Matematica definitivat 2023-2024. Metodica predării matematicii

Metoda comparaţiei   Comparaţia, ca operaţie a gândirii, este des utilizată de către elevii din învăţământul primar şi la alte discipline decât matematica:   Literatură, compararea unor personaje literare;   Ştiiinţe, compararea a două plante, animale;   Geografie, compararea unor forme de relief;   Istorie, compararea unor perioade istorice.   Aşadar pentru a face o comparaţie, trebuie să existe cel puţindouă elemente analizate, comparate.   În aritmetică metoda comparaţiei se aplică, după cum vom demonstra, prin algoritmi de calcul precişi, iar operaţiile ce compun aceşti algoritmi sunt la îndemâna elevilor, fiind operaţii matematice uzuale pe care ei le-au învăţat.   Aceşti algoritmi vor conduce la eliminarea succesivă a unormărimi ale problemei până când problema rămâne cu o singură necunoscută ce urmeaza a fi aflată. Există două procedee principale de a realiza această eleiminare:   A. Eliminare prin reducere B. Eliminare prin înlocuire   Problemele de categoria A se disting prin faptul că în ele sunt prezentate două (uneori trei) mărimi caracterizae în două (respectiv trei) situaţii diferite, existând de fiecare dată un element de legăatură între mărimi.               Exemplu:       Pentru 3 pixuri şi 6 stilouri s-au platit 135 000 lei, iar                         Pentru 3 pixuri şi 4 stilouri s-au plătit 95 000 lei.  Cât costă un pix şi cât costă un stilou ?               În această problemă se disting:  - cele doua mărimi: pixuri şi stilouri -           două situaţii diferite:  a) 3 pixuri şi 6 stilouri b) 3 pixuri şi 4 stilouri elementul de legătură între mărimi (în fapt o altă mărime) valoarea cumulată a pixurilor şi stilourilor în fiecare din cele două situaţii: -       135 000 lei şi respectiv 95 000 lei.   Cele două mărimi pot fi : lucruri (rigle şi creioane, cărţi şi caiete, stofă şi mătase) fiinţe (cai şi vaci, capre şi oi) fructe (mere şî pere, struguri şi prune) figuri geometrice (triunghiuri şi pătrate)   Valorile atribuite unei mărimi în situaţii diferite sunt diferite (cel puţin pentru una din mărimi). În cazul nostru diferă doar valorile numerice atribuite mărimii „stilouri”, mărimea „pixuri” păstrând aceeaşi valoare numerică în cele două situaţii prezentate.   Procedeul de „eliminare prin reducere” constă în eliminarea uneia dintre mărimi care are, sau ajunge să aibă, valori identice în situaţii diferite. Scrierea datelor unele sub altele, conform enunţului, aşa încât ele să poată fi uşor comparate, este de mare importanţă.   Pentru a ilustra aplicarea acestui procedeu vom rezolva problema enunţului mai sus. Scrierea datelor:   3 pixuri .................... 6 stilori ....................135 000 lei 3 pixuri .................... 4 stilouri ....................95 000 lei   Din compararea datelor se observă că numărul pixurilor este acelaşi şi, deci, diferenţa de valoare se datorează numai deferenţei dintre numărul de stilouri cumpărat prima dată şi numărul de stilouri cumpărat a doua oară.   Aşadar eliminăm pixurile şi obţinem:   2 stilouri .................... 40 000 lei , de unde rezultă 1 stilou .................... 40 000: 2 = 20 000 lei   În continuare rezolvarea devine simplă:   Se calculează, într-una dintre situaţii, valoarea stilourilor: 6 x 20 000 = 120 000 (lei costă 6 stilouri)   Se face diferenţa pentru a afla cât costă pixurile:  135 000 – 120 000 = 15 000 (lei costă 3 pixuri) Se calculează preţul unui pix:  15 000: 3 = 5000 lei.   În cazul problemelor de categoria B, compararea mărimior conduce la înlocuirea unei mărimi necunoscute cu alta, reducându-se astfel numărul de necunoscute. Comparaţia duce la observaţia existenţei unei relaţii între cele două mărimi exprimată prin diferenţa valorilor ce li se atribuie sau prin raportul acestor valori.   Exemplu :      Pentru 3 creioane şi 2 stilouri s-au plătit 46 000 lei.Cât costă un stilou şi cât costă un creion dacă un stilou costă cât 10 creioane ?             Rezolvare:                      3 creioane ..................... 2 stilouri ...................... 46 000 lei                                         3 creioane .................... 20 creioane ................... 46 000 lei                                       23 creioane ....................................................... ...46 000 lei                                          1 creion .................................................. 46 000: 23 = 2 000 lei                                          1 stilou ................................................... 2 000 x 10 = 20 000 lei 

 Metoda presupunerii (a falsei ipoteze)   Există situaţii când, în încercarea de a „debloca” rezolvarea unei probleme, ne întrebăm ce consecinţe ar produce modificarea unora din datele iniţiale. Comparând aceste consecinţe cu enuntul problemei, sesizam anumite nepotriviri şi încercăm să aflăm cauzele lor. Odată aflate cauzele, putem stabili şi drumul spre rezolvare.   Numărul ipotezelor (al presupunerilor) este variabil şi depinde de complexitatea problemei. La limită, şi rezolvarea prin încercări, care presupune cercetarea situaţiilor create prin atribuirea tuturor valorilor posibile mărimilor necunoscute (uneori însoţită de justificarea logică a renunţării la anumite valori) se încadrează în această metodă.   1. Într-un parc se plimbau 15 copii cu biciclete şi triciclete care au în total 39 roţi. Câţi copii se plimbau cu biciclete?   Presupunem că cei 15 copii se plimbau doar pe biciclete. Acestea ar avea: 15 roţi x 2 = 30 roţi Constatam că în felul acesta nu au fost luate în considerare:  39 roţi – 30 roţi = 9 roţi   De ce ? Pentru că la fiecare tricicletă s-a neglijat : 3 roţi – 2 roţi = 1 roată   De câte ori s-a întâmplat aşa ceva ? De 9: 1 = 9 ori   Deducem că există 9 triciclete. Aflăm apoi că există 15 – 9 = 6 biciclete Răspuns: 6 biciclete     2. Un turist urcă pe munte cu viteza de 3 km/h şi coboară cu viteza de 5 km/h. ştiind că deplasarea dus-întors a durat 8 ore (excluzând timpul pentru staţionarea din varf) să se afle ce distanţă a parcurs turistul.     Să speram că duratele deplasării la dus şi respectiv la întors sunt numere naturale. În acest caz numărul de km parcurşi la urcare (egal cu cel de la coborâre) se împarte exact la 5 şi la 3. Să presupunem că la urcare sunt 30 km şi la coborâre tot atat. Atunci durata totală a deplasării este:  30: 3 + 30: 5 = 16 (ore)   Adică de două ori mai mult decât în realitate. Înseamnă că de fapt sunt  30: 2 = 15 km şi verificând constatăm că 3 + 15: 5 = 8 ore, ceea ce confirmă că d = 15 km.     3. Un copil cumpără 15 caiete de 5 000 lei, 7 000 lei şi respectiv, 10 000 lei, plătind 117 000. Numărul caietelor de 10 000 lei este de două ori mai mare decât al celor de 5 000 lei. Câte caiete sunt de fiecare fel?   5 000 + 2 x 10 000 = 25 000 lei (costă o grupă formată dintr-un caiet de 5 000 lei şi 2 caiete de 10 000 lei) 7 000 x 15 = 105 000 (lei ar costa caietele dacă toate ar fi de 7 000 lei/buc) 117 000 lei – 105 000 = 12 000 (lei s-ar economisi) 25 000 lei – 3 x 7 000 lei = 4 000 (lei s-ar economisi la fiecare grupă formată dintr-un caiet de 5 000 lei şi 2 caiete de 10 000 lei. 12 000: 4 000 = 3 (grupe formate din 2 caiete de 10 000 lei/buc şi 1 caiet de 5 000 lei buc) 15 caiete – 3x3 caiete = 6 (caiete de 7 000 lei bucata) 3 x 1 = 3 (caiete de 5 000 lei bucata) 3 x 2 = 6 (caiete de 10 000 lei bucata)  

  Metoda mersului invers.     În general o problemă din această categorie are ca cerinţă aflarea valorii iniţiale a unei mărimi, valoare ce a fost supusă unor modificări succesive, prezentate în text, rezultatul final al acestor modificări fiind cunoscut. Este vorba deci de alfarea unui număr nucunoscut asupra căruia s-au efectuat anumite operaţii al căror rezultat este cunoscut.   Analizând textul problemei vom constata că pentru rezolvarea ei pornim de la ultima valoare cunoscută şi aflăm succesiv valorile premergătoare ei până ajungem să aflăm valoarea iniţială. Dacă textul segerează anumite oparaţii, într-o anumită ordine pentru rezolvarea problemei vom efectua de regulă operaţii inverse celor indicate de text şi în ordinea inversă ordinii din text.   1. M-am gândit la un număr, l-am împărţit la 4, la rezultat am adunat 8 iar din suma obţinută înjumătăţită am scăzut 5 şi apoi am înmulţit cu 2 obţinând 18. La ce număr m-am gândit?   Vom transforma problema compusă într-o succesiune de probleme simple: „Ce număr înmulţim cu 2 ca să obţinem 18 ?” 18: 2 = 9 „Din ce număr scădem 5 ca să obţinem 9 ?” 9 + 5 = 14 „Ce număr înjumătăţim ca să obţinem 14 ?” 14 x 2 = 28 „Ce număr adunăm cu 8 ca să obţinem 28 ?” 28 – 8 = 20 „Ce număr împărţim la 4 ca să obţinem 20 ?” 20 x 4 = 80   Observaţie: Problema poate fi reprezentată sub formă de exerciţiu astfel: [(x: 4 + 8): 2 – 5] x 2 = 18, la care avem rezolvarea cu rezultatul x = 80.   Este şi motivul pentru care în rezolvarea unor astfel de probleme se spune că se foloseşte metoda mersului invers, ceea ce în multe situaţii este şi adevărat.   2. Mama lasă într-o farfurie prune pentru cei trei copii ai săi. Fiecare vine şi, neştiind dacă ceilalţi au venit şi au consumat din fructele lăsate de mama, consumă o treime din prunele pe care le găseşte. Când vine mama constată că fiecare copil a mâncat prune şi că au rămas 8 prune. Câte prune au fost la început ?   Rezolvare:  8: 2 = 4 (prune, reprezintă 1/3 din ce a găsit al III-lea) 4 x 3 =12 (prune, a lăsat al II-lea) 164: 2 = 6 (prune, 1/3 din ce a găsit al II-lea) 6 x 3 = 18 (prune, a lăsat primul) 18: 2 = 9 (prune, 1/3 din ce a găsit primul) 9 x 3 = 27 (prune, a găsit primul copil)   Formularea acestei probleme, destul de des întâlnită la problemele din această categorie îndreptăţeşte denumirea de „probleme de rest din rest” care mai este folosită la astfel de probleme.   3. M ergând în excursie un copil cheltuieşte a şaptea parte din banii pe care-i avea şi încă 20 000 lei în prima zi. A doua zi cheltuieşte o pătrime din rest şi încă 20 000 lei iar a treia zi cheltuieşte două cincimi din noul rest şi încă 10 000 lei şi-i mai rămân 50 000 lei.  Ce sumă a avut copilul la început? Dacă în prima zi se cheltuia numai 1/7 din sumă aveam :   Cum s-au cheltuit şi cei 20 000, după a doua zi, dacă ar fi cheltuit numai ¼ din rest ar fi avut:   Cheltuindu-se şi cei 20 000 lei a doua zi, dacă în a III-a zi se cheltuia numai 2/5 din ultimul rest am fi avut:    Rezolvare: 50 000 + 10 000 = 60 000 (lei ar fi rămas dacă în a III-a zi se cheltuia numai 2/5 din rest) 60 000: 3 = 20 000 (lei reprezintă 1/5 din suma ramasă după a II-a zi) 20 000 x 5 = 100 000 (lei rămaşi a II-a zi) 100 000 + 20 000 = 120 000 (lei ar fi rămas dacă a II-a zi se cheltuia numai ¼ din cea rămas după prima zi) 120 000: 3 = 40 000 (lei, ¼ din suma rămasă după prima zi) 40 000 x 4 = 160 000 (suma rămasă după prima zi) 160 000 + 20 000 =180 000 (lei, suma ce ar fi rămas după prima zi dacă cheltuia numai ½ din sumă) 180 000: 6 = 30 000 (lei, 1/7 din suma avută) 30 00 x 7 = 210 000 (lei, suma avută)

Metoda reducerii la unitate.     Două mărimi care depind una de alta se numesc direct/ invers proporţionale dacă, atunci când una din ele creşte de un număr de ori, cealaltă se micşorează de acelaşi număr de ori. Metoda reducerii la unitate se aplică în rezolvarea problemelor în care se face referire la o mărime ce depinde direct sau invers proporţional de una sau mai multe mărimi.   Metoda constă în evidenţierea numărului de unităţi dintr-o mărime ce corespun d unei unităţi dintr-o altă mărime, numărul respectiv fiind ceea ce numim factor de proporţionalitate.   Alegerea mărimii care va fi redusă la unitate este deosebit de importantă, mai ales la clasele primare, unde unele operaţii nu pot fi efectuate. Cele 210 kg de roşii recoltate într-o zi din grădină sunt ambalate pentru piaţă în 30 de lădiţe.   Câte lădiţe vor fi necesare pentru a ambala în altă zi 350 kg de roşii? 210 kg …………………………..30 lădiţe 350 kg ………………………….. ? lădiţe   Judecata şi rezolvarea: Dacă în 30 de lădiţe sunt 210 kg de roşii, atunci într-o lădiţă sunt de 30 de ori mai puţine kg, adică: 210 kg: 30 = 7 kg Câte grupe de câte 7 kg se pot forma cu 350 kg? 350 kg: 7 kg/lădiţă = 50 lădiţe   10 caiete costă 48 000 lei. Cât costă 7 caiete ? 10 caiete ………………………….. 48 000 lei 7 caiete   ………………………….. ? lei   Rezolvare:    48 000: 10 = 4 800 (lei, costă un caiet) 4 800 x 7 = 33 600 (lei, costă 7 caiete)   Observaţie: de regulă reducem la unitate o mărime cunoscută, ca în problema rezolvată mai sus, dar sunt şi situaţii când reducem la unitate mărimea în care intervine necunoscuta, ca în problema rezolvată 1.   15 muncitori pot termina o lucrare în 8 zile. În câte zile ar termina lucrarea 6 muncitori care muncesc în acelaşi ritm mediu ca ceilalţi 15 ? 15 muncitori ………………………….. 8 zile 6 muncitori  ………………………….. ? zile   Judecata şi rezolvarea:   Dacă 15 muncitori pot termina o lucrare în 8 zile, atunci un muncitor ar termina-o în de 15 ori mai multe zile : 15 x 8 = 120 (zile)   Dacă un muncitor termină lucrarea în 120 zile, atunci 6 muncitori ar termina lucrarea în de 6 ori mai puţine zile : 120: 6 = 20 (zile)   Aceeaşi problemă poate fi abordată şi în alt mod:   Acceptând că realizează zilnic aceeaşi parte din lucrare – pe care o numim normă – atunci 15 muncitori realizează într-o zi 15 norme, iar în 8 zile realizează: 15 norme x 8 = 120 norme lucrători realizează într-o zi 6 norme. În câte zile vor realiza ei 120 norme ? Obţinem acest rezultat dacă aflăm de câte ori se cuprinde 6 în      120 norme: 6 norme/zi = 20 zile   20 de robinete cu acelaşi debit sunt deschise pentru a evacua în 30 de minute apa dintr-un bazin. După 10 minute, 4 robinete se defectează şi sunt închise. Care este, în aceste condiţii, durata totală de golire a bazinului?              După 10 minute:           20 robinete …………….20 minute ……………. rest bazin                                                   16 robinete …………….  ? minute ……………. rest bazin                       Rezolvare:                     20 robinete ……………. 20 minute ……………. rest bazin                                                   1 robinet ………20 min x 20 = 400 min…….....rest bazin   16 robinete …….400 min: 16 = 25 min ……..rest bazin 25 min + 10 min = 35 min (durata totală)   În 6 zile, 100 vite consumă 6000 kg de furaj. În câte zile 120 de vite vor consuma 9 600 kg de furaj ?   zile ……………. 100 vite ……………. 6 000 kg                    ? zile ……………. 120 vite ……………. 9 600 kg   Rezolvare: 6 zile ……………. 100 vite ……………. 6 000 kg 1 zi ……………. 100 vite ……………. 6 000 kg: 6 = 1 000kg 1 zi ……………. 1 vită ……………. 1 000 kg: 100 = 10 kg 1 zi …………….120 vite ……………. 10 kg x 120 = 1 200 kg 9 600 kg: 1 200 kg / zi = 8 zile ………….120 vite …………….9 600 kg.

Metode de rezolvare a problemelor     Predarea – invatarea matematicii in ciclul primar nu se poate realiza fara activitatea de rezolvare a problemelor, activitate complexa, de profunzime, in care sunt exersate la nivel superior analiza si sinteza. Activitatea de rezolvare a problemelor imbina eforturile mentale de intelegere a notiunilor invatate, a algoritmilor de calcul formati cu structurile conduitei creative si inventive.    Notiunea de problema are un continut larg de priceperi si actiuni din domenii diferite. In sens psihologic „o problema” este orice situatie, dificultate, obstacol intampinat de gandire in activitatea practica sau teoretica pentru care nu exista un raspuns gata formulat.   Activitatea de rezolvare a problemelor pune elevii in situatia de a descoperi singuri modul de rezolvare, de a emite ipoteze si a le verifica, actiuni care sporesc caracterul formativ. Rezolvarea problemelor de matematica contribuie la dezvoltarea capacitatilor creatoare ale gandirii, la sporirea flexibilitatii ei si la educarea perspicacitatii.   Rezolvarea problemelor de matematica in clasele I-IV reprezinta in esenta, rezolvarea unor situatii problematice reale pe care le putem intalni in practica, in viata. Rezolvarea problemei implica o succesiune de operatii logice, care conduc la solutii. Aceasta succesiune logica nu este altceva decat schema de rezolvare a problemei, firul de judecati oranduite logic, care alcatuiesc rationamentul problemei.   Problema de matematica reprezinta transpunerea unei situatii practice in relatii cantitative in care intervin valori numerice cunoscute si necunoscute, relatii pe baza carora se solicita determinarea valorilor necunoscute.   Scopul descoperirii implicatiei ascunse, a necunoscutei, a elaborarii rationale a solutiei, in cazul situatiilor problema, este aplicarea creatoare a cunostintelor si tehnicilor de care dispune rezolvatorul.   In cautarea caii de rezolvare a problemei se emit si se verifica o serie de ipoteze, pana se ajunge la solutia problemei care reprezinta o sinteza superioara inchiderii circuitului nervos. Schita problemei apare ca un rezultat al efortului gandirii. Procesul de rezolvare a problemelor este un proces analitico-sintetic. Analiza are un caracter general de orientare  asupra continutului problemei.   Cautarea unor procedee de analiza si sinteza cat mai eficiente, pentru a conduce gandirea elevului pe cai cat mai scurte si mai sigure catre aflarea necunoscutei, constituie una din sarcinile de baza ce-i revin invatatorului.    Problema impune in rezolvarea ei o activitate de descoperire. Textul problemei indica datele, conditia problemei (relatiile dintre date si necunoscuta) si intrebarea problemei.    Varietatea si complexitatea problemelor pe care le rezolva elevii sporeste efortul mental si eficienta formativa a activitatii de rezolvare a problemelor. In rezolvarea problemelor intervine o serie de tehnici, procedee, modul de actiune, de deprinderi si activitati de munca intelectuala.  In activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape. In fiecare etapa are loc un proces de reorganizare a datelor si de reformulare a problemei, pe baza activitatii de orientare a rezolvatorului pe drumul si in directia solutiei problemei.    In rezolvarea problemelor de o mare importanta este intelegerea structurii si a logicii rezolvarii ei. Elevul trebuie sa cuprinda in sfera gandirii sale intregul „film” al desfasurarii rationamentului si sa-l retina drept element esential. Pentru generalizarea rationamentului, elevii trebuie sa aiba formate capacitatile si de a intelege datele problemei, de a sesiza conditia problemei si de a orienta logic sirul de judecari catre intrebarea problemei. Pentru rezolvarea corecta a problemei trebuie sa parcurgem urmatoarele etape:   I. Cunoasterea enuntului problemei Aceasta etapa de inceput presupune citirea enuntului problemei, de catre institutor sau elevi de mai multe ori, pana la insusirea corecta. Se pun in evidenta datele si legaturile dintre ele, se scriu pe tabla si in caiet. Elevul care rezolva problema trebuie sa identifice cerinta problemei, adica elementul necunoscut.   II. Intelegerea enuntului problemei Deoarece enuntul problemei contine un minim de informatii, el trebuie  optimizat prin delimitarea datelor, prin evidentierea relatiilor dintre ele si stabilirea intrebarii problemei. Aceasta optimizare se realizeaza prin discutii cu elevii. In acest sens se pot folosi si alte mijloace: ilustrarea prin imagini, scheme, grafice, etc.  Intelegerea enuntului permite generalizarea si abstractizarea prin construirea unei scheme care contine esentialul, eliminand aspectele descriptive.   III.  Analiza problemei si intocmirea planului de rezolvare   In aceasta etapa se descopera calea de rezolvare a problemei,  eliminandu-se elementele nesemnificative si se elaboreaza planul logic de rezolvare. Astfel cel care rezolva problema efectueaza un sir de rationamente care vor duce la alcatuirea problemei simple prin a caror rezolvare se ajunge la raspuns. Examinarea problemei se face prin cele doua metode generale, metoda analitica si metoda sintetica.   IV. Alegerea si efectuarea operatiilor corespunzatoare  succesiunii planului de rezolvare    Din planul de rezolvare elevii aleg si efectueaza calculele constientizand semnificatia fiecarui calcul oral sau scris si realizeaza conexiunile necesare pentru obtinerea rezultatului final. Se va acorda o importanta deosebita redactarii planului de rezolvare, consemnand judecatile intelegand corect unitatile de masura si finalizand cu scrierea rezultatului.   V. Activitati suplimentare   In aceasta etapa se pot concretiza urmatoarele: verificarea solutiei problemei; scrierea problemei sub forma de exercitiu; depistarea altor variante de rezolvare; generalizare; compunere de probleme.   Chiar daca aceasta etapa este facultativa pentru formarea priceperilor  si a deprinderilor corecte de rezolvare a unei probleme este necesara verificarea solutiei deoarece astfel se realizeaza autocontrolul asupra corectitudinii demersului de rezolvare. Aceasta etapa poate fi valorificata de institutor in directia cultivarii creativitatii elevilor si a cresterii interesului pentru matematica.   Modul de prezentare si solutionare a problemelor se va face prin respectarea particularitatilor de varsta de la concret-intuitiv (cum ar fi manipularea obiectelor, a instrumentelor de masura: balantele, metrul, banii, etc. ; decupaje si asamblari de figuri geometrice; experimente asupra unor masuratori, cantariri etc.), la reprezentare grafica imagistica (probleme pe baza unor imagini cu concretizarea relatiilor intre marimi prin segmente, diagrame, sageti etc.), la descompunerea problemelor compuse in probleme simple, fara a fi rezolvate succesiv, deoarece nu acest fapt intereseaza, ci construirea rationamentului, legatura dintre secvente.    In cadrul acestor activitati, elevii sunt dirijati sa sesizeze mersul rationamentului si sa invete sa elaboreze tactica si strategia solutionarii prin elaborarea planului de rezolvare a problemei.   Examinarea unei probleme compuse se realizeaza, de obicei, prin metodele analitica, sintetica sau folosite simultan.   Deosebirea dintre ele consta, practic, in punctul de plecare al rationamentului. Prin metoda sintezei se porneste de la datele problemei spre aflarea solutiei, iar prin metoda analizei se pleaca de la intrebarea problemei spre aflarea solutiei, iar prin metoda analizei se pleaca de la intrebarea problemei spre datele ei si stabilirea relatiilor matematice dintre acestea.   Practica a demonstrat ca metoda sintezei este mai accesibila, dar nu solicita prea mult gandirea elevilor, uneori abatandu-le atentia de la intrebarea problemei.   Metoda analitica pare mai dificila, dar solicita mai mult gandirea elevilor, determinandui sa priveasca problema in totalitatea ei.   Analiza logica a problemei, dupa repetarea si intelegerea enuntului, se realizeaza concomitent cu formularea orala a planului de rezolvare, urmate de consemnarea in scris a acestuia prin activitate frontala sau independenta, sub variate forme: de intrebari, titluri, enunturi succinte etc.   Rezolvarea poate fi scrisa prin intercalarea intrebarilor din plan cu calculul, asigurand o estetica a asezarii in pagina, care ilustreaza legatura intre consemnarea succinta a datelor enuntului, a planului gandit si a calculului realizat, cu marcarea raspunsului obtinut si generalizarea prin transpunerea problemei in expresie numerica sau formula literala.   Este oportun sa se rezolve nu mai mult de una-doua probleme intr-o ora de curs, insistand asupra rationamentului si investigand solutionarea pe mai multe cai, pentru exersarea flexibilitatii gandirii decat sa se exagereze cu solutionarea stereotipa, superficiala a mai multor probleme sau sa se consume timpul pentru o singura problema.   Locul problemei in succesiunea secventelor instruirii trebuie bine ales, in functie de curba de efort la care este solicitat copilul si obiectivele stabilite.   Este indicat sa se evite situatiile  in care problemele sunt planificate exclusiv la sfarsitul lectiei, lasand sarcina efectuarii lor complete in recreatie sau acasa.   Procesul de gandire care are loc in scopul precizarii problemelor simple ce alcatuiesc o problema compusa si a succesiunii lor, astfel incat intrebarea ultimei probleme simple sa coincida cu intrebarea finala a problemei date se numeste examinare sau analiza a problemei.  

  Metodologia predării elementelor de geometrie                            Ţinând cont de stadialitatea vârstei elevilor din ciclul primar, se poate afirmă că succesul în dobândirea cunoştinţelor de geometrie depinde în mod semnificativ de institutor, de felul cum acesta reuşeşte să conducă procesul predării-învăţării şi evaluării, de felul cum sunt orientaţi elevii să poată conştientiza, descoperi şi aplică prin transfer aceste cunoştinţe, priceperi şi deprinderi. Reuşită didactică a procesului predării-învăţării elementelor de geometrie este influenţată, chiar determinată în multele ei aspecte, de respectarea următoarelor cerinţe metodice analizate în continuare.                          Învăţarea noţiunilor de geometrie în special prin procese intuitive şi formarea lor iniţialã pe cale inductivă. Această cerinţă impune că studiul elementelor de geometrie să înceapă cu cercetarea directă (văz, pipăit, manipulare) a mai multor obiecte din lumea reală, situate în diverse poziţii în spaţiul înconjurător, în vederea sesizării (descoperirii) acelei (acelor) caracteristici comune care conturează imaginea geometrică materializată. Imaginea geometrică materializată în obiecte este apoi transpusă în imagine, concretizată prin desen, ceea ce reprezintă o detaşare a imaginii geometrice de obiectele care o generează.           Concretizarea prin desen a imaginii geometrice se realizează la tablă cu instrumentele de geometrie, iar elevii o execută în caiete, tot cu ajutorul instrumentelor. Este foarte important că această concretizare prin desen să se facă în cât mai multe poziţii pentru a nu crea limite în recunoaşterea ei. Aceste concretizări pot fi completate cu prezentarea unor planşe întocmite special pentru această. Imaginea geometrică concretizată prin desen este apoi proiectată în limbajul geometriei şi apare astfel noţiunea geometrică.                          Pe baza limbajului geometric, şi prin apel la experienţa perceptivă a elevilor, institutorul va contura imaginea geometrică a noţiunii considerate şi în alte situaţii din realitatea exterioară clasei, altele decât cele cercetate de elevi. Se va observa, de asemenea, că, pe măsură ce sunt dobândite elementele fundamentale ale geometriei (punctul, dreapta), elevul va urca spre stadiul înţelegerii şi asimilării unor figure geometrice mai complicate (poligoane: dreptunghiul, pătratul, trapezul, triunghiul).           Alături de procesele intuitive (perceperea vizuală şi tactilă a modelelor materiale), respectiv concretizate de desen, predarea-învăţarea presupune şi acţiuni de măsurare efectivă a cestora, de comparare a rezultatelor, decupări de figuri, descompuneri ale figurii, prin figuricomponente ce le implică etc. Explicaţiile date de institutor referitor la aşezarea instrumentelor şi la poziţia din care trebuie făcută citirea rezultatului măsurării şi eventualele reluări ale procesului de măsurare, cu admiterea unor aproximări (la mm, în foaia de caiet), vor convinge elevii asupra valorii concluziilor obţinute de ei în lecţie pe baza figurilor studiate.                        Cu privire la instrumentele de geometrie (rigla şi echerul), trebuie avută în vedere necesitatea ca elevii să-şi formeze deprinderi de folosire corectă şi rapidă a acestora. Trasarea de drepte, segmente, unghiuri, drepte perpendiculare, drepte paralele, dreptunghiuri, pătrate, romburi etc., în diverse poziţii în plan (tablă, foaia de hârtie) şi realizarea de măsurări trebuie să fie executate cu precizie şi rapid.                         Referitor la desen, trebuie să se ţină cont de necesitatea efectuării lui numai cu instrumentele, atât la tablă, cât şi în caiete. Acurateţea desenului este o cerinţă importantă, la care se adaugă elementele de expresivitate, adică folosirea cretei colorate, trasări discontinue etc., pentru a pune în evidenţă anumite părţi ale figurii care prezintă interes în planul înţelegerii noţiunii geometrice. În utilizarea materialului didactic se impun atenţiei câteva condiţii, pe care trebuie să le îndeplinească atât modelul confecţionat, cât şi modul, în care este folosit de institutor şi elevi:   - materialul confecţionat va avea dimensiuni suficient de mari pentru a fi văzut cu claritate din orice punct al clasei, precum şi o construcţie clară, satisfăcând condiţiile estetice;   - materialul didactic trebuie să fie expresia fidelă a ceea ce trebuie să reprezinte, să contribuie la uşurarea transpunerii în desen a figurii geometrice studiate, a elementelor sale şi a relaţiilor ce există între ele (de mărime, de paralelism, de perpendicularitate etc.);   - materialul didactic trebuie să se adreseze elevilor respectând însă particularităţile lor de vârstă; cu cât aceştia sunt mai mici se impune că el să fie mai atractiv, dar simplu, amănuntele fără interes ştiinţific să nu între în câmpul atenţiei elevilor, rămânând elemente ale fondului perceptiv.                 Referitor la folosirea materialului didactic se mai impun şi alte câteva observaţii: -o insuficientă valorificare a acestuia duce la însuşirea formală a cunoştinţelor, influenţând negativ procesul formării reprezentărilor spaţiale;   - o folosire în exces a acestuia duce la o saturaţie perceptivă, la repetare de observaţii cu amplificări nefireşti, uneori chiar la observaţii inutile, ceea ce ar putea abate atenţia elevilor de la scopul observaţiilor şi intuiţilor, afectând modul de utilizare a timpului, producând greutăţi în realizarea generalizărilor, a însăşi imaginii geometrice.                             Deşi suportul de bază al predării-învăţării elementelor de geometrie în clasele I-IV este cel intuitiv, totuşi sistemul cunoştinţelor de geometrie asimilate de elevi trebuie să corespundă rigurozităţii geometriei.    Întâi, pentru că ele trebuie să reprezinte elemente corecte ale cunoaşterii matematice, servind elevului în orientarea şi rezolvarea problemelor de adaptare în spaţiul înconjurător. În al doilea rând, pentru că toate aceste cunoştinţe geometrice vor stă la baza continuităţii studiului geometriei în clasele următoare, servind treptat la formarea temeinică a conceptelor geometriei.    Intuirea punctului poate începe cu faza de concretizare prin desen, că fiind urma lăsată pe hârtie de vârful creionului bine ascuţit (vârful pixului sau al peniţei stiloului) aşezat să se sprijine în vârf, sau pe tablă de vârful cretei. De aici, copilul va înţelege că dreapta concretizată prin desen este formată din punctele, pe care vârful creionului (cretei etc.), sprijinit pe rigla şi aflat şi mişcare le lasă pe hârtie (tablă).    El va mai înţelege că segmentul concretizat prin desen este format din puncte, iar extremităţile lui sunt primul şi ultimul punct al concretizării. Limbajul geometric este definit prin două proprietăţi simple şi anume: corectitudinea şi consecvenţă folosirii lui. În acest sens, institutorul trebuie să utilizeze corect limbajul simbolic, nu va utiliza notaţii specifice, cu excepţia notarii prin litere a segmentelor, vârfurilor unui poligon (notaţia unghiului prin trei litere este în afara programei).                Etapele, pe care trebuie să le aibă în vedere institutorul în formarea unei noţiuni geometrice sunt următoarele:   - intuirea obiectelor lumii reale, care evidenţiază noţiunea cu dirijarea atenţiei elevilor către ceea ce se urmăreşte să fie observat; - observarea proprietăţilor caracteristice evidenţiate de obiectele intuite; - compararea şi analizarea proprietăţilor pe un material didactic care materializează noţiunea; - reprezentarea prin desen a noţiunii materializate de obiecte şi materialul didactic; - formularea definiţiei, prin precizarea genului proxim şi a diferenţei specifice, acolo unde este posibil, sau prin stabilirea proprietăţilor caracteristice care determina sfera noţiunii şi proiectarea acesteia în limbajul geometriei; - identificarea noţiunii şi în alte poziţii, situaţii corespunzătoare realităţii; - construirea materializată a noţiunii folosind carton, hârtie, beţişoare, etc; - clasificarea figurilor care fac parte din aceeaşi categorie; - utilizarea noţiunii în rezolvarea problemelor specifice şi transferul ei în situaţii geometrice noi.                     Este de menţionat că unele noţiuni geometrice impun parcurgerea tuturor acestor faze, pe când altele nu; unele noţiuni sunt realizabile într-o lecţie, pe când altele într-un şir de lecţii.                Adevăratul proces de formare a noţiunilor geometrice este unul de durata şi nu trebuie confundat cu procesul învăţării de noţiuni.

Metodologia predării unităţilor de măsură                             Noţiunea de mărime, ce apare în sistemul predării-învăţării matematicii în ciclul primar este socotită că şi cea de mulţime o noţiune primară, înţelegerea ei făcându-se pe baza de exemple. Mărimile abordate începând cu clasa I sunt: lungimea, volumul (capacitatea vaselor), masă, timpul şi valoarea.                           A măsura o mărime oarecare, înseamnă a compară această mărime cu o altă, luată că unitate de măsură. Prin operaţia de măsurare se stabileşte un raport numeric între mărimea de măsurat şi unitatea de măsură considerată.De exemplu a măsură masă unui obiect înseamnă a o compară cu masă unui alt obiect, pecare îl vom consideră drept unitate de măsură. Elevii trebuie să fie conduşi să simtă necesitatea comparării mărimilor şi introduceriiunitatilor de măsură. Astfel, pentru a putea execută măsurările, elevii vor trebui învăţaţi sainteleaga conceptul de unitate de măsură şi cum să folosească instrumentele de măsură.                         Elevii vor înţelege că măsurările pe care le execută sunt asociate cu comparările pe care încearcă să le facă. Astfel, puşi în faţă situaţiei-problemă de a decide în care dintre două vase prezentate este un volum mai mare de apă, elevii vor încerca diverse rezolvări. Vor compara folosind o ceaşcă, un pahar, un vas de dimensiuni mai mici, stabilind astfel mai multe rezultate ale măsurării. Pe această baza vor înţelege cu mai multă uşurinţă necesitatea existenţei unei unităţi de măsură standard şi anume în cazul de faţă litrul (unitatea principala cu care se măsoară capacitatea vaselor).                           Înţelegerea măsurării şi a unităţilor de măsură nu implică întotdeauna introducerea imediataa unităţilor standard. Institutorul trebuie să utilizeze unităţile nestandard (de exemplu: palmă,creion etc.). După ce se exersează măsurarea unei mărimi cu o unitate nestandard, este importantsa se dea câteva date istorice legate de istoria măsurărilor, la noi şi în alte ţări, din care să reiasaca şi în procesul intensificării schimburilor economice şi ştiinţifice a rezultat că o necesitateunificarea unităţilor de măsură.                                       Predarea-învăţarea mărimilor şi unităţilor de măsură ale acestora vizează realizarea următoarelor obiective:   - cunoaşterea intuitivă a noţiunii de mărime prin prezentarea mărimilor des utilizate: lungime, volum, masă, timp; - dezvoltarea motivaţiei la elevi pentru a realiza necesitatea introducerii unităţilor de măsură nestandard şi apoi standard pentru o mărime considerată; - înţelegerea măsurării că o activitate de determinare a numărului care arată de câte ori se cuprinde etalonul în dimensiunea ce trebuie măsurată; - formarea deprinderii de a măsură, a alege şi a utiliza unele unităţi de măsură nestandard şi de a cunoaşte unităţile principale pentru mărimea studiată; - formarea şi dezvoltarea capacităţii de a cunoaşte şi a utiliza instrumentele de măsură; - formarea capacităţii de a consemna, compară şi interpreta rezultatele măsurărilor; - formarea capacităţii de a aprecia corect diversele mărimi din mediul ambiant; - formarea deprinderii de a opera cu măsurile a două obiecte de acelaşi fel, atât prin acţiune directă, cât şi prin calcul;                Caracteristici generale ale predării-învăţării unităţilor de măsură: - predarea este ciclică; - se porneşte de la unităţi de măsură nestandard către cele standard; - predarea învăţarea oricărei unităţi de măsură are un pronunţat caracter intuitiv şi participativ; - se porneşte de la propria experienţă de viaţă a copiilor legată de mărimi şi măsură; -prin măsurători nestandard se ajunge la ideea necesităţii măsurării cu unităţi standard.   Necesitatea măsurării este dată de necesitatea comparării (în acest caz) lungimilor celor două obiecte. Dacă obiectele sunt deplasabile (de exemplu.: două panglici), atunci compararea se poate face direct, prin aşezarea uneia peste cealaltă, astfel încât să aibă un capăt comun. Poziţia celui de-al doilea capăt indică obiectul mai scurt/lung. Dar dacă obiectele nu sunt deplasabile (de exemplu: două ferestre; lungimea şi lăţimea clasei)? Atunci trebuie să luăm “ceva”, să le măsurăm pe fiecare cu acel “ceva” şi să comparăm numerele obţinute ca rezultate ale măsurării. De fapt, introducem astfel o unitate de măsură nestandard, acel “ceva” constituindu-se într-un etalon arbitrar, subiectiv.    Să presupunem că intenţionăm să măsurăm lungimea unui ghiozdan, lăţimea unui caiet şi înălţimea unei vaze (utilizarea celor trei termeni – lungime, lăţime, înălţime – subliniază varietatea poziţiilor spaţiale ale obiectelor de măsurat).    La început, se poate utiliza ca unitate de măsură nestandard, de exemplu, lungimea unei agrafe de birou. În urma acţiunii efective cu obiectele, se constată că lungimea ghiozdanului este de 10 ori mai mare decât a agrafei, lăţimea caietului este cât 5 agrafe, iar înălţimea vazei este de 15 agrafe. Deci, măsurile lungimilor celor trei obiecte sunt: 10, 5 respectiv 15 (agrafe).    Dacă se schimbă unitatea de măsură, se vor schimba şi măsurile obiectelor. Înlocuind agrafa cu un creion, se constată că lungimea ghiozdanului este de două ori cât lungimea creionului, lăţimea caietului este cât lungimea creionului, iar înălţimea vazei este cât trei creioane. Deci, dimensiunile obiectelor au acum măsurile 2, 1 respectiv 3.    După astfel de experienţe se pot face şi observaţii funcţionale de tipul: creşterea lungimii etalonului conduce la micşorarea corespunzătoare a măsurii obiectului.    Desigur, ”instrumentele” de măsură a lungimii aflate cel mai la îndemână sunt: deschiderea palmei, lăţimea unui deget, lungimea braţului/braţelor, pasul. Utilizarea individuală a acestora întăreşte ideea că rezultatul măsurării se schimbă odată cu schimbarea unităţii de măsură.    Şi atunci, cum putem compara lungimile a două obiecte aflate în locuri diferite (clase diferite, şcoli diferite, localităţi diferite), unde nu dispunem de un acelaşi etalon? Răspunsul la această întrebare conduce la necesitatea introducerii şi utilizării unei unităţi standardizate (metrul), ce urmează a fi studiat în clasa a II-a (conform programei).    Predarea-învăţarea volumului şi masei se realizează în mod asemănător, cu menţiunea că terminologia utilizată la clasă nu poate fi identică cu cea ştiinţifică, astfel că sintagme de tipul “capacitatea vaselor” şi “cântărirea obiectelor” sunt mai apropiate de înţelegerea copilului.    Predarea-învăţarea timpului ridică probleme metodice deosebite, întrucât această mărime este abstractă şi deci mai puţin accesibilă elevilor, care nu o pot vizualiza şi intui direct, ca în cazul celorlalte mărimi. De aceea, predarea-învăţarea timpului se realizează în strânsă legătură cu acţiunile şi evenimentele în care elevii sunt implicaţi. Astfel, ora reprezintă durata unei lecţii (plus pauza), ziua durează de la un răsărit al soarelui până la alt răsărit.    O idee importantă ce trebuie urmărită este cea de succesiune/ simultaneitate a evenimentelor în timp. Elevii vor trebui să sesizeze, să compare şi să precizeze ordinea desfăşurării în timp a două (sau mai multe) evenimente, stabilind dacă unul are loc înaintea altuia sau se realizează în acelaşi timp. Curgerea timpului poate fi materializată prin întocmirea unei “benzi a timpului” (pentru o perioadă mai scurtă sau mai lungă) ori a unui calendar.    Chiar învăţarea unităţilor de măsură pentru timp va fi mai dificilă, deoarece între acestea nu există o relaţie de multiplicitate cu 10 (ca la celelalte trei mărimi anterioare), ci cu 60 (1 oră=60 minute, 1 minut=60 secunde) sau alţi factori (ex.:1 zi=24 ore, 1 săptămână=7 zile).    Şi în predarea-învăţarea timpului se evidenţiază nu numai legătura cu mediul, ci şi interdisciplinaritatea. “Citirea” orelor pe ceas poate fi precedată de realizarea la “abilităţi practice” a unui cadran din carton şi a acelor indicatoare, ce vor fi utilizate în activităţile de învăţare din lecţia de matematică.

Metodologia predării fracţiilor şi operaţiilor cu fracţii     Introducerea, în clasa a IV-a, a noţiunii de fracţie reprezint ă prima lărgire a conceptului de număr. Elevii vor învăţa că noua mulţime numerică o include pe cea a numerelor naturale, prin înţelegerea faptului că o fracţie cu numitorul 1 reprezintă un număr natural.   Formarea noţiunii de fracţie este un proces mai complicat, ce va conduce, în timp, la conceptul de număr raţional. Bazele psihopedagogice ale predării-învăţării fracţiilor sunt determinate de sporirea experienţ ei de viaţă şi didactice a elevilor, a maturizării lor cognitive, a lărgirii ariei cunoştinţelor lor matematice şi din alte domenii ale cunoaşterii. Demersul didactic trebuie să aibă traseul obişnuit în învăţarea la această vârstă: de la elementele acţionale, concrete, la cele de reprezentare iconică şi atingând nivelul abstracţiunii, prin elemente simbolice.   Învăţarea fracţiilor în clasa a IV-a nu porneşte de pe un loc gol. În clasa a II-a, elevii au cunoscut termenii de jumătate (doime) şi sfert (pătrime), în legătură cu împărţirea unui număr la 2, respectiv la 4, lucruri ce pot fi valorificate în acest capitol. Astfel, ştiind că una din cele două părţi de aceeaşi mă rime în care a fost împărţit un întreg reprezint ă o doime, că una din cele 4 părţi de aceeaşi mărime în care a fost împărţit întregul reprezintă o pătrime, se pot aborda alte cazuri particulare, ce vor conduce la generalizarea ce defineşte unitatea fracţionară: o parte dintrun întreg care a fost împărţit în părţi la fel de mari. Elevii vor fi conduşi să intuiască întregul ca un obiect, o figură geometrică, o mulţime de obiecte sau imagini de acelaşi fel sau chiar număr.   Date fiind experienţa matematică redusă a elevilor, capacităţile de abstractizare şi generalizare încă nematurizate, precum şi noutatea noţiunii , învăţarea acesteia parcurge mai multe etape: etapa de fracţionare efectivă a unor obiecte concrete (măr, pâine, portocală ş.a.) şi de partiţie a unor mulţimi de obiecte concrete (nuci, creioane, beţişoare, jetoane ş.a.); etapa de fracţionare prin îndoirea unor figuri geometrice plane care au axe de simetrie (pătrate, dreptunghiuri, cercuri); etapa de fracţionare prin trasarea unor linii pe un desen geometric dat, pe care-l împart în părţi la fel de mari (axe de simetrie ale unui pătrat, dreptunghi,cerc ş.a) sau fracţionarea unor imagini de obiecte (trasarea unor linii pe imaginea unui măr, a unei clădiri ş.a) etapa de fracţionare a numerelor, reductibilă la împărţirea acestora la un număr dat (2, pentru aflarea unei doimi; 4, pentru aflarea unei pătrimi ş.a.m.d.)   În cadrul fiecărei etape se va evidenţ ia unitatea fracţionară şi se va sublinia faptul că întregul a fost împărţit în părţi la fel de mari.   Se introduce apoi noţiunea de fracţie, ca fiind una sau mai multe unităţi fracţionare şi scrierea/citirea acesteia. Pentru ca elevii să reţină mai uşor denumirile celor doi termeni ai unei fracţii, se poate preciza că numitorul “numeşte” unitatea fracţionară (de exemplu, 2 – întregul a fost împărţit în două părţi la fel de mari, numite doimi), iar numărătorul “numără” câte unităţi fracţionare formează fracţia dată. În citirea unei fracţii se va urmări ca exprimările elevilor să fie complete şi corecte (ex. 3/4 = trei pătrimi şi nu “3 pe 4”sau “3 supra 4”), pentru a conştientiza no ţiunea de fracţie, evitând formalizări ce nu spun nimic elevului din clasa a IV-a. De asemenea, din punct de vedere metodic, se recomandă folosirea unei fracţii ai căror numărători/numitori sunt numere mai mici decât 10.   Compararea unei fracţii cu întregul   Următoarele informaţii pe care şi le pot însuşi elevii se referă la tipurile de fracţ ii date de compararea cu întregul (subunitare, echiunitare, supraunitare). Prin acţiune direct ă cu obiecte sau cu imagini, aceştia constată că dacă numărătorul fracţiei este mai mic decât numitorul, trebuie luate în considerare mai puţine unităţ i fracţionare decât are întregul în cazul dat (ex.: pentru fracţia ¾, întregul a fost împărţit în 4 părţi la fel de mari şi s-au luat în considerare doar 3 dintre ele), deci fracţ ia reprezintă, în acest caz, mai puţin decât un întreg, numindu-se subunitar ă. Dacă număr ătorul fracţiei este egal cu numitorul, atunci se iau în considerare toate unit ăţile fracţionare ale întregului, deci tot întregul, fracţia reprezentând, în acest caz, chiar întregul şi numindu-se echiunitară. Dacă numărătorul fracţiei este mai mare decât numitorul, elevii constată că nu sunt suficiente unităţ i fracţionare ale întregului şi este necesară considerarea încă unui întreg (sau mai mulţi) de acelaşi fel, pentru a obţine fracţia. Fireşte, în acest caz, fracţia reprezintă mai mult decât un întreg şi se va numi supraunitară. Treptat, concretul reprezentat de obiecte sau imagini va dispărea şi elevii îşi vor forma priceperea de a sesiza tipul fracţiei, prin simpla comparare a numărătorului cu numitorul.   Fracţii egale   Fracţiile egale sunt definite ca fiind frac ţiile ce reprezintă aceeaşi parte dintr-un întreg sau din întregi identici. Această definiţie nu poate fi asimilată de elevi decât prin intuirea unor situaţii particulare. Astfel, se poate cere elevilor să plieze o foaie de hârtie dreptunghiulară astfel încât să obţ ină două părţi la fel de mari, apoi să haşureze/coloreze într-un anumit mod, una dintre părţi (deci, 1/2). Apoi se cere plierea aceleiaşi foi astfel încât să se obţină patru părţi la fel de mari şi să se haşureze/coloreze într-un alt mod, două părţi (deci, 2/4). Se compară apoi părţile haşurate/colorate, constatându-se că reprezintă aceeaşi parte din întreg, motiv pentru care vor fi numite fracţii egale şi se va scrie 1/2 = 2/4.   Acţiunile de acest tip ar putea continua, elevii descoperind că 1/2 = 2/4 = 4/8, ceea ce constituie un prim pas în sesizarea proprietăţii de amplificare (înmulţirea atât a numărătorului cât şi a numitorului cu un acelaşi număr nenul), ce reprezintă şi o modalitate de obţinere a fracţiilor egale cu o fracţie dată. Analiza şirului de egalităţi scrise în ordine inversă (4/8 = 2/4 = 1/2) sugerează proprietatea de simplificare a fracţiilor (împărţirea atât a numărătorului cât şi a numitorului cu un acelaşi număr nenul).   Compararea a două fracţii   Problema comparării a două frac ţii apare imediat după problema egalităţii: dacă fracţiile nu sunt egale, trebuie stabilit care dintre ele este mai mică/mare.   În acest fel se va introduce o relaţie de ordine în mulţimea fracţiilor. La clasa a IV-a, sunt abordate doar două situaţii în compararea fracţiilor: fracţiile au acelaşi numitor; fracţiile au acelaşi numărător.   Primul caz nu ridică probleme metodice deosebite, elevii intuind cu uşurinţă că, fracţiile având acelaşi numitor, “părţile” (unităţile fracţionare) sunt la fel de mari, deci va fi mai mică fracţia cu numărătorul  mai mic, deoarece se “iau mai puţine unităţi fracţionare.   Pentru compararea fracţiilor care au acelaşi numărător, elevii trebuie să înţeleagă că, împărţind  un întreg în părţi (egale) mai multe, părţile vor fi mai mici.  Această  aserţiune  poate  fi  intuită  cu  uşurinţă  prin  prezentarea problematizată  a unei situaţii de tipul: Avem două prăjituri egale, una împărţită în două părţi (egale), cealaltă în trei părţi (egale); pe care bucată ai alege-o şi de ce? În acest fel, elevii pot realiza că 1/2 > 1/3 şi prin abordarea altor cazuri particulare, că 1/2 > 1/3 > 1/4 >…, adică, dintre două unităţi fracţionare diferite este mai mare cea cu numitorul mai mic. În acest context este mai uşor pentru elevi să ordoneze descrescător mai multe unităţi fracţionare diferite. După asimilarea faptului că 1/2 > 1/3, se deduce imediat că 1/3 < 1/2 şi prin inducţie, se ajunge la regula ce permite ordonarea  crescătoare a unităţilor fracţionare: dintre două unităţi fracţionare este mai mică cea care are numitorul mai mare.   În etapa următoare se consideră nu câte o unitate fracţionară, ci mai multe (dar tot atâtea din fiecare întreg!), adică fracţii cu numărători egali. Cunoscând faptul că o pătrime reprezintă mai mult decât o cincime (din acelaşi întreg sau din doi întregi egali), elevii intuiesc cu uşurinţă că dacă se iau câte 3 asemenea părţi, 3  Operaţii cu fracţii   Adunarea şi scăderea fracţiilor cu acelaşi numitor) nu ridică probleme metodice deosebite deoarece, în aceast ă etapă, elevii pot discrimina cu uşurinţă tipul de problemă simplă întâlnit, iar partea calculatorie este corect intuită, după utilizarea unui desen sugestiv şi a unor exprimări neformalizate (de tipul: două cincimi + o cincime =?, trei cincimi – două cincimi =?). Se ajunge astfel la regulile cunoscute: pentru a aduna/scădea două fracţii cu acelaşi numitor se adună/scad numărătorii, numitorul rămânând neschimbat.   În perspectiva simetriei relaţiei de egalitate, pentru cultivarea reversibilităţii gândirii elevilor este necesară abordarea unor sarcini de tipul scrierii unei fracţii ca o sumă/diferenţă de fracţii având acelaşi numitor (ex. 3/5 = 1/5 + ; 5/6 = /6 + ; 6/7 = +  şi analog pentru scădere). Mai menţionăm că, la nivelul trunchiului comun al programei, este suficient să se opereze cu fracţii subunitare, deoarece utilizarea celorlalte tipuri de fracţii (echiunitare, supraunitare) ar atrage după sine o altă problemă: scoaterea întregilor din fracţie.   O eventuală extindere la cazul adunării/scăderii fracţiilor cu numitori diferiţi este posibilă doar în situaţia în care elevii au capacitatea de a obţine fracţii egale cu o fracţie dată (vezi amplificarea) şi de a o alege pe cea utilă. Poate fi abordat cazul în care unul dinte numitori este numitorul comun al fracţiilor date (de exemplu, 2/5 + 1/10, 3/4 – 1/2, 2/3 – 4/9). Aflarea unei fracţii dintr-un întreg   Aflarea unei fracţii dintr-un întreg trebuie realizată metodic în două etape: aflarea unei (singure) unităţi fracţionare dintr-un întreg; aflarea unei fracţii (mai multe unităţi fracţionare) dintr-un întreg.    Prima etapă se parcurge apelând mai întâi la intuiţie, prin utilizarea unui material didactic tridimensional (obiecte) şi plan (imagini, figuri). Problema aflării unei doimi dintr-un astfel de întreg este transpusă cu uşurinţă de către elevi în plan operaţional, la împărţirea acestuia în două părţi egale.    Prin inducţie se ajunge la concluzia că aflarea unei unităţi fracţionare dintr-un întreg este reductibilă la împărţirea acestuia în atâtea părţi egale cât arată numitorul. Apoi se află unităţi fracţ ionare din întregi ce reprezint ă mase, lungimi, volume, cantităţi (ex.: 1/2 din 10 kg, 1/3 din 9m, 1/4 din 12 l), reţinând ideea: împ ărţire (în părţi egale). De aici, se trece la aflarea unei unităţi fracţionare dintr-un număr (1/2 din 10, 1/3 din 9, 1/4 din 12), subliniind procedeul: împărţire.   Parcurgerea celei de-a două etape (aflarea unei frac ţii dintr-un întreg) presupune doi paşi: aflarea unei singure unităţi fracţionare de tipul indicat de numitor şi apoi aflarea fracţiei respective din întreg.    De exemplu, problema aflării a 3/4 din 12 este reductibilă la: aflarea unei pătrimi din 12 (ceea ce elevii ştiu) şi constatarea că 3 astfel de părţ i (pătrimi) înseamnă de 3 ori mai mult decât una singură (deci înmulţire cu 3).   După rezolvarea mai multor cazuri particulare se sintetizează modul de lucru în regula: pentru a afla cât reprezintă o fracţie dintr-un număr (natural), împărţim numărul la numitorul fracţiei şi înmulţim rezultatul cu numărătorul.   Din punct de vedere metodic, această ultimă etapă poate fi parcursă, funcţie de particularităţile clasei, trecând prin fiecare dintre fazele concretă, semiconcretă şi abstract ă sau numai prin ultimele/ultima. Considerăm că elevii şi-au însuşit procedeul aflării unei fracţii dintrun întreg, dacă vor avea capacitatea să gândească şi să exprime (oral sau scris) de tipul 3/4 din 12 = 12 : 4 x 3.

Metodologia didactică specifică predarii-învățării ordinii efectuării operațiilor și utilizării parantezelor    În clasele I – II, exerciţiile sunt astfel alcătuite încât să se efectueze corect în ordinea în care sunt scrise. Până acum s-au întâlnit numai exerciţii în care apăreau operaţii de acelaşi ordin: adunări / scăderi sau înmulţiri/împărţiri. În acest fel, elevii îşi formează deprinderea de a efectua succesiv operaţiile, fără să-şi pună problema existenţei unor reguli referitoare la ordinea efectuării acestora.    În clasa a III-a, după ce elevii au învăţat cele 4 operaţii cu numere naturale, sunt puşi în faţa efectuării unor exerciţii de tipul 4 + 6 x 5. Abordări diferite (schimbarea ordinii efectuării operaţiilor) conduc la rezultate diferite, ceea ce impune stabilirea unor reguli după care se efectuează operaţiile într-un astfel de exerciţiu.    Pentru descoperirea regulilor, este necesar să se pornească de la o problemă, a cărei rezolvare să poată fi scrisă sub forma exerciţiului abordat. Pentru exerciţiul menţionat mai sus, o astfel de problemă poate fi: „Andrei are pe prima pagină a clasorului său, 4 timbre, iar pe fiecare dintre celelalte 6 pagini, câte 5 timbre. Câte timbre are Andrei în acest clasor?”. Analiza, împreună cu clasa, a acestei probleme, evidenţiază că primul pas în rezolvare este aflarea numărului de timbre de pe cele 6 pagini (6 x 5) şi apoi se află numărul de timbre din clasor (4 + 6 x 5).    Exemple de acest tip îi vor conduce pe elevi la constatarea că, întrun exerciţiu cu mai multe operaţii, înmulţirile şi împărţirile se efectuează cu prioritate faţă de adunări şi scăderi, indiferent de locul unde apar.    Se ajunge astfel la regula cunoscută: într-un exerciţiu cu mai multe operaţii, se efectuează mai întâi (dacă există) înmulţirile şi împărţirile (numite operaţii de ordinul a doilea), în ordinea în care apar şi apoi adunările şi scăderile (numite operaţii de ordinul I), în ordinea scrierii lor. În acest fel este rezolvată şi problema apariţiei în exerciţiu doar a unor operaţii de acelaşi ordin: acestea se efectuează în ordinea indicată de exerciţiu.    Pentru formarea la elevi a priceperilor şi deprinderilor de efectuare a unor astfel de exerciţii cu mai multe operaţii diferite, este necesar ca în exerciţiile propuse să fie utilizate numere mici, care orientează atenţia copiilor spre aspectul esenţial (ordinea efectuării) şi nu spre efectuarea în sine a fiecărei operaţii.    Aceste exerciţii trebuie să fie gradate, conţinând, mai întâi, doar două operaţii de ordine diferite ( a + b x c; a – b x c; a + b : c; a – b : c). Lungimea unui astfel de exerciţiu nu trebuie să fie foarte mare pentru că poate induce la elevi oboseala şi neatenţia, ce se vor reflecta în obţinerea unor rezultate greşite. Acelaşi efect îl poate avea şi solicitarea de a rezolva, prea mult timp, numai sarcini de acest tip.    Folosirea parantezelor    Uneori, contextul matematic impune efectuarea mai întâi a unor operaţii de ordinul I şi apoi a altora, de ordinul II. Ar apărea astfel o contradicţie cu regula privind ordinea efectuării operaţiilor. De aceea, într-o asemenea situaţie, acordarea priorităţilor de calcul este impusă de paranteze: mici (rotunde), mari (drepte), acolade. Acestea se folosesc doar perechi şi conţin, între ele, secvenţa de exerciţiu căreia i se acordă prioritate.    Introducerea parantezelor se face tot prin intermediul unor probleme. De exemplu:   „Bogdan şi Cristian au cules cireşe: 23 kg şi 17 kg. Cireşele culese au fost puse în lădiţe de câte 5 kg fiecare. Câte lădiţe s-au umplut?”. Analizând rezolvarea şi expresia numerică a acesteia, se constată că, în acest caz, se efectuează mai întâi adunarea şi apoi împărţirea. Pentru a marca prioritatea (adunarea), se folosesc parantezele mici, astfel încât scrierea rezolvării problemei este (23 + 17) : 5.    În mod asemănător se pot introduce parantezele mari şi acoladele, ajungând la desprinderea regulii cunoscute: într-un exerciţiu cu paranteze se efectuează mai întâi operaţiile din parantezele mici, apoi cele din parantezele mari şi, la urmă, cele din interiorul acoladelor. Se ajunge astfel la un exerciţiu fără paranteze, în care acţionează regula stabilită anterior privind ordinea efectuării operaţiilor.    Într-o posibilă lecţie de recapitulare, la clasa a IV-a, poate fi evidenţiat un algoritm de efectuare a oricărui exerciţiu numeric, ce sintetizează toate regulile cunoscute. Decisive sunt două întrebări:    1. Exerciţiul conţine paranteze? Dacă da, se efectuează operaţiile din parantezele rotunde, apoi cele din cele mari (dacă există) şi apoi din acolade (dacă există). Dacă nu, se trece la întrebarea a doua.    2. Exerciţiul conţine operaţii de ordine diferite? Dacă da, se efectuează întâi operaţiile de ordinul II, în ordinea în care sunt date, apoi cele de ordinul I, în ordinea în care sunt date. Dacă nu, se efectuează operaţiile în ordinea în care sunt scrise în exerciţiu.

Metodologia didactică specifică predării operaţiilor matematice                   În scopul formării noţiunii de adunare se porneşte de la operaţii cu mulţimi de obiecte concrete (etapă perceptivă), după care se trece la efectuarea de operaţii cu reprezentări ce au tendinţa de a generaliza (etapă reprezentărilor), pentru că, în final, să se poată face saltul la conceptul matematic de adunare (etapă abstractă).             Introducerea operaţiei de adunare se face folosind reuniunea a două mulţimi disjuncte.          În etapa concretă, elevii formează, de exemplu, o mulţime de brăduţi ninşi cu 3 elemente şi a mulţime de brăduţi albi cu 4 elemente. Reunindu-se cele două mulţimi de brăduţi se formează o mulţime care are 7 brăduţi: ninşi sau albi. Se repetă apoi acţiunea folosind alte obiecte (de exemplu, baloane, beţişoare, flori, creioane s.a.), până ce elevii conştientizează că reunind o mulţime formată din 3 obiecte cu o altă mulţime formată din 4 obiecte (indiferent ce sunt acestea) se obţine o mulţime formată din 7 obiecte. În această etapă, acţiunea elevului vizează număratul sau compunerea unui număr, date fiind două componente.           Etapa a două, semiabstractă, este caracterizată de utilizarea reprezentărilor simbolice, cum ar fi: În această etapă se introduc semnele grafice “+” şi “=”, explicându-se ce reprezintă fiecare şi se insistă pe faptul că acestea se scriu doar între numere.            În etapa a treia, abstractă, dispare suportul intuitiv, folosindu-se doar numerele.  În această etapă se introduce terminologia specifică (termeni, suma/total) şi se scot în evidenţă proprietăţile adunării (comutativitate, asociativitate, existenţa elementului neutru), fără utilizarea acestor termeni şi cu apelare la intuire, ori de câte ori este necesar. Tot în această etapă se poate sublinia reversibilitatea operaţiei, prin scrierea unui număr că suma de două numere (descompunerea numărului). Acest tip de solicitare conduce la dezvoltarea creativităţii elevului care, în urmă unui raţionament probabilistic, trebuie să găsească toate soluţiile posibile, anticipând, în acelaşi timp, operaţia de scădere.                       Scăderea se introduce folosind operaţia de diferenţă dintre o mulţime şi o submulţime a să (complementară unei submulţimi). În prima etapă concretă, dintr-o mulţime de obiecte ce au o proprietate comună se elimina o submulţime de obiecte şi se precizează câte obiecte rămân în mulţime. Acţiunea mentală a elevului vizează număratul sau descompunerea unui număr în două componente, dată fiind una dintre acestea.                       Etapa a două, semiabstractă, este caracterizată de utilizarea reprezentărilor simbolice, cum ar fi diagramele . În această etapă se introduce semnul grafic “−“ explicându-se ce reprezintă şi se precizează că acesta se scrie doar între numere.                         În etapa a treia abstractă, în care se folosesc doar numerele, se introduce terminologia specifică (descăzut, scăzător, rest/diferenţa) şi se evidenţiază proprietăţile scăderii numerelor naturale (operaţia este posibilă doar dacă descăzutul este mai mare sau egal cu scăzătorul; în cazul egalităţii, restul este zero), şi se compară cu proprietăţile adunării (scăderea nu este comutativă) şi subliniind faptul că, la adunare, rezultatul (suma) este mai mare decât oricare dintre numerele care se adună (termeni), iar la scădere, rezultatul (diferenţa) este mai mic decât descăzutul.                         Legătura dintre adunare şi scădere trebuie subliniată prin realizarea probei fiecăreia dintre cele două operaţii: la adunare, se scade din suma unul din termeni şi trebuie să se obţină cel de-al doilea termen, iar la scădere, se adună diferenţa cu scăzătorul şi trebuie să se obţină descăzutul. De asemenea, aceste relaţii se evidenţiază şi în cazul aflării unui termen necunoscut la adunare sau scădere, eliminând ghicirea, ce apelează la memorie sau procedeul încercare-eroare.                          Înţelegerea acestor aspecte implică în clasele următoare şi formarea capacităţii elevilor de a utiliza terminologia: mai mult cu…, mai puţin cu…, ce vor stă la baza rezolvării problemelor simple. Rezolvarea unor situaţii-problema (îndeosebi ilustrate cu material didactic concret sau prin imagini, dar şi prezentate oral) ce conduc la una dintre cele două operaţii se realizează frecvent, încă înainte de abordarea conceptului restrâns de problema din matematică. Şi prin aceste situaţii-problema poate fi valorificată legătură dintre cele două operaţii, anticipând cunoaşterea faptului că din orice problema de adunare se pot obţine două probleme de scădere.                De exemplu, o imagine ce reprezintă un lac pe care plutesc 5 nuferi, iar pe mal sunt alţi 4 nuferi, poate fi exploatată maximal (din punct de vedere matematic) prin formulări de tipul: -Pe lac sunt 5 nuferi, iar pe mal sunt 4 nuferi. Câţi nuferi sunt în total?   - Pe lac au fost 9 nuferi, iar 4 dintre ei au fost culeşi. Câţi nuferi au rămas pe lac?   - Pe lac au fost 9 nuferi, dar acum sunt doar 5. Câţi nuferi au fost culeşi?                            Introducerea operaţiilor de înmulţire şi împărţire cu numere naturale se face după ce elevii au dobândit cunoştinţe şi au priceperi şi deprinderi de calcul formate, corespunzătoare operaţiilor de adunare şi scădere. Operaţiile de înmulţire şi împărţire se introduc separat, mai întâi înmulţirea (că adunare repetată de termeni egali), apoi împărţirea (că scădere repetată a aceluiaşi număr natural). Abia după introducerea lor şi stăpânirea lor de către elevi se va evidenţia legătură dintre aceste două operaţii.                         Deoarece predarea-învăţarea acestor două operaţii se face prin intermediare.Operaţia de înmulţire se introduce ţinând seama de definiţia înmulţirii că: adunarea repetată a aceluiaşi termen. De aceea pentru stabilirea rezultatului înmulţirii se pot utiliza două procedee:   - Efectuarea adunării repetate a numărului respectiv şi exprimarea acestei adunări prin înmulţire: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10, deci: 2 × 5 = 10. - Efectuarea înmulţirii prin grupare: 2 × 2 = 4, 2 × 3 = 6, 4 + 6 = 10, deci: 2 × 5 = 10.                        Primul procedeu se întrebuinţează mai ales pentru stabilirea tablei înmulţirii, iar al doilea se bazează pe primul, cu deosebire pe înmulţirile numerelor 1-10 cu numere până la 5. Ordinea exerciţiilor de înmulţire respectă ordinea prevăzută în tablă înmulţirii, astfel că se învaţă întâi înmulţirea numărului 2, apoi a numărului 3 etc.           Exprimarea în cazul înmulţirii trebuie să corespundă întru totul procesului de gândire care are loc, astfel încât elevul să-şi poată însuşi în mod conştient şi cu uşurinţă această operaţie. De aceea, se va folosi întâi exprimarea care utilizează cuvintele: a luat de b ori, apoi exprimarea: a înmulţit cu b şi în sfârşit exprimarea: a ori b, această fiind cea mai scurtă şi deci cea care se va folosi mai târziu în mod curent. Este recomandabil că la înmulţirea numărului 2 să se întrebuinţeze pentru toate înmulţirile numărului, respectiv întâi exprimarea a luat de b ori şi numai după ce elevii au deprins această exprimare, sau numai la înmulţirile numerelor următoare să se treacă la celelalte moduri de exprimare.                         Pentru stabilirea rezultatului unei înmulţiri, spre exemplu 2 × 3 = 6 se procedează în felul următor:   - se demonstrează cu ajutorul a 2 - 3 materiale didactice, apoi pe baza de reprezentări cât fac 2 luat de 3 ori şi trecându-se pe plan abstract se stabileşte că 2 luat de 3 ori fac 6;   - se scrie această concluzie în două feluri: sub formă de adunare şi sub formă de înmulţire, adică: 2 + 2 + 2 = 6 2 × 3 = 6   - se citeşte operaţia de înmulţire în cele 3 moduri arătate mai sus.                Trecerea de la adunarea repetată la înmulţire se face în două moduri.   I. Prin stabilirea rezultatului fiecărei adunări repetate a numărului dat şi exprimarea acestei operaţii sub formă de adunare, apoi sub formă de înmulţire, urmată de scrierea în cele două feluri a acesteia; exemple: Cât fac trei creioane luate de 4 ori. Cum aţi socotit ? (3 + 3 + 3 + 3 = 12). Cum putem spune altfel? (3 luat de 4 ori fac 12). Cum scriem? (3 + 3 + 3 + 3 = 12 sau 3 × 4 = 12). În felul acesta elevii se deprind să identifice operaţia de adunare repetată a aceluiaşi termen cu operaţia de înmulţire, să substituie o operaţie prin altă, ceea ce de altfel se şi urmăreşte. II. Prin stabilirea tuturor operaţiilor de adunare repetată a aceluiaşi termen programate pentru lecţia respectivă şi apoi scrierea acestora sub formă de înmulţiri. Adică, dacă este vorba despre înmulţirea numărului 3, se stabilesc şi se scriu toate adunările numărului 3 până la 18:   3 3 + 3 = 6 3 + 3 + 3 = 9 3 + 3 + 3 + 3 = 12 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18 apoi se transformă pe rând aceste adunări în înmulţiri, scriindu-se în dreptul fiecărei adunări înmulţirea corespunzătoare, astfel:   3 × 1 = 3 3 × 2 = 6 3 × 3 = 9 3 × 4 = 12 3 × 5 = 15 3 × 6 = 18                    Dintre aceste două procedee se consideră că primul este mai indicat pentru motivul că elevii sunt puşi în situaţia să participe în mod conştient la scrierea fiecărei adunări sub formă de înmulţire, câtă vreme după al doilea procedeu, chiar dacă elevii participa conştient la scrierea primelor două adunări sub formă de înmulţiri, celelalte transformări le vor face mecanic pe baza observaţiei că numărul 3 este luat pe rând de 2 ori, de 3 ori etc.                         De altfel, între cele două procedee nu se poate stabili o ierarhizare absolută, ele urmând a fi utilizate după preferinţele propunătorului şi ţinând seama de condiţiile în care lucrează. Semnul înmulţirii se introduce cu prilejul scrierii primei operaţii de înmulţire, că o prescurtare a cuvintelor luat de … ori. În operaţiile următoare, se va arată că semnul “×” mai ţine locul cuvintelor înmulţit sau ori.                         Pentru memorarea tablei înmulţirii se utilizează procedeele specificate pentru memorarea tablei adunării şi scăderii. Apoi, la fiecare lecţie, trecerea la predarea cunoştinţelor noi este precedată de calcul mintal, iar în ascultare şi în fixarea cunoştinţelor se rezolva probleme aplicative. De asemenea este indicat să se rezolve cât mai multe exerciţii în care lipseşte unul din factori, întâi exerciţii în care lipseşte factorul al doilea, apoi exerciţii în care lipseşte primul factor: 3 × ? = 15 sau ? × 5 = 15, întrucât aceste categorii de exerciţii contribuie într-o măsură mai mare la clasificarea şi consolidarea înmulţirilor.                          În cadrul numerelor până la 100, tablă înmulţirii se completează cu toate înmulţirile numerelor de o singură cifra, devenind apoi elementul de baza în toate calculele care utilizează operaţiile de gradul al doilea.                Predarea înmulţirii în acest concentru prezintă următoarele caracteristici:   - elevii sesizează rolul pe care îl îndeplineşte primul factor că număr ce se repetă şi rolul pe care îl îndeplineşte cel de al doilea factor că număr ce arată de câte ori se repetă primul factor; -se scoate în evidenţă şi se aplică proprietatea comutativităţii înmulţirii, în special pentru stabilirea rezultatelor înmulţirii cu 1, 2, 3, 4, 5 a numerelor 6, 7, 8 şi 9. Această proprietate se generalizează în cadrul numerelor până la 100, astfel încât o bună parte din tablă înmulţirii va constitui doar o repetare a celor învăţate anterior;   - pe baza comutativităţii produsului se alcătuieşte tablă înmulţirii cu înmulţitorul constant, care va constitui elementul principal în introducerea împărţirii prin cuprindere;   - pentru stabilirea rezultatelor înmulţirilor, elevii vor putea întrebuinţa o mare varietate de procedee raţionale: adunarea repetată, gruparea, comutativitatea care nu vor avea un character limitat, ci vor capătă un câmp larg de desfăşurare.                          În ceea ce priveşte intuiţia, această nu mai are rol predominant, întrucât elevii au dobândit multe cunoştinţe în legătură cu operaţiile aritmetice, şi-au format anumite priceperi şi au sesizat mecanismul scrierii adunării repetate sub formă de înmulţiri şi tehnică formării tablei înmulţirii, astfel încât insistenţă institutorului de a demonstra totul cu material didactic ar frână însuşirea într-un ritm mai rapid a cunoştinţelor.    Nu se renunţă complet la materialul didactic, dar acesta se utilizează numai în măsură în care el este necesar pentru că elevii să-şi însuşească în mod conştient operaţiile respective. Astfel pe parcursul aceleiaşi lecţii, că şi în eşalonarea lecţiilor aparţinătoare capitolului respectiv, dozarea materialului didactic se face în aşa fel încât la început să se utilizeze mai mult material didactic şi să se treacă prin toate cele trei faze, apoi din ce în ce mai puţin, ajutându-se că ultimele operaţii să se bazeze doar pe gândirea abstractă.                 Exemplu, la înmulţirea numărului 7:   - primele 6 operaţii nu este necesar să fie demonstrate, deoarece se cunosc de la înmulţirile cu înmulţitorul constant al numerelor 1, 2, …, 6, ci doar se repetă înmulţirile respective, se reamintesc demonstraţiile sau se repetă unele dintre ele dacă se consideră necesar;   - operaţiile 7 × 7 şi 7 × 8 se pot demonstra cu 1-2 materiale (bile şi beţişoare, cuburi şi buline, creioane şi o planşă cu figuri), dintre care un material este indicat să fie o planşă cu figure decupate şi lipite sau cu figuri mobile, trecându-se apoi la faza semiconcreta şi apoi abstractă; -operaţia 7 × 9 poate fi ilustrată numai cu ajutorul unor reprezentări, după care se trece la faza abstractă;   - rezultatul operaţiei 7 × 10 se poate stabili numai pe baza fazei abstracte.                       De asemenea, în şirul lecţiilor: înmulţirea numărului 2, înmulţirea numărului 3 etc., bogăţia şi varietatea materialului didactic trebuie să fie în descreştere, pe măsură ce elevii dobândesc noi cunoştinţe şi-şi formează noi priceperi şi deprinderi. Ordinea în care se predau cunoştinţele privitoare la înmulţirea numerelor este cea prevăzută de tablă înmulţirii, iar după epuizarea acesteia se trece la tratarea cazurilor speciale.                Fazele principale prin care trece o lecţie de înmulţire a unui număr, cu stabilirea tablei înmulţirii respective, sunt următoarele:   - repetarea tablei înmulţirii cu numărul precedent, sau cu numerele precedente;   - numărarea ascendentă cu acel număr de unităţi şi scrierea rezultatelor numărării;   - adăugarea repetată a acelui număr, o dată, de două ori etc., cu scrierea pe tablă şi pe caiete a operaţiei;   - scrierea adunării repetate sub formă de înmulţire;   - stabilirea completă a tablei înmulţirii cu acel număr, inclusiv înmulţirea cu unitatea; -memorarea tablei stabilite, întrebuintand forme de activitate şi procedee cât mai variate; -rezolvarea de exerciţii şi probleme aplicative în legătură cu înmulţirile învăţate.                    Procedee pentru stabilirea rezultatelor la înmulţire:   - procedeul adunării repetate; 4 × 3 = 12 pentru că 4 + 4 + 4 = 12.   - procedeul utilizării grupărilor; 4 × 7 = 28 pentru că 4 × 3 = 12, 4 × 4 = 16 şi 12 + 16 = 28 sau 4 × 7 = 28 pentru că 4 × 5 = 20, 4 × 2 = 8 şi 20 + 8 = 28.   - procedeul comutativităţii; 7 × 3 = 21, pentru că 3 × 7 = 21 9 × 6 = 54, pentru că 6 × 9 = 54. -procedeul rotunjirii; 9 × 3 = 27, pentru că 10 × 3 = 30, 1 × 3 = 3 şi 30 - 3 = 27.                 Fazele principale prin care trece o lecţie de înmulţire a unui număr, cu stabilirea tablei înmulţirii respective, sunt următoarele:     - repetarea tablei înmulţirii cu numărul precedent, sau cu numerele precedente;   - numărarea ascendentă cu acel număr de unităţi şi scrierea rezultatelor numărării;   - adăugarea repetată a acelui număr, o dată, de două ori etc., cu scrierea pe tablă şi pe caiete a operaţiei;   - scrierea adunării repetate sub formă de înmulţire;   - stabilirea completă a tablei înmulţirii cu acel număr, inclusiv înmulţirea cu unitatea; -memorarea tablei stabilite, întrebuintand forme de activitate şi procedee cât mai variate; -rezolvarea de exerciţii şi probleme aplicative în legătură cu înmulţirile învăţate.                          Programa şcolară prevede pentru clasa a IV-a, în cadrul numerelor până la 1000, numai cazurile simple de înmulţire orală, şi anume, înmulţirea zecilor şi a sutelor cu un număr de o singură cifra, precum şi înmulţirea cu 10, 100 şi 1000. Procedeele de înmulţire în aceste cazuri se bazează pe regulile stabilite la înmulţirea unităţilor şi a zecilor. Astfel, înmulţirea 50 × 3 se scrie: 5 zeci × 3 = 15 zeci, adică 50 × 3 = 150; sau înmulţirea 300 × 2 se scrie 3 sute × 2 = 6 sute, adică 300 × 2 = 600. Prin urmare, înmulţirea zecilor şi a sutelor se reduce la înmulţirea unităţilor, regulă fiind:zecile şi sutele se înmulţesc că şi unităţile, dar la produs se adaugă un zero, respectiv două zerouri.                   Succesiunea acestor exerciţii de înmulţire orală este următoarea: -înmulţirea sutelor cu un număr de o singură cifra fără trecere peste mie.   Exemple: 400 × 2; 200 × 3; 500 × 2 etc. -înmulţirea zecilor cu un număr de o singură cifra.   Exemple: 70 × 4; 50 × 7; 80 × 5; 30 × 9 etc                  În acest concentru se introduce şi se studiază numai împărţirea în părţi egale, deoarece aceasta, spre deosebire de împărţirea prin cuprindere, este înţeleasă mai uşor de către elevi, exprimarea întrebuinţată este în concordanţă cu datele experienţei şi cu procesul de gândire care are loc, iar demonstrarea operaţiilor se face fără dificultăţi. Întrucât împărţirea în părţi egale se bazează pe înmulţire, ordinea exerciţiilor este aceeaşi, adică se tratează întâi împărţirea numerelor 2, 4 , 6, …, 20 la 2, apoi a numerelor 3, 6, 9, …, 18 la 3 etc.                        Demonstrarea operaţiilor se face prin întrebuinţarea unor materiale  cat mai variate, unele dintre ele corespunzătoare experienţei proprii a elevilor: creioane, caiete, nuci, castane, lei etc., altele din cele întrebuinţate în mod obişnuit în clasa: bile, beţişoare, cuburi, buline etc.                        Procedeul iniţial este următorul:   - se stabileşte numărul de obiecte ce trebuie împărţit şi numărul părţilor, spre exemplu: 18 creioane împărţite în mod egal la 6 copii;   - se repartizează fiecărei părţi (fiecărui copil) câte un creion, deci în total 6 creioane, stabilindu-se că au mai rămas 12, apoi se mai repartizează câte încă un creion, stabilindu-se că au mai rămas 6, care de asemenea se repartizează şi nu mai rămâne nici un creion; -se verifică numărul creioanelor repartizate fiecărei părţi (fiecărui copil);   - se stabileşte, se repetă şi se scrie concluzia: 18 creioane împărţite în mod egal la 6 copii fac 3 creioane, sau 18 creioane împărţite în 6 părţi egale fac 3 creioane.                        Pentru a realiza trecerea treptată de la concret la abstract, materialele care se întrebuinţează în continuare: beţişoare, cuburi, castane etc., chiar pentru aceeaşi operaţie, se împart în părţi egale, deci nu la un număr de copii, obiectele aşezându-se în grupe separate, după care se trece la faza semiconcreta, în cadrul căreia copiii vor împărţi mintal, în acelaşi număr de părţi egale, diferite numere ce reprezintă obiecte pe care nu le au în faţă şi cu care nu lucrează efectiv: piese, maşini, pere, castane, precum şi găini, ouă etc.                         În rezolvarea primelor exerciţii de împărţire, stabilirea rezultatului operaţiei se face prin separarea efectivă în părţi egale şi distincte a numărului total de obiecte, iar verificarea se face prin înmulţire. Îndată însă ce elevii dovedesc că au pătruns înţelesul operaţiei de împărţire şi au reuşit să-şi însuşească în condiţii satisfăcătoare mecanismul acestei operaţii, trebuie să depăşească faza împărţirii efective a obiectelor şi să treacă neîntârziat la stabilirea prin înmulţire a rezultatului unei împărţiri, realizându-se astfel legătură strânsă dintre cele două operaţii.                     Spre exemplu: 18 împărţit în 6 părţi egale fac 3, pentru că 3 luat de 6 ori fac 18, ceea ce se scrie:18 : 6 = 3, pentru că 3 × 6 = 18.                      În stabilirea pe baza înmulţirii a rezultatului unei împărţiri nu numai că nu se pot evita încercările, dar se consideră indicat să se apeleze mereu la aceste încercări, întrucât ele aduc o contribuţie hotărâtoare la dezvoltarea gândirii şi la înţelegerea relaţiilor de independenţa dintre cele două operaţii aritmetice, punând astfel accentul pe ceea ce este esenţial în împărţire, şi anume faptul că este operaţia inversă înmulţirii.                Exemplu:   18 : 6 fac 1 ? NU, pentru că 1 × 6 = 6, nu 18; 18 : 6 fac 2 ? NU, pentru că 2 × 6 = 12, nu 18; 18 : 6 fac 3 ? DA, pentru că 3 × 6 = 18.                    Procedând în acest fel, elevii vor ajunge să stabilească rezultatele diferitelor împărţiri numai pe baza tablei înmulţirii pe care au învăţat-o sau pe care o pot învaţă cu mai multă uşurinţă.              Exemplu: La împărţirea 15 : 3, elevii vor stabili rezultatul răspunzând mintal la întrebarea: cât ori 3 fac 15 ?  deci, 15 : 3 = 5 pentru că 5 × 3 = 15.                     Un alt procedeu pentru stabilirea rezultatului unei împărţiri şi care se poate introduce treptat este procedeul grupărilor, adică al descompunerii deîmpărţitului în două, trei grupe, care se împart, adunându-se rezultatele.              Exemplu:   12 : 3 = 4   9 : 3 = 3   3 : 3 = 1  3 + 1 = 4               În ceea ce priveşte exprimarea, este necesar să se întrebuinţeze la început exprimarea completă, corespunzătoare proceselor practice şi de gândire care au loc: 18 împărţit în 6 părţi egale fac 3 şi paralel cu această să se întrebuinţeze exprimarea prescurtată: 18 împărţit la 6 fac 3.                                                              Caracteristici specifice împărţirii numerelor naturale mai mici decât 100 - în cadrul numerelor până la 100 se studiază atât împărţirea în părţi egale, cât şi împărţirea prin cuprindere (în această ordine); - operaţia de împărţire se studiază în strânsă legătură cu înmulţirea, atât în ceea ce priveşte stabilirea şi motivarea rezultatului, cât şi prin sesizarea relaţiilor care duc la constatarea că cele două operaţii sunt inverse una alteia, adică ceea ce se face prin înmulţire se desface prin împărţire şi invers; - împărţirea în părţi egale se bazează pe înmulţirea cu înmulţitorul constant, acesta devenind împărţitor; - ordinea operaţiilor este aceeaşi că şi la înmulţire.                   Procedeele întrebuinţate pentru stabilirea rezultatelor la împărţire sunt următoarele: -legătura dintre înmulţire şi împărţire, legătură cu ajutorul căreia se găseşte şi se motivează rezultatul;                  Exemplu: 24 : 6 = ? Câtul este acel număr din înmulţirea căruia cu împărţitorul se obţine deîmpărţitul, adică 4, deci: 24 : 6 = 4, pentru că 4 × 6 = 24. -descompunerea deîmpărţitului în termeni mai mici, astfel că aceşti termeni să fie divizibiliprin împărţitor;                  Exemplu: 56 : 7 = 8 pentru că: 28 : 7 = 4 , 28 : 7 = 4 şi 4 + 4 = 8. -împărţirea succesivă a deîmpărţitului prin factorii împărţitorului;                  Exemplu: 28 : 4 = 7, pentru că: 28 : 2 = 14 şi 14 : 2 = 7                   Împărţirea prin cuprindere se bazează pe înmulţirea cu împărţitorul constant. Etapele metodice în tratarea împărţirii prin cuprindere pot fi formulate astfel: - formarea noţiunii de împărţire prin cuprindere, scrierea şi citirea acestei împărţiri.                             Pentru a ajunge la înţelegerea acestor noţiuni, trebuie să se lămurească şi să se delimiteze înţelesul expresiilor: în părţi egale, în grupe de câte … obiecte, grupate, cuprindere. În acest scop trebuie să se utilizeze exemple concludente, legate de experienţă şi cunoştinţele elevilor.                          Astfel, elevii sunt aşezaţi în bănci câte doi, în grupe de câte doi, dar aceiaşi elevi pot fi grupaţi câte 3, câte 4 etc., sau în grupe de câte 3, câte 4. Pentru o mai bună precizare a lucrurilor se consideră un anumit număr de elevi, spre exemplu 16 şi se fac toate grupările posibile: câte 1, câte 2, câte 4, câte 8 şi câte 16, stabilindu-se numărul grupelor formate şi întrebuințându-se exprimarea corespunzătoare:   16 elevi împărţiţi în grupe de câte 2 elevi fac 8 grupe; 16 elevi împărţiţi în grupe de câte 4 elevi fac 4 grupe; 16 elevi împărţiţi în grupe de câte 8 elevi fac 2 grupe etc.                  Apoi se lămureşte procesul de gândire care are loc pentru stabilirea grupelor precizându-se că 16 elevi împărţiţi în grupe de câte 2 fac 8 grupe, adică 2 în 16 se cuprinde de 8 ori, fiindcă 2 elevi repetaţi de 8 ori fac 16, sau 16 elevi împărţiţi în grupe de câte 4 fac 4 grupe, adică 4 în 16 se cuprinde de 4 ori, fiindcă 4 elevi repetaţi de 4 ori fac 16. După această se trece la demonstrarea împărţirii prin cuprindere întrebuintand diferite materiale didactice cu care lucrează atât institutorul cât şi elevii.               Exemplu: Dacă se lucrează cu beţişoare, acestea se grupează câte 1, câte 2, câte 4, stabilindu-se de fiecare dată numărul grupelor ce se obţin, cu repetarea în cuvinte a procesului aritmetic: 12 beţişoare împărţite în grupe de câte 2 beţişoare fac 8 grupe, pentru că 2 se cuprinde în 16 de 8 ori etc.               După tratarea a 2-3 exemple concrete, se trece la faza semiconcreta şi apoi abstractă, stabilindu-se drept concluzie.   16 împărţit în grupe de câte 2 fac 8, sau 2 se cuprinde în 16 de 8 ori; 16 împărţit în grupe de câte 4 fac 4, sau 4 se cuprinde în 16 de 4 ori; 16 împărţit în grupe de câte 8 fac 2, sau 8 se cuprinde în 16 de 2 ori etc.                 Un exemplu sau două din aceste operaţii se scriu pe tablă şi pe caiete, scoţându-se în evidenţă faptul că scrierea acestei împărţiri este cea cunoscută, însă citirea ei se face altfel.                  Exemplu: Operaţia: 16 : 4 = 4 se citeşte că împărţire prin cuprindere astfel: 16 împărţit în grupe de câte 4 fac 4, sau 4 în 16 se cuprinde de 4 ori.                      Numai după ce elevii încep să pătrundă sensul expresiilor care caracterizează împărţirea prin cuprindere se poate trece la studiul sistematic al acestei operaţii, tratandu-se pe rând împărţirea la 2 prin cuprindere, apoi la 3 şi aşa mai departe, în strânsă legătură cu înmulţirea numărului respectiv şi cu împărţirea în părţi egale prin acel număr.         - probleme de împărţire prin cuprindere.                      Tot ceea ce s-a arătat până aici în legătură cu împărţirea prin cuprindere are drept scop să familiarizeze pe elevi cu exprimarea caracteristică acestei împărţiri şi să-i facă să pătrundă înţelesul şi esenţă operaţiei. Dacă însă într-o problema este vorba de împărţire prin cuprindere, sau de împărţire prin părţi egale, acestea se pot stabili numai prin textul problemei, mai ales că formă sub care se scrie operaţia corespunzătoare fiecărei împărţiri este aceeaşi şi diferă doar exprimarea. Urmărind că elevii să facă distincţie clară între cele două feluri de împărţiri, este necesar să se formeze, cu aceleaşi date, o problema de împărţire în părţi egale şi altă prin cuprindere.    Spre exemplu: folosind relaţia 15 : 3 = 5, se pot formulă următoarele probleme: O cantitate de 15 litri de ulei s-a pus în mod egal în 3 bidoane. Câţi litri de ulei sau pus într-un bidon?   Operaţia se scrie:15 l : 3 = 5 l şi se citeşte:15 l împărţit în 3 părţi egale (bidoane) fac 5 l. O cantitate de 15 l de ulei s-a turnat în bidoane de câte 3 l . Câte bidoane sunt necesare? Operaţia se scrie: 15 l : 3 l = 5 şi se citeşte: 15 l împărţit în părţi (bidoane) de câte 3 l fac 5 (bidoane), sau: 3 l se cuprind în 15 l de 5 ori, deci sunt necesare 5 bidoane.       La împărţirea în părţi egale se observă că deîmpărţitul şi catul sunt numere concrete (reprezintă unităţi sau lucruri de acelaşi fel), iar împărţitorul este număr abstract şi arată numărul părţilor egale în care s-a făcut împărţirea. La împărţirea prin cuprindere, deîmpărţitul şi împărţitorul sunt numere concrete, iar catul este număr abstract şi arată de câte ori se cuprinde împărţitorul în deîmpărţit. Aceste observaţii caracterizează în mod general cele două feluri de împărţire.    Caracteristici specifice împărţirii numerelor naturale mai mici decât 100: -în cadrul numerelor până la 100 se studiază atât împărţirea în părţi egale, cât şi împărţirea prin cuprindere (în această ordine); -operaţia de împărţire se studiază în strânsă legătură cu înmulţirea, atât în ceea ce priveşte stabilirea şi motivarea rezultatului, cât şi prin sesizarea relaţiilor care duc la constatarea că cele două operaţii sunt inverse una alteia, adică ceea ce se face prin înmulţire se desface prin împărţire şi invers; -împărţirea în părţi egale se bazează pe înmulţirea cu înmulţitorul constant, acesta devenind împărţitor; -ordinea operaţiilor este aceeaşi că şi la înmulţire.  

Elemente pregătitoare pentru formarea conceptului de număr natural           Copiii de vârstă școlară mică se găsesc în stadiul operațiilor concrete. Ei învață prin intuiție si manipulare directă de obiecte concrete, iar activitatea matematică reproduce, între anumite limite, spațiul fizic în care aceștia se dezvoltă. Cercetările psihologice arată că la începutul vârstei școlare mici apar și se dezvoltă primele operații logice elementare: conjuncția, disjuncția logică și negația. Formarea mulțimilor după una sau mai multe proprietăți ale elementelor lor cultivă si dezvoltă copiilor capacitatea de a lega între ele proprietățile obiectelor care alcătuiesc o mulțime, cu ajutorul elementelor de relație: sau - corespunzător disjuncției, și - corespunzător conjuncției, nu - corespunzător negației. Tot prin activități practice, mânuind materialul didactic și verbalizând acțiunile folosind: conjuncția, disjuncția și negația se introduc operațiile cu mulțimi: reuniunea, intersecția și diferența a două mulțimi.         Pentru înțelegerea și însușirea operațiilor cu mulțimi este necesar ca institutorul să folosească jocurile logico-matematice, jocul disjuncției, al conjuncției, al negației, al perechilor, jocuri de formare a unei mulțimi, jocuri de ordonare a elementelor unei mulțimi etc.                   În activitățile cu mulțimi, institutorul va folosi întotdeauna un limbaj matematic clar, precis, pe înțelesul și la nivelul de pregătire al copiilor. Plecând de la activități logice de comparare a mulțimilor, copiii vor deveni conștienți de modul în care se stabilește corespondența (element cu element) a două mulțimi – suportul constituindu-l numeroase situații de viață.         Introducerea conceptului de număr natural impune, ca o etapă premergătoare, familiarizarea copiilor cu noțiunea de relație de echivalență a mulțimilor, de clasă de echivalență, de echipotență între mulțimi stabilită de relația bijectivă tot atâtea, precum și de relația de ordine folosindu-se expresiile mai multe, mai puține.         Activitatea de punere în corespondență a elementelor a două mulțimi se poate desfasura în două direcții principale: - stabilirea echipotenței a două mulțimi (prin relația de corespondență element cu element), - construirea mulțimilor echipotente cu o multime dată (formând o clasă de echivalență).         O atenție deosebită trebuie să se acorde mijloacelor materiale și de comunicare, formulării concluziilor, manipulării obiectelor prin care se formează sau se pun în corespondență mulțimile și folosirii unui limbaj adecvat. De exemplu, în loc de funcție bijectivă se poate spune: corespondență element cu element sau se folosește relația: tot atâtea elemente, care este o relație de echivalență, iar în loc de mulțimi echipotente se spun: mulțimi cu tot atâtea elemente(care au acelasi cardinal). Corespondența element cu element a două mulțimi se poate indica grafic prin unirea cu o linie a unui element dintr-o mulțime cu un element din cea de-a doua sau prin alăturarea la fiecare element din prima mulțime a unui element din cea de-a doua mulțime.                    Folosirea rigletelor oferă institutorului posibilitatea să efectueze cu copiii corespondențe între elementele unei mulțimi oarecare, iar o mulțime formată din riglete unități dispuse în linie dă posibilitatea copiilor să găsească riglete cu același număr de unități cât este numărul elementelor unei mulțimi (prin punere în corespondență).                     Familiarizarea copiilor cu rigletele se realizează după ce în prealabil s-au efectuat exerciții de recunoaștere a culorilor și de egalizare a lungimilor. Comparând două riglete copiii vor deduce dacă au aceeași lungime sau nu, vor așeza în prelungire două sau mai multe riglete pentru a egala o rigletă de lungime mai mare. Cu ajutorul rigletelor se realizează o înțelegere mai rapidă a compunerii și descompunerii unui număr, utilă apoi în efectuarea operațiilor aritmetice.   În prima parte a unei activități de predare a unui număr se efectuează exerciții prin care se consolidează și se verifică în ce masură copiii stăpânesc cunoștințele și deprinderile necesare pentru înțelegerea numărului nou. În cadrul unei lecții se efectuează cu copiii exerciții ca: -formarea mulțimilor; -echipotența mulțimilor; -raportarea numărului la cantitate și a cantității la număr; -număratul în limite cunoscute; -stabilirea vecinilor numerelor; -exerciții de adunare și scădere cu o unitate.   După efectuarea exercițiilor cu caracter pregătitor, se trece la predarea numărului nou.                   Parcurgerea acestui capitol se va face după o necesară evaluare predictivă a elevilor în primele zile de şcoală. Vor fi evaluate acele cunoştinţe, priceperi şi deprinderi ale elevilor ce se regăsesc în structura unităţii şi vor fi explicitate mai jos. În funcţie de rezultatele evaluării, va fi luată o decizie didactică privind ritmul parcurgerii acestui capitol şi implicit, timpul afectat: cu cât rezultatele sunt mai bune, cu atât timpul va fi mai scurt.                      Nu trebuie uitat că acest capitol reprezintă doar o pregătire a elevilor pentru asimilare – adaptare, o modalitate de egalizare a şanselor, de a oferi tuturor copiilor o necesară bază comună de pornire. De aceea, activitatea evaluare predictivǎ a învăţătorului va fi diferenţiată şi individualizată, oferind fiecărui copil un program personal de compensare sau dezvoltare. După parcurgerea acestui capitol şi evaluarea sumativă corespunzătoare, învăţătorul va avea informaţii şi va putea decide şi asupra tipului de curriculum pe care îl va putea aborda cu clasa: trunchiul comun, aprofundare sau extindere.                     Conţinutul Unitǎţii 2 are un vizibil caracter interdisciplinar, cu trimiteri nu numai în interiorul, ci şi în afara ariei curriculare. Se conectează cu zona “limbii şi comunicării” atât prin activizarea unui limbaj specific, cât şi prin solicitările de verbalizare a acţiunilor în exprimări corecte, complete, clare. Cu zona “arte” se leagă prin cunoştinţe (ex.: culorile), priceperi şi deprinderi ce ţin de grafie (trasare de linii, încercuiri, barări), desenare şi colorare. De zona “educaţie fizică” se leagă prin intermediul priceperilor şi deprinderilor motrice, de care depinde realizarea unor acţiuni directe de manipulare a obiectelor.           În interiorul ariei curriculare din care face parte matematica, se conectează cu ştiinţele naturii prin cunoştinţele despre plante şi animale, necesare interpretării unor imagini, în vederea stabilirii unor proprietăţi caracteristice.                    Prezentăm în continuare câte o listă conţinând ce trebuie să ştie (cunoştinţe) şi să facă (priceperi şi deprinderi) elevul clasei I în vedrea înţelegerii conceptului de număr natural.               Cunoştinţe necesare: culori (roşu, galben, albastru); forme geometrice plane: cerc, triunghi, dreptunghi, pătrat; poziţii relative ale obiectelor: sus/jos, faţă/spate, pe/sub,stânga/dreapta, aproape/departe ş.a; mărimea obiectelor: mare/mic, lung/scurt, înalt/scund, lat/îngust; elemente de logică matematică (fără utilizarea terminologiei): propoziţie logică şi negaţia ei, conjuncţia a două propoziţii, disjuncţia a două propoziţii, implicaţia; mulţimi (fără utilizarea terminologiei): determinare, apartenenţă/ neapartenenţă, operaţii cu mulţimi (reuniune, intersecţie, complementara unei submulţimi); corespondenţe: compararea cantitativă a două mulţimi, ordonarea cantitativă a două sau mai multe mulţimi; invarianţa cantităţii.   Priceperi şi deprinderi necesare: - precizarea culorii unui obiect sau a unei imagini date; colorarea unor imagini cu o culoare precizată; - recunoaşterea oricăreia dintre formele geometrice precizate, pe obiecte din mediul înconjurător;  denumire unei forme geometrice date; - recunoaşterea poziţiilor relative ale unor obiecte indicate; plasarea unor obiecte în poziţii relative indicate; găsirea unor obiecte aşezate într-o poziţie precizată faţă de un reper; d) - stabilirea mărimii relative a două obiecte comparate; ordonarea crescătoare/descrescătoare după mărime a două/trei obiecte (sau imagini); e) - sortarea obiectelor care au o proprietate dată; alegerea obiectelor caracterizate prin două atribute simultan; trierea obiectelor care au cel puţin unul dintre atribute date; utilizarea unui raţionament de tipul „dacă …. atunci ……” într-o situaţie practică; descoperirea regulii de formare a unei secvenţe dintr-un şir de obiecte/imagini şi construirea în continuare a şirului;   f) - formarea unor mulţimi de obiecte având o proprietate caracteristică dată; formarea unor mulţimi de obiecte pentru care proprietatea caracteristică este o conjuncţie de două atribute; recunoaşterea proprietăţii caracteristice a unei mulţimi date; sesizarea apartenenţei/neapartenenţei unui element la o mulţime dată; construirea reuniunii a două mulţimi disjuncte de obiecte; precizarea proprietăţii caracteristice a intersecţiei a două mulţimi, folosind conjuncţia; precizarea proprietăţii caracteristice a complementarei unei submulţimi, folosind negaţia; construirea mulţimii diferenţă dintre o mulţime dată şi o submulţime a sa;   - formarea de perechi între elementele a două mulţimi prin corespondenţă „unu la unu”; - stabilirea unei relaţii de ordine între două mulţimi, exprimată prin „tot atât”, „mai mult/puţin”; - aşezarea în ordine crescătoare/descrescătoare a două sau mai multe mulţimi de obiecte sau imagini; - sesizarea faptului că o mulţime rămâne cu „tot atâtea” obiecte, indiferent de poziţia spaţială a acesteia; - sesizarea faptului că mărimea obiectelor din două mulţimi nu decide care dintre are mai multe obiecte.

 

Evaluarea in cadrul lectiilor de matematica Obiectivele unitatii de învatare În urma parcurgerii acestei unitati de învatare, studentii vor fi capabili: -sa cunoasca noul sistem de evaluare în scopul crearii unor modalitati eficiente de masurare a nivelului de realizare a obiectivelor noului curriculum; -sa aplice strategiile de evaluare; -sa descrie principalele metode si tehnici de evaluare specifice lectiilor de matematica; -sa compare metodele de evaluare în raport cu avantajele si limitele specifice; -sa aplice metodologia evaluarii randamentului scolar la matematica; -sa constientizeze importanta evaluarii într-un demers didactic la matematica; -sa realizeze practic teste de evaluare didactica la disciplina matematica, tinând cont de indicatiile metodice din aceasta tema.  Precizari conceptuale Câteva sensuri ale conceptului de evaluare mai frecvent întâlnite în literatura de specialitate sunt: 1. Evaluarea = reglare a învatarii si predarii, adica obtinerea de informatii despre efectele predarii si receptarii cunostintelor. 2. Evaluarea = masurarea efectelor învatarii. Ea consta în aplicarea unor tehnici, probe, pentru a cunoaste efectele actiunii instructiv-educative. Pot fi masurate numarul de cunostinte memorate sau întelese de elevi, deprinderile si priceperile nou formate, numarul si gravitatea greselilor în executarea unei activitati. 3. Evaluarea = proces de obtinere a informatiilor asupra elevului, profesorului, sau asupra programului educativ si de folosire a acestora în scopul formularii unor aprecieri, sau al adoptarii unor decizii. 4. Evaluarea = proces de masurare si apreciere a valorii rezultatelor sistemului de învatamânt, sau a unei parti a acestuia a eficientei resurselor si strategiilor folosite, prin compararea rezultatelor cu obiectivele propuse, în vederea luarii unor decizii de îmbunatatire.. Tipuri (forme) de evaluare Dupa modul cum se realizeaza: la începutul, pe parcursul, sau la sfârsitul unei unitati de învatare se evidentiaza urmatoarele forme de evaluare: 1. evaluarea initiala (predictiva); 2. evaluarea continua (formativa); 3. evaluarea sumativa (finala). 1. Evaluarea initiala se realizeaza prin raportare la obiectivele terminale ale capitolului anterior. Tehnica de evaluare o constituie proba initiala sau predictiva, care este aplicata la începutul fiecarei unitati de continut. Evaluarea initiala (predictiva) se realizeaza la începutul anului scolar, sau al semestrului, sau la trecerea de la un capitol studiat la altul. Permite stabilirea nivelului de dezvoltare si de pregatire si anticipeaza evolutia elevilor. Sugereaza institutorului strategiile didactice care pot fi utilizate. Rezultatele din evaluarile initiale directioneaza activitatea institutorului în doua planuri: -modalitatea de predare-învatare a noului continut (adaptarea strategiilor didactice la posibilitatile de asimilare ale elevilor); -aprecierea necesitatii organizarii unor programe de recuperare pentru întreaga clasa sau a unor programe diferentiate, menite sa aduca elevii la capacitatile necesare abordarii unei noi unitati de învatare. 2. Evaluarea continua se realizeaza pe tot parcursul unitatii didactice, descriind achizitiile elevului în cursul învatarii, în raport cu obiectivele stabilite. Scopul principal al acestui tip de evaluare este acela de a dezvolta la fiecare elev autocunoasterea si încrederea în sine, având, în acelasi timp, caracter diagnostic si recuperativ. 3. Evaluarea sumativa stabileste un bilant final al unei secvente de învatare, având drept scop masurarea nivelului de realizare a obiectivelor operationale propuse. Se realizeaza la finalul programului de instruire (sfârsit de unitate de învatare, sfârsit de semestru sau de an scolar). Deoarece aceasta forma de evaluare nu însoteste procesul didactic pas cu pas, nu permite ameliorarea acestuia decât dupa perioade îndelungate de timp.   Evaluarea performantelor scolare Scopul principal al evaluarii rezultatelor scolare este perfectionarea continua a procesului de predare-învatare. Pentru a-si îndeplini acest scop, evaluarea trebuie sa descrie în mod obiectiv ceea ce pot realiza elevii, sa clarifice natura dificultatilor pe care acestia le au în învatare si sa indice solutii pentru îmbunatatirea rezultatelor întregului proces.   Evaluarea performantelor elevilor este necesara pentru: -cunoasterea nivelului de pregatire al fiecarui elev în scopul organizarii eficiente a activitatii de predare-învatare; -determinarea nivelului atins de fiecare elev în vederea formarii si dezvoltarii capacitatilor cuprinse în obiective; -evidentierea progresului înregistrat de elev în raport cu sine însusi pe traseul atingerii obiectivelor prevazute de programa; important este sa fie evaluata nu atât cantitatea de informatii de care dispune elevul, ci, mai ales, ceea ce poate sa faca el, utilizând ceea ce stie sau ceea ce intuieste; -asigurarea unei informari continue asupra rezultatelor predarii-învatarii, pentru a preveni la timp dereglarile procesului sau pentru a le corecta atunci când ele s-au produs; -asigurarea unei raportari la standarde nationale pentru a oferi o apreciere corecta a rezultatelor unei promovari reale, pe baza performantelor obtinute, care sa asigure continuitatea cu succes a studiilor în clasa urmatoare; -raportarea activitatii institutorului la obiectivele vizate prin programa; autoaprecierea muncii proprii; -stabilirea unor criterii unitare si obiective de evaluare a activitatii institutorului în raport cu obiectivele programei de catre factorii de îndrumare si control: directori, metodisti, inspectori scolari. Pentru ca evaluarea progresului scolar al elevilor sa-si atinga scopurile propuse, o serie de actiuni de ordin strategic si practic devin necesare: -înlocuirea evaluarii oarbe, exprimate prin cifre sau corecturi nerelevante pentru determinarea stadiului atins de elev în formarea unor capacitati si, prin urmare, nerelevante pentru depistarea si eliminarea blocajelor, cu evaluarea calitativa, de tip descriptiv, realizata pe baza descriptorilor de performanta, ce ofera datele necesare reglarii procesului de învatare; -înlocuirea probelor de evaluare clasice, vizând evaluarea cantitatii de informatii memorate, ce permit un grad înalt de subiectivitate, cu teste de evaluare compuse din itemi bine structurati, ce asigura o evaluare obiectiva nu numai a informatiilor acumulate de elevi, ci si a deprinderilor, a capacitatilor intelectuale si a trasaturilor de personalitate – aspecte care constituie rezultatul cel mai important al activitatii scolare; -modificarea raportului dintre evaluarea sumativa, care inventariaza, selecteaza si ierarhizeaza prin nota, si evaluarea formativa, ce are drept scop valorificarea la maximum a potentialului intelectual de care dispun elevii si conduce la perfectionarea continua a stilului si a metodelor proprii de învatare; -restabilirea echilibrului dintre evaluarea scrisa si evaluarea orala care, desi presupune un volum mare de timp pentru aprecierea tuturor elevilor si blocaje datorate emotiei sau timiditatii, prezinta avantaje deosebite, precum: realizarea interactiunii elev-institutor, demonstrarea stadiului de formare a unor capacitati sau competente prin interventia institutorului cu întrebari ajutatoare, demonstrarea comportamentului comunicativ si de interrelationare a elevului, evaluarea de ordin atitudinal-comportamental, evidentierea unor trasaturi de personalitate etc.; -folosirea cu o mai mare frecventa a metodelor de autoevaluare si de evaluare prin consultare în grupuri mici, vizând verificarea modului în care elevii îsi exprima liber opinii proprii sau accepta cu toleranta opiniile celorlalti, modul cum utilizeaza în practica vorbirii formulele de initiere, de mentinere si de încheiere a unui dialog sau capacitatea de a-si sustine si motiva propunerile.   Metode si tehnici de evaluare a randamentului scolar la matematica Metodele traditionale utilizate în evaluarea rezultatelor scolare sunt: examinarea orala, examinarea prin probe scrise, examinarea prin probe practice, textul decimologic. Metodele alternative utilizate în evaluarea rezultatelor scolare sunt: observarea sistematica a comportamentului de învatare al elevilor, investigatia, proiectul, portofoliul, autoevaluarea. Programa scolara reprezinta instrumentul didactic principal care descrie conditiile dezirabile pentru reusita învatarii, exprimate în termeni de obiective, continuturi si activitati de învatare. Ea descrie oferta educationala a unei anumite discipline pentru un parcurs scolar determinat. Obiectivele de referinta specifica rezultatele asteptate ale învatarii si urmaresc achizitia progresiva a cunostintelor si a competentelor, de la un an de studiu la altul. Aceste obiective sunt exprimate în termeni de posibilitate. În activitatea de evaluare, obiectivele de referinta ale programei sunt transformate în descriptori de performanta, exprimati în termeni de realizare. Aplicarea descriptorilor de performanta nu înseamna înlocuirea pur formala a notei traditionale cu un calificativ care urmareste numai ierarhizarea rezultatelor scolare obtinute de elevi. Perceput astfel, noul sistem de apreciere a rezultatelor scolare prin calificative nu ar servi cu nimic sensului pozitiv al reformei din acest domeniu, care este trecerea de la o evaluare pur cantitativa si nesemnificativa, la o evaluare calitativa, de tip descriptiv, care sa se constituie cu adevarat într-un factor activ, reglator, generator de progres scolar. Pentru întelegerea noului concept de evaluare, fiecare activitate de evaluare a rezultatelor scolare trebuie însotita, în mod sistematic, de o autoevaluare a procesului pe care institutorul la desfasurat cu toti elevii si cu fiecare elev în parte, pentru obtinerea rezultatelor scolare evidentiate prin evaluare. Numai astfel poate fi descris nivelul de formare al fiecarui elev si pot fi stabilite modalitatile prin care va fi reglata, de la o etapa la alta, activitatea de învatare-formare a elevilor în mod diferentiat, pentru ca toti cei cu o dezvoltare intelectuala normala sa poata atinge, în final, standardele de performanta curriculare. Cu alte cuvinte, calificativele: excelent, foarte bine, bine si suficient, mentionate în descriptori, ca si calificativul insuficient trebuie traduse de institutor în termeni care sa-i ghideze reglarea procesului de predare-învatare: • excelent = capacitate/competenta constituita stabil, capabila de autodezvoltare; • foarte bine = capacitate/competenta formata; • bine = capacitate/competenta care necesita antrenament pentru consolidare; • suficient = capacitate/competenta aflata în curs de formare; • insuficient = capacitate/competenta nerealizata.   Noul sistem de evaluare a rezultatelor învatarii la matematica urmeaza sa se constituie într-un act unitar si coerent care sa ofere tuturor elevilor, indiferent de specificul unitatii scolare sau de manualul alternativ dupa care lucreaza, repere la care acestia sa-si poata raporta nivelul de performanta atins în învatare. Tinând seama de acest principiu important, toate instrumentele de evaluare: matricele de evaluare, descriptorii de performanta, probele de evaluare, sunt derivate din obiectivele-cadru si din obiectivele de referinta ale curriculum-ului scolar. În proiectarea evaluarii, se trece de la obiectivele de referinta ale programei la descrierea lor în termeni de competente realizabile, cuprinse în descriptori de performanta.   Descriptorii de performanta pot fi utilizati pentru evaluarea si aprecierea rezultatelor scolare la toate formele sau probele de evaluare, orale sau scrise, proiectate în matrice. Acestia se pot adapta atât la continuturile de învatare evaluate, cât si la tipul de proba de evaluare administrativa.   Tipul probelor (metodelor) de evaluare se selecteaza în functie de doi parametri: obiectivul-cadru vizat si competentele pe care institutorul îsi propune sa le formeze la elevi în cadrul procesului de predare-învatare, pentru a asigura atingerea obiectivelor. Corelatia dintre competentele evaluate si instrumentele folosite pentru a realiza aceasta evaluare este redata sintetic în matricele de evaluare. Pentru a asigura eficienta activitatii de evaluare a rezultatelor scolare este necesar ca aceasta sa fie însotita de o autoevaluare a procesului pe care institutorul l-a desfasurat cu toti elevii si cu fiecare elev în parte în scopul obtinerii rezultatelor scolare evidentiate prin evaluare. Numai astfel poate fi descris nivelul achizitiilor fiecarui elev în învatare si pot fi stabilite modalitatile prin care va fi reglata, de la o etapa la alta, învatarea-formarea elevilor în mod diferentiat, astfel încât toti cei cu o dezvoltare intelectuala normala sa poata atinge, în final, standardele curriculare de performanta. Standardele curriculare de performanta pentru scoala primara reprezinta o descriere sintetica a nivelului de competente recomandate a fi dobândite de elevi pâna la sfârsitul clasei a IV-a. În conditiile existentei unor standarde curriculare de performanta, obligatia institutorului este ca: -sa asigure atingerea nivelului minim de catre toti elevii; -sa creeze conditiile ca fiecare elev sa avanseze cât mai mult, în functie de posibilitatile si disponibilitatile sale, catre nivelul achizitiilor dezirabile, exprimate în documentele curriculare în termeni de performanta optimala.   În scopul asigurarii unei corectitudini a rezultatelor evaluarii, instrumentele de evaluare (probele) trebuie sa se caracterizeze prin: validitate (calitatea de a masura ceea ce este destinat sa masoare), fidelitate (calitatea de a da rezultate constante în cursul aplicarii succesive), obiectivitate (gradul de concordanta între aprecierile facute de evaluatori diferiti), aplicabilitate (calitatea de a fi usor administrata si interpretata). Metodologia elaborarii itemilor Clasificarea itemilor Informatiile despre felul cum au învatat si ce au învatat elevii, se colecteaza cu ajutorul unor tehnici si instrumente de evaluare. Acestea sunt: probe, chestionare, teste de evaluare care se compun din unul sau mai multi itemi. Itemii reprezinta elemente componente ale unui instrument de evaluare si pot fi: simple întrebari, un enunt urmat de o întrebare, exercitii, eseuri. Itemii mai contin si tipul de raspuns asteptat, deci: item = întrebare + raspuns. În construirea itemilor se parcurg urmatoarele etape: − precizarea disciplinei de studiu, a clasei si a capitolului; − definirea obiectivului pe care itemul îl masoara; − formularea enuntului itemului; − schema de notare; − observatii (acolo unde este cazul). Din punct de vedere al tipului de raspuns asteptat si al gradului de obiectivitate a notarii, itemii se împart în: 1. Itemi obiectivi: − itemi tip pereche; − itemi cu alegere duala; − itemi cu alegere multipla. 2. Itemi semiobiectivi: − itemi cu raspuns scurt; − întrebari structurate. 3. Itemi cu raspuns deschis: − itemi tip rezolvare de probleme; − eseu structurat; − eseu nestructurat.  Îndrumãri practice, generale pentru elaborarea itemilor Itemii verifica un esantion reprezentativ al domeniului de evaluat atât din punct de vedere al continutului cât si al comportamentului solicitat. În elaborarea lor se utilizeaza un limbaj precis si clar. Itemii sunt independenti unul fata de altul. Raspunsul la un item nu trebuie sa depinda de raspunsul la alt item. Itemi de tip pereche Le solicita elevilor stabilirea unor corespondente între informatiile distribuite pe doua coloane. Informatiile din prima coloana se numesc premize, iar cele din a doua coloana se numesc raspunsuri. Acest tip de itemi urmaresc dezvoltarea puterii de asociere în gândirea elevilor. Se pot asocia: -exercitii – rezultatele acestora; -termeni – definitii, etc. Itemi cu alegere dubla Ofera elevului posibilitatea sa aleaga raspunsul corect din doua alternative: adevarat-fals; da-nu; corect-incorect. Itemi cu alegere multipla Pe baza unui enunt se cere elevului sa aleaga raspunsul corect sau cea mai buna alternativa dintr-o lista de raspunsuri alternative. Itemi cu raspuns scurt Solicita elevilor formularea raspunsului sub forma unui cuvânt, propozitie, numar, cerinta fiind de tip intrebare directa. Modalitati de utilizare: -se da elevului o definitie si i se cere sa scrie numele conceptului definit; -se da un concept si i cere sa-l defineasca; -se da un concept si i se cere sa enumere caracteristicile sale; -se cere elevilor sa adauge cuvântul ce lipseste dintr-o definitie. Întrebari structurate Sunt formate din mai multe subîntrebari de tip obiectiv sau semiobiectiv, legate între ele printr-un element comun. Itemi cu raspuns deschis Ofera elevilor posibilitatea de a formula o descriere, a prezenta sau a explica diferite concepte, relatii, metode de rezolvare. Tipuri de itemi cu raspuns deschis: -rezolvarea de probleme; -eseu structurat; -eseu liber. Itemi de tip eseu Itemul de tip eseu cere elevului sa construiasca, sa produca un raspuns liber în conformitate cu un set de cerinte date. Test de autoevaluare 1. Construiti o proba de evaluare predictiva pentru un capitol la alegere din matematica clasei a IV-a. 2. Construiti o proba de evaluare formativa pentru o lectie la alegere din capitolul ales anterior. 3. Pentru capitolul ales construiti o proba de evaluare sumativa.  

Rolul mijloacelor de invatamant in lectia de matematica Obiective În urma parcurgerii acestei unitati de învatare, studentii vor fi capabili: -sa precizeze conceptul de mijloc de învatamânt; -sa înteleaga principiile de folosire a acestora în activitatea didactica; -sa descrie mijloacele de învatamânt traditionale, evidentiind rolul lor în cadrul lectiilor de matematica; -sa prezinte mijloacele de învatamânt moderne, insistând asupra importantei lor în cadrul lectiilor de matematica; -sa cunoasca factorii determinanti în activitatea de confectionare a materialului didactic cu elevii; -sa enumere materiale didactice necesare desfasurarii lectiilor de matematica.  Conceptul de mijloc de învatamânt Termenul de mijloc de învatamânt desemneaza totalitatea resurselor materiale concepute si realizate în mod explicit pentru a servi institutorului în activitatea de predare si elevilor în activitatea de învatare. În sensul cel mai larg, prin mijloace de învatamânt se întelege totalitatea materialelor, dispozitivelor si operatiilor cu ajutorul carora se realizeaza transmiterea informatiei didactice, înregistrarea si evaluarea rezultatelor obtinute. Asadar, mijloacele de învatamânt pot fi definite ca un ansamblu de instrumente materiale produse, adaptate si selectionate în mod intentionat pentru a servi nevoilor organizarii si desfasurarii procesului de învatamânt. Ele amplifica valoarea metodelor si împreuna cu acestea contribuie la realizarea obiectivelor educatiei. Mijloacele de învatamânt sunt instrumente care faciliteaza transmiterea informatiei ca act al predarii, sprijinind si stimulând în acelasi timp activitatea de învatare. Ele, însa, nu se substituie activitatii de predare, ci doar amplifica si diversifica functiile acesteia printr-o mai buna ordonare si valorificare a informatiei transmise. Oricât s-ar perfectiona aceste mijloace, ele nu vor putea înlocui activitatea institutorului, ci doar îl vor ajuta pentru a-si îndeplini mai bine sarcinile ce-i revin.  Principii de bazã în folosirea mijloacelor de învatamânt Folosirea mijloacelor de învatamânt se bazeaza pe unele principii a caror aplicare este necesara: -orice comentariu oral, mai ales a unui subiect complicat sau nou, trebuie însotit, daca este posibil, cu elemente audio-vizuale pentru a fi retinute sau pentru a suscita discutii; -ilustrarea audio-vizuala a punctelor importante trebuie sa fie repartizate echitabil, în asa fel încât sa incite elevii, sa dea viata unui subiect mai putin atragator, sa încurajeze discutia sau sa dea mai multa greutate unei explicatii; -o prezentare cu ajutorul mijloacelor de învatamânt a cunostintelor de învatat permite o asimilare mai rapida si o activitate mai intensa; astfel institutorul, poate deseori sa abandoneze pe moment rolul sau pur pedagogic si sa se integreze în grup pentru a discuta documentele prezentate, continutul unui film, a unei simulari etc.; -adoptând atitudinea unui observator discret, aparent pasiv, institutorul poate, daca a ales cu grija mijloacele de învatamânt, sa creeze o situatie în care grupul se autoinstruieste, sa dezvolte la membrii sai spiritul critic, care îi va permite sa obtina învataminte pentru situatii reale de viata; -exercitiile bazate pe jocurile didactice, pe simulari (eventual prin utilizarea unui calculator electronic), sunt eficiente: o problema devine tangibila, elevii actioneaza ei însisi, sunt antrenati sa participe, sa faca apel la propria lor experienta; -folosirea mijloacelor de învatamânt permite cadrelor didactice sa largeasca câmpul de cunostinte al elevilor, prin abordarea interdisciplinara a problematicii predate.  Integrarea mijloacelor de învatamânt în activitatea didacticã Prezenta mijloacelor de învatamânt în cadrul formelor de organizare a activitatii didactice se justifica atunci când: contribuie la perfectionarea procesului de comunicare, prezentând informatii despre cele mai diferite obiecte, fenomene, evenimente etc.; aduc în laborator sau cabinet obiecte si fenomene care nu pot fi percepute direct de catre elevi; ofera componente si aparate indispensabile în realizarea unor montaje experimentale pentru dobândirea cunostintelor prin efort propriu în cadrul practicarii învatarii prin descoperire; sprijina procesul de formare a notiunilor, capacitatilor de analiza, sinteza, generalizare etc.; ofera un suport pentru efectuarea de exercitii si rezolvarea de probleme; prezinta situatii-problema ale caror solutii urmeaza sa fie analizate în lectie; provoaca si dezvolta motivatia învatarii si, în acelasi timp, declanseaza o atitudine emotionala; ofera posibilitati de conexiune inversa si contribuie la evaluarea rezultatelor scolare. Eficienta mijloacelor de învatamânt în activitatea de predare-învatare este determinata în ultima instanta de metodologia folosita de cadrul didactic pentru integrarea acestora în activitatea didactica. Metodologia utilizarii mijloacelor de învatamânt nu este ceva exterior continutului învatamântului, ci reprezinta o componenta de baza, care face parte din organizarea acestuia. Eficienta mijloacelor de învatamânt depinde nu numai de calitatea lor, ci, în primul rând, de modul în care sunt integrate în activitatea didactica. Indiferent de categoria lor, ele pot contribui la ridicarea eficientei si calitatii învatarii numai atunci când sunt selectionate si folosite rational, când sunt subordonate atingerii obiectivelor didactice. În orice sistem de învatare metodele si mijloacele de învatamânt sunt interdependente, se conditioneaza reciproc. Adaptarea riguroasa a mijloacelor de învatamânt la sarcinile care trebuiesc realizate în activitatea de învatamânt constituie o conditie indispensabila a eficientei acestor mijloace. Realizarea unei eficiente sporite a mijloacelor de învatamânt în procesul instructiv-educativ depinde, totodata, si de maiestria cu care cadrul didactic reuseste sa integreze efectiv aceste mijloace în cadrul formelor de organizare. Procesul de integrare a acestor mijloace de învatamânt solicita cadrului didactic o pregatire activa complexa, care începe cu mult înainte de desfasurarea activitatii propriu-zise si se încheie o data cu stabilirea concluziilor desprinse din evaluarea acesteia, pe baza carora se vor adopta apoi masuri pentru optimizarea activitatii didactice. Înainte de începerea activitatii didactice este necesar sa se stabileasca si sa se formuleze clar obiectivele urmarite prin folosirea mijloacelor de învatamânt. Aceste obiective se stabilesc în functie de specificul fiecarei activitati si au ca scop precizarea clara a modului în care mijloacele de învatamânt trebuie sa contribuie la întelegerea fenomenelor, proceselor pentru care expunerea cadrului didactic nu este suficienta. Totodata, cadrul didactic stabileste mijloacele de învatamânt necesare (aparatura de uz general, truse, subansamble, filme, folii, diapozitive s.a.), tinând seama de obiectivele fundamen tale si operationale ale activitatii ce urmeaza sa se desfasoare cu elevii, de cuantumul de cunostinte, priceperi si deprinderi pe care trebuie sa le însuseasca acestia. Apoi verifica si pregateste în detaliu, tot înainte de lectie, mijloacele de învatamânt care vor fi folosite: truse, subansamble, studiaza atent îndrumarile (instructiunile) de folosire a mijlocului de învatamânt, efectueaza experimentul în cele mai mici detalii, pregateste materialele necesare efectuarii experimentelor de catre elevi si fisele de lucru, stabileste modalitatile de efectuare a experimentului, sarcinile de lucru, concluziile partiale si finale ce urmeaza sa fie desprinse din experimentele efectuate, elaboreaza probele de evaluare a rezultatelor etc. În cazul folosirii mijloacelor audio-vizuale, institutorul verifica starea de functionare a aparaturii de proiectie, proiecteaza filmele, diapozitivele sau foliile selectionate si stabileste cu exactitate imaginile care sunt necesare pe parcursul secventelor, ca si modalitatea de a le valorifica. Pentru a putea receptiona cantitatea de informatii ce urmeaza sa fie transmisa si pentru a crea atmosfera necesara de lucru impusa de folosirea mijloacelor de învatamânt, este necesara o pregatire prealabila a elevilor de catre cadrul didactic. El trebuie sa se convinga de nivelul fondului teoretic si deprinderile practice ale noilor cunostinte si abilitati pe care le vor dobândi elevii prin intermediul mijloacelor de învatamânt. Elevii vor putea sa-si însuseasca constient noile cunostinte numai în masura în care cadrul didactic este convins ca acestia poseda un ansamblu de informatii care sa le permita întelegerea, nu memorarea mecanica a noilor cunostinte. În conditiile folosirii mijloacelor audio-vizuale, cadrul didactic trebuie sa prezinte elevilor obiectivele urmarite, sa sublinieze ideile principale, sa formuleze întrebari-problema la care elevii sa caute un raspuns în timpul proiectiei, sa stabileasca alte sarcini ce trebuie îndeplinite în timpul activitatii didactice. Utilizarea mijloacelor de învatamânt în cadrul lectiilor se face cu ajutorul institutorului care explica cum se folosesc (uneori facând un instructaj de protectie) si cum se mânuiesc pentru formarea priceperilor si deprinderilor. Factorii determinanti în activitatea de confectionare a materialului didactic Cerintele esentiale - tehnice, sociale si psihopedagogice - sunt în interactiune si interdependenta si constituie factori determinanti în activitatea de confectionare a materialului didactic cu elevii. 1.) Cerinte sociale Preocuparea cadrelor didactice de a lega notiunile teoretice de formarea deprinderilor practice la elevi, face sa apara necesitatea confectionarii cu elevii de material didactic nou, a repararii si întretinerii celui existent. Actiunea de autodotare a dus la crearea în scoli a numeroase noi laboratoare audio-vizuale, la crearea si la îmbogatirea sortimentelor de material didactic. Ea înseamna nu numai producerea de valori materiale, deoarece autodotarea intereseaza nu numai sub aspect economic, ci mai mult sub aspect educativ, pentru ca se urmareste pregatirea oamenilor capabili sa faureasca obiecte utile. Scopul final al activitatii de confectionare a materialului didactic cu elevii este pregatirea tânarului pentru viata, viata facându-l apt sa traiasca în sânul societatii ca om instruit, cu spirit creator si cu personalitate profesionala. 2.) Cerinte tehnice Scoala are nevoie de material didactic cu caracteristici tehnice si didactice superioare, cu gabarite si performante care trebuie sa raspunda exigentelor modernizarii întregului învatamânt matematic.   Plecând de la aceasta cerinta, în realizarea diferitelor dispozitive si aparate, s-a urmarit ca materialul didactic confectionat cu elevii sa întruneasca anumite cerinte tehnice: -sa fie cât mai simplu, spre a fi cât mai usor intuit; -sa fie cât mai comod de mânuit (materialul didactic sa fie demontabil); -sa aiba un anumit dinamism, care sa stimuleze interesul elevului pentru studiu; -sa promoveze conceptia moderna dinamica asupra matematicii, în locul conceptiei traditionale cu caracter static; -sa fie astfel construit încât sa atraga privirea elevului, sa-l determine sa-si puna întrebari si sa-l ajute sa le afle raspunsul; -modelul trebuie sa fie fidel; se întelege prin aceasta ca trebuie sa existe între model si original analogii destul de numeroase, pentru ca sugestiile facute de functionarea modelului sa fie valabile pentru original; -materialul didactic confectionat sa fie adaptat, în limita posibilitatilor, la elementele moderne, care au fost introduse în programele si manualele scolare si sa contribuie eficient la construirea unei tehnologii didactice moderne; -materialul didactic confectionat trebuie însotit de cataloage, instructiuni si normative cu privire la valoarea intuitiva, metodica folosirii, prezentarea si întretinerea lui. 3.) Cerinte psihopedagogice În misiunea sa delicata de a conduce elevul de la cunostinte intuitive la cunostinte logice, cadrul didactic se sprijina adesea pe folosirea judicioasa a materialului didactic. Institutorul simte nevoia sa confectioneze singur, sau, pe baza conceptiei lui, împreuna cu elevii, diferite dispozitive, aparate, planse, scheme etc., menite sa determine o mai buna însusire a notiunilor predate. Daca dascalul pleaca de la conceptia ca matematica este o colectie de structuri (axiomatice), atunci munca sa de predare cu siguranta va fi influentata de aceasta conceptie. În cazul când acesta staruie asupra conceptiei ca matematica nu se manifesta decât în legatura cu situatiile vietii practice, materia va fi probabil prezentata ca un amestec de experiente si de procese de gândire asupra acestor experimente. Cadrul didactic trebuie sa foloseasca aceste conceptii în mod echilibrat, fara sa absolutizeze una în dauna celeilalte. Rolul dascalului la matematica consta în a conduce elevul sa treaca de la cunostintele capatate pe planul intuitiv la cunostintele organizate la nivelul logic. Modernizarea continutului si spiritului matematicii elementare necesita o revizuire completa, o noua optica în ceea ce priveste materialele si mijloacele folosite în clasa. Folosirea desenului, a modelului spatial, a filmului etc., trebuie facuta judicios, la locul si timpul potrivit din lectie. Utilizarea abuziva, fara discernamânt, a materialului didactic la lectie constituie un pericol, dezvolta la elevi intuitia în dauna logicii; prin logica, demonstrezi, prin intuitie inventezi. Confectionarea materialului didactic cu elevii contribuie la educarea lor prin munca si pentru munca. În activitatea practica de confectionare a materialului didactic se realizeaza obiectivele educationale privitoare la dezvoltarea spiritului aplicativ, a aptitudinilor creatoare, îndemânarea, gustul pentru frumos, formarea personalitatii în actiune etc. Elevilor, care stiu ca au de lucrat ceva folositor si vad cu proprii lor ochi ca ceea ce au facut se utilizeaza la lectii, le sporeste încrederea în fortele proprii si se descopera pe ei însisi. Aceasta este o cerinta esentiala a educarii prin munca. De asemenea, se manifesta la elevi colectivismul, cât si grija pentru gospodarirea si pastrarea materialului didactic.   Lista de materiale didactice necesare desfasurarii lectiilor de matematica Lista care urmeaza este orientativa. În functie de resursele locale, o serie de materiale pot fi înlocuite cu altele, similare din punct de vedere al obiectivului de atins. Materialele sunt, în general, usor de procurat; ele pot fi confectionate în scoala, de catre elevi, sau pot fi solicitate parintilor.   Pentru desfasurarea optima a lectiilor de matematica sunt necesare urmatoarele materiale: Pentru cadrul didactic: -o cutie cu creioane; -betisoare; -bile colorate (rosii, verzi, albastre); -monede, bancnote sau mulaje ale acestora (din carton); -cuburi care se îmbina; -cubul lui Rubik; -un calendar; -3-4 cutii de forma paralelipipedica, al caror volum poate fi masurat prin umplere cu cuburi de dimensiuni egale; -planse reprezentând constructii simple facute numai din cuburi; -material didactic conceput si confectionat în spirit problematizat; -un ceas mare, din carton sau plastic, pe care limbile se pot deplasa (ceasul demonstrativ); -un ceas electronic; -un cronometru; -o cutie cu bete de chibrit; -o balanta sau un cântar; -numaratoare de pozitionare; -figuri geometrice de pozitionare; -figuri geometrice decupate, de diferite culori: patrat, dreptunghi, triunghi, cerc etc.; -planse reprezentând adunarea si scaderea cu 2 a numerelor pare de la 0 la 20; -planse cu modele de rezolvare a ecuatiilor; -planse reprezentând axe ale numerelor; -tabla magnetica; -corpuri geometrice: cub, paralelipiped, piramida, sfera, cilindru, con; -planse reprezentând doua castele construite folosind cât mai multe din corpurile geometrice studiate; -figuri geometrice care admit una sau mai multe axe de simetrie; -una sau doua planse cu figuri care au colorate câte o doime, o treime sau o patrime din întreaga figura; -o plansa cu tabla înmultirii vizibila din orice punct al clasei; -diferite obiecte care se pot compara în mod semnificativ din punct de vedere al lungimii lor (lungi si înguste); -rigla de lemn; -un metru de tâmplarie, un centimetru, un metru folosit pentru textile; -o foaie de calc pe care este desenata o retea de patrate vizibila din orice punct al clasei; -desene cu imagini sugerând temperaturi ridicate si scazute; -vase transparente de diferite marimi, pentru masurat capacitati; -mase de 1 kg, 500 grame, 250 grame; -plastilina; -termometru medical.   Pentru fiecare elev, sau pentru un grup de doi elevi: -betisoare; -patrate si discuri colorate (10 rosii, 10 verzi, 10 albastre); -cartonase decupate continând exercitii de înmultire si împartire; -cartonase decupate reprezentând figuri geometrice: patrat, dreptunghi, triunghi, cerc, pentagon, hexagon, octogon; -cuburi care se pot îmbina (ca la jocul "Lego", sau mai simple) construite din material plastic; -un ceas decupat, pe care se pot fixa limbile cu o pioneza; -bete de chibrit (fara gamalie); -balante; -numaratori de pozitionare; -figuri geometrice de pozitionare; -trusa de corpuri geometrice; -figuri geometrice pe care sunt puse în evidenta câte o doime, o treime, o patrime; -o foarfeca; -un metru de croitorie; -rigla gradata; -cuburi cu latura de 1 cm; -plastilina; -mulaje din hârtie sau carton ale monedelor si bancnotelor; -hârtie milimetrica; -cartoane decupate ce contin denumirile pentru zilele saptamânii si lunile anului.

Metodologia didactica a predarii problemelor de matematica Obiectivele unitatii de învatare În urma parcurgerii acestei unitati de învatare, studentii vor fi capabili: -sa aplice metodologia rezolvarii problemelor de matematica la clasele I-IV; -sa constientizeze valentele formative ale activitatilor de rezolvare si compunere de probleme, cu exemplificari; -sa aleaga din multitudinea cailor de rezolvare a unei probleme pe cea mai rapida si eleganta; -sa stabileasca raportul dintre îndrumarile date elevilor de catre institutor si activitatile creatoare ale acestora; -sa priveasca activitatea de compunere a problemelor ca importanta modalitate de cultivare si educare a creativitatii gândirii prescolarului si a scolarului mic.   Notiunea de problema matematica   Cuvântul problema îsi are originea în limba latina (problema) si a intrat în vocabularul românesc prin limba franceza (problème). Termenul de problema nu este suficient delimitat si precizat, având un continut larg si cuprinzând o gama larga de preocupari si actiuni din domenii diferite. Etimologic, în germana pro-ballein înseamna înaintea unei bariere, obstacol care sta în cale, ceea ce ar mai putea fi interpretat ca o dificultate teoretica sau practica a carei rezolvare nu se poate face prin aplicarea directa a unor cunostinte si metode cunoscute, ci este nevoie de investigare, tatonare, cautare. Etimologia greaca a cuvântului problema arata ca ea reprezinta o provocare la cautare, la descoperirea solutiei. Revenind la spatiul didactic, se considera drept problema orice dificultate teoretica sau practica, în care elevul pentru a-i gasi solutia, trebuie sa depuna o activitate proprie de cercetare, în care sa se conduca dupa anumite reguli si în urma careia sa dobândeasca noi cunostinte si experienta. Dupa Dictionarul Explicativ al Limbii Române, (DEX), cuvântul problema are urmatoarele definitii: Problema: “Chestiune care intra în sfera preocuparilor, a cercetarilor cuiva, obiect principal al preocuparilor cuiva; tema, materie”; Problema: “Chestiune importanta care constituie o sarcina, o preocupare (majora) si cere o solutionare (imediata)”; Problema: “Dificultate care trebuie rezolvata pentru a obtine un anumit rezultat; greutate, impas”; Problema: “Lucru greu de înteles, greu de rezolvat sau de explicat; mister, enigma”; si în sfârsit: Problema de matematica: “Chestiune în care, fiind date anumite ipoteze, se cere rezolvarea, prin calcule sau prin rationamente, asupra unor date.” Între probleme si exercitii se poate face distinctie, în general, în functie de prezenta sau absenta textului prin care se dau datele si legaturile între ele. Exercitiul contine datele, numerele cu care se opereaza si semnele operatiilor respective, elevul având sarcina de a efectua calculele dupa tehnici si metode cunoscute. Problema conduce, pentru rezolvarea ei, la o activitate de descoperire. Textul problemei indica datele, relatiile dintre date si necunoscuta si întrebarea problemei, care se refera la valoarea necunoscutei. Matematic vorbind, distinctia între exercitiu si problema nu trebuie facuta dupa forma exterioara a acestora, ci dupa natura rezolvarii. Trebuie însa facuta observatia ca un enunt poate fi o problema pentru un copil din clasa I, un exercitiu pentru cel din clasa a V-a si ceva perfect cunoscut pentru un matematician. Pe masura ce elevul îsi însuseste modalitati de rezolvare mai generale, pe masura ce creste experienta lui în rezolvarea problemelor, treptat, enunturi care constituiau pentru el probleme, devin simple exercitii.   Valentele formative ale activitatilor rezolutive Este unanim recunoscut faptul ca rezolvarea problemelor de matematica este una din cele mai sigure cai ce duce la dezvoltarea gândirii, imaginatiei, atentiei si spiritului de observatie al elevilor. Aceasta activitate pune la încercare în cel mai înalt grad capacitatile intelectuale ale elevilor, le solicita acestora toate disponibilitatile psihice, în special inteligenta, motiv pentru care, programa de matematica din ciclul primar acorda rezolvarii problemelor o importanta deosebita. Acesta este evidentiata de faptul ca unul dintre cele patru obiective cadru ale programei este centrat pe acest tip de activitate. Nu este vorba de a parcurge cât mai multe tipuri de probleme sau metode de rezolvare, ci despre a-i crea elevului situatii noi de învatare, la care sa raspunda cât mai adecvat, în urma unui demers de explorare si investigatie. Dar nu numai procesele de cunoastere sunt mobilizate în rezolvarea unei probleme, ci întreaga personalitate a celui ce rezolva problema, în toate coordonatele ei rationale, afective, volitive.   Problemele de matematica fiind strâns legate, adesea, prin însusi enuntul lor, de viata, de realitate, de practica, genereaza la elevi un simt al realitatii de tip matematic, formându-le deprinderea de a rezolva problemele practice pe care viata le scoate în calea lor. Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea constienta a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoastere, volitive, motivational-afective. Gândirea prin operatiile logice de analiza, sinteza, comparatie, abstractizare si generalizare este cel mai solicitat si antrenat proces cognitiv. Prin rezolvarea de probleme, elevii îsi formeaza priceperi si deprinderi de a analiza situatia data de problema, de a intui si descoperi calea prin care se obtine ceea ce se cere în problema. Rezolvarea problemelor contribuie astfel la cultivarea si dezvoltarea capacitatilor creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilitatii ei, a capacitatilor anticipativ-imaginative, la educarea perspicacitatii si spiritului de initiativa, la dezvoltarea încrederii în fortele proprii. Activitatea de rezolvare a problemelor de matematica contribuie la clasificarea, aprofundarea si fixarea cunostintelor teoretice învatate. De asemenea, predarea multora dintre problemele teoretice se face prin rezolvarea uneia sau mai multor probleme, subliniindu-se proprietatea, definitia sau regula ce urmeaza a fi explicate. Prin activitatea rezolutiva la matematica elevii îsi formeaza deprinderi eficiente de munca intelectuala, care vor influenta pozitiv si studiul altor discipline de învatamânt, îsi educa si cultiva calitatile. De asemenea, activitatile matematice de rezolvare si compunere a problemelor contribuie la îmbogatirea orizontului de cultura generala al elevilor prin folosirea în textul problemelor a unor cunostinte pe care nu le studiaza la alte discipline de învatamânt. Este cazul informatiilor legate de: distanta, viteza, timp, pret de cost, cantitate, dimensiune, masa, arie, durata unui fenomen, etc. Rezolvând sistematic probleme de orice tip, elevii îsi formeaza seturi de priceperi, deprinderi si atitudini pozitive, care le confera posibilitatea de a rezolva si a compune ei însisi, în mod independent, probleme. Problemele de matematica prin continutul lor, prin tehnicile de abordare în scopul gasirii solutiei, contribuie la cultivarea si educarea unor noi atitudini fata de munca, la formarea disciplinei constiente, la dezvoltarea spiritului de competitie cu sine însusi si cu altii, la dezvoltarea prietenei. Nu se pot omite nici efectele benefice ale activitatii de rezolvare a problemelor de matematica pe planul valorilor autoeducative. Prin enumerarea valentelor formative în personalitatea elevilor, pe care le genereaza activitatea de rezolvare si compunere a problemelor de matematica, se justifica de ce programele scolare acorda o atât de mare importanta acestei activitati scolare si de ce si institutorul trebuie sa-i acorde importanta cuvenita.   Etapele rezolvarii problemelor de matematicã În activitatea de rezolvare a unei probleme de matematica se parcurg mai multe etape. În fiecare etapa are loc un proces de reorganizare a datelor si de reformulare a problemei.   Aceste etape sunt: 1. Cunoasterea enuntului problemei 2. Întelegerea enuntului problemei. 3. Analiza problemei si întocmirea planului logic, cu efectuarea operatiilor corespunzatoare succesiunii judecatilor din planul logic. 4. Organizarea si redactarea întregii rezolvari a problemei. 5. Activitati suplimentare: - verificarea rezultatului; - scrierea rezolvarii sub forma de exercitiu; - gasirea altei cai sau metode de rezolvare; - generalizare; - compunere de probleme dupa o schema asemanatoare.   1. Cunoasterea enuntului problemei În aceasta etapa de început în rezolvarea oricarei probleme, rezolvitorul trebuie sa ia cunostinta cu datele problemei, cu legaturile existente între ele si bineînteles cu necunoscuta problemei. Dupa citirea textului problemei de catre institutor sau de catre elevi, se va repeta problema de mai multe ori, pâna la învatarea ei de catre toti elevii, scotându-se în evidenta anumite date si legaturile dintre ele, precum si întrebarea problemei. Se vor scrie pe tabla si pe caiete datele problemei.   2. Întelegerea enuntului problemei Enuntul problemei contine un minim necesar de informatii. Pentru ca elevul sa poata formula niste ipoteze si sa construiasca rationamentul rezolvarii problemei, este necesar sa cunoasca si sa înteleaga problema. Datele si conditia problemei reprezinta termenii de orientare a ideilor, a analizei si sintezei, precum si a generalizarilor ce au loc treptat, pe masura ce se înainteaza spre solutie. Întrebarea problemei este directia în care trebuie sa se orienteze formularea ipotezelor. Prin citirea textului problemei, prin ilustrarea cu imagini sau chiar cu actiuni când este cazul, enuntul problemei este înteles de catre elevi.   3. Analiza problemei si întocmirea planului logic Este etapa în care se elimina aspectele care nu au semnificatie matematica si se elaboreaza reprezentarea matematica a enuntului problemei. În aceasta etapa se construieste rationamentul prin care se rezolva problema. Prin exercitiile de analiza a datelor, a semnificatiei lor, a legaturilor dintre ele si a celor existente între date si necunoscute se ajunge, prin depasirea situatiilor concrete pe care le prezinta problema, la nivelul abstract care vizeaza relatiile dintre parte si întreg; viteza, distanta si timp; cantitate, pret, valoare; etc. Prin transpunerea problemei într-un desen, într-o imagine sau într-o schema, prin scrierea relatiilor dintre ele într-o coloana, se va evidentia esenta matematica a problemei, adica reprezentarea matematica a continutului ei. În momentul în care elevii au transpus problema în relatii matematice, prin efectuarea operatiilor corespunzatoare succesiunii din planul logic de rezolvare, prin constientizarea semnificatiei rezultatelor partiale care se obtin, solutia este descoperita.   4. Organizarea si redactarea întregii rezolvari a problemei Cunoscând metodele de rezolvare si calcul, se va trece în aceasta etapa la redactarea clara si într-o forma cât mai îngrijita, a întregii rezolvari a problemei.   5. Activitati suplimentare dupa rezolvarea problemei Aceasta etapa are o mare importanta în formarea abilitatilor, a priceperilor si deprinderilor de a rezolva probleme, deoarece aici intra verificarea solutiei problemei, gasirea si a altor metode de rezolvare, cu alegerea celor mai elegante. Este deci etapa prin care se realizeaza si autocontrolul asupra felului în care s-a însusit enuntul problemei, asupra rationamentului realizat si a demersului de rezolvare parcurs. La sfârsitul rezolvarii unei probleme, se indica categoria din care face parte problema, se fixeaza algoritmii ei de rezolvare, se transpune rezolvarea problemei într-un exercitiu sau, dupa caz, în fragmente de exercitiu. Prin rezolvarea de probleme asemanatoare, prin compunerea de probleme cu aceleasi date sau cu date schimbate, dar rezolvabile dupa acelasi exercitiu, institutorul descopera cu elevii schema generala de rezolvare a unei categorii de probleme. Este o cerinta care nu duce la schematizarea, la fixitatea sau rigiditatea gândirii, ci dimpotriva, la cultivarea si educarea creativitatii, la antrenarea permanenta a gândirii elevilor.    Metode pentru rezolvarea problemelor de aritmetica   Metodele aritmetice se clasifica în doua categorii: metode aritmetice fundamentale sau generale si metode aritmetice speciale sau particulare. I.) Metode aritmetice generale Metodele aritmetice generale se aplica într-o masura mai mare sau mai mica în rezolvarea tuturor problemelor. Utilizarea acestor metode se bazeaza cu deosebire pe operatiile de analiza si sinteza ale gândirii, motiv pentru care se numesc metoda analitica si metoda sintetica.   I1.) Metoda analitica A examina o problema prin metoda analitica înseamna a privi întâi problema în ansamblu, apoi, pornind de la întrebarea ei, a o descompune în problemele simple din care e alcatuita si a orândui aceste probleme simple într-o succesiune logica astfel încât rezolvarea lor sa contribuie în mod convergent la formularea raspunsului pe care îl cere întrebarea problemei date. Cu alte cuvinte, metoda analitica reprezinta calea de abordare a problemei, plecând de la cerinte spre date. Exemplu: Într-o întreprindere lucreaza doua echipe de strungari: prima cu 6 strungari, care strunjesc câte 18 piese pe zi, a doua cu 7 strungari care strunjesc câte 16 piese pe zi. Sa se stabileasca valoarea pieselor executate într-o zi de cele doua echipe, stiind ca o piesa este evaluata în medie la 48 lei.   Examinarea problemei: Pentru a afla valoarea totala a pieselor, cunoscând valoarea unitara, ar trebui sa se stie numarul total al pieselor strunjite de cele doua echipe. În acest scop este necesar sa se afle întâi numarul pieselor strunjite de prima echipa, apoi numarul de piese strunjite de a doua echipa. Numarul pieselor strunjite de o echipa se poate afla utilizând datele problemei, si anume înmultind numarul pieselor strunjite de un strungar cu numarul strungarilor din echipa. Schematic, examinarea problemei prin metoda analitica se înfatiseaza astfel: Detaliile stabilite analitic se sintetizeaza sub forma unui plan de rezolvare care cuprinde enuntarea problemelor simple în care s-a descompus problema data si indica succesiunea acestor probleme în procesul de efectuare a calculelor: Valoarea unei piese (48 lei) Valoarea totala a pieselor Numarul total de piese Numarul pieselor strunjite de echipa I Numarul pieselor strunjite de echipa II Numarul strungarilor din echipa I Numarul strungarilor din echipa II Numarul pieselor executate de un strungar Numarul pieselor executate de un strungar 1) Care este numarul pieselor strunjite de echipa I? 18 piese × 6 = 108 piese 2) Care este numarul pieselor strunjite de echipa a II-a? 16 piese × 7 = 112 piese 3) Care este numarul total de piese strunjite de cele doua echipe? 108 piese + 112 piese = 220 piese 4) Care este valoarea pieselor executate? 48 lei × 220 = 10 560 lei. I2.) Metoda sintetica A examina o problema prin metoda sintetica înseamna a orienta gândirea elevilor asupra datelor problemei, a grupa aceste date dupa relatiile dintre ele, astfel încât sa se formuleze cu aceste date toate problemele simple posibile si a aseza aceste probleme simple într-o succesiune logica astfel alcatuite încât sa se încheie cu acea problema simpla a carei întrebare coincide cu întrebarea problemei date. Pe scurt, metoda sintetica reprezinta calea de abordare a problemei, plecând de la date spre cerinte. Exemplu: Problema enuntata si studiata mai sus se examineaza prin metoda sintetica astfel: 1) Cunoscând numarul strungarilor din prima echipa si numarul pieselor strunjite de fiecare, se afla numarul pieselor executate de întreaga echipa. 2) Analog pentru echipa a II-a. 3) Daca se afla câte piese au fost strunjite de prima echipa si câte de a doua, atunci se poate afla numarul total de piese strunjite de cele doua echipe. 4) Cunoscând numarul total de piese si valoarea medie a unei piese, se poate afla valoarea lor totala. Schema examinarii problemei prin metoda sintetica este urmatoarea: În legatura cu cele doua metode generale de examinare a unei probleme, se mentioneaza faptul ca procesul analitic nu apare si nici nu se produce izolat de cel sintetic, întrucât cele doua operatii ale gândirii se gasesc într-o strânsa conexiune si interdependenta, ele conditionându-se Numarul strungarilor din echipa I Numarul strungarilor din echipa II Numarul pieselor executate de un strungar Numarul pieselor executate de un strungar Numarul pieselor strunjite de echipa I Numarul pieselor strunjite de echipa II Numarul total de piese Valoarea unei piese (48 lei) Valoarea totala a pieselor reciproc si realizându-se într-o unitate inseparabila. De aceea nu poate fi vorba de utilizarea în mod exclusiv a uneia sau alteia din aceste metode, în examinarea unei probleme intervenind ambele metode ca laturi separate ale procesului unitar de gândire, însa în anumite momente sau situatii una din ele devine dominanta. Astfel, descompunerea unei probleme compuse în problemele simple din care este alcatuita, constituie în esenta un proces de analiza, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un proces de,sinteza. Din aceste motive, cele doua metode apar adeseori sub o denumire unica: metoda analitico-sintetica.   În practica s-a demonstrat ca metoda sintetica este mai accesibila, dar nu solicita prea mult gândirea elevilor. Mai mult, se constata ca unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei si sunt tentati sa calculeze valori de marimi care nu sunt necesare în gasirea solutiei problemei. Metoda analitica pare mai dificila, dar solicita mai mult gândirea elevilor si folosind-o, îi ajuta pe copii sa priveasca problema în totalitatea ei, sa aiba mereu în atentie întrebarea problemei.   II.) Metode aritmetice speciale Metodele aritmetice speciale sunt mai variate si difera de la o categorie de probleme la alta, adoptându-se specificului acestora. Cele mai importante si mai frecvente sunt urmatoarele: metoda figurativa sau grafica, metoda comparatiei, metoda falsei ipoteze, metoda mersului invers. În rezolvarea problemelor nu este întotdeauna eficienta aplicarea unei singure metode, fiind necesara combinarea metodelor, în anumite etape ale rezolvarii, predominând una dintre ele. Alteori orientarea se face dupa felul cum au fost rezolvate problemele înrudite, procedând similar, adica aplicând metoda analogiei. De asemenea, în afara de metodele mentionate mai sus, exista si alte metode speciale aplicabile în rezolvarea unor anumite categorii de probleme, cum sunt problemele de: regula de trei simpla sau compusa, în rezolvarea carora se utilizeaza reducerea la unitate si metoda proportiilor, apoi problemele de împartire în parti proportionale, problemele cu procente, problemele de amestec si aliaj, problemele de miscare, problemele nonstandard, etc.   Rezolvarea principalelor categorii de probleme aritmetice O prima clasificare a problemelor conduce la doua categorii: probleme simple (cele rezolvabile printr-o singura operatie) si probleme compuse (cele rezolvabile prin cel putin doua operatii).   Rezolvarea problemelor simple Specific clasei I este primul tip de probleme, a caror rezolvare conduce la o adunare sau scadere din concentrele numerice învatate. Rezolvarea acestora reprezinta, în esenta, solutionarea unor situatii problematice reale, pe care copiii le întâlnesc sau le pot întâlni în viata, în realitatea înconjuratoare. Pe plan psihologic, rezolvarea unei probleme simple reprezinta un proces de analiza si sinteza în cea mai simpla forma. Problema trebuie sa cuprinda date (valori numerice si relatii între ele) si întrebarea problemei (ce se cere a fi aflat). La cea mai simpla analiza a întrebarii problemei se ajunge la date si la cea mai simpla sinteza a datelor se ajunge la întrebarea problemei. A rezolva în mod constient o problema simpla, înseamna a cunoaste bine punctul de plecare (datele problemei) si punctul la care trebuie sa se ajunga (întrebarea problemei), înseamna a stabili între acestea un drum rational, o relatie corecta, adica a alege operatia corespunzatoare, impusa de rezolvarea problemei. Predarea oricarui nou continut matematic trebuie sa se faca, de regula, pornind de la o situatie-problema care îl presupune. Si din acest motiv, abordarea problemelor trebuie sa înceapa suficient de devreme si sa fie suficient de frecventa pentru a sublinia (implicit, dar uneori si explicit) ideea ca matematica este impusa de realitatea înconjuratoare, pe care o reflecta si pe care o poate solutiona cantitativ.   În momentul în care elevii cunosc numerele naturale dintr-un anumit concentru si operatiile de adunare/scadere cu acestea, introducerea problemelor ofera copiilor posibilitatea aplicarii necesare si plauzibile a tehnicilor de calcul, capacitatea de a recunoaste si discrimina situatiile care implica o operatie sau alta, precum si exersarea unei activitati specific umane: gândirea. Stabilirea operatiei corespunzatoare constituie un proces de gândire dificil, fiind necesara precizarea cazurilor care determina o anumita operatie, acest lucru realizându-se în urma unei analize pe cât mai multe cazuri particulare Copiii întâmpina dificultati în rezolvarea problemelor simple, din pricina neîntelegerii relatiilor dintre date (valori numerice), text si întrebare. Valorile numerice sunt greu legate de continut si de sarcina propusa în problema si pentru ca numerele exercita asupra copiilor o anumita fascinatie, care îi face sa ignore continutul problemei. Un alt grup de dificultati apare din pricina limbajului matematic, de aceea, una dintre sarcinile importante ale institutorului este aceea de a învata pe copii sa traduca textul unei probleme în limbajul operatiilor aritmetice. Având în vedere caracterul intuitiv-concret al gândirii micului scolar, primele probleme ce se rezolva cu clasa vor fi prezentate într-o forma cât mai concreta, prin punere în scena, prin ilustrarea cu ajutorul materialului didactic si cu alte mijloace intuitive. Constientizarea elementelor componente ale problemei, ca si notiunile de: problema, rezolvarea problemei, raspunsul la întrebarea problemei le capata copiii cu ocazia rezolvarii problemelor simple, când se prezinta în fata lor probleme vii, probleme-actiune, fragmente autentice de viata. Scolarii mici trebuie mai întâi sa traiasca problema, ca sa învete sa o rezolve. În manualul clasei I, prezentarea problemelor se face gradat, trecând prin etapele: - probleme dupa imagini; - probleme cu imagini si text; - probleme cu text. Introducerea problemelor cu text este conditionata si de învatarea de catre elevi a citirii/ scrierii literelor si cuvintelor componente. Manualul sugereaza si modalitatea de redactare a rezolvarii unei probleme, urmând ca, în absenta unui text scris, institutorul sa-i obisnuiasca pe elevi sa scrie doar datele si întrebarea problemei. Dupa rezolvarea problemei, mentionarea explicita a raspunsului îi determina pe elevi sa constientizeze finalizarea actiunii, fapt ce va deveni vizibil si în caietele lor, unde acest raspuns va separa problema rezolvata de alte sarcini ulterioare de lucru (exercitii sau probleme). Desi rezolvarile de probleme simple par usoare, institutorul trebuie sa aduca în atentia copiilor toate genurile de probleme care se rezolva printr-o singura operatie aritmetica.   Problemele simple bazate pe adunare pot fi: -de aflare a sumei a doi termeni; -de aflare a unui numar mai mare cu un numar de unitati decât un numar dat; -probleme de genul cu atât mai mult. _ Problemele simple bazate pe scadere pot fi: -de aflare a restului; -de aflare a unui numar care sa aiba cu un numar de unitati mai putine decât un numar dat; -de aflare a unui termen atunci când se cunosc suma si celalalt termen al sumei; -problemele de genul cu atât mai putin.   Problemele simple bazate pe înmultire sunt, în general: -de repetare de un numar de ori a unui numar dat; -de aflare a produsului; -de aflare a unui numar care sa fie de un numar de ori mai mare decât un numar dat.   Problemele simple bazate pe împartire pot fi: -de împartire a unui numar dat în parti egale; -de împartire prin cuprindere a unui numar prin altul; -de aflare a unui numar care sa fie de un numar de ori mai mic decât un numar dat; -de aflare a unei parti într-un întreg; -de aflare a raportului dintre doua numere.     Rezolvarea problemelor compuse   Rezolvarea acestor probleme nu înseamna, în esenta, rezolvarea succesiva a unor problem simple. Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compusa constituie dificultatea principala într-o problema cu mai multe operatii, ci legatura dintre verigi, constituirea rationamentului. De aceea, este necesara o perioada de tranzitie de la rezolvarea problemelor simple (cu o operatie) la rezolvarea problemelor compuse (cu doua sau mai multe operatii). Se va porni astfel de la rezolvarea unor probleme alcatuite din succesiunea a doua probleme simple. În cadrul acestei activitati elevii realizeaza mersul rationamentului si învata sa elaboreze tactica si strategia rezolvarii prin elaborarea planului de rezolvare a problemei. Examinarea unei probleme compuse se face, de regula prin metoda analitica sau sintetica. Cele doua metode se pot folosi simultan sau poate sa predomine una sau alta, caz în care metoda care predomina îsi impune specificul asupra cailor care duc la gasirea solutiei. Atât o metoda, cât si cealalta constau în descompunerea problemei date în probleme simple care, prin rezolvare succesiva, duc la gasirea solutiei finale. Deosebirea dintre ele consta practic, în punctul de plecare al rationamentului. O data cu analiza logica a problemei se formuleaza si planul de rezolvare. Planul trebuie scris de institutor pe tabla si de elevi pe caietul lor, mai ales la rezolvarea primelor probleme, scopul fiind acela al formarii deprinderilor de a formula întrebari si pentru alte rezolvari de probleme. O atentie deosebita trebuie sa acorde institutorul problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare. Si aceasta pentru ca prin rezolvarea lor se cultiva mobilitatea gândirii, creativitatea , se formeaza simtul estetic al scolarului. Adesea elevii nu observa de la început existenta mai multor cai de rezolvare. Institutorului, prin tactul lui pedagogic, prin analiza întreprinsa cu clasa, prin întrebari ajutatoare, trebuie sa-i determine pe elevi sa se gândeasca si la alte modalitati de rezolvare.   Metode speciale de rezolvare a problemelor de matematica   Metoda figurativa sau grafica Metoda artitmetica, care pentru reprezentarea marimilor din problema si a relatiilor dintre ele utilizeaza elemente grafice sau desene si scheme se numeste metoda figurativa. În aplicarea acestei metode se poate face apel la orice categorie de elemente grafice sau combinatii ale acestora cu conditia ca ele sa fie adecvate naturii datelor problemei si specificului lor. Astfel, se pot întâlni: -desene care reprezinta actiunea problemei si partile ei componente (pentru clasele mici); -figuri geometrice diferite: segmentul de dreapta, triunghiul, dreptunghiul, patratul, cercul; -figurarea schematica a relatiilor matematice dintre datele problemei; -diverse semne conventionale, unele obisnuite, altele stabilite de comun acord cu elevii; -litere si combinatii de litere; -elemente grafice simple: puncte, linii, ovale, cerculete, etc. Metoda figurativa ajuta la formarea schemei problemei, la concentrarea asupra tuturor conditiilor problemei. În rezolvarea unei probleme care face apel la aceasta metoda, sprijinul se face pe rationament, folosind întelesul concret al operatiilor. Metoda figurativa este situata pe primul loc în ceea ca priveste utilitatea ei, datorita avantajelor pe care le prezinta. Astfel: -are caracter general, utilizându-se la orice categorii de probleme în care se preteaza figurarea si pe diferite trepte ale scolarizarii; -are caracter intuitiv, întelegerea relatiilor dintre datele problemei facându-se pe baza imaginilor vizuale, uneori intervenind actiunea directa, miscarea si transpunerea acesteia pe plan mintal; -prin dimensiunile elementelor figurative si prin proportiile dintre ele se creeaza variate modalitati de stabilire a relatiilor cantitative dintre diferitele valori ale marimilor, se sugereaza aceste relatii, se pun în evidenta.   Metoda comparatiei   Metoda comparatiei consta în a face ca una dintre cele doua marimi sa aiba aceeasi valoare si în acest mod problema se simplifica, devenind cu o singura necunoscuta. Într-o astfel de problema, asezarea datelor se face prin respectarea relatiilor stabilite între marimi si astfel încât comparatia dintre valorile aceleiasi marimi sa fie pusa în evidenta în mod direct, asezând valorile de acelasi fel unele sub altele. Procedeul aritmetic de rezolvare a unor astfel de probleme duce la eliminarea uneia dintre marimi prin reducere, adica prin adunare sau scadere. Daca valorile aceleiasi marimi sunt egale prin enuntul problemei, reducerea este imediata prin scaderea relatiilor respective. Daca din enuntul problemei nu rezulta valori egale, atunci apare necesitatea aducerii la acelasi termen de comparatie.   Metoda falsei ipoteze Problemele din aceasta categorie sunt foarte numeroase. Prin aceasta metoda poate fi rezolvata orice problema ale carei date sunt marimi proportionale.   Metoda falsei ipoteze este metoda aritmetica prin care rezolvarea unei probleme are loc pe baza unei presupuneri, a unei ipoteze, confruntând apoi situatia reala cu cea creata prin introducerea datelor ipotetice. Numele metodei se justifica prin faptul ca ipoteza care se face nu corespunde decât întâmplator cu rezultatul problemei. Ea se utilizeaza în toate cazurile în care, prin ipotezele care se fac, se poate ajunge la stabilirea relatiilor dintre datele problemei si deci la rezolvarea ei. De regula, se pleaca de la întrebarea problemei, în sensul ca asupra marimii care se cauta se face o presupunere complet arbitrara. Se reface apoi problema pe baza presupunerii facute. Deoarece marimile sunt proportionale, rezultatele obtinute pe baza presupunerii se translateaza în plus sau în minus, dupa cum presupunerea facuta este mai mica, respectiv mai mare decât rezultatul real. Refacând, asadar, problema, se ajunge la un rezultat care nu concorda cu cel real din problema. El este fie mai mare, fie mai mic decât acesta. În acest moment se compara rezultatul pe baza presupunerii, cu cel real din punct de vedere al câtului si se observa de câte ori s-a gresit când s-a facut presupunerea. Se obtine, asadar, un numar cu ajutorul caruia se corecteaza presupunerea facuta, în sensul ca se micsoreaza sau se mareste de acest numar de ori. Metoda are si unele variante de aplicare, dar, în principiu, ea ramâne cea descrisa mai sus. Problemele care se rezolva prin aceasta metoda se pot clasifica în doua categorii, în functie de numarul ipotezelor care sunt necesare, pentru orientarea rationamentului si determinarea rezultatelor: 1) Probleme de categoria I pentru rezolvarea carora este suficienta o singura ipoteza; 2) Probleme de categoria a II-a, pentru rezolvarea carora sunt necesare doua sau mai multe ipoteze succesive. 8.5.3.4. Metoda mersului invers Prin metoda mersului invers se rezolva aritmetic anumite probleme în care elementul necunoscut apare în faza de început a sirului de calcule care se impun. Aceasta metoda de rezolvare a problemelor de aritmetica se numeste a mersului invers, deoarece operatiile se reconstituie în sens invers actiunii problemei, adica de la sfârsit spre început, fiecarei operatii corespunzându-i inversa ei. Metoda mersului invers se aplica atât în rezolvarea exercitiilor numerice care contin necunoscuta, cât si în rezolvarea problemelor care se încadreaza în tipul respectiv, adica în care datele depind unele de altele succesiv, iar enuntul respectivei probleme trebuie urmarit de la sfârsit spre început si în fiecare etapa se face operatia inversa celei aparute în problema. Deci, nu numai mersul este invers, ci si operatiile care se fac pentru rezolvare sunt inverse celor din problema. Proba se face aplicând asupra numarului gasit operatiile indicate în enuntul problemei.   Regula de trei simpla   Regula de trei simpla reprezinta o schema de asezare a datelor si de utilizare a acestor date în orientarea si desfasurarea procesului de gândire care intervine în examinarea si rezolvarea unor probleme cu marimi proportionale. În problemele care se rezolva prin regula de trei simpla intervin doua marimi direct sau invers proportionale, fiecare marime cu câte o pereche de valori, una din aceste valori fiind necunoscuta. Prin urmare, în aceasta categorie de probleme se dau trei valori cu ajutorul carora se gaseste cea de-a patra valoare, fapt care justifica numele pe care îl poarta: regula de trei. Se considera marimile X, Y, cu perechile de valori x1, x2, respectiv y1, y2, corespunzatoare, în asa fel încât: valorii x1 Î X îi corespunde valoarea y1 Î Y valorii x2 Î X îi corespunde valoarea y2 Î Y una din cele 4 valori fiind necunoscuta. Daca marimile X, Y sunt direct proportionale, se poate scrie: proportii în care termenul necunoscut reprezinta cel de-al patrulea proportional si se poate afla ca atare. Daca marimile X, Y sunt invers proportionale, se poate scrie: Din cele de mai sus rezulta ca pentru rezolvarea problemelor prin regula de trei simpla este suficient sa se aseze datele conform acestei reguli, iar în rezolvare si calcul sa se utilizeze metoda proportiilor (aflarea celui de-al patrulea proportional). Dar metoda care se utilizeaza cu deosebire în rezolvarea problemelor prin regula de trei simpla este metoda reducerii la unitate. Rezolvarea problemelor prin mai multe cai, verificarea solutiei aflate si scrierea formulei numerice   În munca cu elevii, rezolvarea problemelor prin mai multe cai constituie o modalitate de dezvoltare a gândirii logice, creatoare. Aceasta activitate impulsioneaza elevii la cautarea unor solutii originale. Important este ca ei sa înteleaga în mod constient toate modalitatile de rezolvare, sa le explice si apoi sa le reproduca.   Verificarea (proba) solutiei aflate pentru o problema data este foarte importanta pentru realizarea scopului formativ, pentru dezvoltarea creativitatii gândirii elevilor. În general, proba se face pe doua cai principale: 1) înlocuind rezultatele aflate, în continutul problemei; în acest caz, elevul trebuie sa poata încadra rezultatele (numerele) aflate în enuntul problemei si sa poata verifica conditionarea lor astfel ca sa obtina datele (numerele) initiale; 2) rezolvând problema în doua sau mai multe moduri; în acest caz, elevul trebuie sa obtina acelasi rezultat prin toate caile de rezolvare, pentru a putea trage concluzia ca solutia problemei este buna. Acest procedeu este mai eficient din punct de vedere al antrenarii elevului la munca independenta, creatoare.   Complicarea problemei prin introducerea de noi date, sau prin modificarea întrebarii contribuie în mare masura la dezvoltarea flexibilitatii si creativitatii gândirii.   Formula numerica (sau literala) pentru rezolvarea unei probleme constituie un alt mijloc de stimulare a gândiri logice a elevilor, adesea folosit în activitatea de rezolvare a problemelor, este transpunerea rezolvarii unei probleme sub forma unui singur exercitiu, folosind datele problemei, sau înlocuindu-le cu litere, indiferent daca este sau nu încadrata într-o problema tipica. O asemenea activitate cu elevii este o munca de creatie, de gândire, de stabilire de legaturi logice, pentru a putea pune sub forma unui singur exercitiu, ceea ce de fapt se realizeaza în mai multe etape, prin exercitii distincte. Daca se înlocuiesc numerele din exercitiu (datele problemei) prin litere, atunci procesul devine complet prin generalizare. Elevii trebuie facuti sa înteleaga, ca în formula numerica a problemei se folosesc datele cunoscute ale acesteia, sau operatiile prin care s-au aflat necunoscutele, folosindu-se la nevoie parantezele rotunde, patrate sau acolade. În alcatuirea exercitiului trebuie sa se tina cont de ordinea operatiilor din probleme, de ordinul operatiilor care apar (ordinul I, ordinul II), ca si de proprietatile operatiilor (comutativitate, asociativitate). Rezolvarea exercitiului trebuie sa conduca la rezultatul problemei. În caz contrar, fie s-a gresit rezolvarea problemei, fie ca s-a alcatuit sau rezolvat gresit exercitiul. Câmpul de aplicabilitate al acestei activitati creatoare, este deschis aproape la orice lectie unde se rezolva probleme.   Activitatea de compunere a problemelor de catre elevi Compunerea problemelor de catre elevi ofera terenul cel mai fertil din domeniul activitatilor matematice pentru cultivarea si educarea creativitatii si a inventivitatii. Activitatea de rezolvare a exercitiilor si problemelor se întrepatrunde si se completeaza reciproc cu activitatea de compunere a problemelor. Rezolvarea unei probleme învatate ofera mai putin teren pentru creativitate decât rezolvarea unor probleme noi, care, la rândul ei, este depasita de activitatea de compunere a unor noi probleme. Creativitatea gândirii, miscarea ei libera, nu se poate obtine decât pe baza unor depinderi corect formate. În activitatea de rezolvare a problemelor, deprinderile si abilitatile se refera în special la analiza datelor, la capacitatea de a întelege întrebarea problemei si a orienta întreaga desfasurare a rationamentului în directia gasirii solutiei problemei. Prin compuneri de probleme, elevii sesizeaza legatura care exista între exercitii si probleme, deoarece în procesul formularii unei probleme, elevii au în minte si planul de rezolvare. Activitatea de compunere a problemelor prin munca independenta, în clasa si acasa, reprezinta un mijloc eficient de dezvoltare a spiritului de independenta si creativitate si începe imediat ce elevi au înteles conceputul de problema. Este o activitate complexa, elevul fiind obligat sa respecte cerinta propusa si în raport cu aceasta sa elaboreze textul al carui rationament sa conduca la rezolvarea primita. Criteriile care determina complexitatea acestui gen de activitate sunt aceleasi ca la activitatea rezolutiva: stapânirea tehnicilor de calcul, deprinderea de a realiza rationamente logice, vocabular bogat, capacitatea de a selecta din multitudinea de cunostinte dobândite, pe acelea care conduc la elaborarea textelor cu continut realist. Se pot compune si crea probleme în numeroase forme, într-o succesiune gradata:   1. Compunerea de probleme dupa obiecte concrete, tablouri si imagini Primele probleme create de elevi sunt asemanatoare cu cele ale institutorului rezolvate de ei în clasa, prin folosirea de obiecte. Se trece apoi la fraza semiconcreta, când se folosesc reprezentarile obiectelor si, în locul ghiozdanelor, creioanelor, etc., se folosesc jetoane cu acestea. Dupa ce elevii s-au obisnuit sa creeze probleme pe baza intuitiva, li se cere sa le alcatuiasca pe baza datelor scrise pe tabla. Se urmareste ca elevii sa înteleaga interdependenta dintre enunt si întrebare.   2. Compunerea unei probleme dupa modelul unei probleme rezolvate anterior 3. Completarea întrebarii unei probleme De la primele semne scrise se insista asupra separarii întrebarii de continut. În vederea formarii si dezvoltarii deprinderii de a întelege cele doua parti ale problemei: enuntul si întrebarea, s-au compus probleme din enuntul dat, fie când acestuia îi lipsea întrebarea, fie având întrebarea si lipsind continutul. La acelasi enunt pot fi puse doua sau mai multe întrebari. Separarea întrebarii de enunt si retinerea ei cu claritate este o secventa foarte importanta în rezolvarea problemelor. Elevul trebuie orientat spre finalitatea fireasca: aflarea raspunsului la întrebare. Formularea întrebarii este un pas înainte si presupune din partea elevilor o vedere analitica asupra întregii probleme. Se poate da apoi o problema la care întrebarea este gresita. Dupa ce se rezolva problema, se cere sa se schimbe enuntul problemei astfel încât sa fie buna întrebarea. 4. Compunerea problemelor dupa scheme sau dupa desene Compunerea problemelor dupa scheme simple si apoi mai complicate ofera posibilitatea elevilor de a-si forma deprinderi solide de formulare a problemelor. 5. Probleme de completare a datelor când se cunoaste întrebarea Nu toti elevii vor reusi sa completeze corect datele problemei. Cei mai multi îsi aleg numere formate din zeci si unitati, dar întâmpina greutati în rezolvare având calcule cu trecere peste ordin. Vor fi probabil si elevi care aleg la întâmplare datele problemei, fara sa gândeasca ce operatii au de facut cu ele. 6. Compunerea problemelor cu indicarea operatiilor matematice ce trebuie efectuate Se porneste de la compuneri de probleme dupa exercitii simple, formulate de elevi sub îndrumarea institutorului si apoi independent. Daca elevii stiu sa alcatuiasca corect si cu usurinta probleme dupa o singura operatie, li se poate cere apoi sa compuna probleme indiferent de numarul de operatii. Un accent deosebit trebuie pus pe formularea unor probleme compuse, care ridica probleme deosebite. Dupa ce elevii stapânesc bine compunerea problemelor dupa formule numerice, se va trece la compunerea lor dupa formule literale. Formulele literale dau posibilitatea elevului sa-si aleaga singur numerele si domeniul. 7. Compunerea de probleme dupa un plan stabilit În momentul în care elevii stiu sa rezolve corect si constient problemele compuse pe baza de plan, se poate da elevilor un plan de rezolvare, dupa care sa alcatuiasca o problema. Înainte de a formula problema, se analizeaza despre ce se vorbeste în problema, ce contin întrebarile, cedate numerice se folosesc. 8. Compunerea problemelor cu început dat 9. Compunerea de probleme cu marimi date, cu valori numerice date 10. Probleme cu date incomplete Unii elevi vor sesiza imediat lipsa unei date, altii însa îsi vor da seama de acest lucru numai când se vor apuca de lucru. 11. Probleme cu date suplimentare Aceste probleme solicita gândirea elevilor, dezvolta atentia si-i depisteaza pe cei care lucreaza mecanic, fara sa analizeze suficient datele problemei. 12. Compunerea de probleme cu corectarea continutului si modificarea datelor Elevii vor fi solicitati sa confrunte datele problemei si vor observa greselile sau incorectitudinea întrebarii. Ei pot corecta enuntul problemei în mai multe variante. 13. Probleme cu mai multe solutii si probleme fara solutie Viata, realitatea, demonstreaza ca nu toate situatiile - problema care se întâlnesc au o solutionare unica sau sunt unic determinate. Majoritatea admit mai multe solutii (conducând la alta problema: aceea a alegerii variantei optime de rezolvare, în functie de conditiile date), iar altele nu admit solutii. Cum matematica trebuie sa modeleze realitatea, este necesar a introduce si pentru elev astfel de probleme, cu solutii multiple sau fara solutie. Se ofera astfel multor elevi posibilitatea sa-si prezinte propria rezolvare (corecta), se obisnuiesc cu existenta unor astfel de probleme, sau a unor probleme de decizie (alegerea solutiei celei mai convenabile, dintr-un anumit punct de vedere). Dupa rezolvarea unei astfel de probleme, institutorul trebuie sa aiba o interventie centralizatoare, enumerând solutiile gasite (eventual ordonându-le dupa un anumit criteriu), sistematizându-le (pentru a oferi certitudinea ca nu au fost omise solutii), propunând alegerea celei mai bune solutii (în anumite conditii si dintr-un anumit punct de vedere), contribuind la elucidarea situatiei. În elaborarea textului unei probleme este necesar ca institutorul sa utilizeze date în concordanta cu realitatea, mijloace si procedee care sa ofere elevilor împrejurari de viata corespunzatoare, actiuni veridice, sa stabileasca între datele problemei relatii matematice corespunzatoare. În activitatea de compunere a problemelor trebuie sa se tina seama de posibilitatile elevilor, prin sarcini gradate, trecându-se treptat de la compunerea libera la cea îngradita de cerinte din ce în ce mai restrictive. Institutorul are sarcina sa conduca aceasta activitate prin indicatii clare, prin exemple sugestive, prin cerinte rationale, sa canalizeze gândirea si atentia elevilor prin asocieri din ce în ce mai putin întâmplatoare. În acelasi timp trebuie sa-i faca pe elevi sa aiba încredere în ei, sa le stimuleze eforturile intelectuale, sa le educe calitatile moral-volitive, sa le dezvolte interesul si sensibilitatea, sa fie receptivi la situatiile problematice cu continut matematic. Posibilitatile intelectuale ale elevilor permit rezolvarea unor probleme de dificultate, în masura în care ei dispun de o anumita experienta si de competente necesare activitatii de rezolvare a problemelor. Rezolvarea problemelor cu variante constituie un exercitiu de cultivare a flexibilitatii gândirii, cu conditia de a face din aceasta activitate un antrenament sistematic si permanent. Este de dorit ca periodic sa se faca investigatii în rândul elevilor pentru stabilirea nivelului lor de cunoastere, pentru constatarea gradului de competenta în rezolvarea si compunerea problemelor de matematica, pentru depistarea la timp a eventualelor ramâneri în urma la învatatura, pentru a asigura progresul fiecarui elev în parte. Se recomanda, de asemenea, ca atât compunerea problemelor, cât si rezolvarea acestora sa se faca si în situatii de joc didactic. Competitia generata de joc va contribui nu numai la activizarea intelectuala a copiilor, cât si la formarea personalitatii lor. S-ar putea gasi, crea si folosi o multime de forme si procedee, cum ar fi: -care echipa compune prima, corect si frumos, o problema dupa anumite cerinte; -o echipa sa formuleze continutul problemei si cealalta întrebarea, iar rezolvarea ei sa se faca de ambele echipe simultan; -sa se gaseasca de catre fiecare echipa cât mai multe întrebari la un continut dat, sau mai multe metode de rezolvare a unei probleme date sau compuse; -sa se elimine dintr-un enunt datele de prisos, sau sa se corecteze un enunt formulat intentionat gresit, etc. Este necesar ca în activitatea de compunere a problemelor, institutorul sa aiba permanent în atentie îmbunatatirea continua a exprimarii corecte a copiilor, atât din punct de vedere mathematic cât si gramatical, îmbogatirea vocabularului matematic, cresterea continua a volumului lor de cunostinte, de transfer si de folosire a acestora în practica. Compunerea de probleme la clasele I-IV poate constitui o premisa reala si eficienta pentru o viitoare munca de cercetare, pentru activitatea ulterioara de creatie si cu siguranta o modalitate sigura de sporire a rolului formativ al învatamântului matematic din ciclul primar, în strânsa corelatie cu celelalte discipline de învatamânt.