între elementele unei mulțimi oarecare, iar o mulțime formată din riglete unități dispuse în linie dă posibilitatea copiilor să găsească riglete cu același număr de unități cât este numărul elementelor unei mulțimi (prin punere în corespondență).                     Familiarizarea copiilor cu rigletele se realizează după ce în prealabil s-au efectuat exerciții de recunoaștere a culorilor și de egalizare a lungimilor. Comparând două riglete copiii vor deduce dacă au aceeași lungime sau nu, vor așeza în prelungire două sau mai multe riglete pentru a egala o rigletă de lungime mai mare. Cu ajutorul rigletelor se realizează o înțelegere mai rapidă a compunerii și descompunerii unui număr, utilă apoi în efectuarea operațiilor aritmetice.   În prima parte a unei activități de predare a unui număr se efectuează exerciții prin care se consolidează și se verifică în ce masură copiii stăpânesc cunoștințele și deprinderile necesare pentru înțelegerea numărului nou. În cadrul unei lecții se efectuează cu copiii exerciții ca: -formarea mulțimilor; -echipotența mulțimilor; -raportarea numărului la cantitate și a cantității la număr; -număratul în limite cunoscute; -stabilirea vecinilor numerelor; -exerciții de adunare și scădere cu o unitate.   După efectuarea exercițiilor cu caracter pregătitor, se trece la predarea numărului nou.                   Parcurgerea acestui capitol se va face după o necesară evaluare predictivă a elevilor în primele zile de şcoală. Vor fi evaluate acele cunoştinţe, priceperi şi deprinderi ale elevilor ce se regăsesc în structura unităţii şi vor fi explicitate mai jos. În funcţie de rezultatele evaluării, va fi luată o decizie didactică privind ritmul parcurgerii acestui capitol şi implicit, timpul afectat: cu cât rezultatele sunt mai bune, cu atât timpul va fi mai scurt.                      Nu trebuie uitat că acest capitol reprezintă doar o pregătire a elevilor pentru asimilare – adaptare, o modalitate de egalizare a şanselor, de a oferi tuturor copiilor o necesară bază comună de pornire. De aceea, activitatea evaluare predictivǎ a învăţătorului va fi diferenţiată şi individualizată, oferind fiecărui copil un program personal de compensare sau dezvoltare. După parcurgerea acestui capitol şi evaluarea sumativă corespunzătoare, învăţătorul va avea informaţii şi va putea decide şi asupra tipului de curriculum pe care îl va putea aborda cu clasa: trunchiul comun, aprofundare sau extindere.                     Conţinutul Unitǎţii 2 are un vizibil caracter interdisciplinar, cu trimiteri nu numai în interiorul, ci şi în afara ariei curriculare. Se conectează cu zona “limbii şi comunicării” atât prin activizarea unui limbaj specific, cât şi prin solicitările de verbalizare a acţiunilor în exprimări corecte, complete, clare. Cu zona “arte” se leagă prin cunoştinţe (ex.: culorile), priceperi şi deprinderi ce ţin de grafie (trasare de linii, încercuiri, barări), desenare şi colorare. De zona “educaţie fizică” se leagă prin intermediul priceperilor şi deprinderilor motrice, de care depinde realizarea unor acţiuni directe de manipulare a obiectelor.           În interiorul ariei curriculare din care face parte matematica, se conectează cu ştiinţele naturii prin cunoştinţele despre plante şi animale, necesare interpretării unor imagini, în vederea stabilirii unor proprietăţi caracteristice.                    Prezentăm în continuare câte o listă conţinând ce trebuie să ştie (cunoştinţe) şi să facă (priceperi şi deprinderi) elevul clasei I în vedrea înţelegerii conceptului de număr natural.               Cunoştinţe necesare: culori (roşu, galben, albastru); forme geometrice plane: cerc, triunghi, dreptunghi, pătrat; poziţii relative ale obiectelor: sus/jos, faţă/spate, pe/sub,stânga/dreapta, aproape/departe ş.a; mărimea obiectelor: mare/mic, lung/scurt, înalt/scund, lat/îngust; elemente de logică matematică (fără utilizarea terminologiei): propoziţie logică şi negaţia ei, conjuncţia a două propoziţii, disjuncţia a două propoziţii, implicaţia; mulţimi (fără utilizarea terminologiei): determinare, apartenenţă/ neapartenenţă, operaţii cu mulţimi (reuniune, intersecţie, complementara unei submulţimi); corespondenţe: compararea cantitativă a două mulţimi, ordonarea cantitativă a două sau mai multe mulţimi; invarianţa cantităţii.   Priceperi şi deprinderi necesare: - precizarea culorii unui obiect sau a unei imagini date; colorarea unor imagini cu o culoare precizată; - recunoaşterea oricăreia dintre formele geometrice precizate, pe obiecte din mediul înconjurător;  denumire unei forme geometrice date; - recunoaşterea poziţiilor relative ale unor obiecte indicate; plasarea unor obiecte în poziţii relative indicate; găsirea unor obiecte aşezate într-o poziţie precizată faţă de un reper; d) - stabilirea mărimii relative a două obiecte comparate; ordonarea crescătoare/descrescătoare după mărime a două/trei obiecte (sau imagini); e) - sortarea obiectelor care au o proprietate dată; alegerea obiectelor caracterizate prin două atribute simultan; trierea obiectelor care au cel puţin unul dintre atribute date; utilizarea unui raţionament de tipul „dacă …. atunci ……” într-o situaţie practică; descoperirea regulii de formare a unei secvenţe dintr-un şir de obiecte/imagini şi construirea în continuare a şirului;   f) - formarea unor mulţimi de obiecte având o proprietate caracteristică dată; formarea unor mulţimi de obiecte pentru care proprietatea caracteristică este o conjuncţie de două atribute; recunoaşterea proprietăţii caracteristice a unei mulţimi date; sesizarea apartenenţei/neapartenenţei unui element la o mulţime dată; construirea reuniunii a două mulţimi disjuncte de obiecte; precizarea proprietăţii caracteristice a intersecţiei a două mulţimi, folosind conjuncţia; precizarea proprietăţii caracteristice a complementarei unei submulţimi, folosind negaţia; construirea mulţimii diferenţă dintre o mulţime dată şi o submulţime a sa;   - formarea de perechi între elementele a două mulţimi prin corespondenţă „unu la unu”; - stabilirea unei relaţii de ordine între două mulţimi, exprimată prin „tot atât”, „mai mult/puţin”; - aşezarea în ordine crescătoare/descrescătoare a două sau mai multe mulţimi de obiecte sau imagini; - sesizarea faptului că o mulţime rămâne cu „tot atâtea” obiecte, indiferent de poziţia spaţială a acesteia; - sesizarea faptului că mărimea obiectelor din două mulţimi nu decide care dintre are mai multe obiecte.

 

Evaluarea in cadrul lectiilor de matematica Obiectivele unitatii de învatare În urma parcurgerii acestei unitati de învatare, studentii vor fi capabili: -sa cunoasca noul sistem de evaluare în scopul crearii unor modalitati eficiente de masurare a nivelului de realizare a obiectivelor noului curriculum; -sa aplice strategiile de evaluare; -sa descrie principalele metode si tehnici de evaluare specifice lectiilor de matematica; -sa compare metodele de evaluare în raport cu avantajele si limitele specifice; -sa aplice metodologia evaluarii randamentului scolar la matematica; -sa constientizeze importanta evaluarii într-un demers didactic la matematica; -sa realizeze practic teste de evaluare didactica la disciplina matematica, tinând cont de indicatiile metodice din aceasta tema.  Precizari conceptuale Câteva sensuri ale conceptului de evaluare mai frecvent întâlnite în literatura de specialitate sunt: 1. Evaluarea = reglare a învatarii si predarii, adica obtinerea de informatii despre efectele predarii si receptarii cunostintelor. 2. Evaluarea = masurarea efectelor învatarii. Ea consta în aplicarea unor tehnici, probe, pentru a cunoaste efectele actiunii instructiv-educative. Pot fi masurate numarul de cunostinte memorate sau întelese de elevi, deprinderile si priceperile nou formate, numarul si gravitatea greselilor în executarea unei activitati. 3. Evaluarea = proces de obtinere a informatiilor asupra elevului, profesorului, sau asupra programului educativ si de folosire a acestora în scopul formularii unor aprecieri, sau al adoptarii unor decizii. 4. Evaluarea = proces de masurare si apreciere a valorii rezultatelor sistemului de învatamânt, sau a unei parti a acestuia a eficientei resurselor si strategiilor folosite, prin compararea rezultatelor cu obiectivele propuse, în vederea luarii unor decizii de îmbunatatire.. Tipuri (forme) de evaluare Dupa modul cum se realizeaza: la începutul, pe parcursul, sau la sfârsitul unei unitati de învatare se evidentiaza urmatoarele forme de evaluare: 1. evaluarea initiala (predictiva); 2. evaluarea continua (formativa); 3. evaluarea sumativa (finala). 1. Evaluarea initiala se realizeaza prin raportare la obiectivele terminale ale capitolului anterior. Tehnica de evaluare o constituie proba initiala sau predictiva, care este aplicata la începutul fiecarei unitati de continut. Evaluarea initiala (predictiva) se realizeaza la începutul anului scolar, sau al semestrului, sau la trecerea de la un capitol studiat la altul. Permite stabilirea nivelului de dezvoltare si de pregatire si anticipeaza evolutia elevilor. Sugereaza institutorului strategiile didactice care pot fi utilizate. Rezultatele din evaluarile initiale directioneaza activitatea institutorului în doua planuri: -modalitatea de predare-învatare a noului continut (adaptarea strategiilor didactice la posibilitatile de asimilare ale elevilor); -aprecierea necesitatii organizarii unor programe de recuperare pentru întreaga clasa sau a unor programe diferentiate, menite sa aduca elevii la capacitatile necesare abordarii unei noi unitati de învatare. 2. Evaluarea continua se realizeaza pe tot parcursul unitatii didactice, descriind achizitiile elevului în cursul învatarii, în raport cu obiectivele stabilite. Scopul principal al acestui tip de evaluare este acela de a dezvolta la fiecare elev autocunoasterea si încrederea în sine, având, în acelasi timp, caracter diagnostic si recuperativ. 3. Evaluarea sumativa stabileste un bilant final al unei secvente de învatare, având drept scop masurarea nivelului de realizare a obiectivelor operationale propuse. Se realizeaza la finalul programului de instruire (sfârsit de unitate de învatare, sfârsit de semestru sau de an scolar). Deoarece aceasta forma de evaluare nu însoteste procesul didactic pas cu pas, nu permite ameliorarea acestuia decât dupa perioade îndelungate de timp.   Evaluarea performantelor scolare Scopul principal al evaluarii rezultatelor scolare este perfectionarea continua a procesului de predare-învatare. Pentru a-si îndeplini acest scop, evaluarea trebuie sa descrie în mod obiectiv ceea ce pot realiza elevii, sa clarifice natura dificultatilor pe care acestia le au în învatare si sa indice solutii pentru îmbunatatirea rezultatelor întregului proces.   Evaluarea performantelor elevilor este necesara pentru: -cunoasterea nivelului de pregatire al fiecarui elev în scopul organizarii eficiente a activitatii de predare-învatare; -determinarea nivelului atins de fiecare elev în vederea formarii si dezvoltarii capacitatilor cuprinse în obiective; -evidentierea progresului înregistrat de elev în raport cu sine însusi pe traseul atingerii obiectivelor prevazute de programa; important este sa fie evaluata nu atât cantitatea de informatii de care dispune elevul, ci, mai ales, ceea ce poate sa faca el, utilizând ceea ce stie sau ceea ce intuieste; -asigurarea unei informari continue asupra rezultatelor predarii-învatarii, pentru a preveni la timp dereglarile procesului sau pentru a le corecta atunci când ele s-au produs; -asigurarea unei raportari la standarde nationale pentru a oferi o apreciere corecta a rezultatelor unei promovari reale, pe baza performantelor obtinute, care sa asigure continuitatea cu succes a studiilor în clasa urmatoare; -raportarea activitatii institutorului la obiectivele vizate prin programa; autoaprecierea muncii proprii; -stabilirea unor criterii unitare si obiective de evaluare a activitatii institutorului în raport cu obiectivele programei de catre factorii de îndrumare si control: directori, metodisti, inspectori scolari. Pentru ca evaluarea progresului scolar al elevilor sa-si atinga scopurile propuse, o serie de actiuni de ordin strategic si practic devin necesare: -înlocuirea evaluarii oarbe, exprimate prin cifre sau corecturi nerelevante pentru determinarea stadiului atins de elev în formarea unor capacitati si, prin urmare, nerelevante pentru depistarea si eliminarea blocajelor, cu evaluarea calitativa, de tip descriptiv, realizata pe baza descriptorilor de performanta, ce ofera datele necesare reglarii procesului de învatare; -înlocuirea probelor de evaluare clasice, vizând evaluarea cantitatii de informatii memorate, ce permit un grad înalt de subiectivitate, cu teste de evaluare compuse din itemi bine structurati, ce asigura o evaluare obiectiva nu numai a informatiilor acumulate de elevi, ci si a deprinderilor, a capacitatilor intelectuale si a trasaturilor de personalitate – aspecte care constituie rezultatul cel mai important al activitatii scolare; -modificarea raportului dintre evaluarea sumativa, care inventariaza, selecteaza si ierarhizeaza prin nota, si evaluarea formativa, ce are drept scop valorificarea la maximum a potentialului intelectual de care dispun elevii si conduce la perfectionarea continua a stilului si a metodelor proprii de învatare; -restabilirea echilibrului dintre evaluarea scrisa si evaluarea orala care, desi presupune un volum mare de timp pentru aprecierea tuturor elevilor si blocaje datorate emotiei sau timiditatii, prezinta avantaje deosebite, precum: realizarea interactiunii elev-institutor, demonstrarea stadiului de formare a unor capacitati sau competente prin interventia institutorului cu întrebari ajutatoare, demonstrarea comportamentului comunicativ si de interrelationare a elevului, evaluarea de ordin atitudinal-comportamental, evidentierea unor trasaturi de personalitate etc.; -folosirea cu o mai mare frecventa a metodelor de autoevaluare si de evaluare prin consultare în grupuri mici, vizând verificarea modului în care elevii îsi exprima liber opinii proprii sau accepta cu toleranta opiniile celorlalti, modul cum utilizeaza în practica vorbirii formulele de initiere, de mentinere si de încheiere a unui dialog sau capacitatea de a-si sustine si motiva propunerile.   Metode si tehnici de evaluare a randamentului scolar la matematica Metodele traditionale utilizate în evaluarea rezultatelor scolare sunt: examinarea orala, examinarea prin probe scrise, examinarea prin probe practice, textul decimologic. Metodele alternative utilizate în evaluarea rezultatelor scolare sunt: observarea sistematica a comportamentului de învatare al elevilor, investigatia, proiectul, portofoliul, autoevaluarea. Programa scolara reprezinta instrumentul didactic principal care descrie conditiile dezirabile pentru reusita învatarii, exprimate în termeni de obiective, continuturi si activitati de învatare. Ea descrie oferta educationala a unei anumite discipline pentru un parcurs scolar determinat. Obiectivele de referinta specifica rezultatele asteptate ale învatarii si urmaresc achizitia progresiva a cunostintelor si a competentelor, de la un an de studiu la altul. Aceste obiective sunt exprimate în termeni de posibilitate. În activitatea de evaluare, obiectivele de referinta ale programei sunt transformate în descriptori de performanta, exprimati în termeni de realizare. Aplicarea descriptorilor de performanta nu înseamna înlocuirea pur formala a notei traditionale cu un calificativ care urmareste numai ierarhizarea rezultatelor scolare obtinute de elevi. Perceput astfel, noul sistem de apreciere a rezultatelor scolare prin calificative nu ar servi cu nimic sensului pozitiv al reformei din acest domeniu, care este trecerea de la o evaluare pur cantitativa si nesemnificativa, la o evaluare calitativa, de tip descriptiv, care sa se constituie cu adevarat într-un factor activ, reglator, generator de progres scolar. Pentru întelegerea noului concept de evaluare, fiecare activitate de evaluare a rezultatelor scolare trebuie însotita, în mod sistematic, de o autoevaluare a procesului pe care institutorul la desfasurat cu toti elevii si cu fiecare elev în parte, pentru obtinerea rezultatelor scolare evidentiate prin evaluare. Numai astfel poate fi descris nivelul de formare al fiecarui elev si pot fi stabilite modalitatile prin care va fi reglata, de la o etapa la alta, activitatea de învatare-formare a elevilor în mod diferentiat, pentru ca toti cei cu o dezvoltare intelectuala normala sa poata atinge, în final, standardele de performanta curriculare. Cu alte cuvinte, calificativele: excelent, foarte bine, bine si suficient, mentionate în descriptori, ca si calificativul insuficient trebuie traduse de institutor în termeni care sa-i ghideze reglarea procesului de predare-învatare: • excelent = capacitate/competenta constituita stabil, capabila de autodezvoltare; • foarte bine = capacitate/competenta formata; • bine = capacitate/competenta care necesita antrenament pentru consolidare; • suficient = capacitate/competenta aflata în curs de formare; • insuficient = capacitate/competenta nerealizata.   Noul sistem de evaluare a rezultatelor învatarii la matematica urmeaza sa se constituie într-un act unitar si coerent care sa ofere tuturor elevilor, indiferent de specificul unitatii scolare sau de manualul alternativ dupa care lucreaza, repere la care acestia sa-si poata raporta nivelul de performanta atins în învatare. Tinând seama de acest principiu important, toate instrumentele de evaluare: matricele de evaluare, descriptorii de performanta, probele de evaluare, sunt derivate din obiectivele-cadru si din obiectivele de referinta ale curriculum-ului scolar. În proiectarea evaluarii, se trece de la obiectivele de referinta ale programei la descrierea lor în termeni de competente realizabile, cuprinse în descriptori de performanta.   Descriptorii de performanta pot fi utilizati pentru evaluarea si aprecierea rezultatelor scolare la toate formele sau probele de evaluare, orale sau scrise, proiectate în matrice. Acestia se pot adapta atât la continuturile de învatare evaluate, cât si la tipul de proba de evaluare administrativa.   Tipul probelor (metodelor) de evaluare se selecteaza în functie de doi parametri: obiectivul-cadru vizat si competentele pe care institutorul îsi propune sa le formeze la elevi în cadrul procesului de predare-învatare, pentru a asigura atingerea obiectivelor. Corelatia dintre competentele evaluate si instrumentele folosite pentru a realiza aceasta evaluare este redata sintetic în matricele de evaluare. Pentru a asigura eficienta activitatii de evaluare a rezultatelor scolare este necesar ca aceasta sa fie însotita de o autoevaluare a procesului pe care institutorul l-a desfasurat cu toti elevii si cu fiecare elev în parte în scopul obtinerii rezultatelor scolare evidentiate prin evaluare. Numai astfel poate fi descris nivelul achizitiilor fiecarui elev în învatare si pot fi stabilite modalitatile prin care va fi reglata, de la o etapa la alta, învatarea-formarea elevilor în mod diferentiat, astfel încât toti cei cu o dezvoltare intelectuala normala sa poata atinge, în final, standardele curriculare de performanta. Standardele curriculare de performanta pentru scoala primara reprezinta o descriere sintetica a nivelului de competente recomandate a fi dobândite de elevi pâna la sfârsitul clasei a IV-a. În conditiile existentei unor standarde curriculare de performanta, obligatia institutorului este ca: -sa asigure atingerea nivelului minim de catre toti elevii; -sa creeze conditiile ca fiecare elev sa avanseze cât mai mult, în functie de posibilitatile si disponibilitatile sale, catre nivelul achizitiilor dezirabile, exprimate în documentele curriculare în termeni de performanta optimala.   În scopul asigurarii unei corectitudini a rezultatelor evaluarii, instrumentele de evaluare (probele) trebuie sa se caracterizeze prin: validitate (calitatea de a masura ceea ce este destinat sa masoare), fidelitate (calitatea de a da rezultate constante în cursul aplicarii succesive), obiectivitate (gradul de concordanta între aprecierile facute de evaluatori diferiti), aplicabilitate (calitatea de a fi usor administrata si interpretata). Metodologia elaborarii itemilor Clasificarea itemilor Informatiile despre felul cum au învatat si ce au învatat elevii, se colecteaza cu ajutorul unor tehnici si instrumente de evaluare. Acestea sunt: probe, chestionare, teste de evaluare care se compun din unul sau mai multi itemi. Itemii reprezinta elemente componente ale unui instrument de evaluare si pot fi: simple întrebari, un enunt urmat de o întrebare, exercitii, eseuri. Itemii mai contin si tipul de raspuns asteptat, deci: item = întrebare + raspuns. În construirea itemilor se parcurg urmatoarele etape: − precizarea disciplinei de studiu, a clasei si a capitolului; − definirea obiectivului pe care itemul îl masoara; − formularea enuntului itemului; − schema de notare; − observatii (acolo unde este cazul). Din punct de vedere al tipului de raspuns asteptat si al gradului de obiectivitate a notarii, itemii se împart în: 1. Itemi obiectivi: − itemi tip pereche; − itemi cu alegere duala; − itemi cu alegere multipla. 2. Itemi semiobiectivi: − itemi cu raspuns scurt; − întrebari structurate. 3. Itemi cu raspuns deschis: − itemi tip rezolvare de probleme; − eseu structurat; − eseu nestructurat.  Îndrumãri practice, generale pentru elaborarea itemilor Itemii verifica un esantion reprezentativ al domeniului de evaluat atât din punct de vedere al continutului cât si al comportamentului solicitat. În elaborarea lor se utilizeaza un limbaj precis si clar. Itemii sunt independenti unul fata de altul. Raspunsul la un item nu trebuie sa depinda de raspunsul la alt item. Itemi de tip pereche Le solicita elevilor stabilirea unor corespondente între informatiile distribuite pe doua coloane. Informatiile din prima coloana se numesc premize, iar cele din a doua coloana se numesc raspunsuri. Acest tip de itemi urmaresc dezvoltarea puterii de asociere în gândirea elevilor. Se pot asocia: -exercitii – rezultatele acestora; -termeni – definitii, etc. Itemi cu alegere dubla Ofera elevului posibilitatea sa aleaga raspunsul corect din doua alternative: adevarat-fals; da-nu; corect-incorect. Itemi cu alegere multipla Pe baza unui enunt se cere elevului sa aleaga raspunsul corect sau cea mai buna alternativa dintr-o lista de raspunsuri alternative. Itemi cu raspuns scurt Solicita elevilor formularea raspunsului sub forma unui cuvânt, propozitie, numar, cerinta fiind de tip intrebare directa. Modalitati de utilizare: -se da elevului o definitie si i se cere sa scrie numele conceptului definit; -se da un concept si i cere sa-l defineasca; -se da un concept si i se cere sa enumere caracteristicile sale; -se cere elevilor sa adauge cuvântul ce lipseste dintr-o definitie. Întrebari structurate Sunt formate din mai multe subîntrebari de tip obiectiv sau semiobiectiv, legate între ele printr-un element comun. Itemi cu raspuns deschis Ofera elevilor posibilitatea de a formula o descriere, a prezenta sau a explica diferite concepte, relatii, metode de rezolvare. Tipuri de itemi cu raspuns deschis: -rezolvarea de probleme; -eseu structurat; -eseu liber. Itemi de tip eseu Itemul de tip eseu cere elevului sa construiasca, sa produca un raspuns liber în conformitate cu un set de cerinte date. Test de autoevaluare 1. Construiti o proba de evaluare predictiva pentru un capitol la alegere din matematica clasei a IV-a. 2. Construiti o proba de evaluare formativa pentru o lectie la alegere din capitolul ales anterior. 3. Pentru capitolul ales construiti o proba de evaluare sumativa.  

Rolul mijloacelor de invatamant in lectia de matematica Obiective În urma parcurgerii acestei unitati de învatare, studentii vor fi capabili: -sa precizeze conceptul de mijloc de învatamânt; -sa înteleaga principiile de folosire a acestora în activitatea didactica; -sa descrie mijloacele de învatamânt traditionale, evidentiind rolul lor în cadrul lectiilor de matematica; -sa prezinte mijloacele de învatamânt moderne, insistând asupra importantei lor în cadrul lectiilor de matematica; -sa cunoasca factorii determinanti în activitatea de confectionare a materialului didactic cu elevii; -sa enumere materiale didactice necesare desfasurarii lectiilor de matematica.  Conceptul de mijloc de învatamânt Termenul de mijloc de învatamânt desemneaza totalitatea resurselor materiale concepute si realizate în mod explicit pentru a servi institutorului în activitatea de predare si elevilor în activitatea de învatare. În sensul cel mai larg, prin mijloace de învatamânt se întelege totalitatea materialelor, dispozitivelor si operatiilor cu ajutorul carora se realizeaza transmiterea informatiei didactice, înregistrarea si evaluarea rezultatelor obtinute. Asadar, mijloacele de învatamânt pot fi definite ca un ansamblu de instrumente materiale produse, adaptate si selectionate în mod intentionat pentru a servi nevoilor organizarii si desfasurarii procesului de învatamânt. Ele amplifica valoarea metodelor si împreuna cu acestea contribuie la realizarea obiectivelor educatiei. Mijloacele de învatamânt sunt instrumente care faciliteaza transmiterea informatiei ca act al predarii, sprijinind si stimulând în acelasi timp activitatea de învatare. Ele, însa, nu se substituie activitatii de predare, ci doar amplifica si diversifica functiile acesteia printr-o mai buna ordonare si valorificare a informatiei transmise. Oricât s-ar perfectiona aceste mijloace, ele nu vor putea înlocui activitatea institutorului, ci doar îl vor ajuta pentru a-si îndeplini mai bine sarcinile ce-i revin.  Principii de bazã în folosirea mijloacelor de învatamânt Folosirea mijloacelor de învatamânt se bazeaza pe unele principii a caror aplicare este necesara: -orice comentariu oral, mai ales a unui subiect complicat sau nou, trebuie însotit, daca este posibil, cu elemente audio-vizuale pentru a fi retinute sau pentru a suscita discutii; -ilustrarea audio-vizuala a punctelor importante trebuie sa fie repartizate echitabil, în asa fel încât sa incite elevii, sa dea viata unui subiect mai putin atragator, sa încurajeze discutia sau sa dea mai multa greutate unei explicatii; -o prezentare cu ajutorul mijloacelor de învatamânt a cunostintelor de învatat permite o asimilare mai rapida si o activitate mai intensa; astfel institutorul, poate deseori sa abandoneze pe moment rolul sau pur pedagogic si sa se integreze în grup pentru a discuta documentele prezentate, continutul unui film, a unei simulari etc.; -adoptând atitudinea unui observator discret, aparent pasiv, institutorul poate, daca a ales cu grija mijloacele de învatamânt, sa creeze o situatie în care grupul se autoinstruieste, sa dezvolte la membrii sai spiritul critic, care îi va permite sa obtina învataminte pentru situatii reale de viata; -exercitiile bazate pe jocurile didactice, pe simulari (eventual prin utilizarea unui calculator electronic), sunt eficiente: o problema devine tangibila, elevii actioneaza ei însisi, sunt antrenati sa participe, sa faca apel la propria lor experienta; -folosirea mijloacelor de învatamânt permite cadrelor didactice sa largeasca câmpul de cunostinte al elevilor, prin abordarea interdisciplinara a problematicii predate.  Integrarea mijloacelor de învatamânt în activitatea didacticã Prezenta mijloacelor de învatamânt în cadrul formelor de organizare a activitatii didactice se justifica atunci când: contribuie la perfectionarea procesului de comunicare, prezentând informatii despre cele mai diferite obiecte, fenomene, evenimente etc.; aduc în laborator sau cabinet obiecte si fenomene care nu pot fi percepute direct de catre elevi; ofera componente si aparate indispensabile în realizarea unor montaje experimentale pentru dobândirea cunostintelor prin efort propriu în cadrul practicarii învatarii prin descoperire; sprijina procesul de formare a notiunilor, capacitatilor de analiza, sinteza, generalizare etc.; ofera un suport pentru efectuarea de exercitii si rezolvarea de probleme; prezinta situatii-problema ale caror solutii urmeaza sa fie analizate în lectie; provoaca si dezvolta motivatia învatarii si, în acelasi timp, declanseaza o atitudine emotionala; ofera posibilitati de conexiune inversa si contribuie la evaluarea rezultatelor scolare. Eficienta mijloacelor de învatamânt în activitatea de predare-învatare este determinata în ultima instanta de metodologia folosita de cadrul didactic pentru integrarea acestora în activitatea didactica. Metodologia utilizarii mijloacelor de învatamânt nu este ceva exterior continutului învatamântului, ci reprezinta o componenta de baza, care face parte din organizarea acestuia. Eficienta mijloacelor de învatamânt depinde nu numai de calitatea lor, ci, în primul rând, de modul în care sunt integrate în activitatea didactica. Indiferent de categoria lor, ele pot contribui la ridicarea eficientei si calitatii învatarii numai atunci când sunt selectionate si folosite rational, când sunt subordonate atingerii obiectivelor didactice. În orice sistem de învatare metodele si mijloacele de învatamânt sunt interdependente, se conditioneaza reciproc. Adaptarea riguroasa a mijloacelor de învatamânt la sarcinile care trebuiesc realizate în activitatea de învatamânt constituie o conditie indispensabila a eficientei acestor mijloace. Realizarea unei eficiente sporite a mijloacelor de învatamânt în procesul instructiv-educativ depinde, totodata, si de maiestria cu care cadrul didactic reuseste sa integreze efectiv aceste mijloace în cadrul formelor de organizare. Procesul de integrare a acestor mijloace de învatamânt solicita cadrului didactic o pregatire activa complexa, care începe cu mult înainte de desfasurarea activitatii propriu-zise si se încheie o data cu stabilirea concluziilor desprinse din evaluarea acesteia, pe baza carora se vor adopta apoi masuri pentru optimizarea activitatii didactice. Înainte de începerea activitatii didactice este necesar sa se stabileasca si sa se formuleze clar obiectivele urmarite prin folosirea mijloacelor de învatamânt. Aceste obiective se stabilesc în functie de specificul fiecarei activitati si au ca scop precizarea clara a modului în care mijloacele de învatamânt trebuie sa contribuie la întelegerea fenomenelor, proceselor pentru care expunerea cadrului didactic nu este suficienta. Totodata, cadrul didactic stabileste mijloacele de învatamânt necesare (aparatura de uz general, truse, subansamble, filme, folii, diapozitive s.a.), tinând seama de obiectivele fundamen tale si operationale ale activitatii ce urmeaza sa se desfasoare cu elevii, de cuantumul de cunostinte, priceperi si deprinderi pe care trebuie sa le însuseasca acestia. Apoi verifica si pregateste în detaliu, tot înainte de lectie, mijloacele de învatamânt care vor fi folosite: truse, subansamble, studiaza atent îndrumarile (instructiunile) de folosire a mijlocului de învatamânt, efectueaza experimentul în cele mai mici detalii, pregateste materialele necesare efectuarii experimentelor de catre elevi si fisele de lucru, stabileste modalitatile de efectuare a experimentului, sarcinile de lucru, concluziile partiale si finale ce urmeaza sa fie desprinse din experimentele efectuate, elaboreaza probele de evaluare a rezultatelor etc. În cazul folosirii mijloacelor audio-vizuale, institutorul verifica starea de functionare a aparaturii de proiectie, proiecteaza filmele, diapozitivele sau foliile selectionate si stabileste cu exactitate imaginile care sunt necesare pe parcursul secventelor, ca si modalitatea de a le valorifica. Pentru a putea receptiona cantitatea de informatii ce urmeaza sa fie transmisa si pentru a crea atmosfera necesara de lucru impusa de folosirea mijloacelor de învatamânt, este necesara o pregatire prealabila a elevilor de catre cadrul didactic. El trebuie sa se convinga de nivelul fondului teoretic si deprinderile practice ale noilor cunostinte si abilitati pe care le vor dobândi elevii prin intermediul mijloacelor de învatamânt. Elevii vor putea sa-si însuseasca constient noile cunostinte numai în masura în care cadrul didactic este convins ca acestia poseda un ansamblu de informatii care sa le permita întelegerea, nu memorarea mecanica a noilor cunostinte. În conditiile folosirii mijloacelor audio-vizuale, cadrul didactic trebuie sa prezinte elevilor obiectivele urmarite, sa sublinieze ideile principale, sa formuleze întrebari-problema la care elevii sa caute un raspuns în timpul proiectiei, sa stabileasca alte sarcini ce trebuie îndeplinite în timpul activitatii didactice. Utilizarea mijloacelor de învatamânt în cadrul lectiilor se face cu ajutorul institutorului care explica cum se folosesc (uneori facând un instructaj de protectie) si cum se mânuiesc pentru formarea priceperilor si deprinderilor. Factorii determinanti în activitatea de confectionare a materialului didactic Cerintele esentiale - tehnice, sociale si psihopedagogice - sunt în interactiune si interdependenta si constituie factori determinanti în activitatea de confectionare a materialului didactic cu elevii. 1.) Cerinte sociale Preocuparea cadrelor didactice de a lega notiunile teoretice de formarea deprinderilor practice la elevi, face sa apara necesitatea confectionarii cu elevii de material didactic nou, a repararii si întretinerii celui existent. Actiunea de autodotare a dus la crearea în scoli a numeroase noi laboratoare audio-vizuale, la crearea si la îmbogatirea sortimentelor de material didactic. Ea înseamna nu numai producerea de valori materiale, deoarece autodotarea intereseaza nu numai sub aspect economic, ci mai mult sub aspect educativ, pentru ca se urmareste pregatirea oamenilor capabili sa faureasca obiecte utile. Scopul final al activitatii de confectionare a materialului didactic cu elevii este pregatirea tânarului pentru viata, viata facându-l apt sa traiasca în sânul societatii ca om instruit, cu spirit creator si cu personalitate profesionala. 2.) Cerinte tehnice Scoala are nevoie de material didactic cu caracteristici tehnice si didactice superioare, cu gabarite si performante care trebuie sa raspunda exigentelor modernizarii întregului învatamânt matematic.   Plecând de la aceasta cerinta, în realizarea diferitelor dispozitive si aparate, s-a urmarit ca materialul didactic confectionat cu elevii sa întruneasca anumite cerinte tehnice: -sa fie cât mai simplu, spre a fi cât mai usor intuit; -sa fie cât mai comod de mânuit (materialul didactic sa fie demontabil); -sa aiba un anumit dinamism, care sa stimuleze interesul elevului pentru studiu; -sa promoveze conceptia moderna dinamica asupra matematicii, în locul conceptiei traditionale cu caracter static; -sa fie astfel construit încât sa atraga privirea elevului, sa-l determine sa-si puna întrebari si sa-l ajute sa le afle raspunsul; -modelul trebuie sa fie fidel; se întelege prin aceasta ca trebuie sa existe între model si original analogii destul de numeroase, pentru ca sugestiile facute de functionarea modelului sa fie valabile pentru original; -materialul didactic confectionat sa fie adaptat, în limita posibilitatilor, la elementele moderne, care au fost introduse în programele si manualele scolare si sa contribuie eficient la construirea unei tehnologii didactice moderne; -materialul didactic confectionat trebuie însotit de cataloage, instructiuni si normative cu privire la valoarea intuitiva, metodica folosirii, prezentarea si întretinerea lui. 3.) Cerinte psihopedagogice În misiunea sa delicata de a conduce elevul de la cunostinte intuitive la cunostinte logice, cadrul didactic se sprijina adesea pe folosirea judicioasa a materialului didactic. Institutorul simte nevoia sa confectioneze singur, sau, pe baza conceptiei lui, împreuna cu elevii, diferite dispozitive, aparate, planse, scheme etc., menite sa determine o mai buna însusire a notiunilor predate. Daca dascalul pleaca de la conceptia ca matematica este o colectie de structuri (axiomatice), atunci munca sa de predare cu siguranta va fi influentata de aceasta conceptie. În cazul când acesta staruie asupra conceptiei ca matematica nu se manifesta decât în legatura cu situatiile vietii practice, materia va fi probabil prezentata ca un amestec de experiente si de procese de gândire asupra acestor experimente. Cadrul didactic trebuie sa foloseasca aceste conceptii în mod echilibrat, fara sa absolutizeze una în dauna celeilalte. Rolul dascalului la matematica consta în a conduce elevul sa treaca de la cunostintele capatate pe planul intuitiv la cunostintele organizate la nivelul logic. Modernizarea continutului si spiritului matematicii elementare necesita o revizuire completa, o noua optica în ceea ce priveste materialele si mijloacele folosite în clasa. Folosirea desenului, a modelului spatial, a filmului etc., trebuie facuta judicios, la locul si timpul potrivit din lectie. Utilizarea abuziva, fara discernamânt, a materialului didactic la lectie constituie un pericol, dezvolta la elevi intuitia în dauna logicii; prin logica, demonstrezi, prin intuitie inventezi. Confectionarea materialului didactic cu elevii contribuie la educarea lor prin munca si pentru munca. În activitatea practica de confectionare a materialului didactic se realizeaza obiectivele educationale privitoare la dezvoltarea spiritului aplicativ, a aptitudinilor creatoare, îndemânarea, gustul pentru frumos, formarea personalitatii în actiune etc. Elevilor, care stiu ca au de lucrat ceva folositor si vad cu proprii lor ochi ca ceea ce au facut se utilizeaza la lectii, le sporeste încrederea în fortele proprii si se descopera pe ei însisi. Aceasta este o cerinta esentiala a educarii prin munca. De asemenea, se manifesta la elevi colectivismul, cât si grija pentru gospodarirea si pastrarea materialului didactic.   Lista de materiale didactice necesare desfasurarii lectiilor de matematica Lista care urmeaza este orientativa. În functie de resursele locale, o serie de materiale pot fi înlocuite cu altele, similare din punct de vedere al obiectivului de atins. Materialele sunt, în general, usor de procurat; ele pot fi confectionate în scoala, de catre elevi, sau pot fi solicitate parintilor.   Pentru desfasurarea optima a lectiilor de matematica sunt necesare urmatoarele materiale: Pentru cadrul didactic: -o cutie cu creioane; -betisoare; -bile colorate (rosii, verzi, albastre); -monede, bancnote sau mulaje ale acestora (din carton); -cuburi care se îmbina; -cubul lui Rubik; -un calendar; -3-4 cutii de forma paralelipipedica, al caror volum poate fi masurat prin umplere cu cuburi de dimensiuni egale; -planse reprezentând constructii simple facute numai din cuburi; -material didactic conceput si confectionat în spirit problematizat; -un ceas mare, din carton sau plastic, pe care limbile se pot deplasa (ceasul demonstrativ); -un ceas electronic; -un cronometru; -o cutie cu bete de chibrit; -o balanta sau un cântar; -numaratoare de pozitionare; -figuri geometrice de pozitionare; -figuri geometrice decupate, de diferite culori: patrat, dreptunghi, triunghi, cerc etc.; -planse reprezentând adunarea si scaderea cu 2 a numerelor pare de la 0 la 20; -planse cu modele de rezolvare a ecuatiilor; -planse reprezentând axe ale numerelor; -tabla magnetica; -corpuri geometrice: cub, paralelipiped, piramida, sfera, cilindru, con; -planse reprezentând doua castele construite folosind cât mai multe din corpurile geometrice studiate; -figuri geometrice care admit una sau mai multe axe de simetrie; -una sau doua planse cu figuri care au colorate câte o doime, o treime sau o patrime din întreaga figura; -o plansa cu tabla înmultirii vizibila din orice punct al clasei; -diferite obiecte care se pot compara în mod semnificativ din punct de vedere al lungimii lor (lungi si înguste); -rigla de lemn; -un metru de tâmplarie, un centimetru, un metru folosit pentru textile; -o foaie de calc pe care este desenata o retea de patrate vizibila din orice punct al clasei; -desene cu imagini sugerând temperaturi ridicate si scazute; -vase transparente de diferite marimi, pentru masurat capacitati; -mase de 1 kg, 500 grame, 250 grame; -plastilina; -termometru medical.   Pentru fiecare elev, sau pentru un grup de doi elevi: -betisoare; -patrate si discuri colorate (10 rosii, 10 verzi, 10 albastre); -cartonase decupate continând exercitii de înmultire si împartire; -cartonase decupate reprezentând figuri geometrice: patrat, dreptunghi, triunghi, cerc, pentagon, hexagon, octogon; -cuburi care se pot îmbina (ca la jocul "Lego", sau mai simple) construite din material plastic; -un ceas decupat, pe care se pot fixa limbile cu o pioneza; -bete de chibrit (fara gamalie); -balante; -numaratori de pozitionare; -figuri geometrice de pozitionare; -trusa de corpuri geometrice; -figuri geometrice pe care sunt puse în evidenta câte o doime, o treime, o patrime; -o foarfeca; -un metru de croitorie; -rigla gradata; -cuburi cu latura de 1 cm; -plastilina; -mulaje din hârtie sau carton ale monedelor si bancnotelor; -hârtie milimetrica; -cartoane decupate ce contin denumirile pentru zilele saptamânii si lunile anului.

Metodologia didactica a predarii problemelor de matematica Obiectivele unitatii de învatare În urma parcurgerii acestei unitati de învatare, studentii vor fi capabili: -sa aplice metodologia rezolvarii problemelor de matematica la clasele I-IV; -sa constientizeze valentele formative ale activitatilor de rezolvare si compunere de probleme, cu exemplificari; -sa aleaga din multitudinea cailor de rezolvare a unei probleme pe cea mai rapida si eleganta; -sa stabileasca raportul dintre îndrumarile date elevilor de catre institutor si activitatile creatoare ale acestora; -sa priveasca activitatea de compunere a problemelor ca importanta modalitate de cultivare si educare a creativitatii gândirii prescolarului si a scolarului mic.   Notiunea de problema matematica   Cuvântul problema îsi are originea în limba latina (problema) si a intrat în vocabularul românesc prin limba franceza (problème). Termenul de problema nu este suficient delimitat si precizat, având un continut larg si cuprinzând o gama larga de preocupari si actiuni din domenii diferite. Etimologic, în germana pro-ballein înseamna înaintea unei bariere, obstacol care sta în cale, ceea ce ar mai putea fi interpretat ca o dificultate teoretica sau practica a carei rezolvare nu se poate face prin aplicarea directa a unor cunostinte si metode cunoscute, ci este nevoie de investigare, tatonare, cautare. Etimologia greaca a cuvântului problema arata ca ea reprezinta o provocare la cautare, la descoperirea solutiei. Revenind la spatiul didactic, se considera drept problema orice dificultate teoretica sau practica, în care elevul pentru a-i gasi solutia, trebuie sa depuna o activitate proprie de cercetare, în care sa se conduca dupa anumite reguli si în urma careia sa dobândeasca noi cunostinte si experienta. Dupa Dictionarul Explicativ al Limbii Române, (DEX), cuvântul problema are urmatoarele definitii: Problema: “Chestiune care intra în sfera preocuparilor, a cercetarilor cuiva, obiect principal al preocuparilor cuiva; tema, materie”; Problema: “Chestiune importanta care constituie o sarcina, o preocupare (majora) si cere o solutionare (imediata)”; Problema: “Dificultate care trebuie rezolvata pentru a obtine un anumit rezultat; greutate, impas”; Problema: “Lucru greu de înteles, greu de rezolvat sau de explicat; mister, enigma”; si în sfârsit: Problema de matematica: “Chestiune în care, fiind date anumite ipoteze, se cere rezolvarea, prin calcule sau prin rationamente, asupra unor date.” Între probleme si exercitii se poate face distinctie, în general, în functie de prezenta sau absenta textului prin care se dau datele si legaturile între ele. Exercitiul contine datele, numerele cu care se opereaza si semnele operatiilor respective, elevul având sarcina de a efectua calculele dupa tehnici si metode cunoscute. Problema conduce, pentru rezolvarea ei, la o activitate de descoperire. Textul problemei indica datele, relatiile dintre date si necunoscuta si întrebarea problemei, care se refera la valoarea necunoscutei. Matematic vorbind, distinctia între exercitiu si problema nu trebuie facuta dupa forma exterioara a acestora, ci dupa natura rezolvarii. Trebuie însa facuta observatia ca un enunt poate fi o problema pentru un copil din clasa I, un exercitiu pentru cel din clasa a V-a si ceva perfect cunoscut pentru un matematician. Pe masura ce elevul îsi însuseste modalitati de rezolvare mai generale, pe masura ce creste experienta lui în rezolvarea problemelor, treptat, enunturi care constituiau pentru el probleme, devin simple exercitii.   Valentele formative ale activitatilor rezolutive Este unanim recunoscut faptul ca rezolvarea problemelor de matematica este una din cele mai sigure cai ce duce la dezvoltarea gândirii, imaginatiei, atentiei si spiritului de observatie al elevilor. Aceasta activitate pune la încercare în cel mai înalt grad capacitatile intelectuale ale elevilor, le solicita acestora toate disponibilitatile psihice, în special inteligenta, motiv pentru care, programa de matematica din ciclul primar acorda rezolvarii problemelor o importanta deosebita. Acesta este evidentiata de faptul ca unul dintre cele patru obiective cadru ale programei este centrat pe acest tip de activitate. Nu este vorba de a parcurge cât mai multe tipuri de probleme sau metode de rezolvare, ci despre a-i crea elevului situatii noi de învatare, la care sa raspunda cât mai adecvat, în urma unui demers de explorare si investigatie. Dar nu numai procesele de cunoastere sunt mobilizate în rezolvarea unei probleme, ci întreaga personalitate a celui ce rezolva problema, în toate coordonatele ei rationale, afective, volitive.   Problemele de matematica fiind strâns legate, adesea, prin însusi enuntul lor, de viata, de realitate, de practica, genereaza la elevi un simt al realitatii de tip matematic, formându-le deprinderea de a rezolva problemele practice pe care viata le scoate în calea lor. Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea constienta a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoastere, volitive, motivational-afective. Gândirea prin operatiile logice de analiza, sinteza, comparatie, abstractizare si generalizare este cel mai solicitat si antrenat proces cognitiv. Prin rezolvarea de probleme, elevii îsi formeaza priceperi si deprinderi de a analiza situatia data de problema, de a intui si descoperi calea prin care se obtine ceea ce se cere în problema. Rezolvarea problemelor contribuie astfel la cultivarea si dezvoltarea capacitatilor creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilitatii ei, a capacitatilor anticipativ-imaginative, la educarea perspicacitatii si spiritului de initiativa, la dezvoltarea încrederii în fortele proprii. Activitatea de rezolvare a problemelor de matematica contribuie la clasificarea, aprofundarea si fixarea cunostintelor teoretice învatate. De asemenea, predarea multora dintre problemele teoretice se face prin rezolvarea uneia sau mai multor probleme, subliniindu-se proprietatea, definitia sau regula ce urmeaza a fi explicate. Prin activitatea rezolutiva la matematica elevii îsi formeaza deprinderi eficiente de munca intelectuala, care vor influenta pozitiv si studiul altor discipline de învatamânt, îsi educa si cultiva calitatile. De asemenea, activitatile matematice de rezolvare si compunere a problemelor contribuie la îmbogatirea orizontului de cultura generala al elevilor prin folosirea în textul problemelor a unor cunostinte pe care nu le studiaza la alte discipline de învatamânt. Este cazul informatiilor legate de: distanta, viteza, timp, pret de cost, cantitate, dimensiune, masa, arie, durata unui fenomen, etc. Rezolvând sistematic probleme de orice tip, elevii îsi formeaza seturi de priceperi, deprinderi si atitudini pozitive, care le confera posibilitatea de a rezolva si a compune ei însisi, în mod independent, probleme. Problemele de matematica prin continutul lor, prin tehnicile de abordare în scopul gasirii solutiei, contribuie la cultivarea si educarea unor noi atitudini fata de munca, la formarea disciplinei constiente, la dezvoltarea spiritului de competitie cu sine însusi si cu altii, la dezvoltarea prietenei. Nu se pot omite nici efectele benefice ale activitatii de rezolvare a problemelor de matematica pe planul valorilor autoeducative. Prin enumerarea valentelor formative în personalitatea elevilor, pe care le genereaza activitatea de rezolvare si compunere a problemelor de matematica, se justifica de ce programele scolare acorda o atât de mare importanta acestei activitati scolare si de ce si institutorul trebuie sa-i acorde importanta cuvenita.   Etapele rezolvarii problemelor de matematicã În activitatea de rezolvare a unei probleme de matematica se parcurg mai multe etape. În fiecare etapa are loc un proces de reorganizare a datelor si de reformulare a problemei.   Aceste etape sunt: 1. Cunoasterea enuntului problemei 2. Întelegerea enuntului problemei. 3. Analiza problemei si întocmirea planului logic, cu efectuarea operatiilor corespunzatoare succesiunii judecatilor din planul logic. 4. Organizarea si redactarea întregii rezolvari a problemei. 5. Activitati suplimentare: - verificarea rezultatului; - scrierea rezolvarii sub forma de exercitiu; - gasirea altei cai sau metode de rezolvare; - generalizare; - compunere de probleme dupa o schema asemanatoare.   1. Cunoasterea enuntului problemei În aceasta etapa de început în rezolvarea oricarei probleme, rezolvitorul trebuie sa ia cunostinta cu datele problemei, cu legaturile existente între ele si bineînteles cu necunoscuta problemei. Dupa citirea textului problemei de catre institutor sau de catre elevi, se va repeta problema de mai multe ori, pâna la învatarea ei de catre toti elevii, scotându-se în evidenta anumite date si legaturile dintre ele, precum si întrebarea problemei. Se vor scrie pe tabla si pe caiete datele problemei.   2. Întelegerea enuntului problemei Enuntul problemei contine un minim necesar de informatii. Pentru ca elevul sa poata formula niste ipoteze si sa construiasca rationamentul rezolvarii problemei, este necesar sa cunoasca si sa înteleaga problema. Datele si conditia problemei reprezinta termenii de orientare a ideilor, a analizei si sintezei, precum si a generalizarilor ce au loc treptat, pe masura ce se înainteaza spre solutie. Întrebarea problemei este directia în care trebuie sa se orienteze formularea ipotezelor. Prin citirea textului problemei, prin ilustrarea cu imagini sau chiar cu actiuni când este cazul, enuntul problemei este înteles de catre elevi.   3. Analiza problemei si întocmirea planului logic Este etapa în care se elimina aspectele care nu au semnificatie matematica si se elaboreaza reprezentarea matematica a enuntului problemei. În aceasta etapa se construieste rationamentul prin care se rezolva problema. Prin exercitiile de analiza a datelor, a semnificatiei lor, a legaturilor dintre ele si a celor existente între date si necunoscute se ajunge, prin depasirea situatiilor concrete pe care le prezinta problema, la nivelul abstract care vizeaza relatiile dintre parte si întreg; viteza, distanta si timp; cantitate, pret, valoare; etc. Prin transpunerea problemei într-un desen, într-o imagine sau într-o schema, prin scrierea relatiilor dintre ele într-o coloana, se va evidentia esenta matematica a problemei, adica reprezentarea matematica a continutului ei. În momentul în care elevii au transpus problema în relatii matematice, prin efectuarea operatiilor corespunzatoare succesiunii din planul logic de rezolvare, prin constientizarea semnificatiei rezultatelor partiale care se obtin, solutia este descoperita.   4. Organizarea si redactarea întregii rezolvari a problemei Cunoscând metodele de rezolvare si calcul, se va trece în aceasta etapa la redactarea clara si într-o forma cât mai îngrijita, a întregii rezolvari a problemei.   5. Activitati suplimentare dupa rezolvarea problemei Aceasta etapa are o mare importanta în formarea abilitatilor, a priceperilor si deprinderilor de a rezolva probleme, deoarece aici intra verificarea solutiei problemei, gasirea si a altor metode de rezolvare, cu alegerea celor mai elegante. Este deci etapa prin care se realizeaza si autocontrolul asupra felului în care s-a însusit enuntul problemei, asupra rationamentului realizat si a demersului de rezolvare parcurs. La sfârsitul rezolvarii unei probleme, se indica categoria din care face parte problema, se fixeaza algoritmii ei de rezolvare, se transpune rezolvarea problemei într-un exercitiu sau, dupa caz, în fragmente de exercitiu. Prin rezolvarea de probleme asemanatoare, prin compunerea de probleme cu aceleasi date sau cu date schimbate, dar rezolvabile dupa acelasi exercitiu, institutorul descopera cu elevii schema generala de rezolvare a unei categorii de probleme. Este o cerinta care nu duce la schematizarea, la fixitatea sau rigiditatea gândirii, ci dimpotriva, la cultivarea si educarea creativitatii, la antrenarea permanenta a gândirii elevilor.    Metode pentru rezolvarea problemelor de aritmetica   Metodele aritmetice se clasifica în doua categorii: metode aritmetice fundamentale sau generale si metode aritmetice speciale sau particulare. I.) Metode aritmetice generale Metodele aritmetice generale se aplica într-o masura mai mare sau mai mica în rezolvarea tuturor problemelor. Utilizarea acestor metode se bazeaza cu deosebire pe operatiile de analiza si sinteza ale gândirii, motiv pentru care se numesc metoda analitica si metoda sintetica.   I1.) Metoda analitica A examina o problema prin metoda analitica înseamna a privi întâi problema în ansamblu, apoi, pornind de la întrebarea ei, a o descompune în problemele simple din care e alcatuita si a orândui aceste probleme simple într-o succesiune logica astfel încât rezolvarea lor sa contribuie în mod convergent la formularea raspunsului pe care îl cere întrebarea problemei date. Cu alte cuvinte, metoda analitica reprezinta calea de abordare a problemei, plecând de la cerinte spre date. Exemplu: Într-o întreprindere lucreaza doua echipe de strungari: prima cu 6 strungari, care strunjesc câte 18 piese pe zi, a doua cu 7 strungari care strunjesc câte 16 piese pe zi. Sa se stabileasca valoarea pieselor executate într-o zi de cele doua echipe, stiind ca o piesa este evaluata în medie la 48 lei.   Examinarea problemei: Pentru a afla valoarea totala a pieselor, cunoscând valoarea unitara, ar trebui sa se stie numarul total al pieselor strunjite de cele doua echipe. În acest scop este necesar sa se afle întâi numarul pieselor strunjite de prima echipa, apoi numarul de piese strunjite de a doua echipa. Numarul pieselor strunjite de o echipa se poate afla utilizând datele problemei, si anume înmultind numarul pieselor strunjite de un strungar cu numarul strungarilor din echipa. Schematic, examinarea problemei prin metoda analitica se înfatiseaza astfel: Detaliile stabilite analitic se sintetizeaza sub forma unui plan de rezolvare care cuprinde enuntarea problemelor simple în care s-a descompus problema data si indica succesiunea acestor probleme în procesul de efectuare a calculelor: Valoarea unei piese (48 lei) Valoarea totala a pieselor Numarul total de piese Numarul pieselor strunjite de echipa I Numarul pieselor strunjite de echipa II Numarul strungarilor din echipa I Numarul strungarilor din echipa II Numarul pieselor executate de un strungar Numarul pieselor executate de un strungar 1) Care este numarul pieselor strunjite de echipa I? 18 piese × 6 = 108 piese 2) Care este numarul pieselor strunjite de echipa a II-a? 16 piese × 7 = 112 piese 3) Care este numarul total de piese strunjite de cele doua echipe? 108 piese + 112 piese = 220 piese 4) Care este valoarea pieselor executate? 48 lei × 220 = 10 560 lei. I2.) Metoda sintetica A examina o problema prin metoda sintetica înseamna a orienta gândirea elevilor asupra datelor problemei, a grupa aceste date dupa relatiile dintre ele, astfel încât sa se formuleze cu aceste date toate problemele simple posibile si a aseza aceste probleme simple într-o succesiune logica astfel alcatuite încât sa se încheie cu acea problema simpla a carei întrebare coincide cu întrebarea problemei date. Pe scurt, metoda sintetica reprezinta calea de abordare a problemei, plecând de la date spre cerinte. Exemplu: Problema enuntata si studiata mai sus se examineaza prin metoda sintetica astfel: 1) Cunoscând numarul strungarilor din prima echipa si numarul pieselor strunjite de fiecare, se afla numarul pieselor executate de întreaga echipa. 2) Analog pentru echipa a II-a. 3) Daca se afla câte piese au fost strunjite de prima echipa si câte de a doua, atunci se poate afla numarul total de piese strunjite de cele doua echipe. 4) Cunoscând numarul total de piese si valoarea medie a unei piese, se poate afla valoarea lor totala. Schema examinarii problemei prin metoda sintetica este urmatoarea: În legatura cu cele doua metode generale de examinare a unei probleme, se mentioneaza faptul ca procesul analitic nu apare si nici nu se produce izolat de cel sintetic, întrucât cele doua operatii ale gândirii se gasesc într-o strânsa conexiune si interdependenta, ele conditionându-se Numarul strungarilor din echipa I Numarul strungarilor din echipa II Numarul pieselor executate de un strungar Numarul pieselor executate de un strungar Numarul pieselor strunjite de echipa I Numarul pieselor strunjite de echipa II Numarul total de piese Valoarea unei piese (48 lei) Valoarea totala a pieselor reciproc si realizându-se într-o unitate inseparabila. De aceea nu poate fi vorba de utilizarea în mod exclusiv a uneia sau alteia din aceste metode, în examinarea unei probleme intervenind ambele metode ca laturi separate ale procesului unitar de gândire, însa în anumite momente sau situatii una din ele devine dominanta. Astfel, descompunerea unei probleme compuse în problemele simple din care este alcatuita, constituie în esenta un proces de analiza, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un proces de,sinteza. Din aceste motive, cele doua metode apar adeseori sub o denumire unica: metoda analitico-sintetica.   În practica s-a demonstrat ca metoda sintetica este mai accesibila, dar nu solicita prea mult gândirea elevilor. Mai mult, se constata ca unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei si sunt tentati sa calculeze valori de marimi care nu sunt necesare în gasirea solutiei problemei. Metoda analitica pare mai dificila, dar solicita mai mult gândirea elevilor si folosind-o, îi ajuta pe copii sa priveasca problema în totalitatea ei, sa aiba mereu în atentie întrebarea problemei.   II.) Metode aritmetice speciale Metodele aritmetice speciale sunt mai variate si difera de la o categorie de probleme la alta, adoptându-se specificului acestora. Cele mai importante si mai frecvente sunt urmatoarele: metoda figurativa sau grafica, metoda comparatiei, metoda falsei ipoteze, metoda mersului invers. În rezolvarea problemelor nu este întotdeauna eficienta aplicarea unei singure metode, fiind necesara combinarea metodelor, în anumite etape ale rezolvarii, predominând una dintre ele. Alteori orientarea se face dupa felul cum au fost rezolvate problemele înrudite, procedând similar, adica aplicând metoda analogiei. De asemenea, în afara de metodele mentionate mai sus, exista si alte metode speciale aplicabile în rezolvarea unor anumite categorii de probleme, cum sunt problemele de: regula de trei simpla sau compusa, în rezolvarea carora se utilizeaza reducerea la unitate si metoda proportiilor, apoi problemele de împartire în parti proportionale, problemele cu procente, problemele de amestec si aliaj, problemele de miscare, problemele nonstandard, etc.   Rezolvarea principalelor categorii de probleme aritmetice O prima clasificare a problemelor conduce la doua categorii: probleme simple (cele rezolvabile printr-o singura operatie) si probleme compuse (cele rezolvabile prin cel putin doua operatii).   Rezolvarea problemelor simple Specific clasei I este primul tip de probleme, a caror rezolvare conduce la o adunare sau scadere din concentrele numerice învatate. Rezolvarea acestora reprezinta, în esenta, solutionarea unor situatii problematice reale, pe care copiii le întâlnesc sau le pot întâlni în viata, în realitatea înconjuratoare. Pe plan psihologic, rezolvarea unei probleme simple reprezinta un proces de analiza si sinteza în cea mai simpla forma. Problema trebuie sa cuprinda date (valori numerice si relatii între ele) si întrebarea problemei (ce se cere a fi aflat). La cea mai simpla analiza a întrebarii problemei se ajunge la date si la cea mai simpla sinteza a datelor se ajunge la întrebarea problemei. A rezolva în mod constient o problema simpla, înseamna a cunoaste bine punctul de plecare (datele problemei) si punctul la care trebuie sa se ajunga (întrebarea problemei), înseamna a stabili între acestea un drum rational, o relatie corecta, adica a alege operatia corespunzatoare, impusa de rezolvarea problemei. Predarea oricarui nou continut matematic trebuie sa se faca, de regula, pornind de la o situatie-problema care îl presupune. Si din acest motiv, abordarea problemelor trebuie sa înceapa suficient de devreme si sa fie suficient de frecventa pentru a sublinia (implicit, dar uneori si explicit) ideea ca matematica este impusa de realitatea înconjuratoare, pe care o reflecta si pe care o poate solutiona cantitativ.   În momentul în care elevii cunosc numerele naturale dintr-un anumit concentru si operatiile de adunare/scadere cu acestea, introducerea problemelor ofera copiilor posibilitatea aplicarii necesare si plauzibile a tehnicilor de calcul, capacitatea de a recunoaste si discrimina situatiile care implica o operatie sau alta, precum si exersarea unei activitati specific umane: gândirea. Stabilirea operatiei corespunzatoare constituie un proces de gândire dificil, fiind necesara precizarea cazurilor care determina o anumita operatie, acest lucru realizându-se în urma unei analize pe cât mai multe cazuri particulare Copiii întâmpina dificultati în rezolvarea problemelor simple, din pricina neîntelegerii relatiilor dintre date (valori numerice), text si întrebare. Valorile numerice sunt greu legate de continut si de sarcina propusa în problema si pentru ca numerele exercita asupra copiilor o anumita fascinatie, care îi face sa ignore continutul problemei. Un alt grup de dificultati apare din pricina limbajului matematic, de aceea, una dintre sarcinile importante ale institutorului este aceea de a învata pe copii sa traduca textul unei probleme în limbajul operatiilor aritmetice. Având în vedere caracterul intuitiv-concret al gândirii micului scolar, primele probleme ce se rezolva cu clasa vor fi prezentate într-o forma cât mai concreta, prin punere în scena, prin ilustrarea cu ajutorul materialului didactic si cu alte mijloace intuitive. Constientizarea elementelor componente ale problemei, ca si notiunile de: problema, rezolvarea problemei, raspunsul la întrebarea problemei le capata copiii cu ocazia rezolvarii problemelor simple, când se prezinta în fata lor probleme vii, probleme-actiune, fragmente autentice de viata. Scolarii mici trebuie mai întâi sa traiasca problema, ca sa învete sa o rezolve. În manualul clasei I, prezentarea problemelor se face gradat, trecând prin etapele: - probleme dupa imagini; - probleme cu imagini si text; - probleme cu text. Introducerea problemelor cu text este conditionata si de învatarea de catre elevi a citirii/ scrierii literelor si cuvintelor componente. Manualul sugereaza si modalitatea de redactare a rezolvarii unei probleme, urmând ca, în absenta unui text scris, institutorul sa-i obisnuiasca pe elevi sa scrie doar datele si întrebarea problemei. Dupa rezolvarea problemei, mentionarea explicita a raspunsului îi determina pe elevi sa constientizeze finalizarea actiunii, fapt ce va deveni vizibil si în caietele lor, unde acest raspuns va separa problema rezolvata de alte sarcini ulterioare de lucru (exercitii sau probleme). Desi rezolvarile de probleme simple par usoare, institutorul trebuie sa aduca în atentia copiilor toate genurile de probleme care se rezolva printr-o singura operatie aritmetica.   Problemele simple bazate pe adunare pot fi: -de aflare a sumei a doi termeni; -de aflare a unui numar mai mare cu un numar de unitati decât un numar dat; -probleme de genul cu atât mai mult. _ Problemele simple bazate pe scadere pot fi: -de aflare a restului; -de aflare a unui numar care sa aiba cu un numar de unitati mai putine decât un numar dat; -de aflare a unui termen atunci când se cunosc suma si celalalt termen al sumei; -problemele de genul cu atât mai putin.   Problemele simple bazate pe înmultire sunt, în general: -de repetare de un numar de ori a unui numar dat; -de aflare a produsului; -de aflare a unui numar care sa fie de un numar de ori mai mare decât un numar dat.   Problemele simple bazate pe împartire pot fi: -de împartire a unui numar dat în parti egale; -de împartire prin cuprindere a unui numar prin altul; -de aflare a unui numar care sa fie de un numar de ori mai mic decât un numar dat; -de aflare a unei parti într-un întreg; -de aflare a raportului dintre doua numere.     Rezolvarea problemelor compuse   Rezolvarea acestor probleme nu înseamna, în esenta, rezolvarea succesiva a unor problem simple. Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compusa constituie dificultatea principala într-o problema cu mai multe operatii, ci legatura dintre verigi, constituirea rationamentului. De aceea, este necesara o perioada de tranzitie de la rezolvarea problemelor simple (cu o operatie) la rezolvarea problemelor compuse (cu doua sau mai multe operatii). Se va porni astfel de la rezolvarea unor probleme alcatuite din succesiunea a doua probleme simple. În cadrul acestei activitati elevii realizeaza mersul rationamentului si învata sa elaboreze tactica si strategia rezolvarii prin elaborarea planului de rezolvare a problemei. Examinarea unei probleme compuse se face, de regula prin metoda analitica sau sintetica. Cele doua metode se pot folosi simultan sau poate sa predomine una sau alta, caz în care metoda care predomina îsi impune specificul asupra cailor care duc la gasirea solutiei. Atât o metoda, cât si cealalta constau în descompunerea problemei date în probleme simple care, prin rezolvare succesiva, duc la gasirea solutiei finale. Deosebirea dintre ele consta practic, în punctul de plecare al rationamentului. O data cu analiza logica a problemei se formuleaza si planul de rezolvare. Planul trebuie scris de institutor pe tabla si de elevi pe caietul lor, mai ales la rezolvarea primelor probleme, scopul fiind acela al formarii deprinderilor de a formula întrebari si pentru alte rezolvari de probleme. O atentie deosebita trebuie sa acorde institutorul problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare. Si aceasta pentru ca prin rezolvarea lor se cultiva mobilitatea gândirii, creativitatea , se formeaza simtul estetic al scolarului. Adesea elevii nu observa de la început existenta mai multor cai de rezolvare. Institutorului, prin tactul lui pedagogic, prin analiza întreprinsa cu clasa, prin întrebari ajutatoare, trebuie sa-i determine pe elevi sa se gândeasca si la alte modalitati de rezolvare.   Metode speciale de rezolvare a problemelor de matematica   Metoda figurativa sau grafica Metoda artitmetica, care pentru reprezentarea marimilor din problema si a relatiilor dintre ele utilizeaza elemente grafice sau desene si scheme se numeste metoda figurativa. În aplicarea acestei metode se poate face apel la orice categorie de elemente grafice sau combinatii ale acestora cu conditia ca ele sa fie adecvate naturii datelor problemei si specificului lor. Astfel, se pot întâlni: -desene care reprezinta actiunea problemei si partile ei componente (pentru clasele mici); -figuri geometrice diferite: segmentul de dreapta, triunghiul, dreptunghiul, patratul, cercul; -figurarea schematica a relatiilor matematice dintre datele problemei; -diverse semne conventionale, unele obisnuite, altele stabilite de comun acord cu elevii; -litere si combinatii de litere; -elemente grafice simple: puncte, linii, ovale, cerculete, etc. Metoda figurativa ajuta la formarea schemei problemei, la concentrarea asupra tuturor conditiilor problemei. În rezolvarea unei probleme care face apel la aceasta metoda, sprijinul se face pe rationament, folosind întelesul concret al operatiilor. Metoda figurativa este situata pe primul loc în ceea ca priveste utilitatea ei, datorita avantajelor pe care le prezinta. Astfel: -are caracter general, utilizându-se la orice categorii de probleme în care se preteaza figurarea si pe diferite trepte ale scolarizarii; -are caracter intuitiv, întelegerea relatiilor dintre datele problemei facându-se pe baza imaginilor vizuale, uneori intervenind actiunea directa, miscarea si transpunerea acesteia pe plan mintal; -prin dimensiunile elementelor figurative si prin proportiile dintre ele se creeaza variate modalitati de stabilire a relatiilor cantitative dintre diferitele valori ale marimilor, se sugereaza aceste relatii, se pun în evidenta.   Metoda comparatiei   Metoda comparatiei consta în a face ca una dintre cele doua marimi sa aiba aceeasi valoare si în acest mod problema se simplifica, devenind cu o singura necunoscuta. Într-o astfel de problema, asezarea datelor se face prin respectarea relatiilor stabilite între marimi si astfel încât comparatia dintre valorile aceleiasi marimi sa fie pusa în evidenta în mod direct, asezând valorile de acelasi fel unele sub altele. Procedeul aritmetic de rezolvare a unor astfel de probleme duce la eliminarea uneia dintre marimi prin reducere, adica prin adunare sau scadere. Daca valorile aceleiasi marimi sunt egale prin enuntul problemei, reducerea este imediata prin scaderea relatiilor respective. Daca din enuntul problemei nu rezulta valori egale, atunci apare necesitatea aducerii la acelasi termen de comparatie.   Metoda falsei ipoteze Problemele din aceasta categorie sunt foarte numeroase. Prin aceasta metoda poate fi rezolvata orice problema ale carei date sunt marimi proportionale.   Metoda falsei ipoteze este metoda aritmetica prin care rezolvarea unei probleme are loc pe baza unei presupuneri, a unei ipoteze, confruntând apoi situatia reala cu cea creata prin introducerea datelor ipotetice. Numele metodei se justifica prin faptul ca ipoteza care se face nu corespunde decât întâmplator cu rezultatul problemei. Ea se utilizeaza în toate cazurile în care, prin ipotezele care se fac, se poate ajunge la stabilirea relatiilor dintre datele problemei si deci la rezolvarea ei. De regula, se pleaca de la întrebarea problemei, în sensul ca asupra marimii care se cauta se face o presupunere complet arbitrara. Se reface apoi problema pe baza presupunerii facute. Deoarece marimile sunt proportionale, rezultatele obtinute pe baza presupunerii se translateaza în plus sau în minus, dupa cum presupunerea facuta este mai mica, respectiv mai mare decât rezultatul real. Refacând, asadar, problema, se ajunge la un rezultat care nu concorda cu cel real din problema. El este fie mai mare, fie mai mic decât acesta. În acest moment se compara rezultatul pe baza presupunerii, cu cel real din punct de vedere al câtului si se observa de câte ori s-a gresit când s-a facut presupunerea. Se obtine, asadar, un numar cu ajutorul caruia se corecteaza presupunerea facuta, în sensul ca se micsoreaza sau se mareste de acest numar de ori. Metoda are si unele variante de aplicare, dar, în principiu, ea ramâne cea descrisa mai sus. Problemele care se rezolva prin aceasta metoda se pot clasifica în doua categorii, în functie de numarul ipotezelor care sunt necesare, pentru orientarea rationamentului si determinarea rezultatelor: 1) Probleme de categoria I pentru rezolvarea carora este suficienta o singura ipoteza; 2) Probleme de categoria a II-a, pentru rezolvarea carora sunt necesare doua sau mai multe ipoteze succesive. 8.5.3.4. Metoda mersului invers Prin metoda mersului invers se rezolva aritmetic anumite probleme în care elementul necunoscut apare în faza de început a sirului de calcule care se impun. Aceasta metoda de rezolvare a problemelor de aritmetica se numeste a mersului invers, deoarece operatiile se reconstituie în sens invers actiunii problemei, adica de la sfârsit spre început, fiecarei operatii corespunzându-i inversa ei. Metoda mersului invers se aplica atât în rezolvarea exercitiilor numerice care contin necunoscuta, cât si în rezolvarea problemelor care se încadreaza în tipul respectiv, adica în care datele depind unele de altele succesiv, iar enuntul respectivei probleme trebuie urmarit de la sfârsit spre început si în fiecare etapa se face operatia inversa celei aparute în problema. Deci, nu numai mersul este invers, ci si operatiile care se fac pentru rezolvare sunt inverse celor din problema. Proba se face aplicând asupra numarului gasit operatiile indicate în enuntul problemei.   Regula de trei simpla   Regula de trei simpla reprezinta o schema de asezare a datelor si de utilizare a acestor date în orientarea si desfasurarea procesului de gândire care intervine în examinarea si rezolvarea unor probleme cu marimi proportionale. În problemele care se rezolva prin regula de trei simpla intervin doua marimi direct sau invers proportionale, fiecare marime cu câte o pereche de valori, una din aceste valori fiind necunoscuta. Prin urmare, în aceasta categorie de probleme se dau trei valori cu ajutorul carora se gaseste cea de-a patra valoare, fapt care justifica numele pe care îl poarta: regula de trei. Se considera marimile X, Y, cu perechile de valori x1, x2, respectiv y1, y2, corespunzatoare, în asa fel încât: valorii x1 Î X îi corespunde valoarea y1 Î Y valorii x2 Î X îi corespunde valoarea y2 Î Y una din cele 4 valori fiind necunoscuta. Daca marimile X, Y sunt direct proportionale, se poate scrie: proportii în care termenul necunoscut reprezinta cel de-al patrulea proportional si se poate afla ca atare. Daca marimile X, Y sunt invers proportionale, se poate scrie: Din cele de mai sus rezulta ca pentru rezolvarea problemelor prin regula de trei simpla este suficient sa se aseze datele conform acestei reguli, iar în rezolvare si calcul sa se utilizeze metoda proportiilor (aflarea celui de-al patrulea proportional). Dar metoda care se utilizeaza cu deosebire în rezolvarea problemelor prin regula de trei simpla este metoda reducerii la unitate. Rezolvarea problemelor prin mai multe cai, verificarea solutiei aflate si scrierea formulei numerice   În munca cu elevii, rezolvarea problemelor prin mai multe cai constituie o modalitate de dezvoltare a gândirii logice, creatoare. Aceasta activitate impulsioneaza elevii la cautarea unor solutii originale. Important este ca ei sa înteleaga în mod constient toate modalitatile de rezolvare, sa le explice si apoi sa le reproduca.   Verificarea (proba) solutiei aflate pentru o problema data este foarte importanta pentru realizarea scopului formativ, pentru dezvoltarea creativitatii gândirii elevilor. În general, proba se face pe doua cai principale: 1) înlocuind rezultatele aflate, în continutul problemei; în acest caz, elevul trebuie sa poata încadra rezultatele (numerele) aflate în enuntul problemei si sa poata verifica conditionarea lor astfel ca sa obtina datele (numerele) initiale; 2) rezolvând problema în doua sau mai multe moduri; în acest caz, elevul trebuie sa obtina acelasi rezultat prin toate caile de rezolvare, pentru a putea trage concluzia ca solutia problemei este buna. Acest procedeu este mai eficient din punct de vedere al antrenarii elevului la munca independenta, creatoare.   Complicarea problemei prin introducerea de noi date, sau prin modificarea întrebarii contribuie în mare masura la dezvoltarea flexibilitatii si creativitatii gândirii.   Formula numerica (sau literala) pentru rezolvarea unei probleme constituie un alt mijloc de stimulare a gândiri logice a elevilor, adesea folosit în activitatea de rezolvare a problemelor, este transpunerea rezolvarii unei probleme sub forma unui singur exercitiu, folosind datele problemei, sau înlocuindu-le cu litere, indiferent daca este sau nu încadrata într-o problema tipica. O asemenea activitate cu elevii este o munca de creatie, de gândire, de stabilire de legaturi logice, pentru a putea pune sub forma unui singur exercitiu, ceea ce de fapt se realizeaza în mai multe etape, prin exercitii distincte. Daca se înlocuiesc numerele din exercitiu (datele problemei) prin litere, atunci procesul devine complet prin generalizare. Elevii trebuie facuti sa înteleaga, ca în formula numerica a problemei se folosesc datele cunoscute ale acesteia, sau operatiile prin care s-au aflat necunoscutele, folosindu-se la nevoie parantezele rotunde, patrate sau acolade. În alcatuirea exercitiului trebuie sa se tina cont de ordinea operatiilor din probleme, de ordinul operatiilor care apar (ordinul I, ordinul II), ca si de proprietatile operatiilor (comutativitate, asociativitate). Rezolvarea exercitiului trebuie sa conduca la rezultatul problemei. În caz contrar, fie s-a gresit rezolvarea problemei, fie ca s-a alcatuit sau rezolvat gresit exercitiul. Câmpul de aplicabilitate al acestei activitati creatoare, este deschis aproape la orice lectie unde se rezolva probleme.   Activitatea de compunere a problemelor de catre elevi Compunerea problemelor de catre elevi ofera terenul cel mai fertil din domeniul activitatilor matematice pentru cultivarea si educarea creativitatii si a inventivitatii. Activitatea de rezolvare a exercitiilor si problemelor se întrepatrunde si se completeaza reciproc cu activitatea de compunere a problemelor. Rezolvarea unei probleme învatate ofera mai putin teren pentru creativitate decât rezolvarea unor probleme noi, care, la rândul ei, este depasita de activitatea de compunere a unor noi probleme. Creativitatea gândirii, miscarea ei libera, nu se poate obtine decât pe baza unor depinderi corect formate. În activitatea de rezolvare a problemelor, deprinderile si abilitatile se refera în special la analiza datelor, la capacitatea de a întelege întrebarea problemei si a orienta întreaga desfasurare a rationamentului în directia gasirii solutiei problemei. Prin compuneri de probleme, elevii sesizeaza legatura care exista între exercitii si probleme, deoarece în procesul formularii unei probleme, elevii au în minte si planul de rezolvare. Activitatea de compunere a problemelor prin munca independenta, în clasa si acasa, reprezinta un mijloc eficient de dezvoltare a spiritului de independenta si creativitate si începe imediat ce elevi au înteles conceputul de problema. Este o activitate complexa, elevul fiind obligat sa respecte cerinta propusa si în raport cu aceasta sa elaboreze textul al carui rationament sa conduca la rezolvarea primita. Criteriile care determina complexitatea acestui gen de activitate sunt aceleasi ca la activitatea rezolutiva: stapânirea tehnicilor de calcul, deprinderea de a realiza rationamente logice, vocabular bogat, capacitatea de a selecta din multitudinea de cunostinte dobândite, pe acelea care conduc la elaborarea textelor cu continut realist. Se pot compune si crea probleme în numeroase forme, într-o succesiune gradata:   1. Compunerea de probleme dupa obiecte concrete, tablouri si imagini Primele probleme create de elevi sunt asemanatoare cu cele ale institutorului rezolvate de ei în clasa, prin folosirea de obiecte. Se trece apoi la fraza semiconcreta, când se folosesc reprezentarile obiectelor si, în locul ghiozdanelor, creioanelor, etc., se folosesc jetoane cu acestea. Dupa ce elevii s-au obisnuit sa creeze probleme pe baza intuitiva, li se cere sa le alcatuiasca pe baza datelor scrise pe tabla. Se urmareste ca elevii sa înteleaga interdependenta dintre enunt si întrebare.   2. Compunerea unei probleme dupa modelul unei probleme rezolvate anterior 3. Completarea întrebarii unei probleme De la primele semne scrise se insista asupra separarii întrebarii de continut. În vederea formarii si dezvoltarii deprinderii de a întelege cele doua parti ale problemei: enuntul si întrebarea, s-au compus probleme din enuntul dat, fie când acestuia îi lipsea întrebarea, fie având întrebarea si lipsind continutul. La acelasi enunt pot fi puse doua sau mai multe întrebari. Separarea întrebarii de enunt si retinerea ei cu claritate este o secventa foarte importanta în rezolvarea problemelor. Elevul trebuie orientat spre finalitatea fireasca: aflarea raspunsului la întrebare. Formularea întrebarii este un pas înainte si presupune din partea elevilor o vedere analitica asupra întregii probleme. Se poate da apoi o problema la care întrebarea este gresita. Dupa ce se rezolva problema, se cere sa se schimbe enuntul problemei astfel încât sa fie buna întrebarea. 4. Compunerea problemelor dupa scheme sau dupa desene Compunerea problemelor dupa scheme simple si apoi mai complicate ofera posibilitatea elevilor de a-si forma deprinderi solide de formulare a problemelor. 5. Probleme de completare a datelor când se cunoaste întrebarea Nu toti elevii vor reusi sa completeze corect datele problemei. Cei mai multi îsi aleg numere formate din zeci si unitati, dar întâmpina greutati în rezolvare având calcule cu trecere peste ordin. Vor fi probabil si elevi care aleg la întâmplare datele problemei, fara sa gândeasca ce operatii au de facut cu ele. 6. Compunerea problemelor cu indicarea operatiilor matematice ce trebuie efectuate Se porneste de la compuneri de probleme dupa exercitii simple, formulate de elevi sub îndrumarea institutorului si apoi independent. Daca elevii stiu sa alcatuiasca corect si cu usurinta probleme dupa o singura operatie, li se poate cere apoi sa compuna probleme indiferent de numarul de operatii. Un accent deosebit trebuie pus pe formularea unor probleme compuse, care ridica probleme deosebite. Dupa ce elevii stapânesc bine compunerea problemelor dupa formule numerice, se va trece la compunerea lor dupa formule literale. Formulele literale dau posibilitatea elevului sa-si aleaga singur numerele si domeniul. 7. Compunerea de probleme dupa un plan stabilit În momentul în care elevii stiu sa rezolve corect si constient problemele compuse pe baza de plan, se poate da elevilor un plan de rezolvare, dupa care sa alcatuiasca o problema. Înainte de a formula problema, se analizeaza despre ce se vorbeste în problema, ce contin întrebarile, cedate numerice se folosesc. 8. Compunerea problemelor cu început dat 9. Compunerea de probleme cu marimi date, cu valori numerice date 10. Probleme cu date incomplete Unii elevi vor sesiza imediat lipsa unei date, altii însa îsi vor da seama de acest lucru numai când se vor apuca de lucru. 11. Probleme cu date suplimentare Aceste probleme solicita gândirea elevilor, dezvolta atentia si-i depisteaza pe cei care lucreaza mecanic, fara sa analizeze suficient datele problemei. 12. Compunerea de probleme cu corectarea continutului si modificarea datelor Elevii vor fi solicitati sa confrunte datele problemei si vor observa greselile sau incorectitudinea întrebarii. Ei pot corecta enuntul problemei în mai multe variante. 13. Probleme cu mai multe solutii si probleme fara solutie Viata, realitatea, demonstreaza ca nu toate situatiile - problema care se întâlnesc au o solutionare unica sau sunt unic determinate. Majoritatea admit mai multe solutii (conducând la alta problema: aceea a alegerii variantei optime de rezolvare, în functie de conditiile date), iar altele nu admit solutii. Cum matematica trebuie sa modeleze realitatea, este necesar a introduce si pentru elev astfel de probleme, cu solutii multiple sau fara solutie. Se ofera astfel multor elevi posibilitatea sa-si prezinte propria rezolvare (corecta), se obisnuiesc cu existenta unor astfel de probleme, sau a unor probleme de decizie (alegerea solutiei celei mai convenabile, dintr-un anumit punct de vedere). Dupa rezolvarea unei astfel de probleme, institutorul trebuie sa aiba o interventie centralizatoare, enumerând solutiile gasite (eventual ordonându-le dupa un anumit criteriu), sistematizându-le (pentru a oferi certitudinea ca nu au fost omise solutii), propunând alegerea celei mai bune solutii (în anumite conditii si dintr-un anumit punct de vedere), contribuind la elucidarea situatiei. În elaborarea textului unei probleme este necesar ca institutorul sa utilizeze date în concordanta cu realitatea, mijloace si procedee care sa ofere elevilor împrejurari de viata corespunzatoare, actiuni veridice, sa stabileasca între datele problemei relatii matematice corespunzatoare. În activitatea de compunere a problemelor trebuie sa se tina seama de posibilitatile elevilor, prin sarcini gradate, trecându-se treptat de la compunerea libera la cea îngradita de cerinte din ce în ce mai restrictive. Institutorul are sarcina sa conduca aceasta activitate prin indicatii clare, prin exemple sugestive, prin cerinte rationale, sa canalizeze gândirea si atentia elevilor prin asocieri din ce în ce mai putin întâmplatoare. În acelasi timp trebuie sa-i faca pe elevi sa aiba încredere în ei, sa le stimuleze eforturile intelectuale, sa le educe calitatile moral-volitive, sa le dezvolte interesul si sensibilitatea, sa fie receptivi la situatiile problematice cu continut matematic. Posibilitatile intelectuale ale elevilor permit rezolvarea unor probleme de dificultate, în masura în care ei dispun de o anumita experienta si de competente necesare activitatii de rezolvare a problemelor. Rezolvarea problemelor cu variante constituie un exercitiu de cultivare a flexibilitatii gândirii, cu conditia de a face din aceasta activitate un antrenament sistematic si permanent. Este de dorit ca periodic sa se faca investigatii în rândul elevilor pentru stabilirea nivelului lor de cunoastere, pentru constatarea gradului de competenta în rezolvarea si compunerea problemelor de matematica, pentru depistarea la timp a eventualelor ramâneri în urma la învatatura, pentru a asigura progresul fiecarui elev în parte. Se recomanda, de asemenea, ca atât compunerea problemelor, cât si rezolvarea acestora sa se faca si în situatii de joc didactic. Competitia generata de joc va contribui nu numai la activizarea intelectuala a copiilor, cât si la formarea personalitatii lor. S-ar putea gasi, crea si folosi o multime de forme si procedee, cum ar fi: -care echipa compune prima, corect si frumos, o problema dupa anumite cerinte; -o echipa sa formuleze continutul problemei si cealalta întrebarea, iar rezolvarea ei sa se faca de ambele echipe simultan; -sa se gaseasca de catre fiecare echipa cât mai multe întrebari la un continut dat, sau mai multe metode de rezolvare a unei probleme date sau compuse; -sa se elimine dintr-un enunt datele de prisos, sau sa se corecteze un enunt formulat intentionat gresit, etc. Este necesar ca în activitatea de compunere a problemelor, institutorul sa aiba permanent în atentie îmbunatatirea continua a exprimarii corecte a copiilor, atât din punct de vedere mathematic cât si gramatical, îmbogatirea vocabularului matematic, cresterea continua a volumului lor de cunostinte, de transfer si de folosire a acestora în practica. Compunerea de probleme la clasele I-IV poate constitui o premisa reala si eficienta pentru o viitoare munca de cercetare, pentru activitatea ulterioara de creatie si cu siguranta o modalitate sigura de sporire a rolului formativ al învatamântului matematic din ciclul primar, în strânsa corelatie cu celelalte discipline de învatamânt.

               Metologia didactica a predarii elementelor de geometrie                                    Obiectivele unitatii de învatare   În urma parcurgerii acestei unitati de învatare, studentii vor fi capabili: -sa aplice metodologia predarii-învatarii elementelor de geometrie la clasele I-IV; -sa promoveze unitatea dintre intuitie si logica în învatarea elementelor de geometrie; -sa creeze necesitatea psihologica a argumentarii afirmatiilor matematice cu continut geometric. -sa constientizeze particularitatile unei lectii vizând predarea-învatarea elementelor de geometrie.   Locul si importanta elementelor de geometrie în procesul de instruire si educare al scolarului mic   Elementele de geometrie reprezinta o punte ai carei piloni sunt sufletul si mintea elevului, iar drept capete, are natura cu simbolurile ei concrete si matematica cu simbolurile ei abstracte. Notiunile de geometrie capata o importanta majora datorita mai multor aspecte: -ajuta elevul sa înteleaga legile care domina lumea matematicii, în special, si lumea înconjuratoare, în general, deoarece elementele geometriei ne înconjoara înca din primii ani de viata; -capitolul referitor la notiunile de geometrie, îl premerge pe cel al formarii conceptului de numar natural. Aceasta din doua motive: geometria este usor adaptabila particularitatilor de vârsta ale prescolarului si de aceea se preda în gradinite în mod organizat; posibilitatea de a fi predata gradat, permite cadrului didactic sa foloseasca simple notiuni de geometrie, pe care le-a dobândit prescolarul, în formarea notiunilor abstracte legate de numerele naturale si operatiile cu acestea. Notiunile de geometrie devin astfel baza formarii tuturor celorlalte notiuni matematice, chiar daca nu apartin în mod special geometriei; -notiunile de geometrie pe care elevul le dobândeste în clase I-IV joaca un rol important în întelegerea, însusirea si aplicarea celorlalte notiuni dobândite mai departe, în clasele gimnaziale si chiar în liceu sau facultate; -multe din temele altor obiecte de învatamânt se bazeaza pe cunoasterea si utilizarea punctelor, liniilor, figurilor geometrice. De exemplu educatia plastica are teme legate de tehnica Origami si Tangram, tehnici care au la baza îndoirea figurilor geometrice din hârtie în vederea obtinerii unor jucarii, sau asamblarea unor figuri geometrice pentru a se realiza diferite figurine.   Alte teme fac referire la notiunile legate de punct si linie: „Linia- element de limbaj plastic”, “Punctul-element de limbaj plastic”. Deci notiunile geometrice asigura realizarea conexiunii cu alte domenii ale cunoasterii : geografie, biologie, educatie plastica, educatie fizica, etc. -notiunile de geometrie dezvolta procesele cognitive si pe cele reglatorii, înca din primii ani de viata; -notiunile de geometrie asigura cadrul dezvoltarii unor capacitati intelectuale specifice: a intuitiei geometrice, a rationamentului ipotetico-deductiv, precum si al celui inductiv-analogic. -notiunile de geometrie au o contributie valoroasa la dezvoltarea gândirii logice, a rationamentului, la formarea spiritului de observatie, la rafinarea operatiilor de analiza si sinteza vizând legaturile dintre proprietatile figurilor, orientate progresiv spre redescoperirea relatiilor intime în structura figurilor, la formarea conduitei rezolutive vizând constructia unor noi cai de rezolvare a problemelor sau de verificare a adevarurilor geometrice, precum si la stimularea placerii de a cerceta si de a descoperi prin forte proprii.   Obiective si continuturi ale învatarii elementelor de geometrie Predarea-învatarea elementelor de geometrie vizeaza realizarea urmatoarelor obiective: -cunoasterea intuitiva a unor notiuni de geometrie si utilizarea unor concepte specifice geometriei; -dezvoltarea capacitatilor de explorare/investigare a mediului înconjurator, în vederea formarii unor reprezentari si notiuni geometrice concrete precum si initierea în rezolvarea problemelor de geometrie cu un pronuntat caracter practic; -formarea si dezvoltarea capacitatii de a comunica, prin introducerea în limbajul activ al elevilor a unor termeni din geometrie; -dezvoltarea interesului si a motivatiei pentru studiul geometriei si aplicarea acesteia în contexte variate.   Obiectivul de referinta corespunzator capitolului de geometrie la clasa I este: recunoasterea formelor plane, sortarea si clasificarea obiectelor date sau a desenelor dupa criterii diverse.   Continuturile învatarii sunt: figuri geometrice: triunghi, patrat, dreptunghi, cerc.   Obiectivul de referinta corespunzator capitolului de geometrie la clasa a II-a este: recunoasterea formelor plane si spatiale, clasificarea figurilor geometrice sau a obiectelor dupa criterii variate.   Continuturile învatarii sunt: -forme plane: patrat, triunghi, dreptunghi, cerc; -interiorul si exteriorul unei figuri geometrice; -forme spatiale: cub, sfera, cilindru, con, cuboid (paralelipiped dreptunghic), fara terminologie.   Obiectivul de referinta corespunzator capitolului de geometrie la clasa a III-a este: recunoasterea si descrierea formelor plane si spatiale, clasificarea obiectelor si desenelor dupa criterii variate.   Continuturile învatarii sunt: -forme plane: patrat, triunghi, dreptunghi, cerc, poligon, punct, segment, linie dreapta, linie frânta, linie curba; -interiorul si exteriorul unei figuri geometrice; -observarea si descrierea intuitiva a obiectelor cu forme spatiale: cub, sfera, cilindru, con, cuboid (paralelipiped dreptunghic).   Obiectivul de referinta corespunzator capitolului de geometrie la clasa a IV-a este: observarea si descrierea proprietatilor simple ale formelor plane si spatiale si recunoasterea proprietatilor simple de simetrie ale unor desene.   Continuturile învatarii sunt: - drepte paralele si drepte perpendiculare; -figuri geometrice plane: -observarea si descrierea unor proprietati simple referitoare la laturi si unghiuri: triunghi, patrat, dreptunghi, romb, paralelogram, trapez; -figuri geometrice care admit axe de simetrie: patrat, dreptunghi, romb; -utilizarea proprietatilor figurilor plane în calculul perimetrului unor figuri geometrice plane; -forme spatiale: -observarea si descrierea unor proprietati simple referitoare la vârfuri, laturi, fete ale cubului, paralelipipedului dreptunghic (cuboid), piramidei; -desfasurarea cubului si a cuboidului si asamblarea unor desfasurari date.   Intuitiv si logic în învatarea geometriei   Geometria, spre deosebire de celelalte discipline matematice, ofera elevilor posibilitatea perceperii directe a obiectelor lumii reale sau a imaginilor care reprezinta aceste obiecte. Sistemul cunostintelor de geometrie din clasele I-IV se întemeiaza pe o serie de notiuni primare cum sunt: punctul si dreapta, care au o baza intuitiva, precum si pe un numar de adevaruri evidente (teoreme în geometria euclidiana), pe care intuitia si experienta le accepta fara demonstratie, accentul fiind pus pe tratarea problemelor aplicative, provenite din realitate. Tinând seama de faptul ca gândirea copilului din clasele primare e insuficient dezvoltata pentru a se ridica la abstractizari, si nu dispune de capacitatea de a formula rationamente complicate, în procesul însusirii cunostintelor de geometrie se utilizeaza preponderent metoda inductiva, completata progresiv cu rationament de tip analogic si deductiv, care consta în descoperirea adevarurilor pe baza rationamentului logic ipotetico-deductiv. Elevul trebuie sa vada el însusi, cunoasterea senzoriala trebuie sa fie dublata de cea rationala. Prin predarea si învatarea geometriei în ciclul primar, se urmareste ca elevii sa-si însuseasca cunostintele fundamentale pornind de la observarea obiectelor din realitatea cunoscuta si accesibila lor. Astfel, primele elemente de geometrie sunt selectate din realitatea înconjuratoare - prin observare directa, atenta a corpurilor materiale, dirijata de catre institutor – urmând ca acestea sa fie completate în treptele urmatoare de scolarizare. Prin activitatile de constructie, desen, pliere si masurare, institutorul va asigura implicarea tuturor organelor de simt în perceperea figurilor si crearea bazelor intuitive necesare cunoasterii lor stiintifice. Astfel, sub îndrumarile institutorului, elevii intuiesc în jurul lor forme, figuri si proprietati ale acestora, iar apoi ajutati si de unele modele geometrice (confectionate din carton, plastic, care redau imaginea realului), vor reprezenta prin desen figurile respective, pe baza unui proces de abstractizare care se gaseste în faza incipienta, la aceasta vârsta. Aceasta abstractizare trebuie împinsa dincolo de desen, institutorul va starui ca, în final, elevii sa fie capabili sa-si imagineze (reprezinte) figura fara a avea în fata corpul sau desenul si sa opereze cu figurile astfel imaginate. Cel mai bun mijloc de întelegere a unei proprietati este însa descoperirea ei. Notiunea geometrica astfel stabilita, se converteste în limbaj matematic.   Scopul tuturor achizitiilor geometrice ale elevilor din clasele I-IV trebuie sa fie pregatirea, prefigurarea abilitatilor specifice etapei gândirii formale. Aceasta presupune necesitatea pregatirii elevului pentru a descoperi perfectiunea rationamentului geometric. Un concept geometric nu se poate crea spontan, ele se formeaza în cursul unui proces psihic asupra caruia îsi pun amprenta imaginatia, creativitatea, puterea de generalizare si abstractizare. Studiul riguros al geometriei se abordeaza pentru prima data în clasa a VI-a, dar acesta trebuie sa porneasca de la ceea ce elevul cunoaste din clasele I-IV, de la modul în care el s-a familiarizat cu unele notiuni elementare de geometrie. Desenul detine un rol important în geometrie, astfel încât, de la primele clase constructia figurilor geometrice trebuie sa primeze în structura lectiilor cu continut geometric. Un element ajutator ce trebuie exploatat în sprijinul intuitiei este si culoarea, care îsi aduce aportul asupra stimularii memoriei vizuale si a captarii atentiei.   Trecerea de la lucrul cu obiecte concrete spre reprezentarea figurilor cu vergele, creioane sau betisoare, iar apoi spre desenul propriu-zis al figurii, se va face treptat, pentru a le da elevilor posibilitatea întelegerii acestor figuri. Desenul va fi mai întâi explicat pentru ca elevii sa înteleaga corespondenta existenta între fiecare segment trasat si modelul real prezentat. Constructia unei figuri geometrice are avantajul ca prezinta prin câteva linii forma figurilor, sugereaza relatii între elementele lor, pe baza carora elevii sunt pusi sa descopere alte proprietati, care, apoi, se pot verifica prin rationament. Pe masura dezvoltarii gândirii elevilor, institutorul îi va conduce pe acestia de la faza imaginilor vizuale spre abstractizari si generalizari. Notiunile de geometrie trebuie sa parcurga la scolarul mic drumul de la imaginea materializata, la imaginea concretizata prin desen si apoi la imaginea fixata prin limbaj. Pentru o învatare cât mai temeinica a cunostintelor de geometrie, în procesul de predareînvatare trebuie folosite materiale didactice si mijloace de învatamânt adecvate, care este indicat sa respecte: marimea, dimensiunea, aspectul estetic, sa fie o expresie fidela a ceea ce reprezinta si sa fie în concordanta cu particularitatile de vârsta ale elevilor. Materialele prezente în mediul clasei si nu numai din acest mediu, plansele reflectând concretizarea prin desen a notiunilor, desenele executate pe tabla, modelele confectionate din materiale rigide care materializeaza notiunea (set de segmente rigide, unghiuri cu laturi rigide, patrulatere cu laturi rigide etc.), instrumente de geometrie (rigla si echerul) si altele, dozate si utilizate rational, vor contribui la învatarea temeinica a cunostintelor de geometrie.   Metodologia predarii-învatarii elementelor de geometrie Tinând cont de stadialitatea vârstei elevilor din ciclul primar, se poate afirma ca succesul în dobândirea cunostintelor de geometrie depinde în mod semnificativ de institutor, de felul cum acesta reuseste sa conduca procesul predarii-învatarii si evaluarii, de felul cum sunt orientate elevii sa poata constientiza, descoperi si aplica prin transfer aceste cunostinte, priceperi si deprinderi. Reusita didactica a procesului predarii-învatarii elementelor de geometrie este influentata, chiar determinata în multele ei aspecte, de respectarea urmatoarelor cerinte metodice analizate în continuare.   Învatarea notiunilor de geometrie în special prin procese intuitive si formarea lor initialã pe cale inductiva Aceasta cerinta impune ca studiul elementelor de geometrie sa înceapa cu cercetarea directa (vaz, pipait, manipulare) a mai multor obiecte din lumea reala, situate în diverse pozitii în spatiul înconjurator, în vederea sesizarii (descoperirii) acelei (acelor) caracteristici comune care contureaza imaginea geometrica materializata. Imaginea geometrica materializata în obiecte este apoi transpusa în imagine, concretizata prin desen, ceea ce reprezinta o detasare a imaginii geometrice de obiectele care o genereaza. Concretizarea prin desen a imaginii geometrice se realizeaza la tabla cu instrumentele de geometrie, iar elevii o executa în caiete, tot cu ajutorul instrumentelor. Este foarte important ca aceasta concretizare prin desen sa se faca în cât mai multe pozitii pentru a nu crea limite în recunoasterea ei.   Aceste concretizari pot fi completate cu prezentarea unor planse întocmite special pentru aceasta. Imaginea geometrica concretizata prin desen este apoi proiectata în limbajul geometriei si apare astfel notiunea geometrica. Pe baza limbajului geometric, si prin apel la experienta perceptiva a elevilor, institutorul va contura imaginea geometrica a notiunii considerate si în alte situatii din realitatea exterioara clasei, altele decât cele cercetate de elevi. Se va observa, de asemenea, ca, pe masura ce sunt dobândite elementele fundamentale ale geometriei (punctul, dreapta), elevul va urca spre stadiul întelegerii si asimilarii unor figure geometrice mai complicate (poligoane: dreptunghiul, patratul, trapezul, triunghiul). Alaturi de procesele intuitive (perceperea vizuala si tactila a modelelor materiale), respectiv concretizate de desen, predarea-învatarea presupune si actiuni de masurare efectiva a cestora, de comparare a rezultatelor, decupari de figuri, descompuneri ale figurii, prin figuri-componente ce le implica etc. Explicatiile date de institutor referitor la asezarea instrumentelor si la pozitia din care trebuie facuta citirea rezultatului masurarii si eventualele reluari ale procesului de masurare, cu admiterea unor aproximari (la mm, în foaia de caiet), vor convinge elevii asupra valorii concluziilor obtinute de ei în lectie pe baza figurilor studiate. Cu privire la instrumentele de geometrie (rigla si echerul), trebuie avuta în vedere necesitatea ca elevii sa-si formeze deprinderi de folosire corecta si rapida a acestora. Trasarea de drepte, segmente, unghiuri, drepte perpendiculare, drepte paralele, dreptunghiuri, patrate, romburi etc., în diverse pozitii în plan (tabla, foaia de hârtie) si realizarea de masurari trebuie sa fie executate cu precizie si rapid. Referitor la desen, trebuie sa se tina cont de necesitatea efectuarii lui numai cu instrumentele, atât la tabla, cât si în caiete. Acuratetea desenului este o cerinta importanta, la care se adauga elementele de expresivitate, adica folosirea cretei colorate, trasari discontinue etc., pentru a pune în evidenta anumite parti ale figurii care prezinta interes în planul întelegerii notiunii geometrice. În utilizarea materialului didactic se impun atentiei câteva conditii, pe care trebuie sa le îndeplineasca atât modelul confectionat, cât si modul, în care este folosit de institutor si elevi: -materialul confectionat va avea dimensiuni suficient de mari pentru a fi vazut cu claritate din orice punct al clasei, precum si o constructie clara, satisfacând conditiile estetice; -materialul didactic trebuie sa fie expresia fidela a ceea ce trebuie sa reprezinte, sa contribuie la usurarea transpunerii în desen a figurii geometrice studiate, a elementelor sale si a relatiilor ce exista între ele (de marime, de paralelism, de perpendicularitate etc.); -materialul didactic trebuie sa se adreseze elevilor respectând însa particularitatile lor de vârsta; cu cât acestia sunt mai mici se impune ca el sa fie mai atractiv, dar simplu, amanuntele fara interes stiintific sa nu intre în câmpul atentiei elevilor, ramânând elemente ale fondului perceptiv. Referitor la folosirea materialului didactic se mai impun si alte câteva observatii: -o insuficienta valorificare a acestuia duce la însusirea formala a cunostintelor, influentând negativ procesul formarii reprezentarilor spatiale; -o folosire în exces a acestuia duce la o saturatie perceptiva, la repetare de observatii cu amplificari nefiresti, uneori chiar la observatii inutile, ceea ce ar putea abate atentia elevilor de la scopul observatiilor si intuitilor, afectând modul de utilizare a timpului, producând greutati în realizarea generalizarilor, a însasi imaginii geometrice.   Predarea-învatarea cunostintelor geometrice în spiritul rigurozitatii geometriei   Desi suportul de baza al predarii-învatarii elementelor de geometrie în clasele I-IV este cel intuitiv, totusi sistemul cunostintelor de geometrie asimilate de elevi trebuie sa corespunda rigurozitatii geometriei. Întâi, pentru ca ele trebuie sa reprezinte elemente corecte ale cunoasterii matematice, servind elevului în orientarea si rezolvarea problemelor de adaptare în spatial înconjurator. În al doilea rând, pentru ca toate aceste cunostinte geometrice vor sta la baza continuitatii studiului geometriei în clasele urmatoare, servind treptat la formarea temeinica a conceptelor geometriei. Intuirea punctului poate începe cu faza de concretizare prin desen, ca fiind urma lasata pe hârtie de vârful creionului bine ascutit (vârful pixului sau al penitei stiloului) asezat sa se sprijine în vârf, sau pe tabla de vârful cretei. De aici, copilul va întelege ca dreapta concretizata prin desen este formata din punctele, pe care vârful creionului (cretei etc.), sprijinit pe rigla si aflat si miscare le lasa pe hârtie (tabla). El va mai întelege ca segmentul concretizat prin desen este format din puncte, iar extremitatile lui sunt primul si ultimul punct al concretizarii. Limbajul geometric este definit prin doua proprietati simple si anume: corectitudinea si consecventa folosirii lui. În acest sens, institutorul trebuie sa utilizeze corect limbajul simbolic, nu va utiliza notatii specifice, cu exceptia notarii prin litere a segmentelor, vârfurilor unui polygon (notatia unghiului prin trei litere este în afara programei).   Functionalitatea elementelor de geometrie O cerinta de baza a activitatii didactice în predarea-învatarea elementelor de geometrie o constituie necesitatea de a sensibiliza gândirea elevilor spre acele cunostinte si abilitati geometrice care sunt functionale, adica spre acele cunostinte ce pot fi aplicate si transferate eficient în orice situatie de mediu (teoretica sau practica). În aceasta ordine de idei, functionalitatea cunostintelor, deprinderilor si priceperilor geometrice trebuie sa determine la elevul din clasele I-IV comportamente corespunzatoare, generate de: necesitatea cunoasterii spatialitatii proxime sub raportul formei si marimii; orientarea în spatiul ambiant si reprezentarea acestui spatiu; alegerea drumului celui mai convenabil în deplasarea reala; rezolvarea corecta a problemelor de geometrie puse de institutor, carte, culegeri sau de multiplele situatii reale (efectuarea de masuratori, calcule de lungimi, perimetre, arii etc.). Institutorul trebuie sa retina ca: -abilitatea practica a elevilor de a putea sa rezolve probleme se capata prin exercitiu, prin studiu pe modele reale sau create, printr-o activitate îndrumata, printr-o activitate de grup si, în mod obligatoriu, printr-o activitate personala; -activitatea rezolutiva asigura si consolidarea cunostintelor de geometrie, realizând deschideri în planul motivatiilor favorabile continuarii studiului, dezvoltarii pe mai departe a rafinamentului gândirii geometrice.   Formarea conceptelor cu continut geometric   Etapele, pe care trebuie sa le aiba în vedere institutorul în formarea unei notiuni geometrice sunt urmatoarele: -intuirea obiectelor lumii reale, care evidentiaza notiunea cu dirijarea atentiei elevilor catre ceea ce se urmareste sa fie observat; -observarea proprietatilor caracteristice evidentiate de obiectele intuite; -compararea si analizarea proprietatilor pe un material didactic care materializeaza notiunea; -reprezentarea prin desen a notiunii materializate de obiecte si materialul didactic; -formularea definitiei, prin precizarea genului proxim si a diferentei specifice, acolo unde este posibil, sau prin stabilirea proprietatilor caracteristice care determina sfera notiunii si proiectarea acesteia în limbajul geometriei; -identificarea notiunii si în alte pozitii, situatii corespunzatoare realitatii; -construirea materializata a notiunii folosind carton, hârtie, betisoare, etc; -clasificarea figurilor care fac parte din aceeasi categorie; -utilizarea notiunii în rezolvarea problemelor specifice si transferul ei în situatii geometrice noi. Este de mentionat ca unele notiuni geometrice impun parcurgerea tuturor acestor faze, pe când altele nu; unele notiuni sunt realizabile într-o lectie, pe când altele într-un sir de lectii. Adevaratul proces de formare a notiunilor geometrice este unul de durata si nu trebuie confundat cu procesul învatarii de notiuni.

Obiectivele unitatii de învatare   În urma parcurgerii acestei unitati de învatare, studentii vor fi capabili: -sa aplice metodologia predarii-învatarii marimilor si a unitatilor de masura pentru marimi la clasele I-IV; -sa cunoasca specificul introducerii marimilor si a unitatilor de masura pentru marimi, la clasa I; -sa constientizeze particularitatile unei lectii vizând predarea-învatarea marimilor si a unitatilor de masura pentru marimi, la clasele II-IV.    Marime. Masurarea unei marimi. Unitati de masura. Importanta studierii lor În clasele I-IV, studiul marimilor si al unitatilor de masura reprezinta o interfata între matematica si viata de zi cu zi. Pe baza observatiilor si a reprezentarilor intuitive, elevii fac cunostinta cu unele notiuni de baza despre marimi si unitati de masura de larga utilizare, strict necesare omului. Cunoasterea unitatilor de masura, formarea capacitatii de a le utiliza cu usurinta si corect, dezvolta rigurozitatea în rationament a elevilor, precizia si exactitatea. Operatiile cu unitatile de masura si transformarile lor duc simultan si la dezvoltarea gândirii active si operationale.   Notiunea de marime, ce apare în sistemul predarii-învatarii matematicii în ciclul primar este socotita ca si cea de multime o notiune primara, întelegerea ei facându-se pe baza de exemple. Marimile abordate începând cu clasa I sunt: lungimea, volumul (capacitatea vaselor), masa, timpul si valoarea.   A masura o marime oarecare, înseamna a compara aceasta marime cu o alta, luata ca unitate de masura. Prin operatia de masurare se stabileste un raport numeric între marimea de masurat si unitatea de masura considerata. De exemplu a masura masa unui obiect înseamna a o compara cu masa unui alt obiect, pe care îl vom considera drept unitate de masura. Elevii trebuie sa fie condusi sa simta necesitatea compararii marimilor si introducerii unitatilor de masura. Astfel, pentru a putea executa masurarile, elevii vor trebui învatati sa înteleaga conceptul de unitate de masura si cum sa foloseasca instrumentele de masura. Elevii vor întelege ca masurarile pe care le executa sunt asociate cu compararile pe care încearca sa le faca. Astfel, pusi în fata situatiei-problema de a decide în care dintre doua vase prezentate este un volum mai mare de apa, elevii vor încerca diverse rezolvari. Vor compara folosind o ceasca, un pahar, un vas de dimensiuni mai mici, stabilind astfel mai multe rezultate ale masurarii. Pe aceasta baza vor întelege cu mai multa usurinta necesitatea existentei unei unitati de masura standard si anume în cazul de fata litrul (unitatea principala cu care se masoara capacitatea vaselor). Întelegerea masurarii si a unitatilor de masura nu implica întotdeauna introducerea imediata a unitatilor standard. Institutorul trebuie sa utilizeze unitatile nestandard (de exemplu: palma, creion etc.). Dupa ce se exerseaza masurarea unei marimi cu o unitate nestandard, este important sa se dea câteva date istorice legate de istoria masurarilor, la noi si în alte tari, din care sa reiasa ca si în procesul intensificarii schimburilor economice si stiintifice a rezultat ca o necessitate unificarea unitatilor de masura.   O problema importanta în vederea succesului interactionarii copilului cu mediul este aceea a estimarii dimensiunilor unui obiect sau fenomen (estimarea lungimii unui obiect sau a unui drum, a capacitatii unui vas, a masei unui corp, a duratei desfasurarii unui eveniment, etc.). Este necesar ca estimarile facute de elevi sa fie verificate prin masurare directa pentru ca eroarea de apreciere sa scada. În acest scop, trebuie facuta si o conectare la realitatea înconjuratoare, solicitarile trebuind sa vizeze marimi si dimensiuni ale unor obiecte, distante, fenomene pe care elevii le întâlnesc frecvent în viata de zi cu zi.   Obiective si continuturi ale predarii-învatarii marimilor si unitatilor de masura ale acestora   Predarea-învatarea marimilor si unitatilor de masura ale acestora vizeaza realizarea urmatoarelor obiective: -cunoasterea intuitiva a notiunii de marime prin prezentarea marimilor des utilizate: lungime, volum, masa, timp; -dezvoltarea motivatiei la elevi pentru a realiza necesitatea introducerii unitatilor de masura nestandard si apoi standard pentru o marime considerata; -întelegerea masurarii ca o activitate de determinare a numarului care arata de câte ori se cuprinde etalonul în dimensiunea ce trebuie masurata; -formarea deprinderii de a masura, a alege si a utiliza unele unitati de masura nestandard si de a cunoaste unitatile principale pentru marimea studiata; -formarea si dezvoltarea capacitatii de a cunoaste si a utiliza instrumentele de masura; -formarea capacitatii de a consemna, compara si interpreta rezultatele masurarilor; -formarea capacitatii de a aprecia corect diversele marimi din mediul ambiant; -formarea deprinderii de a opera cu masurile a doua obiecte de acelasi fel, atât prin actiune directa, cât si prin calcul;   Drept obiective specifice pentru clasele a III-a si a IV-a se adauga, la cele de mai sus, urmatoarele: -dezvoltarea motivatiei la elevi pentru a realiza necesitatea introducerii multiplilor si submultiplilor unitatilor principale de masura; -cunoasterea multiplilor si submultiplilor unitatilor principale de masura ale marimilor studiate; -formarea deprinderii de a cunoaste si a utiliza instrumentele de masura specifice acestora; -formarea capacitatii de a masura utilizând multiplii si submultiplii unitatilor de masura ale marimilor studiate; -formarea deprinderii de a transforma unitatile de masura folosind multiplii si submultiplii; -formarea capacitatii de a aplica în probleme cunostintele dobândite despre unitatile de masura.   Obiectivele de referinta corespunzatoare capitolului vizând marimile la clasa I solicita ca elevii sa fie capabili: -sa masoare dimensiunile, capacitatea sau masa unor obiecte, folosind unitati de masura nestandard aflate la îndemâna copiilor ; -sa recunoasca orele fixe pe ceas.       Continuturile învatarii sunt: -masurari cu unitati nestandard: (palma, creion, bile, cuburi, etc.) pentru lungime, capacitate, masa; -masurarea timpului; recunoasterea orelor fixe pe ceas; unitati de masura: ora, ziua, saptamâna, luna. Obiectivele de referinta corespunzatoare capitolului vizând marimile la clasa a II-a solicita ca elevii sa fie capabili: -sa masoare si sa compare lungimea, capacitatea sau masa unor obiecte folosind unitati de masura nestandard adecvate, precum si urmatoarele unitati de masura standard: metrul, litrul; -sa utilizeze unitati de masura pentru timp si unitati monetare.   Continuturile învatarii sunt: -masurari folosind etaloane neconventionale; -unitati de masura pentru lungime (metrul), capacitate (litrul), masa (kilogramul), timp (ora, minutul, ziua, saptamâna, luna), monede; -utilizarea instrumentelor de masura adecvate: metrul, rigla gradata, cântarul, balanta.   Obiectivul de referinta corespunzator capitolului vizând marimile la clasa a III-a solicita ca elevii sa fie capabili sa utilizeze instrumente si unitatile de masura standard si nestandard pentru lungime, capacitate, masa, timp si unitatile monetare în situatii variate.   Continuturile învatarii: -masurari folosind etaloane neconventionale; -unitati de masura pentru lungime: metrul, multiplii, submultiplii(fara transformari); unitati de masura pentru capacitate: litrul, multiplii, submultiplii (fara transformari); unitati de masura pentru masa: kilogramul, multiplii, submultiplii (fara transformari); unitati de masura pentru timp: ora, minutul, ziua, saptamâna, luna, anul; monede si bancnote, inclusive cele europene; -utilizarea instrumentelor de masura adecvate: metrul, rigla gradata, cântarul, balanta.   Obiectivul de referinta corespunzator capitolului vizând marimile la clasa a IV-a solicita ca elevii sa fie capabili sa utilizeze instrumente si unitatile de masura standard si nestandard pentru lungime, capacitate, masa, suprafata, timp si unitatile monetare în situatii variate.   Continuturile învatarii sunt: -masurari folosind etaloane conventionale: utilizarea instrumentelor de masura adecvate: metrul, rigla gradata, cântar, balanta, ceas; -unitati de masura pentru lungime: metrul, multiplii, submultiplii, transformari prin înmultire si împartire cu 10, 100, 1000; -unitati de masura pentru capacitate: litrul, multiplii, submultiplii, transformari prin înmultire si împartire cu 10, 100, 1000; -unitati de masura pentru masa: kilogramul, multiplii, submultiplii, transformari prin înmultire si împartire cu 10, 100, 1000; -unitati de masura pentru timp: ora, minutul, secunda, ziua, saptamâna, luna, anul, deceniul, secolul, mileniul; monede si bancnote.     „Firul rosu” al predarii-învatarii unitatilor de masura pentru marimi la clasele I-IV   Caracteristici generale ale predarii-învatarii unitatilor de masura -predarea este ciclica; -se porneste de la unitati de masura nestandard catre cele standard; -predarea învatarea oricarei unitati de masura are un pronuntat caracter intuitiv si participativ; -se porneste de la propria experienta de viata a copiilor legata de marimi si masura; -prin masuratori nestandard se ajunge la ideea necesitatii masurarii cu unitati standard.   LUNGIMEA -masurarea lungimii, latimii, înaltimii cu unitati nestandard: mâna, cotul, creionul, pasul, guma etc.; -aparitia notiunilor antagonice: mare-mic, înalt-scund, lung-lat, gros-subtire, stabilite prin comparare; -sublinierea necesitatii aparitiei si folosirii unitatii de masura standard- metrul, notatia folosita; -utilizarea unor instrumente de masura potrivite pentru masurarea lungimii: rigla, centimetrul de croitorie, metrul liniar, metrul tâmplarului, ruleta; -exersarea capacitatii de masurare pornind de la obiectele din clasa, acasa si afara (în practica institutorul alege acele lungimi ce pot fi exprimabile în numerele naturale pe care elevii le cunosc la acel moment); -constientizarea asupra necesitatii introducerii multiplilor si submultiplilor metrului pentru exprimarea mai comoda a lungimilor mai mari/mai mici, notatii folosite; -asocierea multiplilor cu marirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori si a submultiplilor cu micsorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori (utilizarea “scarii”); -formarea deprinderilor de efectuare rapida si precisa a masuratorilor utilizând si multipli si submultipli ai metrului; -transformari dintr-o unitate de masura în alta unitate de masura; -rezolvari de probleme .   CAPACITATEA -compararea si sortarea vaselor prin masurare directa; -compararea vaselor de aceeasi capacitate si forma diferita; -diferentierea: mult-putin; -masurarea capacitatii unui vas cu unitati nestandard; -sublinierea necesitatii introducerii unitatii standard pentru capacitatea vaselor- litrul, notatia folosita; -constientizarea asupra necesitatii introducerii multiplilor si submultiplilor litrului pentru exprimarea mai comoda a capacitatii vaselor mai mari/mai mici, notatii folosite; -asocierea multiplilor cu marirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori si a submultiplilor cu micsorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori (utilizarea “scarii”); -utilizarea unor instrumente de masura potrivite pentru masurarea capacitatii, întâlnite în practica; -formarea deprinderilor de efectuare rapida si precisa a masuratorilor utilizând si multipli si submultipli ai litrului; -transformari dintr-o unitate de masura în alta unitate de masura; -rezolvari de probleme.   MASA -compararea prin mânuire directa, aparitia notiunilor: mai usor-mai greu, tot atât de greu; -folosirea balantei cu brate egale în stabilirea relatiei dintre masele obiectelor; -compararea, sortarea si gruparea obiectelor cu aceeasi masa; -conservarea masei, folosind un obiect care poate fi descompus în parti; -utilizarea unitatilor de masura nestandard în masurarea masei unor corpuri; -sublinierea necesitatii introducerii unitatii standard pentru masa- kilogramul, notatia folosita; -utilizarea unor instrumente de masura potrivite pentru masurarea masei: cântarul de bucatarie, de baie, de la piata, balanta, cântarul electronic, cântarul cu resort, etc.; -exercitii practice de masurare; -constientizarea asupra necesitatii introducerii multiplilor si submultiplilor kilogramului pentru exprimarea mai comoda a maselor mai mari/mai mici, notatii folosite; -asocierea multiplilor cu marirea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori si a submultiplilor cu micsorarea de 10 ori, 100 de ori, 1 000 de ori (utilizarea “scarii”); -formarea deprinderilor de efectuare rapida si precisa a masuratorilor utilizând si multipli si submultipli ai kilogramului; -transformari dintr-o unitate de masura în alta unitate de masura; -rezolvari de probleme.   TIMPUL -predarea-învatarea marimii “timp” si a unitatilor de masura se face în strânsa legatura cu actiunile, fenomenele si evenimentele periodice cunoscute de elevi; -se începe cu cele mai cunoscute de elev: ora, ziua, saptamâna ,luna, anul masurate cu ceasul si calendarul; -timpul este ciclic si se întelege studiind programul de activitati zilnice ale elevului, ora la care face acea actiune; -saptamâna se constientizeaza prin activitatile scolare si de acasa; -luna ca unitate mai mare decât ziua si saptamâna, se prezinta printr-un proces comparativ de apreciere a activitatilor desfasurate într-o saptamâna si într-o luna; -denumirea fiecarei luni (si anotimp) se asociaza cu ordinea în an, din data scrisa zilnic pe tabla; -notiunea de an -ca intervalul dintre zilele aniversare, dintre o primavara si alta; -zilele lunilor (30/31/29/28) se pot învata folosind proeminentele pumnilor; -deceniul, secolul, mileniul; -unitatea de masura standard- secunda, notatia folosita; -multipli si submultipli, notatii folosite; -utilizarea unor instrumente de masura potrivite pentru masurarea timpului: calendarul, ceasul de mâna, de perete, pendula, orologiul, cronometrul, ceasul electronic, clepsidra, etc.; -transformari dintr-o unitate de masura în alta unitate de masura; -rezolvari de probleme. Referitor la concretizarea si aplicarea practica a cunostintelor despre timp se vor prezenta în continuare câteva actiuni sau observatii ce pot fi întreprinse: -confectionarea unui cadran de ceas; -întocmirea calendarului pe o saptamâna care sa cuprinda denumirile zilelor si datele respective, sau pe o luna, ori pe mai multe luni; -întocmirea calendarului pe un an sub forma de banda a timpului; -notarea cu consecventa a datei; -cunoasterea, notarea de catre elev a datei de nastere, precum si a datelor de nastere ale membrilor din familie; -exprimarea vârstei lor si a prietenilor, a parintilor etc.; -masurarea si exprimarea în unitati corespunzatoare a timpului necesar pentru a parcurge anumite distante: de acasa la scoala, de acasa pâna la cel mai apropiat magazin alimentar etc.; -cunoasterea vârstei pe care o pot atinge unele animale salbatice, animale domestice; -durata vietii copacilor si pomilor fructiferi etc.; -tinerea evidentei în unitati de timp a activitatii pe care o desfasoara elevul într-o anumita perioada: ora desteptarii, ora plecarii la scoala, timpul petrecut la scoala etc.; -stabilirea unui regim rational de munca si odihna cu precizarea în unitati de timp a activitatilor programate; -realizarea interdisciplinaritatii matematica-comunicare (notarea în unitati de timp a datelor biografice ale unor scriitori etc.); -realizarea interdisciplinaritatii matematica-istorie; -evidentierea unor evenimente petrecute în viata colectivului; -formularea si rezolvarea unor probleme aplicative legate de începutul, durata sau sfârsitul unui eveniment în cadrul unei ore etc.

                                             Metodologia predarii-învatarii ordinii efectuarii operatiilor                                                                                      Ordinea efectuarii operatiilor   În clasele I-IV elevilor li se cere sa rezolve diferite exercitii complexe, adica exercitii care cuprind mai multe operatii.   Ordinea efectuarii operatiilor si utilizarea parantezelor se învata în clasa a III-a.   De aceea, înainte de a învata ordinea efectuarii operatiilor, exercitiile complexe pe care le rezolva elevii, sunt astfel alcatuite încât operatiile se efectueaza corect în ordinea în care sunt scrise. Aceste exercitii se prezinta sub mai multe forme, dupa operatiile pe care le contin: -exercitii care contin operatii de un singur fel, adica numai adunari sau scaderi etc.; -exercitii care contin operatii de acelasi ordin, adica numai adunari si scaderi, sau numai înmultiri si împartiri; -exercitii care contin operatii de ordine diferite: înmultiri sau împartiri cu adunari si scaderi.   Rezolvând astfel de exercitii în clasele I-II (adunari si/sau scaderi), cât si în clasa a III-a (înmultiri si/sau împartiri cu adunari si/sau scaderi), elevii se deprind cu efectuarea succesiva a operatiilor, fara sa se gândeasca la faptul ca s-ar putea pune problema existentei unor anumite reguli în ceea ce priveste ordinea efectuarii acestora. De aceea sarcina institutorului consta în primul rând în a arata elevilor ca nu întotdeauna este corect sa se efectueze operatiile în ordinea în care sunt scrise; pentru aceasta, utilizând un exercitiu în rezolvarea caruia prin schimbarea ordinii operatiilor se obtin rezultate diferite, se scoate în evidenta necesitatea stabilirii unor norme care sa reglementeze ordinea efectuarii operatiilor.   Operatiile aritmetice se clasifica în doua categorii:   -operatii de ordinul I: adunarea si scaderea; -operatii de ordinul II: înmultirea si împartirea.   Se pot enunta urmatoarele reguli: -daca într-un exercitiu toate operatiile sunt de acelasi ordin, adica numai adunari si scaderi, sau numai înmultiri si împartiri, ele se efectueaza în ordinea în care sunt scrise; -daca un exercitiu cuprinde atât operatii de ordinul I, cât si operatii de ordinul II, atunci ordinea efectuarii operatiilor este urmatoarea: -în primul rând se efectueaza operatiile de ordinul II, adica înmultirile si împartirile, în ordinea în care sunt scrise; -în al doilea rând se efectueaza operatiile de ordinul I, adica adunarile si scaderile, de asemenea în ordinea în care sunt scrise.   Precizarea referitoare la efectuarea operatiilor de acelasi ordin exprimata prin cuvintele în ordinea în care sunt scrise este necesara deoarece comutativitatea unui sir de adunari si scaderi sau a unui sir de înmultiri se învata mai târziu si nerespectarea acestei indicatii constituie o sursa permanenta de greseli.   Regulile enuntate mai sus se însusesc prin aplicarea lor în exercitii, iar acestea trebuie sa utilizeze la început numere mici, astfel încât calculul sa se poata face mintal si fara dificultati, pentru ca atentia elevilor sa fie orientata asupra aplicarii regulilor privitoare la ordinea operatiilor si nu asupra operatiilor respective. Trecerea la exercitii care contin numere mari si combinatii din ce în ce mai complicate trebuie sa se faca treptat.   Din punct de vedere metodic este indicat ca în exercitiile care contin operatii de ordine diferite, dupa efectuarea operatiilor de ordinul II sa se scrie din nou exercitiul, înlocuind operatiile efectuate cu rezultatele obtinute, ramânând prin urmare operatiile de ordinul I, care apoi se efectueaza si ele conform regulilor stabilite. În acest fel sunt mai bine marcate cele doua momente importante în succesiunea efectuarii operatiilor: întâi operatiile de ordinul II, apoi cele de ordinul I. De asemenea, la primele exercitii este bine sa se indice prin numerotare ordinea operatiilor pentru ca sa se evite eventualele confuzii.   Folosirea parantezelor   Parantezele se întrebuinteaza pentru a modifica ordinea operatiilor în cazurile în care apare aceasta necesitate. Cel mai mult întrebuintate sunt urmatoarele: -paranteza mica sau rotunda (…); -paranteza mare, dreapta sau patrata [...]; -paranteza acolada {…}.   Introducerea parantezelor se poate face prin intermediul unor probleme. Exemplu: Maria a cules 11 kg de afine iar sora ei Ana 4 kg. Afinele culese au fost puse în caserole de câte 3 kg fiecare. Câte caserole s-au umplut? Din rezolvarea acestei probleme se constata ca mai întâi se efectueaza adunarea si apoi împartirea. Pentru a marca acest fapt se folosesc parantezele rotunde, iar formula numerica a rezolvarii problemei este: (11+4):3.   Parantezele patrate si acoladele se pot introduce în mod asemanator, ajungând la desprinderea regulilor dupa care se efectueaza operatiile în cadrul exercitiilor cu paranteze: -întâi se efectueaza operatiile din interiorul parantezelor, apoi cele din afara lor; -desfacerea parantezelor are loc în ordinea gradului lor, adica întâi se desfac parantezele rotunde, apoi cele patrate si urma parantezele acolade (se poate proceda si în ordine inversa, dar apar dificultati care conduc la greseli frecvente); -în interiorul unei paranteze se respecta ordinea operatiilor.   Formarea limbajului matematic si a deprinderilor de calcul mintal la scolarul mic   Limbajul matematic Se stie ca învatarea oricarei stiinte începe, de fapt, cu asimilarea limbajului ei notional. Studiul matematicii urmareste sa ofere elevilor, la nivelul lor de întelegere, posibilitatea explicarii stiintifice a notiunilor matematice. Exista o legatura strânsa între continutul si denumirea notiunilor, care trebuie respectata inclusiv în formarea notiunilor matematice. Orice denumire trebuie sa aiba acoperire în ceea ce priveste întelegerea continutului notional; altfel, unii termeni apar cu totul straini fata de limbajul activ al copilului, care, fie ca-l pronunta incorect, fie ca îi lipsesc din minte reprezentarile corespunzatoare, realizând astfel o învatare formala.   Limbajul matematic, fiind limbajul conceptelor celor mai abstracte, care constituie elementul de comunicare sigura si precisa la ora de matematica se introduce la început cu unele dificultati. De aceea, trebuie mai întâi asigurate întelegerea notiunii respective, sesizarea esentei, uneori într-un limbaj accesibil copiilor. Pe masura ce se asigura întelegerea notiunilor respective, trebuie prezentata si denumirea lor stiintifica. De altfel, problema raportului dintre riguros si accesibil în limbajul matematic al elevilor este permanent prezenta în preocuparile institutorilor.   Astfel, rolul institutorului nu se limiteaza la a transmite elementele de limbaj, ci a le clarifica folosindu-le în aplicatii, solicitându-le elevilor sa formuleze întrebari si probleme cu acestea, sa fie prezentate si folosite comparativ, în aplicatii simple în scopul întelegerii lor si în aplicatii complexe pentru consolidarea acestora. Unul dintre obiectivele cadru este: formarea si dezvoltarea capacitatii de a comunica utilizând limbajul matematic. Noile programe de matematica prevad explicit obiective legate de însusirea unor deprinderi de comunicare, ce presupun stapânirea limbajului matematic si vizeaza capacitati ale elevului, cum sunt: -folosirea si interpretarea corecta a termenilor matematici; -întelegerea formularii unor sarcini cu continut matematic, în diferite contexte; -verbalizarea actiunilor matematice realizate; -comunicarea în dublu sens (elevul sa fie capabil sa puna întrebari în legatura cu sarcinile matematice primite si sa raspunda la întrebari în legatura cu acestea).   Limbajul matematic al elevilor din clasele I-IV, trebuie sa contina elemente cum ar fi: numar, cifra, numar cu doua, trei,… cifre, adunare scadere, înmultire, împartire, ordin, clasa, verificare, proba, termeni, descazut, scazator, factori, deînmultit, înmultitor, deîmpartit, împartitor, suma, diferenta, produs, cât, rest, multime, elementele unei multimi, necunoscuta, adevarat, fals, etc., precum si elemente de comparare: mai mare cu, mai mic cu, de atâtea ori mai mare, de atâtea ori mai mic si citirea simbolurilor: >, <, =, +, -, x, :. În rezolvarea problemelor sunt necesare si alte elemente de limbaj în functie de tipul problemei: doime, jumatate, patrime, sfert, a patra parte, treime, a treia parte, dublu, triplu, înzecit, însutit, viteza, timp, distanta, capacitate, masa, volum, perimetru, lungime, latime, suprafata, timp, unitati monetare, mai lung, mai înalt, mai usor, mai greu, cel mai lung, mai îndepartat, mai apropiat, etc.     Calculul mintal I) Notiunile de: calcul mintal si calcul în scris Calculul mintal este calculul care se efectueaza în gând, fara a întrebuinta mijloace sau procedee tehnice ale calculului în scris sau ale diferitelor dispozitive: abac, numaratoare cu bile, calculator electronic, scheme, grafice etc.   Calculul mintal cuprinde: calculul mintal propriu-zis si calculul oral. Calculul mintal propriu-zis este acel calcul în cadrul caruia se specifica operatia cu indicarea elementelor ei si se cere doar rezultatul. Operatia se efectueaza în minte, fara a fi utilizat vreun material didactic, fara repetarea si fara scrierea ei.   Calculul oral este acel calcul în care se repeta atât operatia, cât si procedeele întrebuintate în efectuarea ei, în care se cer si se dau explicatii, indiferent daca se scriu sau nu operatiile de baza si cele auxiliare, fara a folosi însa procedeele tehnice ale calculului în scris. Se poate întrebuinta material didactic. Exercitiile de calcul mintal care se scriu pe tabla sau pe caietele elevilor se numesc exercitii scrise. În calculul mintal, scrierea exercitiilor nu constituie un procedeu de calcul, ci se face doar cu scopul de a pune în evidenta diferite etape ale calculului efectuate în minte în scopul retinerii unor rezultate sau al stabilirii procedeelor.   Calculul în scris este calculul în care se folosesc anumite procedee scrise, anumite elemente de tehnica bazate pe scrierea rezultatelor partiale si a operatiilor(cum ar fi ,de exemplu, procedeul de adunare în scris a numerelor de mai multe cifre, care utilizeaza ca procedeu ethnic asezarea termenilor unul sub altul, cu unitatile de anumite ordine de asemenea unele sub altele, iar ca procedeu de operatie: adunarea succesiva a unitatilor de acelasi ordin între ele, începând de la dreapta la stânga si de jos în sus). Aceasta tehnica este succesoarea calculului mintal, pe care nu-l elimina, ba chiar îl presupune, dar în concentre numerice mici, unde s-au format deprinderi temeinice. Calculul în scris are avantajul ca poate fi utilizat pe valori numerice oricât de mari, eliminând eforturile de memorare a unor rezultate partiale.   Pentru formarea unor deprinderi de ordine, institutorul trebuie sa urmareasca la elevi si plasarea în pagina a calculului în scris, rezervând în dreapta paginii un spatiu pentru redactarea acestuia. Nu trebuie confundate exercitiile scrise, care se refera la calculul mintal cu calculul în scris. Nu exista însa o delimitare stricta a calculului în scris de cel mintal, întrucât calculul în scris nu se poate dispensa de cel mintal, între cele doua forme existând o strânsa interdependenta. Calculul mintal constituie o etapa premergatoare si necesara pentru calculul în scris.   II) Importanta calculului mintal Din faptul ca în clasele I-IV cea mai mare parte din exercitii si probleme se rezolva exclusiv prin calcul mintal si chiar dupa ce elevii învata calculul în scris, în paralel se utilizeaza si cel mintal, rezulta importanta acestuia. Formarea priceperilor si a deprinderilor de calcul mintal are o importanta deosebita în pregatirea multilaterala a elevilor si în formarea acestora din punct de vedere matematic, deoarece: -calculul mintal, precedând pe cel în scris, initiaza pe elev în cunoasterea diferitelor forme de calcul, formându-i priceperile si deprinderile necesare trecerii la calculul în scris; -calculul mintal dezvolta facultatile cognitive ale elevului, în special memoria, atentia, judecata si rapiditatea gândirii, procesele de analiza si sinteza ale gândirii, contribuie la formarea de stereotipuri dinamice necesare pentru însusirea în continuare a cunostintelor de matematica, pentru dezvoltarea creativitatii acestuia; -contribuie la dezvoltarea gândirii matematice la elevi si a capacitatii intelectuale în general; gândirea elevilor este introdusa în efort, contribuie la încalzirea mintii; -contribuie la dezvoltarea capacitatii de clasificare a diferitelor notiuni matematice, de a integra aceste notiuni într-un ansamblu de cunostinte necesare rezolvarii problemelor. -si nu în ultimul rând, practica vietii sociale, cu necesitatile ei de zi de zi, activitatea desfasurata zilnic la serviciu, nu pot fi concepute fara utilizarea la fiecare pas a calculului matematic, în special a calculului mintal.   În cadrul orelor de matematica elevii sunt pusi în situatia de a efectua calcule aplicând procedeele învatate si de a alege procedeul de calcul cel mai potrivit cazului dat pentru a afla mai repede si mai usor rezultatul, de a aplica unor variate cazuri particulare principiul de rezolvare. Aceasta dezvolta puterea de întelegere, spiritul de initiativa, perspicacitatea. De aceea se si spune despre calculul mintal ca este cea mai simpla forma a muncii creative a elevului în domeniul matematicii.   III) Locul calculului mintal în predarea matematicii. Organizarea calculului mintal În cadrul lectiilor de matematica adesea se utilizeaza calculul oral deoarece aici apare necesitatea folosirii unor explicatii în scopul însusirii constiente a operatiilor aritmetice si a diferitelor procedee de calcul. În functie de modul lor de utilizare în cadrul lectiilor, exercitiile se pot clasifica astfel: -exercitii de calcul oral rezolvate cu institutorul, care constau în comunicarea orala a exercitiului, repetarea lui, efectuarea în minte a operatiilor, indicarea procedeului de calcul si comunicarea rezultatului; -exercitii scrise rezolvate cu institutorul care constau în comunicarea orala a exercitiului, scrierea lui, repetarea lui, efectuarea în minte a calculului, anuntarea rezultatului si scrierea acestuia; -exercitii scrise si rezolvate prin munca independenta, în cadrul careia institutorul prezinta elevilor exercitiile, urmând citirea acestora si copierea lor de catre elevi, care le vor rezolva fara nici un ajutor din afara, dupa care se vor citi rezolvarile exercitiilor si rezultatele obtinute. în aceasta categorie se pot încadra si exercitiile date ca tema pentru acasa, deoarece procedeul de lucru este acelasi. Elevii pot lua cunostinta de exercitiile pe care urmeaza sa le rezolve în mai multe moduri: -prin copierea exercitiilor din manual sau culegere; -prin copierea exercitiilor de pe tabla; -prin dictarea lor de catre institutor; -prin folosirea fiselor de lucru. Calculul mintal propriu-zis este utilizat în special pentru formarea deprinderilor de aplicare a anumitor reguli sau pentru consolidarea anumitor procedee, dar si pentru formarea unor abilitati  necesare calculului rapid. El consta în comunicarea exercitiilor printr-un mijloc oarecare, efectuarea mintala a operatiilor si anuntarea numai a rezultatului, fara a se cere repetarea exercitiului sau indicarea procedeelor folosite în rezolvarea acestora. Comunicarea exercitiilor se poate face cu ajutorul unor planse sau al unor tabele numerice, cu ajutorul figurilor geometrice, al schemelor, desenelor, etc., institutorul indicând exercitiile, iar elevii rezolvându-le mintal. Calculul oral este specific lectiilor de dobândire de noi cunostinte, în care elevii învata noi procedee de calcul, dar se utilizeaza si în lectiile de consolidare a cunostintelor, priceperilor si deprinderilor în care elevii reiau prin exercitii orale sau scrise procedeele învatate în cadrul orelor anterioare. Calculul mintal propriu-zis se utilizeaza atât în lectiile de consolidare a cunostintelor - ca forma de activitate utilizata în lectie, cât si în lectiile de dobândire de noi cunostinte, unde poate fi folosit în cadrul primei parti a lectiei: în timpul verificarii si reactualizarii cunostintelor, sau în evaluarea cunostintelor - ca forma de activitate cu ajutorul careia elevii îsi clarifica si îsi fixeaza notiunile dobândite în cursul lectiei.   Tehnica desfasurarii exercitiilor de calcul mintal propriu-zis difera de la caz la caz, în functie de natura exercitiilor considerate si de formele lor de prezentare. Oricare ar fi însa forma aleasa, institutorul trebuie sa dea în prealabil indicatii detaliate si suficiente în legatura cu organizarea si desfasurarea calculului, astfel încât pe parcurs sa nu fie nevoie de reveniri sau lamuriri suplimentare, care ar deruta elevii sau le-ar distrage atentia asupra unor amanunte nesemnificative. Ritmul de desfasurare al acestei forme de activitate este diferit, trecându-se treptat de la un ritm lent în primele lectii, la unul din ce în ce mai sustinut. Întrucât calculul mintal propriu-zis solicita într-un grad înalt gândirea elevilor, rezulta ca aceasta activitate nu trebuie sa depaseasca 5 minute, durata optima fiind de 2-4 minute.   IV) Procedee de calcul mintal În viata cotidiana, datorita deprinderilor formate din cauza nevoilor zilnice, se întrebuinteaza unele procedee de calcul, mai ales în legatura cu mânuirea banilor, dar pe care scoala nu le întrebuinteaza în suficienta masura. Procedeele de calcul mintal se pot grupa în doua categorii: 1. Procedee generale, care se aplica oricaror numere (cu exceptia celor scrise în alta baza de numeratie) si care se bazeaza pe sistemul pozitional zecimal si pe proprietatile operatiilor aritmetice. Aceste procedee au fost prezentate în momentul introducerii operatiilor aritmetice. 2. Procedee speciale, care se aplica numai anumitor numere, cu o structura speciala si care se bazeaza pe relatii aritmetice particulare ce pot fi stabilite între ele. Exista o mare varietate de procedee speciale. Cele mai utilizate sunt: -procedeul rotunjirii prin lipsa sau prin adaos care consta în neglijarea sau adaugarea unor unitati de un anumit ordin, pentru a obtine numere cu care calculele sunt mai usor de efectuat; Exemple: adunare: 397 +299 = (400 – 3)+(300 – 1) = 400 + 300 – 3 – 1 = 696 scadere: 308 – 206 = (300 + 8) – (200 + 6) = 300 – 200 +8 – 6 = 102 înmultire : 200 x 13 = 200x (10+3)=200x10+200x3=2000+600=2600 împartire: 392:4=(400-8):4=400:4-8:4=100-2=98 -procedeul bazat pe proprietatile de comutativitate si asociativitate ale adunarii si înmultirii; Exemplu: 146 + 259 + 54 + 341 =(146 + 54) + (259 + 341) = 200 + 600 = 800 -procedeul înmultirii succesive consta în descompunerea unuia dintre factori într-un produs de factori mai mici, cu efectuarea înmultirilor în ordinea în care apar; Exemplu: 48x6=48x2x3=96x3=288. -procedeul împartirii succesive consta în descompunerea în factori a împartitorului si apoi împartirea deîmpartitului în mod succesiv la factorii obtinuti; Exemplu: 24 : 8 = 24 : (2x2x2) = 12 : (2x2) = 6 : 2 = 3 -procedeele de înmultire cu 5, cu 25, cu 50, cu 9, cu 11 Purcaru Monica Ana Paraschiva Metodologia predarii-învatarii operatiilor în multimea numerelor naturale 43 Procedeul de înmultire cu 5 consta în înmultirea cu 10 si împartirea la 2, etc. Exemple: 42 x 5 = 42 x 10 : 2 = 420 : 2 = 210 17x25=17x100:4=1700:4=425 38x50=38 :2x100=19x100=1900   V) Exercitii de calcul mintal Exercitiile de calcul mintal pot fi grupate în doua categorii: -exercitii simple care cuprind o singura operatie; -exercitii compuse care cuprind doua sau mai multe operatii de acelasi fel, de acelasi ordin sau de ordine diferite. Formele sub care se prezinta aceste exercitii sunt de o mare varietate astfel ca din acest punct de vedere ele nici nu pot fi încadrate în anumite categorii limitative. Varietatea formelor este necesara atât pentru a stârni si mentine mereu treaz interesul elevilor în rezolvarea exercitiilor, cât si pentru dezvoltarea proceselor de gândire, de formare a unor noi legaturi temporare în scoarta cerebrala, de stabilire a unor stereotipuri dinamice, deoarece daca în prima faza operatiile matematice se efectueaza prin procese de gândire si calcul, în faza a doua, operatiile fundamentale, procedeele mai importante de calcul mintal trebuie sa se efectueze pe baza unor procese de memorie si a deprinderilor formate prin repetarea necontenita a acestor operatii si procedee.   Exercitiile simple se pot prezenta sub urmatoarele forme: -exercitii în care se indica operatia ce urmeaza a fi efectuata cu numerele date; Exemplu: Adunati numerele 9 si 21. -exercitii în care se cere sa se gaseasca un numar care sa fie mai mare sau mai mic cu câteva unitati sau de câteva ori decât un numar dat; Elevii urmând ca pe baza unor procese de gândire sa stabileasca întâi operatia corespunzatoare si apoi sa efectueze aceasta operatie. -exercitii în care se denumeste rezultatul operatiei ce urmeaza a se efectua asupra numerelor date; Aceste exercitii solicita mai mult gândirea elevilor deoarece mintea copilului trebuie sa gaseasca întâi operatia corespunzatoare si sa se fixeze asupra acesteia pe baza procesului de asociere stabilit între cele doua notiuni: operatia si denumirea rezultatului si apoi sa efectueze calculul respectiv. Exemplu: Aflati suma numerelor 19 si 7. -exercitii de stabilire a gruparilor posibile pentru unitatile unui anumit numar dat; Exemplu: Gruparile posibile pentru unitatile numarului 48 sunt: 1+47; 2+46;…: 12+36;…; 47+1. Toate aceste grupari pot fi spuse pe rând, iar calculul devine mai interesant, antreneaza mai multi elevi si solicita gândirea într-o masura mai mare, daca institutorul enunta unul din termenii gruparii, iar elevii îl folosesc pe celalalt. Exemplu: Institutorul: 15, elevii: 33. -exercitii de înmultire cu un factor constant sau cu produsul constant; Exemplu: Când unul din factori este 8, elevii spun toate înmultirile numarului 8 cunoscute; daca produsul este constant (exemplu 36), elevii spun toate perechile de numere al caror produs este 36: 6x6, 4x9, 12x3, 18x2, 36x1. -exercitii formate cu ajutorul tabelelor numerice; Acestea pot fi operatii de un singur fel, de exemplu, numai adunari sau numai scaderi etc. a 5 10 100 b 6 7 5 axb 30 70 500 -exercitii formate cu ajutorul figurilor geometrice: unghi, triunghi, patrat sau dreptunghi, pentagon, hexagon, etc; În centrul figurii se afla semnul care indica operatia ce urmeaza a fi efectuata si numarul respectiv ca termen sau factor constant, iar la vârfuri se afla numerele care reprezinta cel de-al doilea termen sau factor al operatiei: -exercitii prezentate sub forma de jocuri matematice cum ar fi: ghicirea unor numere a caror suma diferenta sau produs sunt date, jocul mut, patratele magice etc. Exercitiile compuse cunosc urmatoarele forme mai importante: -exercitii prezentate sub forma de calcul curent; Exemplu: 3 + 8 – 5 + 7 + 12 – 10 = sau [(4 + 6)x5 – 8]: 7 = -exercitii de adunare succesiva sau de scadere a aceluiasi numar. Exemple: Adunarea succesiva a numarului 6, începând cu 6: 6 + 6 = 12, 12 + 6 = 18,… Începând cu 1: 1 + 6 = 7, 7 + 6 = 13,… Începând cu 2 etc. Scaderea succesiva a numarului 4 începând de la 40: 40 – 4 = 36, 36 – 4= 32,… Începând de la 39, 38, etc. În afara de aceste tipuri reprezentative de exercitii exista o mare varietate de alte exercitii de calcul mintal prezentate sub diferite forme ce se pot utiliza cu succes, indiferent de capitolul  sau tema lectiei. Valorificarea acestor forme de activitate în cadrul lectiilor de matematica depinde de imaginatia si personalitatea institutorului, care poate crea si utiliza o gama cât mai diversa de astfel de exercitii pentru a stârni interesul elevilor fata de lectia de matematica si pentru a stimula participarea elevilor la lectie.

                                                Metodologia predarii-învatarii adunarii si scaderii numerelor naturale                                                        Adunarea si scaderea numerelor naturale în concentrul 0-10   În scopul formarii notiunii de adunare se porneste de la operatii cu multimi de obiecte concrete (etapa perceptiva), dupa care se trece la efectuarea de operatii cu reprezentari ce au tendinta de a generaliza (etapa reprezentarilor), pentru ca, în final, sa se poata face saltul la conceptul matematic de adunare (etapa abstracta). Introducerea operatiei de adunare se face folosind reuniunea a doua multimi disjuncte.   În etapa concreta, elevii formeaza, de exemplu, o multime de braduti ninsi cu 3 elemente si a multime de braduti albi cu 4 elemente. Reunindu-se cele doua multimi de braduti se formeaza o multime care are 7 braduti: ninsi sau albi. Se repeta apoi actiunea folosind alte obiecte (de exemplu, baloane, betisoare, flori, creioane s.a.), pâna ce elevii constientizeaza ca reunind o multime formata din 3 obiecte cu o alta multime formata din 4 obiecte (indiferent ce sunt acestea) se obtine o multime formata din 7 obiecte. În aceasta etapa, actiunea elevului vizeaza numaratul sau compunerea unui numar, date fiind doua componente.   Etapa a doua, semiabstracta, este caracterizata de utilizarea reprezentarilor simbolice, cum ar fi: În aceasta etapa se introduc semnele grafice “+” si “=”, explicându-se ce reprezinta fiecare si se insista pe faptul ca acestea se scriu doar între numere.   În etapa a treia, abstracta, dispare suportul intuitiv, folosindu-se doar numerele. În aceasta etapa se introduce terminologia specifica (termeni, suma/total) si se scot în evidenta proprietatile adunarii (comutativitate, asociativitate, existenta elementului neutru), fara utilizarea acestor termeni si cu apelare la intuire, ori de câte ori este necesar. Tot în aceasta etapa se poate sublinia reversibilitatea operatiei, prin scrierea unui numar ca suma de doua numere (descompunerea numarului). Acest tip de solicitare conduce la dezvoltarea creativitatii elevului care, în urma unui rationament probabilistic, trebuie sa gaseasca toate solutiile posibile, anticipând, în acelasi timp, operatia de scadere.   Scaderea se introduce folosind operatia de diferenta dintre o multime si o submultime a sa (complementara unei submultimi).   În prima etapa concreta, dintr-o multime de obiecte ce au o proprietate comuna se elimina o submultime de obiecte si se precizeaza câte obiecte ramân în multime. Actiunea mentala a elevului vizeaza numaratul sau descompunerea unui numar în doua componente, data fiind una dintre acestea.   Etapa a doua, semiabstracta, este caracterizata de utilizarea reprezentarilor simbolice, cum ar fi: 3 3 + 4 = 7   4 7 − 3 = 4   În aceasta etapa se introduce semnul grafic “−“ explicându-se ce reprezinta si se precizeaza ca acesta se scrie doar între numere.   În etapa a treia abstracta, în care se folosesc doar numerele, se introduce terminologia specifica (descazut, scazator, rest/diferenta) si se evidentiaza proprietatile scaderii numerelor naturale (operatia este posibila doar daca descazutul este mai mare sau egal cu scazatorul; în cazul egalitatii, restul este zero), si se compara cu proprietatile adunarii (scaderea nu este comutativa) si subliniind faptul ca, la adunare, rezultatul (suma) este mai mare decât oricare dintre numerele care se aduna (termeni), iar la scadere, rezultatul (diferenta) este mai mic decât descazutul.   Legatura dintre adunare si scadere trebuie subliniata prin realizarea probei fiecareia dintre cele doua operatii: la adunare, se scade din suma unul din termeni si trebuie sa se obtina cel de-al doilea termen, iar la scadere, se aduna diferenta cu scazatorul si trebuie sa se obtina descazutul. De asemenea, aceste relatii se evidentiaza si în cazul aflarii unui termen necunoscut la adunare sau scadere, eliminând ghicirea, ce apeleaza la memorie sau procedeul încercare-eroare.   Întelegerea acestor aspecte implica în clasele urmatoare si formarea capacitatii elevilor de a utiliza terminologia: mai mult cu…, mai putin cu…, ce vor sta la baza rezolvarii problemelor simple.   Rezolvarea unor situatii-problema (îndeosebi ilustrate cu material didactic concret sau prin imagini, dar si prezentate oral) ce conduc la una dintre cele doua operatii se realizeaza frecvent, înca înainte de abordarea conceptului restrâns de problema din matematica. Si prin aceste situatii-problema poate fi valorificata legatura dintre cele doua operatii, anticipând cunoasterea faptului ca din orice problema de adunare se pot obtine doua probleme de scadere.   De exemplu, o imagine ce reprezinta un lac pe care plutesc 5 nuferi, iar pe mal sunt alti 4 nuferi, poate fi exploatata maximal (din punct de vedere matematic) prin formulari de tipul: -Pe lac sunt 5 nuferi, iar pe mal sunt 4 nuferi. Câti nuferi sunt în total? -Pe lac au fost 9 nuferi, iar 4 dintre ei au fost culesi. Câti nuferi au ramas pe lac? -Pe lac au fost 9 nuferi, dar acum sunt doar 5. Câti nuferi au fost culesi?   Adunarea si scaderea numerelor naturale în concentrul 0-20 Teoria referitoare la predarea-învatarea celor doua operatii în concentrul 0-10 ramâne valabila, în esenta, si în noul concentru numeric, largindu-se prin abordarea unor probleme metodice specifice acestui concentru.   În predarea adunarii numerelor naturale mai mici decât 20 se pot distinge urmatoarele cazuri: -adunarea numarului 10 cu un numar de unitati (mai mic decât 10); Acest caz nu ridica probleme metodice deosebite, dat fiind si faptul ca se coreleaza cu problematica formarii numerelor naturale mai mari decât 10 (zecea si un numar de unitati), abordata anterior, la numeratie.   -adunarea unui numar format dintr-o zece si din unitati cu un numar format din unitati (fara trecere peste 10);   În acest caz, este necesar ca elevii se aiba deprinderile de a aduna corect si rapid numere mai mici decât 10 si de a descompune numarul mai mare decât 10 într-o zece si unitati, precum si priceperea de a actiona numai cu unitatile celor doua numere, iar la final, sa revina la primul caz.   Din punct de vedere metodic este necesara o actiune directa, demonstrativa, apoi, de oricâte ori este necesar, individuala, cu obiectele, actiuni ce se vor reflecta în pasii algoritmului: -descompunerea primului numar în 10 si unitati; -adunarea unitatilor celor doua numere (cu suma mai mica sau egala cu 10); -compunerea rezultatului din 10 si suma unitatilor. -adunarea a doua numere mai mici decât 10 si a caror suma este mai mare decât 10 (cu trecere peste 10); Pentru întelegerea acestui caz, elevii trebuie sa aiba capacitatea de a forma zecea, ca suma a doua numere, dintre care unul este dat (gasirea complementului unui numar dat în raport cu 10), priceperea de a descompune convenabil un numar mai mic decât 10 si deprinderea de a efectua adunarea zecii cu un numar de unitati.   Pasii algoritmului sunt: -cautarea unui numar care, adunat cu primul termen conduce la suma 10; -descompunerea convenabila a celui de-al doilea termen (una dintre componente fiind numarul gasit anterior); -adunarea zecii cu cealalta componenta a celui de-al doilea termen.   În predarea scaderii numerelor naturale mai mici decât 20, se pot distinge urmatoarele cazuri: -descazutul este cuprins între 10 si 20, iar scazatorul este mai mic decât unitatile descazutului; Predarea acestui caz nu ridica probleme metodice deosebite, daca elevii observa ca este suficienta scaderea unitatilor, zecea ramânând neatinsa. -descazutul este cuprins între 10 si 20, iar scazatorul este 10; Nici acest caz nu prezinta dificultati metodice, daca elevii observa ca este suficienta scaderea zecii, unitatile ramânând neschimbate. -atât descazutul, cât si scazatorul sunt cuprinse între 10 si 20; Acest caz reprezinta o combinatie a celorlalte doua si rezolvarea sa este reductibila la descompunerea celor doua numere (în câte o zece si unitati), scaderea unitatilor de acelasi fel (zece-zece si unitati-unitati) si aditionarea rezultatelor. -descazutul este 20 iar scazatorul este mai mic decât 10;   În acest caz este necesara dezlipirea unei zeci si transformarea ei în 10 unitati, urmata de scaderea din acestea a unitatile scazatorului. -descazutul este 20 iar scazatorul este cuprins între 10 si 20;   Acest caz este o generalizare a celui anterior, fiind necesara în plus scaderea zecilor. -descazutul este cuprins între 10 si 20, iar scazatorul, mai mic decât 10, este mai mare decât unitatile descazutului; Acest caz este cel mai dificil pentru elevi si poate fi rezolvat prin mai multe procedee. Un prim procedeu cuprinde: -scaderea pe rând a unitatilor scazatorului din descazut - cu sprijin în obiecte;   Un al doilea procedeu revine la: -descompunerea descazutului într-o zece si unitati; -descompunerea scazatorului astfel încât una dintre componente sa fie egala cu unitatile descazutului; -scaderea acestei componente a scazatorului din unitatile descazutului; -scaderea din zecea descazutului a celeilalte componente a scazatorului.   Un al treilea procedeu cuprinde: -descompunerea descazutului într-o zece si unitati; -scaderea din zecea descazutului a unitatilor scazatorului; -adunarea acestui rest cu unitatile descazutului. Prezentarea acestor procedee trebuie realizata cu material didactic, analizând fiecare pas si apoi sintetizând procedeul pe toti pasii în ansamblu.   Adunarea si scaderea numerelor naturale în concentrul 0-100   Predarea operatiilor de adunare si scadere în concentrul 0-100, trebuie sa urmareasca însusirea de catre elevi a urmatoarelor idei: -calculul în acest concentru se realizeaza în acelasi mod ca si în concentrul 0-20; -orice numar mai mare decât 10 se descompune în zeci si unitati; -zecea este o noua unitate de calcul; -operatiile se realizeaza cu unitatile de acelasi fel (unitati, zeci), asamblând apoi rezultatele partiale; -10 unitati se restrâng într-o zece, iar o zece se poate transforma în 10 unitati (echivalenta dintre 10 unitati si o zece); -calculul este mai usor de efectuat în scris (scrierea pe verticala, cu unitati sub unitati si zeci sub zeci). În predarea adunarii numerelor naturale mai mici decât 100, se disting urmatoarele cazuri: -adunarea a doua numere formate numai din zeci; În acest caz, institutorul trebuie sa sublinieze ca zecile sunt si ele unitati de calcul, asadar se va opera cu ele ca si cu unitatile. -adunarea unui numar format numai din zeci cu un numar mai mic decât 10;   Nici acest caz nu ridica probleme metodice deosebite, deoarece are legatura cu problematica formarii numerelor. -adunarea unui numar format numai din zeci cu un numar format din zeci si unitati; În acest caz, algoritmul operatiei presupune: -descompunerea celui de al doilea numar în zeci si unitati; -adunarea zecilor celor doua numere; -adunarea la aceasta suma a unitatilor celui de-al doilea numar. -adunarea unui numar format din zeci si unitati cu un numar mai mic decât 10, fara trecere peste ordin; Se distinge de cazul anterior prin aceea ca se aduna unitatile celor doua numere, adunând apoi si zecile primului numar. -adunarea a doua numere formate fiecare din zeci si unitati, fara trecere peste ordin;   În acest caz pasii algoritmului sunt: -descompunerea fiecarui numar în zeci si unitati; -adunarea zecilor celor doua numere, respectiv a unitatilor; -adunarea celor doua sume partiale. -adunarea a doua numere formate fiecare din zeci si unitati, având suma unitatilor 10; În acest caz suma unitatilor se restrânge într-o zece, care se va aduna cu suma zecilor celor doua numere. -adunarea unui numar format din zeci si unitati cu un numar mai mic decât 10, cu trecere peste ordin; În acest caz din suma unitatilor se separa o zece, care se va aduna cu zecile primului numar si unitatile ramase se vor aduna la suma zecilor. -adunarea a doua numere formate fiecare din zeci si unitati, cu trecere peste ordin;   În acest caz din suma unitatilor celor doua numere (mai mare decât 10) se separa o zece, care se va aduna sumei zecilor celor doua numere, iar unitatile ramase se vor aduna la zecile obtinute.    Metodologia predarii scaderii este asemanatoare cu cea a adunarii prezentata mai sus.   Adunarea si scaderea numerelor naturale mai mari decât 100 Acest caz nu ridica probleme metodice deosebite, în situatia în care elevii stapânesc algoritmii celor doua operatii, pe care i-au învatat în concentre numerice mai mici. Singura diferenta este data de ordinul de marime al numerelor, dar acest lucru nu modifica structura algoritmilor. Bineînteles, pe lânga zecea cu care s-a lucrat în concentrele anterioare, apar si alte unitati de calcul, cum sunt: suta, mia, etc., dar ele reprezinta generalizari ale cunostintelor si priceperilor anterioare, pe care elevii le pot descoperi singuri, constatând ca operarea cu numere naturale de orice marime se face la fel ca si cu numerele naturale mai mici decât 100.   Abordarea cazurilor noi se va face gradat fara sa se insiste prea mult pe denumirile acestora, care sunt neimportante pentru elevi. O eroare metodica din parte institutorului este nedozarea eficienta a sarcinilor calculatorii. În situatia în care nu sunt intercalate si sarcini de alt tip, probabilitatea ca elevii sa greseasca este mai mare si aceasta se datoreaza: monotoniei, oboselii, micsorarii motivatiei pentru efectuarea calculelor.   Metodologia predarii-învatarii înmultirii si împartirii numerelor naturale Introducerea operatiilor de înmultire si împartire cu numere naturale se face dupa ce elevii au dobândit cunostinte si au priceperi si deprinderi de calcul formate, corespunzatoare operatiilor de adunare si scadere. Operatiile de înmultire si împartire se introduc separat, mai întâi înmultirea (ca adunare repetata de termeni egali), apoi împartirea (ca scadere repetata a aceluiasi numar natural). Abia dupa introducerea lor si stapânirea lor de catre elevi se va evidentia legatura dintre aceste doua operatii.   Deoarece predarea-învatarea acestor doua operatii se face prin intermediul adunarii si scaderii, intuitia nu mai are un rol predominant în cunoasterea si întelegerea lor.   Înmultirea numerelor naturale mai mici decât 100 Operatia de înmultire se introduce tinând seama de definitia înmultirii ca: adunarea repetata a aceluiasi termen.   De aceea pentru stabilirea rezultatului înmultirii se pot utiliza doua procedee:   -Efectuarea adunarii repetate a numarului respectiv si exprimarea acestei adunari prin înmultire: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10, deci: 2 × 5 = 10. -Efectuarea înmultirii prin grupare: 2 × 2 = 4, 2 × 3 = 6, 4 + 6 = 10, deci: 2 × 5 = 10. Primul procedeu se întrebuinteaza mai ales pentru stabilirea tablei înmultirii, iar al doilea se bazeaza pe primul, cu deosebire pe înmultirile numerelor 1-10 cu numere pâna la 5.   Ordinea exercitiilor de înmultire respecta ordinea prevazuta în tabla înmultirii, astfel ca se învata întâi înmultirea numarului 2, apoi a numarului 3 etc. Exprimarea în cazul înmultirii trebuie sa corespunda întru totul procesului de gândire care are loc, astfel încât elevul sa-si poata însusi în mod constient si cu usurinta aceasta operatie. De aceea, se va folosi întâi exprimarea care utilizeaza cuvintele: a luat de b ori, apoi exprimarea: a înmultit cu b si în sfârsit exprimarea: a ori b, aceasta fiind cea mai scurta si deci cea care se va folosi mai târziu în mod curent. Este recomandabil ca la înmultirea numarului 2 sa se întrebuinteze pentru toate înmultirile numarului, respectiv întâi exprimarea a luat de b ori si numai dupa ce elevii au deprins aceasta exprimare, sau numai la înmultirile numerelor urmatoare sa se treaca la celelalte moduri de exprimare. Pentru stabilirea rezultatului unei înmultiri, spre exemplu 2 × 3 = 6 se procedeaza în felul urmator:   -se demonstreaza cu ajutorul a 2 - 3 materiale didactice, apoi pe baza de reprezentari cât fac 2 luat de 3 ori si trecându-se pe plan abstract se stabileste ca 2 luat de 3 ori fac 6; -se scrie aceasta concluzie în doua feluri: sub forma de adunare si sub forma de înmultire, adica: 2 + 2 + 2 = 6 2 × 3 = 6 -se citeste operatia de înmultire în cele 3 moduri aratate mai sus.   Trecerea de la adunarea repetata la înmultire se face în doua moduri.   I. Prin stabilirea rezultatului fiecarei adunari repetate a numarului dat si exprimarea acestei operatii sub forma de adunare, apoi sub forma de înmultire, urmata de scrierea în cele doua feluri a acesteia; exemple: Cât fac trei creioane luate de 4 ori. Cum ati socotit ? (3 + 3 + 3 + 3 = 12). Cum putem spune altfel? (3 luat de 4 ori fac 12). Cum scriem? (3 + 3 + 3 + 3 = 12 sau 3 × 4 = 12).   În felul acesta elevii se deprind sa identifice operatia de adunare repetata a aceluiasi termen cu operatia de înmultire, sa substituie o operatie prin alta, ceea ce de altfel se si urmareste.   II. Prin stabilirea tuturor operatiilor de adunare repetata a aceluiasi termen programate pentru lectia respectiva si apoi scrierea acestora sub forma de înmultiri. Adica, daca este vorba despre înmultirea numarului 3, se stabilesc si se scriu toate adunarile numarului 3 pâna la 18: 3 3 + 3 = 6 3 + 3 + 3 = 9 3 + 3 + 3 + 3 = 12 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18 apoi se transforma pe rând aceste adunari în înmultiri, scriindu-se în dreptul fiecarei adunari înmultirea corespunzatoare, astfel: 3 × 1 = 3 3 × 2 = 6 3 × 3 = 9 3 × 4 = 12 3 × 5 = 15 3 × 6 = 18 Dintre aceste doua procedee se considera ca primul este mai indicat pentru motivul ca elevii sunt pusi în situatia sa participe în mod constient la scrierea fiecarei adunari sub forma de înmultire, câta vreme dupa al doilea procedeu, chiar daca elevii participa constient la scrierea primelor doua adunari sub forma de înmultiri, celelalte transformari le vor face mecanic pe baza observatiei ca numarul 3 este luat pe rând de 2 ori, de 3 ori etc. De altfel, între cele doua procedee nu se poate stabili o ierarhizare absoluta, ele urmând a fi utilizate dupa preferintele propunatorului si tinând seama de conditiile în care lucreaza. Semnul înmultirii se introduce cu prilejul scrierii primei operatii de înmultire, ca o prescurtare a cuvintelor luat de … ori. În operatiile urmatoare, se va arata ca semnul “×” mai tine locul cuvintelor înmultit sau ori.   Pentru memorarea tablei înmultirii se utilizeaza procedeele specificate pentru memorarea tablei adunarii si scaderii. Apoi, la fiecare lectie, trecerea la predarea cunostintelor noi este precedata de calcul mintal, iar în ascultare si în fixarea cunostintelor se rezolva probleme aplicative. De asemenea este indicat sa se rezolve cât mai multe exercitii în care lipseste unul din factori, întâi exercitii în care lipseste factorul al doilea, apoi exercitii în care lipseste primul factor: 3 × ? = 15 sau ? × 5 = 15, întrucât aceste categorii de exercitii contribuie într-o masura mai mare la clasificarea si consolidarea înmultirilor.   În cadrul numerelor pâna la 100, tabla înmultirii se completeaza cu toate înmultirile numerelor de o singura cifra, devenind apoi elementul de baza în toate calculele care utilizeaza operatiile de gradul al doilea.   Predarea înmultirii în acest concentru prezinta urmatoarele caracteristici:   -elevii sesizeaza rolul pe care îl îndeplineste primul factor ca numar ce se repeta si rolul pe care îl îndeplineste cel de al doilea factor ca numar ce arata de câte ori se repeta primul factor; -se scoate în evidenta si se aplica proprietatea comutativitatii înmultirii, în special pentru stabilirea rezultatelor înmultirii cu 1, 2, 3, 4, 5 a numerelor 6, 7, 8 si 9. Aceasta proprietate se generalizeaza în cadrul numerelor pâna la 100, astfel încât o buna parte din tabla înmultirii va constitui doar o repetare a celor învatate anterior; -pe baza comutativitatii produsului se alcatuieste tabla înmultirii cu înmultitorul constant, care va constitui elementul principal în introducerea împartirii prin cuprindere; -pentru stabilirea rezultatelor înmultirilor, elevii vor putea întrebuinta o mare varietate de procedee rationale: adunarea repetata, gruparea, comutativitatea care nu vor avea un caracter limitat, ci vor capata un câmp larg de desfasurare.   În ceea ce priveste intuitia, aceasta nu mai are rol predominant, întrucât elevii au dobândit multe cunostinte în legatura cu operatiile aritmetice, si-au format anumite priceperi si au sesizat mecanismul scrierii adunarii repetate sub forma de înmultiri si tehnica formarii tablei înmultirii, astfel încât insistenta institutorului de a demonstra totul cu material didactic ar frâna însusirea într-un ritm mai rapid a cunostintelor. Nu se renunta complet la materialul didactic, dar acesta se utilizeaza numai în masura în care el este necesar pentru ca elevii sa-si însuseasca în mod constient operatiile respective. Astfel pe parcursul aceleiasi lectii, ca si în esalonarea lectiilor apartinatoare capitolului respectiv, dozarea materialului didactic se face în asa fel încât la început sa se utilizeze mai mult material didactic si sa se treaca prin toate cele trei faze, apoi din ce în ce mai putin, ajutându-se ca ultimele operatii sa se bazeze doar pe gândirea abstracta.   Exemplu, la înmultirea numarului 7: -primele 6 operatii nu este necesar sa fie demonstrate, deoarece se cunosc de la înmultirile cu înmultitorul constant al numerelor 1, 2, …, 6, ci doar se repeta înmultirile respective, se reamintesc demonstratiile sau se repeta unele dintre ele daca se considera necesar; -operatiile 7 × 7 si 7 × 8 se pot demonstra cu 1-2 materiale (bile si betisoare, cuburi si buline, creioane si o plansa cu figuri), dintre care un material este indicat sa fie o plansa cu figure decupate si lipite sau cu figuri mobile, trecându-se apoi la faza semiconcreta si apoi abstracta; -operatia 7 × 9 poate fi ilustrata numai cu ajutorul unor reprezentari, dupa care se trece la faza abstracta; -rezultatul operatiei 7 × 10 se poate stabili numai pe baza fazei abstracte.   De asemenea, în sirul lectiilor: înmultirea numarului 2, înmultirea numarului 3 etc., bogatia si varietatea materialului didactic trebuie sa fie în descrestere, pe masura ce elevii dobândesc noi cunostinte si-si formeaza noi priceperi si deprinderi. Ordinea în care se predau cunostintele privitoare la înmultirea numerelor este cea prevazuta de tabla înmultirii, iar dupa epuizarea acesteia se trece la tratarea cazurilor speciale.   Fazele principale prin care trece o lectie de înmultire a unui numar, cu stabilirea tablei înmultirii respective, sunt urmatoarele: -repetarea tablei înmultirii cu numarul precedent, sau cu numerele precedente; -numararea ascendenta cu acel numar de unitati si scrierea rezultatelor numararii; -adaugarea repetata a acelui numar, o data, de doua ori etc., cu scrierea pe tabla si pe caiete a operatiei; -scrierea adunarii repetate sub forma de înmultire; -stabilirea completa a tablei înmultirii cu acel numar, inclusiv înmultirea cu unitatea; -memorarea tablei stabilite, întrebuintând forme de activitate si procedee cât mai variate; -rezolvarea de exercitii si probleme aplicative în legatura cu înmultirile învatate. Procedee pentru stabilirea rezultatelor la înmultire: -procedeul adunarii repetate; 4 × 3 = 12 pentru ca 4 + 4 + 4 = 12. -procedeul utilizarii gruparilor; 4 × 7 = 28 pentru ca 4 × 3 = 12, 4 × 4 = 16 si 12 + 16 = 28 sau 4 × 7 = 28 pentru ca 4 × 5 = 20, 4 × 2 = 8 si 20 + 8 = 28. -procedeul comutativitatii; 7 × 3 = 21, pentru ca 3 × 7 = 21 9 × 6 = 54, pentru ca 6 × 9 = 54. -procedeul rotunjirii; 9 × 3 = 27, pentru ca 10 × 3 = 30, 1 × 3 = 3 si 30 - 3 = 27.   Înmultirea numerelor naturale mai mici decât 1000 În cadrul numerelor 1-1000 s-a învatat tabla înmultirii numerelor de o singura cifra, precum si înmultirea zecilor cu un numar de o singura cifra fara trecere peste suta. În cadrul numerelor de trei cifre se studiaza operatia de înmultire în ansamblu, cu toate particularitatile ei si cu toate cazurile pe care le prezinta. Pentru ca elevii sa-si poata însusi în conditii corespunzatoare operatia de înmultire, sa patrunda sensul ei, sa-si formeze deprinderi temeinice de calcul corect si rapid, este necesar sa stapâneasca la perfectie toate cunostintele premergatoare înmultirii numerelor de trei cifre.   Aceste cunostinte sunt urmatoarele: -tabla înmultirii numerelor de o singura cifra; -numeratia orala si scrisa a numerelor de mai multe cifre, cu deosebire formarea numerelor, compunerea si descompunerea lor în unitati componente; -efectul numarului zero în cazul înmultirii; -notiunile teoretice elementare privitoare la denumirile factorilor si a rezultatului înmultirii.   Apoi, pentru a putea trece la înmultirea în scris, elevii trebuie sa aiba formate priceperi si deprinderi temeinice de calcul, sa cunoasca bine cazurile de înmultire si sa efectueze cu usurinta adunarea în scris, deoarece înmultirea în scris utilizeaza adunarea ca operatie auxiliara. La fiecare caz de înmultire este necesar sa se stabileasca o concluzie care sa obtina ca element principal: cazul de înmultire si procedeul. Aceasta concluzie poate fi formulata ca o explicare a procedeelor întrebuintate, sau sub forma de regula. În ceea ce priveste exprimarea în desfasurarea calculului în scris este indicat sa se întrebuinteze, mai ales la primele exercitii, atât exprimarea completa (cu denumirea unitatilor), cât si exprimarea prescurtata, asigurându-se astfel însusirea constienta a tehnicii operatiilor si realizându-se în acelasi timp trecerea pe nesimtite de la calculul oral la cel scris.   Înmultirea orala   Programa scolara prevede pentru clasa a IV-a, în cadrul numerelor pâna la 1000, numai cazurile simple de înmultire orala, si anume, înmultirea zecilor si a sutelor cu un numar de o singura cifra, precum si înmultirea cu 10, 100 si 1000. Procedeele de înmultire în aceste cazuri se bazeaza pe regulile stabilite la înmultirea unitatilor si a zecilor. Astfel, înmultirea 50 × 3 se scrie: 5 zeci × 3 = 15 zeci, adica 50 × 3 = 150; sau înmultirea 300 × 2 se scrie 3 sute × 2 = 6 sute, adica 300 × 2 = 600. Prin urmare, înmultirea zecilor si a sutelor se reduce la înmultirea unitatilor, regula fiind: zecile si sutele se înmultesc ca si unitatile, dar la produs se adauga un zero, respectiv doua zerouri.   Succesiunea acestor exercitii de înmultire orala este urmatoarea: -înmultirea sutelor cu un numar de o singura cifra fara trecere peste mie. Exemple: 400 × 2; 200 × 3; 500 × 2 etc. -înmultirea zecilor cu un numar de o singura cifra. Exemple: 70 × 4; 50 × 7; 80 × 5; 30 × 9 etc. În afara de acestea, odata cu primele exercitii scrise de înmultire se introduc notiunile de deînmultit, înmultitor, factori si produs, ca denumiri ale numerelor care se înmultesc si rezultatul înmultirii. Dintre toate cazurile de înmultire orala, cel mai important este cel de înmultire a unui numar format din sute si zeci cu un numar de o singura cifra, pentru ca acesta constituie un exercitiu pregatitor pentru înmultirea în scris, mai ales ca unul din procedeele indicate pentru înmultirea orala, anume înmultirea pe rând a sutelor, apoi a zecilor cu numarul dat si adunarea rezultatelor, este asemanator cu cel întrebuintat la înmultirea în scris. Exemplu: 320 × 3 = 960, pentru ca 300 × 3 = 900, 20 × 3 = 60 si 900 + 60 = 960. În acest caz de înmultire se mai întrebuinteaza si un alt procedeu, care consta în transformarea numarului în zeci si apoi înmultirea numarului de zeci obtinut: 320 = 32 zeci; 32 zeci × 3 = 96 zeci, adica 320 × 3 = 960.   Regula înmultirii cu 10 a unui numar de doua cifre constituie primul procedeu rational de înmultire rapida prevazut pentru clasele I-IV. Pe acest procedeu se vor baza apoi celelalte procedee, si anume, înmultirea cu 100 si 1000, sau cu orice numar format din cifra 1 urmata de zerouri, sau cu orice numar format dintr-o cifra oarecare urmata de zerouri.   Pentru stabilirea unei concluzii care sa constituie regula înmultirii unui numar cu 10, se studiaza mai multe exemple din aceasta categorie, efectuându-se înmultirea în mod obisnuit, spre exemplu: 38 × 10: 30 × 10 = 300 8 × 10 = 80, 300 + 80 = 380, deci 38 × 10 = 380, apoi, pe baza metodei comparatiei, se constata ca produsul (rezultatul) se deosebeste de deînmultit prin faptul ca are un zero la urma, ceea ce înseamna ca fiecare unitate a deînmultitului a devenit de 10 ori mai mare, adica întreg numarul s-a marit de 10 ori. Deci, prin înmultirea cu 10 a numarului dat i s-a adaugat acestuia un zero în partea dreapta. facând aceeasi constatare în 3-4 sau mai multe cazuri si utilizând operatiile de abstractizare si generalizare ale gândirii, se formuleaza concluzia: un numar se înmulteste cu 10 adaugând la dreapta lui un zero. În ceea ce priveste exprimarea, aceasta trebuie sa cuprinda toate procesele aritmetice care conduc la operatia de înmultire: luarea (repetarea) unui numar sau a unei cantitati de câteva ori, marirea de câteva ori, înmultirea cu un numar, iar exercitiile trebuie sa cuprinda si cazurile în care se cere sa se afle unul din factori, cunoscând celalalt factor.   Înmultirea în scris   Operatia de înmultire în scris cuprinde o mare varietate de exercitii, a caror înmultire se poate face în diferite moduri. Astfel: -tinând seama de concentrul numerelor în care se încadreaza rezultatul operatiei, înmultirea poate fi cu numere pâna la 1000 sau de 3 cifre si cu numere de o cifra; -dupa numarul cifrelor înmultitorului, înmultirea poate fi cu înmultitorul de o singura cifra, de doua cifre si de 3 sau mai multe cifre; -dupa dificultatile pe care le precizeaza feluritele cazuri de înmultire, se pot deosebi: înmultirea când produsul unitatilor de diferite ordine este mai mic decât 10, egal cu 10 sau cu zeci întregi si mai mari decât 10; -cazurile particulare de înmultire, legate de existenta zerourilor în unul sau în ambii factori, la urma sau în interior. Ca exemplu fie urmatoarele cazuri: -înmultirea cu un numar de o singura cifra când fiecare produs obtinut din înmultirea unitatilor de ordin, respectiv ale deînmultitului cu înmultitorul, este mai mic decât 10; Exemple: 312 × 3; 221 × 4; etc. În cazul exercitiilor de înmultire din aceasta categorie se urmareste nu atât însusirea unui procedeu de calcul, care este cunoscut deja de la înmultirea orala, cât mai ales cunoasterea si însusirea elementelor tehnice ale operatiei de înmultire: felul de asezare a factorilor în efectuarea produsului, precum si reamintirea denumirilor factorilor si a rezultatului înmultirii, cu sesizarea functiei pe care o îndeplineste fiecare factor al produsului. Prin urmare este necesar sa se insiste în formarea la elevi a deprinderilor de asezare a factorilor dupa regula asezarii termenilor operatiilor de gradul I, spre exemplu: 312 × 3 = 312 × 3 urmând ca mai târziu sa se introduca si sa se utilizeze asezarea factorilor în rând, iar produsul sub deînmultit, pentru a se realiza economii de spatiu si energie si pentru a pregati trecerea la împartire, unde termenii se aseaza numai în rând.   Exemplu: 134 × 2 134 × 2 268   Pentru stabilirea unui procedeu de calcul în scris, se folosesc cunostintele de calcul oral, adica înmultirea pe rând a unitatilor de diferite ordine ale deînmultitului cu înmultitorul, însumând rezultatele. Trecându-se la efectuarea calculului în scris, se scoate în evidenta superioritatea acestui calcul fata de cel oral, prin faptul ca produsul se obtine direct, fara alte calcule intermediare. De asemenea se reamintesc, se precizeaza si se aplica regulile stabilite la celelalte operatii în ceea ce priveste efectuarea calculului oral si a celui în scris. Anume: -înmultirea orala se face începând cu unitatile de ordinul cel mai mare, în cazul de fata începând cu sutele, urmând si unitatile simple, obtinându-se în felul acesta produsele corespunzatoare înmultirii fiecarui ordin cu înmultitorul, care apoi se însumeaza; -înmultirea în scris se face începând cu unitatile de ordinul cel mai mic, deci cu unitatile simple, urmând apoi zecile si sutele (de la dreapta spre stânga), analog cu adunarea sau scaderea.   Cu utilizarea exemplului de mai sus, aspectul tablei ar fi urmatorul: Scrierea operatiei Calculul oral  si Calculul în scris 312 × 3=936 300 × 3 = 900 312 × deînmultit 10 × 3 = 30 3 înmultitor 2 × 3 = 6 936 900 + 30 + 6 = 936.   În predarea unui anumit caz de înmultire, primul exercitiu se rezolva de catre institutor, cu explicatii si justificari complete si clare, facând astfel demonstrarea procedeului. Explicatiile si justificarile sunt repetate de elevi si tot ei rezolva în continuare exercitiile urmatoare, de asemenea cu explicatii complete referitoare la cazul de înmultire, scrierea operatiei, efectuarea calculului oral, asezarea pentru calculul în scris, efectuarea acestui calcul, denumirea rezultatului si a factorilor. În urma analizei exemplelor folosite în cursul lectiei se stabileste regula corespunzatoare, în cazul de fata regula privitoare la înmultirea în scris cu un numar de o singura cifra.   În ceea ce priveste exprimarea institutorului si a elevilor în timpul efectuarii calculului în scris, la primele exercitii aceasta trebuie sa cuprinda ambele forme: exprimarea completa si exprimarea prescurtata, tehnic. Exprimarea completa consta în întrebuintarea limbajului corespunzator procesului de gândire care are loc, deci cu denumirea unitatilor, facând astfel legatura strânsa cu felul de exprimare în cazul calculului oral: - 2 unitati luate de 3 ori fac 6 unitati, scriem 6 sub unitati; - 1 zece luat de 3 ori fac 3 zeci, scriem 3 sub zeci; - 3 sute luate de 3 ori fac 9 sute, scriem 9 sub sute. Exprimarea prescurtata, spre care trebuie sa se tinda neîncetat, cu perseverenta, de îndata ce exista siguranta ca elevii si-au însusit în mod constient procedeul de calcul respectiv, consta în redarea în cuvinte cât mai putine a calculului, accentuându-se caracterul tehnic al acestuia: - 3 ori 2 fac 6, se scrie 6; - 3 ori 1 fac 3, se scrie 3; - 3 ori 3 fac 9, se scrie 9, rezultatul 936. -înmultirea cu numere de doua cifre;   Particularitatea acestui caz de înmultire consta în introducerea notiunii de produs partial, astfel ca numai asupra acestui lucru este nevoie sa se atraga atentia elevilor în mod deosebit, stabilindu-se necesitatea înmultirii cifrelor care reprezinta unitatile de diferite ordine ale deînmultitului întâi cu cifra zecilor si asa mai departe, obtinându-se un numar de produse partiale egal cu numarul cifrelor înmultitorului. De asemenea se stabileste ca regula ca prima cifra a fiecarui produs partial se aseaza sub cifra corespunzatoare a înmultitorului. Cu aceste indicatii, prezentate si motivate simplu, elevii reusesc sa înteleaga si sa aplice cu usurinta procedeul, a carui consolidare se obtine prin exercitiile repetate care se rezolva în continuare.   Împartirea numerelor naturale mai mici decât 100 În acest concentru se introduce si se studiaza numai împartirea în parti egale, deoarece aceasta, spre deosebire de împartirea prin cuprindere, este înteleasa mai usor de catre elevi, exprimarea întrebuintata este în concordanta cu datele experientei si cu procesul de gândire care are loc, iar demonstrarea operatiilor se face fara dificultati. Întrucât împartirea în parti egale se bazeaza pe înmultire, ordinea exercitiilor este aceeasi, adica se trateaza întâi împartirea numerelor 2, 4 , 6, …, 20 la 2, apoi a numerelor 3, 6, 9, …, 18 la 3 etc. Demonstrarea operatiilor se face prin întrebuintarea unor materiale cât mai variate, unele dintre ele corespunzatoare experientei proprii a elevilor: creioane, caiete, nuci, castane, lei etc., altele din cele întrebuintate în mod obisnuit în clasa: bile, betisoare, cuburi, buline etc.   Procedeul initial este urmatorul:   -se stabileste numarul de obiecte ce trebuie împartit si numarul partilor, spre exemplu: 18 creioane împartite în mod egal la 6 copii; -se repartizeaza fiecarei parti (fiecarui copil) câte un creion, deci în total 6 creioane, stabilindu-se ca au mai ramas 12, apoi se mai repartizeaza câte înca un creion, stabilindu-se ca au mai ramas 6, care de asemenea se repartizeaza si nu mai ramâne nici un creion; -se verifica numarul creioanelor repartizate fiecarei parti (fiecarui copil); -se stabileste, se repeta si se scrie concluzia: 18 creioane împartite în mod egal la 6 copii fac 3 creioane, sau 18 creioane împartite în 6 parti egale fac 3 creioane. Pentru a realiza trecerea treptata de la concret la abstract, materialele care se întrebuinteaza în continuare: betisoare, cuburi, castane etc., chiar pentru aceeasi operatie, se împart în parti egale, deci nu la un numar de copii, obiectele asezându-se în grupe separate, dupa care se trece la faza semiconcreta, în cadrul careia copiii vor împarti mintal, în acelasi numar de parti egale, diferite numere ce reprezinta obiecte pe care nu le au în fata si cu care nu lucreaza efectiv: piese, masini, pere, castane, precum si gaini, oua etc. În rezolvarea primelor exercitii de împartire, stabilirea rezultatului operatiei se face prin separarea efectiva în parti egale si distincte a numarului total de obiecte, iar verificarea se face prin înmultire. Îndata însa ce elevii dovedesc ca au patruns întelesul operatiei de împartire si au reusit sa-si însuseasca în conditii satisfacatoare mecanismul acestei operatii, trebuie sa depaseasca faza împartirii efective a obiectelor si sa treaca neîntârziat la stabilirea prin înmultire a rezultatului unei împartiri, realizându-se astfel legatura strânsa dintre cele doua operatii. Spre exemplu: 18 împartit în 6 parti egale fac 3, pentru ca 3 luat de 6 ori fac 18, ceea ce se scrie: 18 : 6 = 3, pentru ca 3 × 6 = 18. În stabilirea pe baza înmultirii a rezultatului unei împartiri nu numai ca nu se pot evita încercarile, dar se considera indicat sa se apeleze mereu la aceste încercari, întrucât ele aduc o contributie hotarâtoare la dezvoltarea gândirii si la întelegerea relatiilor de independenta dintre cele doua operatii aritmetice, punând astfel accentul pe ceea ce este esential în împartire, si anume faptul ca este operatia inversa înmultirii. Exemplu: 18 : 6 fac 1 ? NU, pentru ca 1 × 6 = 6, nu 18; 18 : 6 fac 2 ? NU, pentru ca 2 × 6 = 12, nu 18; 18 : 6 fac 3 ? DA, pentru ca 3 × 6 = 18.   Procedând în acest fel, elevii vor ajunge sa stabileasca rezultatele diferitelor împartiri numai pe baza tablei înmultirii pe care au învatat-o sau pe care o pot învata cu mai multa usurinta.   Exemplu: La împartirea 15 : 3, elevii vor stabili rezultatul raspunzând mintal la întrebarea: cât ori 3 fac 15 ? deci, 15 : 3 = 5 pentru ca 5 × 3 = 15. Un alt procedeu pentru stabilirea rezultatului unei împartiri si care se poate introduce treptat este procedeul gruparilor, adica al descompunerii deîmpartitului în doua, trei grupe, care se împart, adunându-se rezultatele. Exemplu: 12 : 3 = . 9 : 3 = 3 3 : 3 = 1 3 + 1 = 4 În ceea ce priveste exprimarea, este necesar sa se întrebuinteze la început exprimarea completa, corespunzatoare proceselor practice si de gândire care au loc: 18 împartit în 6 parti egale fac 3 si paralel cu aceasta sa se întrebuinteze exprimarea prescurtata: 18 împartit la 6 fac 3.   Caracteristici specifice împartirii numerelor naturale mai mici decât 100 -în cadrul numerelor pâna la 100 se studiaza atât împartirea în parti egale, cât si împartirea prin cuprindere (în aceasta ordine); -operatia de împartire se studiaza în strânsa legatura cu înmultirea, atât în ceea ce priveste stabilirea si motivarea rezultatului, cât si prin sesizarea relatiilor care duc la constatarea ca cele doua operatii sunt inverse una alteia, adica ceea ce se face prin înmultire se desface prin împartire invers; -împartirea în parti egale se bazeaza pe înmultirea cu înmultitorul constant, acesta devenind împartitor; -ordinea operatiilor este aceeasi ca si la înmultire.   Procedeele întrebuintate pentru stabilirea rezultatelor la împartire sunt urmatoarele:   -legatura dintre înmultire si împartire, legatura cu ajutorul careia se gaseste si se motiveaza rezultatul; Exemplu: 24 : 6 = ? Câtul este acel numar din înmultirea caruia cu împartitorul se obtine deîmpartitul, adica 4, deci: 24 : 6 = 4, pentru ca 4 × 6 = 24. -descompunerea deîmpartitului în termeni mai mici, astfel ca acesti termeni sa fie divizibili prin împartitor;   Exemplu: 56 : 7 = 8 pentru ca: 28 : 7 = 4 28 : 7 = 4 si 4 + 4 = 8. -împartirea succesiva a deîmpartitului prin factorii împartitorului; Exemplu:28 : 4 = 7, pentru ca: 28 : 2 = 14 si 14 : 2 = 7   Împartirea prin cuprindere se bazeaza pe înmultirea cu împartitorul constant.   Etapele metodice în tratarea împartirii prin cuprindere pot fi formulate astfel:   -formarea notiunii de împartire prin cuprindere, scrierea si citirea acestei împartiri. Pentru a ajunge la întelegerea acestor notiuni, trebuie sa se lamureasca si sa se delimiteze întelesul expresiilor: în parti egale, în grupe de câte … obiecte, grupate, cuprindere. În acest scop trebuie sa se utilizeze exemple concludente, legate de experienta si cunostintele elevilor. Astfel, elevii sunt asezati în banci câte doi, în grupe de câte doi, dar aceiasi elevi pot fi grupati câte 3, câte 4 etc., sau în grupe de câte 3, câte 4. Pentru o mai buna precizare a lucrurilor se un anumit numar de elevi, spre exemplu 16 si se fac toate gruparile posibile: câte 1, câte 2, câte 4, câte 8 si câte 16, stabilindu-se numarul grupelor formate si întrebuintându-se exprimarea corespunzatoare: 16 elevi împartiti în grupe de câte 2 elevi fac 8 grupe; 16 elevi împartiti în grupe de câte 4 elevi fac 4 grupe; 16 elevi împartiti în grupe de câte 8 elevi fac 2 grupe etc. Apoi se lamureste procesul de gândire care are loc pentru stabilirea grupelor precizându-se ca 16 elevi împartiti în grupe de câte 2 fac 8 grupe, adica 2 în 16 se cuprinde de 8 ori, fiindca 2 repetati de 8 ori fac 16, sau 16 elevi împartiti în grupe de câte 4 fac 4 grupe, adica 4 în 16 se cuprinde de 4 ori, fiindca 4 elevi repetati de 4 ori fac 16.   Dupa aceasta se trece la demonstrarea împartirii prin cuprindere întrebuintând diferite materiale didactice cu care lucreaza atât institutorul cât si elevii. Exemplu: Daca se lucreaza cu betisoare, acestea se grupeaza câte 1, câte 2, câte 4, stabilindu-se de fiecare data numarul grupelor ce se obtin, cu repetarea în cuvinte a procesului aritmetic: 12 betisoare împartite în grupe de câte 2 betisoare fac 8 grupe, pentru ca 2 se cuprinde în 16 de 8 ori etc.   Dupa tratarea a 2-3 exemple concrete, se trece la faza semiconcreta si apoi abstracta, stabilindu-se drept concluzie. 16 împartit în grupe de câte 2 fac 8, sau 2 se cuprinde în 16 de 8 ori; 16 împartit în grupe de câte 4 fac 4, sau 4 se cuprinde în 16 de 4 ori; 16 împartit în grupe de câte 8 fac 2, sau 8 se cuprinde în 16 de 2 ori etc.   Un exemplu sau doua din aceste operatii se scriu pe tabla si pe caiete, scotându-se în evidenta faptul ca scrierea acestei împartiri este cea cunoscuta, însa citirea ei se face altfel. Exemplu: Operatia: 16 : 4 = 4 se citeste ca împartire prin cuprindere astfel: 16 împartit în grupe de câte 4 fac 4, sau 4 în 16 se cuprinde de 4 ori. Numai dupa ce elevii încep sa patrunda sensul expresiilor care caracterizeaza împartirea prin cuprindere se poate trece la studiul sistematic al acestei operatii, tratându-se pe rând împartirea la 2 prin cuprindere, apoi la 3 si asa mai departe, în strânsa legatura cu înmultirea numarului respectiv si cu împartirea în parti egale prin acel numar.   -probleme de împartire prin cuprindere.   Tot ceea ce s-a aratat pâna aici în legatura cu împartirea prin cuprindere are drept scop sa familiarizeze pe elevi cu exprimarea caracteristica acestei împartiri si sa-i faca sa patrunda întelesul si esenta operatiei. Daca însa într-o problema este vorba de împartire prin cuprindere, sau de împartire prin parti egale, acestea se pot stabili numai prin textul problemei, mai ales ca forma sub care se scrie operatia corespunzatoare fiecarei împartiri este aceeasi si difera doar exprimarea.   Urmarind ca elevii sa faca distinctie clara între cele doua feluri de împartiri, este necesar sa se formeze, cu aceleasi date, o problema de împartire în parti egale si alta prin cuprindere. Spre exemplu: folosind relatia 15 : 3 = 5, se pot formula urmatoarele probleme: O cantitate de 15 litri de ulei s-a pus în mod egal în 3 bidoane. Câti litri de ulei s-au pus într-un bidon? Operatia se scrie: 15 l : 3 = 5 l si se citeste: 15 l împartit în 3 parti egale (bidoane) fac 5 l. O cantitate de 15 l de ulei s-a turnat în bidoane de câte 3 l . Câte bidoane sunt necesare? Operatia se scrie: 15 l : 3 l = 5 si se citeste: 15 l împartit în parti (bidoane) de câte 3 l fac 5 (bidoane), sau: 3 l se cuprind în 15 l de 5 ori, deci sunt necesare 5 bidoane.   La împartirea în parti egale se observa ca deîmpartitul si câtul sunt numere concrete (reprezinta unitati sau lucruri de acelasi fel), iar împartitorul este numar abstract si arata numarul partilor egale în care s-a facut împartirea. La împartirea prin cuprindere, deîmpartitul si împartitorul sunt numere concrete, iar câtul este numar abstract si arata de câte ori se cuprinde împartitorul în deîmpartit. Aceste observatii caracterizeaza în mod general cele doua feluri de împartire.   Împartirea numerelor naturale mai mici decât 1000   Consideratii generale Operatia de împartire este cea mai dificila dintre operatiile aritmetice, datorita complexitatii ei, varietatii cazurilor si caracteristicilor pe care le prezinta, cât si datorita faptului ca utilizeaza simultan toate cele trei operatii precedente. De aceea, studiul operatiilor de împartire si tratarea varietatii cazurilor ei solicita o mai mare concentrare a eforturilor si atentiei elevilor, o buna orientare metodica a institutorului si o adevarata maiestrie din partea acestuia în prezentarea sub o forma simpla, accesibila, a diferitelor cazuri, cu o dozare treptata si cu grija a dificultatilor. Astfel fiind, principiul fundamental al didacticii: de la usor la greu, de la simplu la compus îsi are aplicarea cu deosebire în predarea împartirii.   În ceea ce priveste exprimarea, aceasta devine dificila în cazul împartirii în scris, astfel ca necesitatea exprimarii complexe, cu denumirea unitatilor, apare numai în masura în care o reclama însusirea constienta a procedeelor. De aceea, de îndata ce elevii reusesc sa patrunda sensul împartirii si încep sa înteleaga tehnica operatiei, trebuie sa se staruie mereu si cu o perseverenta din ce în ce mai evidenta asupra formarii deprinderilor de calcul cu utilizarea mijloacelor tehnice proprii acestei operatii si pentru cunoasterea variatelor particularitati ale împartirii în scris. De altfel, în cazul împartirii, nu se poate vorbi de un anumit fel de exprimare completa, ca în cazul înmultirii, deoarece aceasta exprimare se confunda cu explicatia amanuntita si justificarea procedeelor adoptate, astfel încât tendinta spre o exprimare simplificata, spre o schematizare a procedeului de împartire în scris trebuie sa se manifeste de la primele exercitii ca o necesitate organica.   Clasificarea diferitelor cazuri de împartire prezinta de asemenea dificultati care pot fi înlaturate cu usurinta.   Cea mai frecventa clasificare o constituie aceea care se refera la numarul de cifre ale împartitorului, adica: împartirea la un numar de o singura cifra si împartirea la un numar de doua cifre. Fiecare din aceste cazuri implica procedee speciale si tratare separata. Împartirea orala   Împartirea orala cuprinde în primul rând: împartirea unui numar format din sute întregi la un numar de o singura cifra, apoi a unui numar format din sute si zeci, la un numar de o singura cifra, fiecare numar de sute si fiecare numar de zeci împartindu-se exact la împartitor.   Procedeul pentru împartirea sutelor se stabileste prin comparatie cu împartirea unitatilor si a zecilor, formulându-se observatia corespunzatoare; sutele se împart ca si unitatile, ca si zecile. Pentru împartirea unui numar format din sute si zeci, se împart întâi sutele, apoi zecile la împartitor, însumându-se rezultatele. Procedeul se stabileste prin aplicarea în acest caz a celor stabilite la împartirea zecilor si la împartirea sutelor. Exemplu: 480 : 4 = . 400 : 4 = 100 80 : 4 = 20 100 + 20 = 120   Întrucât elevii iau cunostinta pentru prima data de cazul împartirii incomplete, adica a împartirii cu rest, iar experienta arata ca însusirea acestor notiuni întâmpina serioase dificultati, din cauza ca necesita un mai înalt grad de patrundere a sensului împartirii, este necesar sa se acorde suficienta atentie acestei împartiri, cu atât mai mult cu cât în continuare împartirea cu rest este mai frecventa decât cea exacta, si odata ce notiunile sunt formate si fixate, se vor putea întrebuinta cu succes în rezolvarea cazurilor de împartire cu resturi succesive.   Din aceste motive se recomanda procedee metodice cât mai apropiate de nivelul de întelegere al elevilor, cât mai atractive si mai concludente. Primele exercitii de împartire cu rest trebuie sa reprezinte formularea matematica a unor actiuni ce se petrec în fata elevilor, pe care le realizeaza elevii însisi, facând constatari pe cazuri concrete si extinzând apoi aceste constatari la alte cazuri asemanatoare, concrete, semiconcrete sau abstracte.   Exemplu: Elevii sunt pusi sa împarta 2 creioane la 2 elevi, sa constate ca împartirea s-a facut exact si sa scrie matematic concluzia: 2 : 2 = 1. Apoi sa împarta 3 creioane la 2 elevi, sa constate ca fiecare elev primeste câte un creion, dar mai ramâne 1 creion, deci concluzia scrisa matematic este: 3 : 2 = 1, rest 1. În mod asemanator se va proceda în continuare cu împartirea a 4, 5, 6, … obiecte în doua parti egale, scriindu-se într-o coloana împartirile exacte si în alta coloana cele cu rest, astfel: 2 : 2 = 1 3 : 2 = 1, rest 1 4 : 2 = 2 5 : 2 = 2, rest 1 6 : 2 = 3 7 : 2 = 3, rest 1 si asa mai departe pâna la 10 sau chiar pâna la 20. Analizându-se împartirile scrise pe cele doua coloane, se poate stabili cu usurinta ca fiecare împartire din prima coloana s-a facut exact, deci toate acestea sunt împartiri exacte si fiecare din a doua coloana s-a facut cu rest, deci, toate sunt împartiri cu rest. La fel se procedeaza cu împartirile la 3, formulându-se concluzii asemanatoare, cu deosebirea ca în cazul împartirii la 3, resturile pot fi 1 sau 2 si facându-se constatarea ca fiecare din aceste resturi este mai mic decât împartitorul. Se procedeaza în acelasi fel cu împartirea numerelor 4, 5, 6, 7, 8, … la 4, a numerelor 5, 6, 7, … la 5 etc.   Pentru ca elevii sa se deprinda de pe acum cu verificarea cifrei de la cât, este indicat ca la fiecare împartire sa se faca si verificarea prin înmultire, la împartirea cu rest adaugându-se la produs restul. Exemplu: 7 : 3 = 2 rest 1, pentru ca 2 × 3 = 6 si cu 1 fac 7. Numai dupa ce elevii si-au format în mod clar si complet notiunea de împartire cu rest, spre deosebire de împartirea exacta, se poate trece la împartirea cu rest a unui numar format din zeci si unitati: 46 : 5; 27 : 8; 75 : 9, apoi a unui numar format din sute, zeci si unitati: 547 : 2; 928 : 3 etc.    Împartirea în scris   Cuprinde numeroase si variate particularitati. Se va prezenta ca exemplu împartirea unui numar de trei cifre la un numar de o singura cifra si anume în cazul când unitatile de fiecare ordin ale deîmpartitului se împart exact la împartitor. Acest caz de împartire se preda în clasa a IV-a, în cadrul împartirii unui numar natural mai mic ca 1000 la un numar de o cifra si este important din urmatoarele motive: -este primul caz de împartire în scris si deci cu ajutorul lui se introduc procedeele împartirii în scris, procedee care sunt noi si cu totul deosebite de cele întâlnite la celelalte operatii; -este singurul caz de împartire în scris care face legatura directa si completa cu împartirea orala, deoarece operatia se poate efectua cu usurinta si oral, câta vreme la toate celelalte cazuri urmatoare, calculul oral întâmpina dificultati, motiv pentru care la rezolvarea lor se renunta treptat la calculul oral, pe masura ce calculul în scris devine mai avantajos; -este singurul caz de împartire în scris care nu prezinta nici un fel de particularitate, astfel încât el ofera posibilitatea însusirii de catre elevi a tehnicii împartirii.   Pentru introducerea tehnicii împartirii, se poate proceda în felul urmator: Dupa ce s-a stabilit necesitatea efectuarii unei operatii din aceasta categorie, spre exemplu 369 : 3, ori cu ajutorul unei probleme, ori data direct ca exercitiu, se scrie operatia pe rând, apoi se efectueaza calculul oral cu scrierea operatiilor ajutatoare, dupa care elevii sunt anuntati ca li se va arata felul cum se face împartirea în scris, stabilindu-se în primul rând ca împartirea în scris se face ca si cea orala, împartindu-se pe rând unitatile deîmpartitului începând cu cele de ordinul cel mai mare, deci cu sutele si continuând cu zecile si unitatile simple, dar asezarea operatiei este deosebita. Împartitorul nu se mai aseaza sub deîmpartit si nici câtul, ci în rând. Se trece apoi la efectuarea în scris a operatiei. Utilizând exprimarea completa, adica cu denumirea unitatilor: 3 sute împartite în 3 parti egale fac 1 suta. Se scrie la cât 1 si se face proba: 1 ori 3 fac 3. Se scrie 3 sub sute, se trage linie, se scade si nu ramâne nimic. Deci sutele s-au împartit exact. Se împart acum zecile, dar pentru aceasta se iau separat, se coboara si se spune: 6 zeci împartite în 3 parti egale ... etc.   Dupa ce procedeul împartirii în scris este repetat de elevi, cu exprimarea completa, se trece la exprimarea prescurtata pe care o prezinta tot institutorul si pe care de asemenea o repeta elevilor. Exprimarea prescurtata este urmatoarea: 3 în 3 se cuprinde de o data (se scrie 1 la cât), pentru ca 1 ori 3 fac 3 (se scrie 3 sub sute), se trage linie, se scade si nu ramâne nimic (se trag doua linioare); se coboara 6; 3 în 6 se cuprinde de 2 ori (se scrie 2 la cât) ... etc.   Cu efectuarea calculelor la acest exercitiu tabla are urmatorul aspect: Scrierea operatiei Calculul oral Calculul în scris 369 : 3 = 123 300 : 3 = 100 369 : 3 = 123 60 : 3 = 20 3 . 9 : 3 = 3 = 6 6 . = 9 9 . =    

                                                    Conceptul de numar natural                                           Numerele naturale ca numere cardinale            Pentru a contura conceptul de numar natural se va porni de la notiunile de multime si relatie. A B   Fie A si B doua multimi. Se va spune ca cele doua multimi sunt echipotente daca exista o bijectie ƒ a multimii A pe multimea B. Acest fapt se scrie astfel: “A ~ B” si se citeste: multimea A este echipotenta cu multimea B. De exemplu, multimile A = {a1, a2, a3} si B = {b1, b2, b3} sunt echipotente - lucru ce rezulta din fig. 3.1.   Relatia de echipotenta “~” se bucura de urmatoarele proprietati: 1. Relatia de echipotenta “~” este reflexiva, adica A ~ A. 2. Este simetrica, adica, daca A ~ B _ B ~ A. 3. Este tranzitiva, adica, daca A ~ B si B ~ C _ A ~ C. Aceste proprietati se verifica imediat: 1. A ~ A, oricare ar fi multimea A, pentru ca functia ƒ : A ® A, ƒ(x) = x este o bijectie. 2. A ~ B _ B ~ A, caci daca exista o bijectie ƒ : A ® B, atunci exista functia inversa ƒ−1 : B ® A, care este tot o bijectie. 3. A ~ B si B ~ C _ A ~ C, deoarece daca exista functiile bijective ƒ : A ® B si g : B ® C, atunci functia compusa g ° ƒ : A ® C este tot o bijectie.   Relatia de echipotenta fiind reflexiva, simetrica si tranzitiva este o relatie de echivalenta. Înseamna ca multimile sunt împartite de relatia de echipotenta “~” în clase de echivalenta (disjuncte), numite clase de echipotenta.   Definitie: Se numesc cardinale, clasele de echipotenta determinate de relatia “~”. Clasa de echipotenta careia îi apartine multimea A se numeste cardinalul multimii A si se noteaza cu A , sau cu card A. Din definitie rezulta ca A = B Û A ~ B. Dupa cum se observa, definitia notiunii de numar cardinal este foarte abstracta deci ea nu poate fi introdusa astfel copiilor. Problema care se pune este cum trebuie introdus acest concept la micii scolari. Se impune ca institutorul sa înteleaga foarte bine semnificatia notiunii de aspect cardinal care sta la baza notiunii de numar natural.   Se considera o multime M si fie multimea partilor ei, P(M). O asemenea multime ar fi formata din multimea vida, din multimi cu câte un element, din multimi cu câte doua elemente s.a.m.d. Nu intereseaza natura elementelor acestor multimi. În aceasta multime P(M) exista submultimi vide, submultimi cu câte 1 element cu câte 2 elemente, cu câte 3 elemente etc.   Pe aceasta multime se defineste relatia de echipotenta “~”, astfel: multimea care are un triunghi este echipotenta cu multimea care are o steluta sau cu multimea formata dintr-un dreptunghi s.a.m.d. Deci, relatia de echipotenta strânge toate multimile care au aceasta proprietate, anume aceea de a avea un singur element, într-o clasa de echipotenta.   Aceasta clasa este numita numarul cardinal unu si se noteaza cu semnul 1. La fel, toate submultimile cu câte doua elemente sunt echipotente între ele formeaza o noua clasa, care este numita numarul cardinal doi si se noteaza cu simbolul 2. Se observa ca aceasta clasa nu are elemente comune cu prima, deci ele sunt disjuncte. Procedând în acelasi mod, relatia de echipotenta aduna într-o noua clasa toate submultimile cu câte trei elemente, obtinând astfel clasa numita numarul cardinal trei, care se noteaza cu semnul 3. Multimea vida va determina clasa careia i se spune zero si care se noteaza cu semnul 0. Se construiesc progresiv toate clasele de echipotenta, deci toate numerele cardinale. Ce trebuie înteles asadar, prin numarul cardinal 5? Se întelege clasa tuturor multimilor cu cinci elemente indiferent de natura elementelor lor (din cinci caiete, cinci creioane, cinci nuci, cinci copii etc.). Se retine numai proprietatea comuna de a avea cinci elemente. Trebuie, asadar, ca elevul sa înteleaga faptul ca numarul 2, de pilda, este proprietatea comuna a tuturor multimilor formate cu doua elemente etc. Se numeste numar natural cardinalul unei multimi finite. Deci, cardinalele construite pe aceasta cale, în exemplul de mai sus, sunt numere naturale. Multimea numerelor naturale este notata cu N si este formata din urmatoarele elemente: N = {0, 1, 2, 3, …}.   Aspectul cardinal al numarului natural   Înca din cele mai vechi timpuri omul a trebuit sa compare diferite multimi de obiecte pentru a vedea care multime contine mai multe obiecte. Astazi acest lucru se face prin numararea si compararea numerelor obtinute ca rezultate ale numararii. Aceasta presupune ca se cunosc deja numerele si ca se stie a se numara.   Cum procedeaza micul scolar în fata unei asemenea necesitati? El realizeaza o ordonare în perechi a elementelor multimilor ce se compara (bineînteles finite), adica realizeaza ceea ce se numeste corespondenta unu la unu. Daca aceasta ordonare se poate realiza, atunci cele doua multimi au tot atâtea elemente sau cele doua multimi, diferite prin natura elementelor lor, sunt echipotente. Daca însa toate elementele primei multimi sunt puse în corespondenta numai cu o parte a elementelor celei de a doua multimi, atunci se spune ca prima multime are mai putine elemente decât a doua sau ca a doua multime are mai multe elemente decât prima. În primul caz  a) multimile A si B au tot atâtea elemente. În cazul al doilea, multimea C are mai putine elemente decât multimea D, sau multimea D are mai multe elemente decât multimea C.   Toate multimile care pot fi ordonate complet în acest fel au o proprietate comuna, anume aceea ca au acelasi numar de elemente. Astfel se formeaza notiunea de numar cardinal.   Aspectul ordinal al numarului natural   Necesitatea de a stabili o ordine în interiorul unei multimi a condus la aspectul ordinal al numarului natural. Dupa un anumit criteriu, de exemplu, rezultatele la învatatura exprimate prin mediile obtinute, se poate alcatui o ierarhie a elevilor într-o clasa stabilind cine este primul la învatatura, cine este al doilea, al treilea s.a.m.d. (la o disciplina, sau ca medie generala etc.). Numarul de ordine atasat într-o asemenea succesiune se numeste numar ordinal. Aspectele cardinale si ordinale s-au dezvoltat într-o legatura permanenta unele cu altele si formeaza cele doua aspecte ale numerelor naturale, la care se adauga numarul zero.   Probleme generale si specifice ale predarii-învatarii numeratiei în gradinita si clasa I Copiii de vârsta scolara mica se gasesc în stadiul operatiilor concrete. Ei învata prin intuitie si manipulare directa de obiecte concrete, iar activitatea matematica reproduce, între anumite limite, spatiul fizic în care acestia se dezvolta.   Cercetarile psihologice arata ca la începutul vârstei scolare mici apar si se dezvolta primele operatii logice elementare: conjunctia, disjunctia logica si negatia. Formarea multimilor dupa una sau mai multe proprietati ale elementelor lor cultiva si dezvolta copiilor capacitatea de a lega între ele proprietatile obiectelor care alcatuiesc o multime, cu ajutorul elementelor de relatie: sau - corespunzator disjunctiei, si - corespunzator conjunctiei, nu - corespunzator negatiei. Tot prin activitati practice, mânuind materialul didactic si verbalizând actiunile folosind: conjunctia, disjunctia si negatia se introduc operatiile cu multimi: reuniunea, intersectia si diferenta a doua multimi.   Pentru întelegerea si însusirea operatiilor cu multimi este necesar ca institutorul sa foloseasca jocurile logico-matematice, jocul disjunctiei, al conjunctiei, al negatiei, al perechilor, jocuri de formare a unei multimi, jocuri de ordonare a elementelor unei multimi etc.   În activitatile cu multimi, institutorul va folosi întotdeauna un limbaj matematic clar, precis, pe întelesul si la nivelul de pregatire al copiilor. Plecând de la activitati logice de comparare a multimilor, copiii vor deveni constienti de modul în care se stabileste corespondenta (element cu element) a doua multimi - suportul constituindu-l numeroase situatii de viata. Introducerea conceptului de numar natural impune, ca o etapa premergatoare, familiarizarea copiilor cu notiunea de relatie de echivalenta a multimilor, de clasa de echivalenta, de echipotenta între multimi stabilita de relatia bijectiva tot atâtea, precum si de relatia de ordine folosindu-se expresiile mai multe, mai putine.   Activitatea de punere în corespondenta a elementelor a doua multimi se poate desfasura în doua directii principale: - stabilirea echipotentei a doua multimi (prin relatia de corespondenta element cu element), - construirea multimilor echipotente cu o multime data (formând o clasa de echivalenta). O atentie deosebita trebuie sa se acorde mijloacelor materiale si de comunicare, formularii concluziilor, manipularii obiectelor prin care se formeaza sau se pun în corespondenta multimile si folosirii unui limbaj adecvat. De exemplu, în loc de functie bijectiva se poate spune: corespondenta element cu element sau se foloseste relatia: tot atâtea elemente, care este o relatie de echivalenta, iar în loc de multimi echipotente se spun: multimi cu tot atâtea elemente (care au acelasi cardinal).   Corespondenta element cu element a doua multimi se poate indica grafic prin unirea cu o linie a unui element dintr-o multime cu un element din cea de-a doua sau prin alaturarea la fiecare element din prima multime a unui element din cea de-a doua multime. Folosirea rigletelor ofera institutorului posibilitatea sa efectueze cu copiii corespondente între elementele unei multimi oarecare, iar o multime formata din riglete unitati dispuse în linie da posibilitatea copiilor sa gaseasca riglete cu acelasi numar de unitati cât este numarul elementelor unei multimi (prin punere în corespondenta).   Familiarizarea copiilor cu rigletele se realizeaza dupa ce în prealabil s-au efectuat exercitii de recunoastere a culorilor si de egalizare a lungimilor. Comparând doua riglete copiii vor deduce daca au aceeasi lungime sau nu, vor aseza în prelungire doua sau mai multe riglete pentru a egala o rigleta de lungime mai mare. Cu ajutorul rigletelor se realizeaza o întelegere mai rapida a compunerii si descompunerii unui numar, utila apoi în efectuarea operatiilor aritmetice.   În prima parte a unei activitati de predare a unui numar se efectueaza exercitii prin care se consolideaza si se verifica în ce masura copiii stapânesc cunostintele si deprinderile necesare pentru întelegerea numarului nou.   În cadrul unei lectii se efectueaza cu copiii exercitii ca: -formarea multimilor; -echipotenta multimilor; -raportarea numarului la cantitate si a cantitatii la numar; -numaratul în limite cunoscute; -stabilirea vecinilor numerelor; -exercitii de adunare si scadere cu o unitate. Dupa efectuarea exercitiilor cu caracter pregatitor, se trece la predarea numarului nou.   Compunerea si descompunerea numerelor naturale Compunerea si descompunerea numerelor naturale trebuie sa aiba ca punct de plecare procesul de formare a numarului prin adaugarea unei unitati la numarul anterior. Prin exercitii de compunere si descompunere se realizeaza întelegerea componentei numarului si pregatirea copiilor pentru însusirea operatiilor aritmetice de adunare si scadere.   Pentru a usura întelegerea compunerii unui numar, se pot confectiona tablouri individuale în doua culori. Folosind materialul primit, de exemplu 5 creioane, se va cere copiilor sa gaseasca variante de compunere a numarului 5, asezând un numar diferit de creioane pe ambele culori ale tabloului. Fiecare copil anunta posibilitatile gasite (3+2, 4+1, 1+4, 2+3, 0+5), explicând cum a lucrat. Pentru a cunoaste toate variantele de compunere a numarului 5, se vor efectua exercitii pe tabla magnetica. Se va aseza pe tabla o multime cu 4 creioane, se va cere copiilor sa numere elementele multimii si sa aseze alaturi cifra corespunzatoare. Se va solicita apoi copiilor sa specifice câte creioane trebuie adaugate pentru a avea 5. Se va trage concluzia ca numarul 5 a fost compus dintr-o multime cu 4 elemente la care s-a reunit o multime cu un element. În continuare se va proceda la fel în cazul compunerii numarului 5 din: 3+2, 2+3, 1+4, 0+5.   Compunerea se poate realiza si prin desen. Copiii pot desena un numar de patratele pe care le coloreaza în doua culori, dupa preferinta. La examinarea desenelor se va arata câte patratele au o culoare si câte alta culoare. Pentru descompunerea numerelor, copiii vor primi câte un cartonas despartit în doua parti egale. Imaginar, acest cartonas reprezinta o vitrina cu doua rafturi, pe care copiii trebuie sa aseze 5 mingi, dupa preferinta. Discutând variantele gasite de copii, acestia sunt dirijati sa ajunga la concluzia ca, oricum ar aseza elementele multimii, tot cinci sunt. În ultima parte, se procedeaza ca în cazul compunerii. Institutorul va aseza toate elementele multimii pe raftul de sus si va lua pe rând câte o minge si o va aseza pe raftul de jos. Copiii vor citi variantele descompunerii numarului 5 în: 5 si 0, 4 si 1, 3 si 2, 2 si 3, 1 si 4, 0 si 5. Trebuie sa li se atraga atentia copiilor ca fiecare numar este format din unitati si ca atunci când este descompus în doua numere, acestea doua sunt mai mici fiecare decât numarul descompus, dar ca împreuna formeaza acelasi numar Este bine ca aceste grupari, în cazul compunerii si descompunerii numerelor sa fie citite ca exercitii de adunare si scadere, apoi scrise la tabla magnetica cu ajutorul cifrelor. Operatiile de calcul mintal (adunarea si scaderea) au la baza tocmai aceste reguli pe care copilul le-a descoperit asezând obiectele în diverse combinatii.     Predarea-învatarea numerelor naturale în concentrul 0-10 Metodologia formarii conceptului de numar natural se bazeaza pe faptul ca elevii din clasele I-IV se afla în stadiul operatiilor concrete, învatând în special prin intuire si manipulare directa a obiectelor. Pe masura apropierii de clasa a IV-a are loc trecerea treptata catre general si abstract.   În formarea conceptului de numar natural, actiunea va precede intuitia, parcurgându-se urmatoarele etape: -activitati si actiuni cu multimi de obiecte (etapa actionala); -schematizarea actiunii si reprezentarea grafica a multimilor (etapa iconica); -traducerea simbolica a actiunilor (etapa simbolica).   Raportul dintre aceste etape se schimba în mod treptat pe parcursul evolutiei de la intuitiv la logic, de la concret la abstract. La început se va acorda un volum mai mare de timp activitatilor cu multimi de obiecte, dupa care, treptat, se vor utiliza, cu precadere, corespondentele realizate grafic pe tabla sau pe fise întocmite de institutor si difuzate copiilor.   La conceptul de numar elevul ajunge progresiv si dupa o anumita perioada pregatitoare. În aceasta perioada este initiat în activitati de compunere si punere în corespondenta a multimilor pentru a desprinde ideea de multimi echivalente sau multimi care au acelasi numar de elemente, de constituire, dupa anumite criterii, de submultimi date, de numarare a elementelor unei multimi, de transpunere prin simboluri a unei multimi.   Înregistrarea în scris a numarului reprezinta o etapa superioara a procesului de abstractizare. Scrierea numerelor ridica, de cele mai multe ori, dificultati de ordin psihologic pentru copil, unele chiar mai mari decât greutatile pe care el le întâmpina când învata sa scrie primele semne ale alfabetului. Cifra reprezinta semnul grafic al numarului, asa cum litera reprezinta semnul grafic al sunetului. Dificultatile sporesc fiindca el trebuie sa realizeze o legatura strânsa între trei elemente: conceptul numeric, exprimarea sa verbala si semnul grafic.   Scrierea de mâna a cifrei se face o data cu predarea corespunzatoarea numarului pentru a se realiza o strânsa legatura între numar, exprimarea sa verbala si simbolul sau grafic. Activitatile de stabilire a corespondentei element cu element a multimilor urmaresc sa dezvolte la copil întelegerea continutului esential al notiunii de numar, ca o clasa de echivalenta a multimilor finite echipotente cu o multime data.   Elevii construiesc multimi echivalente cu o multime data si, în acest proces activ de comparare, înteleg mai bine proprietatile numerice ale multimilor care au acelasi numar de elemente. Folosind denumirea de multimi cu tot atâtea elemente se detaseaza progresiv, notiunea de numar ca o clasa de echivalenta.   Clasa tuturor multimilor finite echivalente cu multimea cu un singur element este numarul natural 1. Clasa multimilor echivalente cu o multime cu doua elemente este numarul natural 2. Clasa multimilor echivalente cu o multime cu trei elemente este numarul natural 3 s.a.m.d. O atentie speciala trebuie acordata procesului de întelegere a semnificatiei cifrei 0 (zero), deoarece aceasta reprezinta pentru copil o dubla abstractie: cifra zero nu mai exprima ceva concret, ea este simbolul clasei de multimi care nu au nici un element, adica a multimilor vide.   Pentru a-i deprinde pe elevi cu succesiunea numerelor este necesar ca, în acelasi timp cu introducerea numarului nou, sa se predea si relatia de ordine a acestuia cu numarul si numerele predate anterior (în ordine crescatoare si descrescatoare).   Procesul constructiei sirului numerelor pâna la 10 se face progresiv. Din clasa multimilor echivalente cu o multime data se aleg 2-3 multimi model, ca reprezentanti ai clasei. Esential este ca elevii sa înteleaga faptul ca exista un numar nesfârsit de multimi echivalente cu multimea model, precum si distinctia dintre numar si semnul sau grafic.   Însusirea constienta a notiunii de numar natural se fundamenteaza pe: -întelegerea de catre copil a numarului ca proprietate a multimilor cu acelasi numar de elemente (cardinalul multimilor echivalente); -întelegerea locului fiecarui numar în sirul numerelor de la 0 la 10 (aspectul ordinal al numarului); -întelegerea semnificatiei reale a relatiei de ordine pe multimea numerelor naturale si a denumirilor corespunzatoare (mai mare, mai mic); -cunoasterea cifrelor corespunzatoare numarului; -citirea cifrelor de tipar si scrierea cifrelor de mâna.   Elevii trebuie sa înteleaga ca relatia de ordine pe multimea numerelor naturale nu este data de denumirea lor, care de multe ori se învata mecanic, ci de relatiile mai mic sau mai mare care se stabilesc între numere si care corespund relatiilor: mai putin sau mai mult între multimile ce reprezinta numerele date.   Din punct de vedere metodico-stiintific, numarul natural poate fi introdus pe baza: -notiunii de corespondenta element cu element între multimi finite; -notiunii de succesiune din axiomatica lui Peano; -exprimarii rezultatului masurarii unei marimi.   Calea cea mai folosita de predare a numerelor naturale este prima si se realizeaza parcurgând urmatoarele etape: -se construieste o multime de obiecte având atâtea elemente cât este ultimul numar cunoscut; -se construieste o alta multime echipotenta cu prima; -se adauga la cea de a doua multime înca un element; -se constata, prin formarea de perechi, ca noua multime are cu un obiect mai mult decât prima multime; -se specifica numarul elementelor si modul de obtinere a multimii noi; -se construiesc si alte multimi echipotente cu a doua multime, formate din alte obiecte, pentru a sublinia independenta de alegerea reprezentantilor; -se prezinta cifra corespunzatoare noului numar introdus; -se fac exercitii variate cu caracter aplicativ pentru fixarea numarului predat; -se cere copiilor: sa descopere în clasa multimi care sa aiba un numar de elemente corespunzator numarului predat, sa aseze pe etajera un anumit numar de carti, sa determine prin pipait numarul de obiecte, sa bata din palme de un anumit numar de ori, sa stabileasca locul numarului în sirul numerelor naturale, sa formeze scara numerica.   Predarea-învatarea numerelor naturale în concentrul 10-100   În aceasta etapa sunt urmarite urmatoarele aspecte de baza, specifice ei; -întelegerea zecii ca unitate de numeratie, baza a sistemului utilizat; -largirea notiunii de zece ca unitate de calcul, scrierea si citirea numerelor formate din zeci, introducerea notiunii de suta. -formarea, citirea, scrierea si compararea numerelor naturale formate din zeci si unitati; -relatia de ordine realizata prin compararea si ordonarea numerelor învatate; -constientizarea semnificatiei cifrelor dupa locul pe care îl ocupa în scrierea numerelor.   Modalitatea de introducere a numerelor naturale mai mari decât 10 este similara cu cea din concentrul anterior învatat. De exemplu pentru a introduce numarul 11 se pleaca de la cea mai mare multime formata (cea cu 10 elemente), lânga care se formeaza o multime cu un element (se poate face pe table magnetica, cu figurine, cu riglete, urmata de desen pe tabla). Se reunesc cele doua multimi, obtinându-se o multime formata din 10 elemente si înca un element. Se spune ca aceasta multime are 11 elemente si ca semnul grafic sau simbolul acestui numar este “11” , adica doua cifre 1, prima reprezentând zecea si cea de-a doua, unitatea adaugata zecii respective. Se continua cu aplicatii gen comparatii: 10 < 11, 11 > 10, etc. Se pot gasi toate posibilitatile de compunere a numarului 11.   Cu introducerea numarului 20, ca o zece si înca alte 10 unitati, adica doua zeci, se încheie etapa de baza în scopul întelegerii ulterioare a modului de formare, scriere si citire a oricarui numar natural. Prin scrierea numerelor formate din zeci si unitati, elevii iau contact cu ideea de baza a sistemului zecimal de scriere si notare a numerelor. Institutorul va pune accent pe pronuntia si scrierea corecta a numerelor.   Predarea-învatarea numerelor naturale scrise cu trei sau mai multe cifre   În predarea-învatarea numerelor naturale scrise cu trei sau mai multe cifre se foloseste analogia cu procedeele din concentrul anterior învatat. Se formeaza ideea ca 10 unitati de un anumit fel formeaza o unitate noua, mai mare. Elevii adauga la unitatile de numeratie cunoscute: unitatea simpla, zecea, unitati noi: suta, mia, s.a.m.d., fixându-si ideea ca zece sute formeaza o mie, s.a.m.d.   Predarea oricarui numar natural mai mare decât o suta se realizeaza dupa algoritmul cunoscut de la formarea numerelor naturale mai mari decât 10: o suta si înca o unitate formeaza 101, s.a.m.d. Problema metodica noua ce apare în acest concentru este legata de formarea, citirea si scrierea numerelor ce contin pe 0 (zero), care semnifica absenta unitatilor de un anumit ordin.   Tot acum se introduc notiunile de: ordin (ce reprezinta numarul de ordine în scrierea numarului: unitatile vor fi numite unitati de ordinul întâi, zecile –unitati de ordinul doi, sutele –unitati de ordinul trei, unitatile de mii –unitati de ordinul patru, zecile de mii –unitati de ordinal cinci, s.a.m.d.) si clasa (o structura noua formata dintr-un grup de trei ordine consecutive: ordinele întâi, doi si trei formeaza clasa unitatilor, ordinele patru, cinci si sase -clasa miilor, ordinele sapte, opt si noua –clasa milioanelor, s.a.m.d., sugerând astfel ca procedeul poate fi aplicat în continuare la nesfârsit, deci ca exista numere naturale oricât de mari).   În scrierea numerelor naturale din acest concentru evidentierea claselor se realizeaza prin plasarea unui spatiu liber între ele. Se vor forma deprinderi corecte si constiente de citire si scriere a numerelor naturale de mai multe cifre, în special a celor în care lipsesc una sau mai multe unitati de un anumit ordin. Se vor realiza corelatii interdisciplinare, se va matematiza realitatea înconjuratoare obtinând numeroase posibilitati de exersare a numerelor, se va utiliza frecvent jocul didactic matematic.