1. Multimi
Definitia multimii.
Definitia 1.1. (Cantor) Prin multime întelegem o colectie de obiecte bine determinate ¸si distincte. Obiectele din care este constituita multimea se numesc elementele multimii. Doua multimi sunt egale daca ele sunt formate din exact aceleasi elemente.
Notatia 1.2. Daca x este un obiect ¸ si A este o multime, vom nota
- x ∈ A daca x este element al lui A; - x /∈ A daca x nu este element al lui A.
Observatia 1.3. Doua multimi A ¸si B sunt egale daca ¸si numai daca are loc echivalenta (x ∈ A ⇔ x ∈ B).
Moduri de a defini o multime:
- sintetic, prin enumerarea elementelor multimii, e.g. A = {0,1};
- analitic, cu ajutorul unei proprietati ce caracterizeaza elementele multimii:
A = {x | x are proprietatea P}
e.g. A = {x | x ∈ N, x < 2} = {x ∈ R | x2 = x}.
Multimi importante.
- Multimea numerelor naturale:
N = {0,1,2,...,n,n + 1,...}
N∗ = {1,2,...,n,n + 1,...}
- Multimea numerelor întregi
Z = {...,−n − 1,−n,...,−2,−1,,1,2,...,n,n + 1,...}
- Multimea numerelor rationale
- Multimea numerelor reale: R
- Multimea numerelor complexe: C = {x + iy | x,y ∈ R} - Multimea vida ∅ = {x | x 6= x}.
1
Incluziunea multimilor.
Definitia 1.4. Daca A ¸si B sunt multimi, spunem ca A este submultime a multimii B daca toate elementele lui A sunt ¸ si elemente ale lui B.
Notatia 1.5. Notam A ⊆ B faptul ca A este o submultime a multimii B.
Observatia 1.6. Urmatoarele afirmatii sunt adevarate, oricare ar fi multimile A, B ¸si C.
i) A ⊆ B ⇔ (∀x ∈ A,x ∈ B) ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B). ii) A = B ⇔ (A ⊆ B ¸si B ⊆ A) (antisimetria).
iii) A ⊆ B ¸si B ⊆ C ⇒ A ⊆ C. iv) A ⊆ A. v) ∅ ⊆ A.
Operatii cu multimi.
- intersectia: A ∩ B = {x | x ∈ A ¸si x ∈ B}
- reuniunea: A ∪ B = {x | x ∈ A sau x ∈ B} - diferenta: A \ B = {x | x ∈ A ¸si x /∈ B}
- complementara: Daca A ⊆ E, atunci CE(A) = E \ A.
Propozitia 1.7. Urmatoarele afirmatii sunt adevarate pentru orice multii A, B, C ¸si E.
(as) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C; A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C; (asociativitatea operatiilor ∩ ¸si ∪)
(com) A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A; (comutativitatea operatiilor ∩ ¸si ∪)
(dis) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C); A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C);
(distributivitatea operatiei ∩ fata de ∪, respectiv a operatiei ∪ fata de ∩)
(abs) A ∩ (A ∪ B) = A; A ∪ (A ∩ B) = A; (absortia)
(dM) CE(A∩B) = CEA∪CEB; CE(A∪B) = CEA∩CEB (formulele lui de Morgan).