AnnaE
#0

1. Multimi

Definitia multimii.

 

Definitia 1.1. (Cantor) Prin multime întelegem o colectie de obiecte bine determinate ¸si distincte. Obiectele din care este constituita multimea se numesc elementele multimii. Doua multimi sunt egale daca ele sunt formate din exact aceleasi elemente.

Notatia 1.2. Daca x este un obiect ¸ si A este o multime, vom nota

  • x ∈ A daca  x  este element al lui A; - x /∈ A daca  x nu este element al lui A.

Observatia 1.3. Doua multimi A ¸si B sunt egale daca ¸si numai daca are loc echivalenta (x ∈ A ⇔ x ∈ B).

Moduri de a defini o multime:

  • sintetic, prin enumerarea elementelor multimii, e.g. A = {0,1};
  • analitic, cu ajutorul unei proprietati ce caracterizeaza elementele multimii:

A = {x | x are proprietatea P}

e.g. A = {x | x ∈ N, x < 2} = {x ∈ R | x2 = x}.

 

Multimi importante.

  • Multimea numerelor naturale:

N = {0,1,2,...,n,n + 1,...}

N∗ = {1,2,...,n,n + 1,...}

  • Multimea numerelor întregi

Z = {...,−n − 1,−n,...,−2,−1,,1,2,...,n,n + 1,...}

  • Multimea numerelor rationale

  • Multimea numerelor reale: R
  • Multimea numerelor complexe: C = {x + iy | x,y ∈ R} - Multimea vida ∅ = {x | x 6= x}.

1

Incluziunea multimilor.

 

Definitia 1.4. Daca A ¸si B sunt multimi, spunem ca A este submultime a multimii B daca toate elementele lui A sunt ¸ si elemente ale lui B.

Notatia 1.5. Notam A ⊆ B faptul ca A este o submultime a multimii B.

Observatia 1.6. Urmatoarele afirmatii sunt adevarate, oricare ar fi multimile A, B ¸si C.

i) A ⊆ B ⇔ (∀x ∈ A,x ∈ B) ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B). ii) A = B ⇔ (A ⊆ B ¸si B ⊆ A) (antisimetria).

iii) A ⊆ B ¸si B ⊆ C ⇒ A ⊆ C. iv) A ⊆ A. v) ∅ ⊆ A.

 

Operatii cu multimi.

  • intersectia: A ∩ B = {x | x ∈ A ¸si x ∈ B}
  • reuniunea: A ∪ B = {x | x ∈ A sau x ∈ B} - diferenta: A \ B = {x | x ∈ A ¸si x /∈ B}
  • complementara: Daca A ⊆ E, atunci CE(A) = E \ A.

Propozitia 1.7. Urmatoarele afirmatii sunt adevarate pentru orice multii A, B, C ¸si E.

(as) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C; A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C; (asociativitatea operatiilor ∩ ¸si ∪)

(com) A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A; (comutativitatea operatiilor ∩ ¸si ∪)

(dis) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C); A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C);

 

(distributivitatea operatiei ∩ fata de ∪, respectiv a operatiei ∪ fata de ∩)

(abs) A ∩ (A ∪ B) = A; A ∪ (A ∩ B) = A; (absortia)

(dM) CE(A∩B) = CEA∪CEB; CE(A∪B) = CEA∩CEB (formulele lui de Morgan).

View All Previous Posts
AnnaE
#1

 

  • N-multimea numerelor naturale; N={0,1,2,3,……}
  • Z-multimea numerelor intregi; Z={……,-3,-2,-1,0,1,2,3,…….}

  • Q-multimea numerelor rationale; Q={a/b /a∈z si b∈Z*}

  • R-multimea numerelor reale.

In continuare vom face cateva obervatii asupra acestor notiuni de teoria multimilor:

  • Atunci cand o multime are in dreapta sus simbolul * ,atunci aceea multime nu contine elementul 0;
  • Atunci cand o multime are in dreapta jos  simbolul + sau -,atuni aceea multime contine doar elementele pozitive,respectiv doar elementele negative din aceea multime;
  • Intre aceste patru multimi exista o incluziune si anume: N⊂Z⊂Q⊂Z;
  • R/Q=I-multimea numerelor irationale;
  • Cardinalul unei multimi reprezinta numarul de elemente al acelei multimi;
  • Multimea care nu are niciun element se numeste multime vida si se noteaza cu ∅.

Aplicatii:

1.Stabiliti valoarea de adevar a propozitiilor:

a)2∈Z*;   b)2,4∈N;   c)4∈R;   d)-1∈Z+;   e)1,3∈R/Q;   f)-6∈Z-;   g)0∈Q*;   h)5∈Q;

Rezolvare 1:

a)A;   b)F;   c)A;   d)F;   e)F;   f)A;   g)F;   h)A.

 

 Principalele operatii cu multimi:

  • Reuniunea(totalitatea elementelor din cele doua multimi scrise o singura data); A∪B={x/x∈A sau x∈B}
  • Intersectia(totalitatea elementelor comune din cele doua multimi scrise o singura data); A∩B={x/x∈A si x∈B}
  • Diferenta(totalitatea elementelor care se afla in prima multime si nu se afla in a doua); A/B={x/x∈A si x∉B}

Aplicatii:

1.Se dau multimile A={1,4,7,3,-5,2,8} si B={1,2,3,-3,-5,9,11}.Sa se determine:A∪B,A∩B,A/B,B/A.

Rezolvare 1:

A∪B={-5,-3,1,2,3,4,7,8,9,11};     A∩B={-5,1,3};     A/B={4,7,2,8};     B/A={-3,2,9,11}.

2.Se dau multimile D={0,1,2,3,4} si E={3,4,5,6,7,8}.

Sa se determine: card(D), card(E),D∩E*,E/D,D/E,E∩Z-,E∩Z+.

Rezolvare 2:

card(D)=5;   card(E)=5;   D∩N*={1,2,3,4};   E/D={5,6,7,8};   D/E={0,1,2};   E∩Z-=∅;   E∩Z+=E={3,4,5,6,7,8}.

AnnaE
#2

Exercitii cu multimi

Fiind date doua multimi A si B, se numeste reuniunea lor (si se noteaza AÜB) multimea care contine acele elemente care apartin cel putin uneia dintre multimile A si B.
 

Vom scrie :AÜB={x|xεA sau xεB} Exemplu: Fie multimile: A={c, i, f, r, a} şi B={n, u, m, ă, r}. 

 Reuniunea mulţimilor A şi B este mulţimea:A∪B={c,i,f,r,ă,n,u,m}.

Fiind date multimile A si B, numim intersectia lor (si notam A∩B) multimea care contine elementele comune multimilor A si B.
Vom scrie A∩B={x| xεA si xεB}

Exemplu: Fie multimile: A={c, i, f, r, ã} şi B={n, u, m, ă, r}.

 

Intersectia mulţimilor A şi B este mulţimea:A∩B={r,ă}.

 Fiind date doua multimi A si B, se numeste diferenta lor (si se noteaza A\B), multimea care contine acele elemente care se afla in multimea A si nu se afla in multimea B.

Vom scrie: A\B={x| x apartine lui A si x nu apartine lui B};
 

Exemplu: Fie multimile: A={c, i, f, r, ã} şi B={n, u, m, ă, r}. Diferenta mulţimilor A şi B este mulţimea:A\B={c,i,f}.