Matematica definitivat 2023-2024. Metodica predării matematicii

  Metodologia predării elementelor de geometrie                            Ţinând cont de stadialitatea vârstei elevilor din ciclul primar, se poate afirmă că succesul în dobândirea cunoştinţelor de geometrie depinde în mod semnificativ de institutor, de felul cum acesta reuşeşte să conducă procesul predării-învăţării şi evaluării, de felul cum sunt orientaţi elevii să poată conştientiza, descoperi şi aplică prin transfer aceste cunoştinţe, priceperi şi deprinderi. Reuşită didactică a procesului predării-învăţării elementelor de geometrie este influenţată, chiar determinată în multele ei aspecte, de respectarea următoarelor cerinţe metodice analizate în continuare.                          Învăţarea noţiunilor de geometrie în special prin procese intuitive şi formarea lor iniţialã pe cale inductivă. Această cerinţă impune că studiul elementelor de geometrie să înceapă cu cercetarea directă (văz, pipăit, manipulare) a mai multor obiecte din lumea reală, situate în diverse poziţii în spaţiul înconjurător, în vederea sesizării (descoperirii) acelei (acelor) caracteristici comune care conturează imaginea geometrică materializată. Imaginea geometrică materializată în obiecte este apoi transpusă în imagine, concretizată prin desen, ceea ce reprezintă o detaşare a imaginii geometrice de obiectele care o generează.           Concretizarea prin desen a imaginii geometrice se realizează la tablă cu instrumentele de geometrie, iar elevii o execută în caiete, tot cu ajutorul instrumentelor. Este foarte important că această concretizare prin desen să se facă în cât mai multe poziţii pentru a nu crea limite în recunoaşterea ei. Aceste concretizări pot fi completate cu prezentarea unor planşe întocmite special pentru această. Imaginea geometrică concretizată prin desen este apoi proiectată în limbajul geometriei şi apare astfel noţiunea geometrică.                          Pe baza limbajului geometric, şi prin apel la experienţa perceptivă a elevilor, institutorul va contura imaginea geometrică a noţiunii considerate şi în alte situaţii din realitatea exterioară clasei, altele decât cele cercetate de elevi. Se va observa, de asemenea, că, pe măsură ce sunt dobândite elementele fundamentale ale geometriei (punctul, dreapta), elevul va urca spre stadiul înţelegerii şi asimilării unor figure geometrice mai complicate (poligoane: dreptunghiul, pătratul, trapezul, triunghiul).           Alături de procesele intuitive (perceperea vizuală şi tactilă a modelelor materiale), respectiv concretizate de desen, predarea-învăţarea presupune şi acţiuni de măsurare efectivă a cestora, de comparare a rezultatelor, decupări de figuri, descompuneri ale figurii, prin figuricomponente ce le implică etc. Explicaţiile date de institutor referitor la aşezarea instrumentelor şi la poziţia din care trebuie făcută citirea rezultatului măsurării şi eventualele reluări ale procesului de măsurare, cu admiterea unor aproximări (la mm, în foaia de caiet), vor convinge elevii asupra valorii concluziilor obţinute de ei în lecţie pe baza figurilor studiate.                        Cu privire la instrumentele de geometrie (rigla şi echerul), trebuie avută în vedere necesitatea ca elevii să-şi formeze deprinderi de folosire corectă şi rapidă a acestora. Trasarea de drepte, segmente, unghiuri, drepte perpendiculare, drepte paralele, dreptunghiuri, pătrate, romburi etc., în diverse poziţii în plan (tablă, foaia de hârtie) şi realizarea de măsurări trebuie să fie executate cu precizie şi rapid.                         Referitor la desen, trebuie să se ţină cont de necesitatea efectuării lui numai cu instrumentele, atât la tablă, cât şi în caiete. Acurateţea desenului este o cerinţă importantă, la care se adaugă elementele de expresivitate, adică folosirea cretei colorate, trasări discontinue etc., pentru a pune în evidenţă anumite părţi ale figurii care prezintă interes în planul înţelegerii noţiunii geometrice. În utilizarea materialului didactic se impun atenţiei câteva condiţii, pe care trebuie să le îndeplinească atât modelul confecţionat, cât şi modul, în care este folosit de institutor şi elevi:   - materialul confecţionat va avea dimensiuni suficient de mari pentru a fi văzut cu claritate din orice punct al clasei, precum şi o construcţie clară, satisfăcând condiţiile estetice;   - materialul didactic trebuie să fie expresia fidelă a ceea ce trebuie să reprezinte, să contribuie la uşurarea transpunerii în desen a figurii geometrice studiate, a elementelor sale şi a relaţiilor ce există între ele (de mărime, de paralelism, de perpendicularitate etc.);   - materialul didactic trebuie să se adreseze elevilor respectând însă particularităţile lor de vârstă; cu cât aceştia sunt mai mici se impune că el să fie mai atractiv, dar simplu, amănuntele fără interes ştiinţific să nu între în câmpul atenţiei elevilor, rămânând elemente ale fondului perceptiv.                 Referitor la folosirea materialului didactic se mai impun şi alte câteva observaţii: -o insuficientă valorificare a acestuia duce la însuşirea formală a cunoştinţelor, influenţând negativ procesul formării reprezentărilor spaţiale;   - o folosire în exces a acestuia duce la o saturaţie perceptivă, la repetare de observaţii cu amplificări nefireşti, uneori chiar la observaţii inutile, ceea ce ar putea abate atenţia elevilor de la scopul observaţiilor şi intuiţilor, afectând modul de utilizare a timpului, producând greutăţi în realizarea generalizărilor, a însăşi imaginii geometrice.                             Deşi suportul de bază al predării-învăţării elementelor de geometrie în clasele I-IV este cel intuitiv, totuşi sistemul cunoştinţelor de geometrie asimilate de elevi trebuie să corespundă rigurozităţii geometriei.    Întâi, pentru că ele trebuie să reprezinte elemente corecte ale cunoaşterii matematice, servind elevului în orientarea şi rezolvarea problemelor de adaptare în spaţiul înconjurător. În al doilea rând, pentru că toate aceste cunoştinţe geometrice vor stă la baza continuităţii studiului geometriei în clasele următoare, servind treptat la formarea temeinică a conceptelor geometriei.    Intuirea punctului poate începe cu faza de concretizare prin desen, că fiind urma lăsată pe hârtie de vârful creionului bine ascuţit (vârful pixului sau al peniţei stiloului) aşezat să se sprijine în vârf, sau pe tablă de vârful cretei. De aici, copilul va înţelege că dreapta concretizată prin desen este formată din punctele, pe care vârful creionului (cretei etc.), sprijinit pe rigla şi aflat şi mişcare le lasă pe hârtie (tablă).    El va mai înţelege că segmentul concretizat prin desen este format din puncte, iar extremităţile lui sunt primul şi ultimul punct al concretizării. Limbajul geometric este definit prin două proprietăţi simple şi anume: corectitudinea şi consecvenţă folosirii lui. În acest sens, institutorul trebuie să utilizeze corect limbajul simbolic, nu va utiliza notaţii specifice, cu excepţia notarii prin litere a segmentelor, vârfurilor unui poligon (notaţia unghiului prin trei litere este în afara programei).                Etapele, pe care trebuie să le aibă în vedere institutorul în formarea unei noţiuni geometrice sunt următoarele:   - intuirea obiectelor lumii reale, care evidenţiază noţiunea cu dirijarea atenţiei elevilor către ceea ce se urmăreşte să fie observat; - observarea proprietăţilor caracteristice evidenţiate de obiectele intuite; - compararea şi analizarea proprietăţilor pe un material didactic care materializează noţiunea; - reprezentarea prin desen a noţiunii materializate de obiecte şi materialul didactic; - formularea definiţiei, prin precizarea genului proxim şi a diferenţei specifice, acolo unde este posibil, sau prin stabilirea proprietăţilor caracteristice care determina sfera noţiunii şi proiectarea acesteia în limbajul geometriei; - identificarea noţiunii şi în alte poziţii, situaţii corespunzătoare realităţii; - construirea materializată a noţiunii folosind carton, hârtie, beţişoare, etc; - clasificarea figurilor care fac parte din aceeaşi categorie; - utilizarea noţiunii în rezolvarea problemelor specifice şi transferul ei în situaţii geometrice noi.                     Este de menţionat că unele noţiuni geometrice impun parcurgerea tuturor acestor faze, pe când altele nu; unele noţiuni sunt realizabile într-o lecţie, pe când altele într-un şir de lecţii.                Adevăratul proces de formare a noţiunilor geometrice este unul de durata şi nu trebuie confundat cu procesul învăţării de noţiuni.

Metodologia predării unităţilor de măsură                             Noţiunea de mărime, ce apare în sistemul predării-învăţării matematicii în ciclul primar este socotită că şi cea de mulţime o noţiune primară, înţelegerea ei făcându-se pe baza de exemple. Mărimile abordate începând cu clasa I sunt: lungimea, volumul (capacitatea vaselor), masă, timpul şi valoarea.                           A măsura o mărime oarecare, înseamnă a compară această mărime cu o altă, luată că unitate de măsură. Prin operaţia de măsurare se stabileşte un raport numeric între mărimea de măsurat şi unitatea de măsură considerată.De exemplu a măsură masă unui obiect înseamnă a o compară cu masă unui alt obiect, pecare îl vom consideră drept unitate de măsură. Elevii trebuie să fie conduşi să simtă necesitatea comparării mărimilor şi introduceriiunitatilor de măsură. Astfel, pentru a putea execută măsurările, elevii vor trebui învăţaţi sainteleaga conceptul de unitate de măsură şi cum să folosească instrumentele de măsură.                         Elevii vor înţelege că măsurările pe care le execută sunt asociate cu comparările pe care încearcă să le facă. Astfel, puşi în faţă situaţiei-problemă de a decide în care dintre două vase prezentate este un volum mai mare de apă, elevii vor încerca diverse rezolvări. Vor compara folosind o ceaşcă, un pahar, un vas de dimensiuni mai mici, stabilind astfel mai multe rezultate ale măsurării. Pe această baza vor înţelege cu mai multă uşurinţă necesitatea existenţei unei unităţi de măsură standard şi anume în cazul de faţă litrul (unitatea principala cu care se măsoară capacitatea vaselor).                           Înţelegerea măsurării şi a unităţilor de măsură nu implică întotdeauna introducerea imediataa unităţilor standard. Institutorul trebuie să utilizeze unităţile nestandard (de exemplu: palmă,creion etc.). După ce se exersează măsurarea unei mărimi cu o unitate nestandard, este importantsa se dea câteva date istorice legate de istoria măsurărilor, la noi şi în alte ţări, din care să reiasaca şi în procesul intensificării schimburilor economice şi ştiinţifice a rezultat că o necesitateunificarea unităţilor de măsură.                                       Predarea-învăţarea mărimilor şi unităţilor de măsură ale acestora vizează realizarea următoarelor obiective:   - cunoaşterea intuitivă a noţiunii de mărime prin prezentarea mărimilor des utilizate: lungime, volum, masă, timp; - dezvoltarea motivaţiei la elevi pentru a realiza necesitatea introducerii unităţilor de măsură nestandard şi apoi standard pentru o mărime considerată; - înţelegerea măsurării că o activitate de determinare a numărului care arată de câte ori se cuprinde etalonul în dimensiunea ce trebuie măsurată; - formarea deprinderii de a măsură, a alege şi a utiliza unele unităţi de măsură nestandard şi de a cunoaşte unităţile principale pentru mărimea studiată; - formarea şi dezvoltarea capacităţii de a cunoaşte şi a utiliza instrumentele de măsură; - formarea capacităţii de a consemna, compară şi interpreta rezultatele măsurărilor; - formarea capacităţii de a aprecia corect diversele mărimi din mediul ambiant; - formarea deprinderii de a opera cu măsurile a două obiecte de acelaşi fel, atât prin acţiune directă, cât şi prin calcul;                Caracteristici generale ale predării-învăţării unităţilor de măsură: - predarea este ciclică; - se porneşte de la unităţi de măsură nestandard către cele standard; - predarea învăţarea oricărei unităţi de măsură are un pronunţat caracter intuitiv şi participativ; - se porneşte de la propria experienţă de viaţă a copiilor legată de mărimi şi măsură; -prin măsurători nestandard se ajunge la ideea necesităţii măsurării cu unităţi standard.   Necesitatea măsurării este dată de necesitatea comparării (în acest caz) lungimilor celor două obiecte. Dacă obiectele sunt deplasabile (de exemplu.: două panglici), atunci compararea se poate face direct, prin aşezarea uneia peste cealaltă, astfel încât să aibă un capăt comun. Poziţia celui de-al doilea capăt indică obiectul mai scurt/lung. Dar dacă obiectele nu sunt deplasabile (de exemplu: două ferestre; lungimea şi lăţimea clasei)? Atunci trebuie să luăm “ceva”, să le măsurăm pe fiecare cu acel “ceva” şi să comparăm numerele obţinute ca rezultate ale măsurării. De fapt, introducem astfel o unitate de măsură nestandard, acel “ceva” constituindu-se într-un etalon arbitrar, subiectiv.    Să presupunem că intenţionăm să măsurăm lungimea unui ghiozdan, lăţimea unui caiet şi înălţimea unei vaze (utilizarea celor trei termeni – lungime, lăţime, înălţime – subliniază varietatea poziţiilor spaţiale ale obiectelor de măsurat).    La început, se poate utiliza ca unitate de măsură nestandard, de exemplu, lungimea unei agrafe de birou. În urma acţiunii efective cu obiectele, se constată că lungimea ghiozdanului este de 10 ori mai mare decât a agrafei, lăţimea caietului este cât 5 agrafe, iar înălţimea vazei este de 15 agrafe. Deci, măsurile lungimilor celor trei obiecte sunt: 10, 5 respectiv 15 (agrafe).    Dacă se schimbă unitatea de măsură, se vor schimba şi măsurile obiectelor. Înlocuind agrafa cu un creion, se constată că lungimea ghiozdanului este de două ori cât lungimea creionului, lăţimea caietului este cât lungimea creionului, iar înălţimea vazei este cât trei creioane. Deci, dimensiunile obiectelor au acum măsurile 2, 1 respectiv 3.    După astfel de experienţe se pot face şi observaţii funcţionale de tipul: creşterea lungimii etalonului conduce la micşorarea corespunzătoare a măsurii obiectului.    Desigur, ”instrumentele” de măsură a lungimii aflate cel mai la îndemână sunt: deschiderea palmei, lăţimea unui deget, lungimea braţului/braţelor, pasul. Utilizarea individuală a acestora întăreşte ideea că rezultatul măsurării se schimbă odată cu schimbarea unităţii de măsură.    Şi atunci, cum putem compara lungimile a două obiecte aflate în locuri diferite (clase diferite, şcoli diferite, localităţi diferite), unde nu dispunem de un acelaşi etalon? Răspunsul la această întrebare conduce la necesitatea introducerii şi utilizării unei unităţi standardizate (metrul), ce urmează a fi studiat în clasa a II-a (conform programei).    Predarea-învăţarea volumului şi masei se realizează în mod asemănător, cu menţiunea că terminologia utilizată la clasă nu poate fi identică cu cea ştiinţifică, astfel că sintagme de tipul “capacitatea vaselor” şi “cântărirea obiectelor” sunt mai apropiate de înţelegerea copilului.    Predarea-învăţarea timpului ridică probleme metodice deosebite, întrucât această mărime este abstractă şi deci mai puţin accesibilă elevilor, care nu o pot vizualiza şi intui direct, ca în cazul celorlalte mărimi. De aceea, predarea-învăţarea timpului se realizează în strânsă legătură cu acţiunile şi evenimentele în care elevii sunt implicaţi. Astfel, ora reprezintă durata unei lecţii (plus pauza), ziua durează de la un răsărit al soarelui până la alt răsărit.    O idee importantă ce trebuie urmărită este cea de succesiune/ simultaneitate a evenimentelor în timp. Elevii vor trebui să sesizeze, să compare şi să precizeze ordinea desfăşurării în timp a două (sau mai multe) evenimente, stabilind dacă unul are loc înaintea altuia sau se realizează în acelaşi timp. Curgerea timpului poate fi materializată prin întocmirea unei “benzi a timpului” (pentru o perioadă mai scurtă sau mai lungă) ori a unui calendar.    Chiar învăţarea unităţilor de măsură pentru timp va fi mai dificilă, deoarece între acestea nu există o relaţie de multiplicitate cu 10 (ca la celelalte trei mărimi anterioare), ci cu 60 (1 oră=60 minute, 1 minut=60 secunde) sau alţi factori (ex.:1 zi=24 ore, 1 săptămână=7 zile).    Şi în predarea-învăţarea timpului se evidenţiază nu numai legătura cu mediul, ci şi interdisciplinaritatea. “Citirea” orelor pe ceas poate fi precedată de realizarea la “abilităţi practice” a unui cadran din carton şi a acelor indicatoare, ce vor fi utilizate în activităţile de învăţare din lecţia de matematică.

Metodologia predării fracţiilor şi operaţiilor cu fracţii     Introducerea, în clasa a IV-a, a noţiunii de fracţie reprezint ă prima lărgire a conceptului de număr. Elevii vor învăţa că noua mulţime numerică o include pe cea a numerelor naturale, prin înţelegerea faptului că o fracţie cu numitorul 1 reprezintă un număr natural.   Formarea noţiunii de fracţie este un proces mai complicat, ce va conduce, în timp, la conceptul de număr raţional. Bazele psihopedagogice ale predării-învăţării fracţiilor sunt determinate de sporirea experienţ ei de viaţă şi didactice a elevilor, a maturizării lor cognitive, a lărgirii ariei cunoştinţelor lor matematice şi din alte domenii ale cunoaşterii. Demersul didactic trebuie să aibă traseul obişnuit în învăţarea la această vârstă: de la elementele acţionale, concrete, la cele de reprezentare iconică şi atingând nivelul abstracţiunii, prin elemente simbolice.   Învăţarea fracţiilor în clasa a IV-a nu porneşte de pe un loc gol. În clasa a II-a, elevii au cunoscut termenii de jumătate (doime) şi sfert (pătrime), în legătură cu împărţirea unui număr la 2, respectiv la 4, lucruri ce pot fi valorificate în acest capitol. Astfel, ştiind că una din cele două părţi de aceeaşi mă rime în care a fost împărţit un întreg reprezint ă o doime, că una din cele 4 părţi de aceeaşi mărime în care a fost împărţit întregul reprezintă o pătrime, se pot aborda alte cazuri particulare, ce vor conduce la generalizarea ce defineşte unitatea fracţionară: o parte dintrun întreg care a fost împărţit în părţi la fel de mari. Elevii vor fi conduşi să intuiască întregul ca un obiect, o figură geometrică, o mulţime de obiecte sau imagini de acelaşi fel sau chiar număr.   Date fiind experienţa matematică redusă a elevilor, capacităţile de abstractizare şi generalizare încă nematurizate, precum şi noutatea noţiunii , învăţarea acesteia parcurge mai multe etape: etapa de fracţionare efectivă a unor obiecte concrete (măr, pâine, portocală ş.a.) şi de partiţie a unor mulţimi de obiecte concrete (nuci, creioane, beţişoare, jetoane ş.a.); etapa de fracţionare prin îndoirea unor figuri geometrice plane care au axe de simetrie (pătrate, dreptunghiuri, cercuri); etapa de fracţionare prin trasarea unor linii pe un desen geometric dat, pe care-l împart în părţi la fel de mari (axe de simetrie ale unui pătrat, dreptunghi,cerc ş.a) sau fracţionarea unor imagini de obiecte (trasarea unor linii pe imaginea unui măr, a unei clădiri ş.a) etapa de fracţionare a numerelor, reductibilă la împărţirea acestora la un număr dat (2, pentru aflarea unei doimi; 4, pentru aflarea unei pătrimi ş.a.m.d.)   În cadrul fiecărei etape se va evidenţ ia unitatea fracţionară şi se va sublinia faptul că întregul a fost împărţit în părţi la fel de mari.   Se introduce apoi noţiunea de fracţie, ca fiind una sau mai multe unităţi fracţionare şi scrierea/citirea acesteia. Pentru ca elevii să reţină mai uşor denumirile celor doi termeni ai unei fracţii, se poate preciza că numitorul “numeşte” unitatea fracţionară (de exemplu, 2 – întregul a fost împărţit în două părţi la fel de mari, numite doimi), iar numărătorul “numără” câte unităţi fracţionare formează fracţia dată. În citirea unei fracţii se va urmări ca exprimările elevilor să fie complete şi corecte (ex. 3/4 = trei pătrimi şi nu “3 pe 4”sau “3 supra 4”), pentru a conştientiza no ţiunea de fracţie, evitând formalizări ce nu spun nimic elevului din clasa a IV-a. De asemenea, din punct de vedere metodic, se recomandă folosirea unei fracţii ai căror numărători/numitori sunt numere mai mici decât 10.   Compararea unei fracţii cu întregul   Următoarele informaţii pe care şi le pot însuşi elevii se referă la tipurile de fracţ ii date de compararea cu întregul (subunitare, echiunitare, supraunitare). Prin acţiune direct ă cu obiecte sau cu imagini, aceştia constată că dacă numărătorul fracţiei este mai mic decât numitorul, trebuie luate în considerare mai puţine unităţ i fracţionare decât are întregul în cazul dat (ex.: pentru fracţia ¾, întregul a fost împărţit în 4 părţi la fel de mari şi s-au luat în considerare doar 3 dintre ele), deci fracţ ia reprezintă, în acest caz, mai puţin decât un întreg, numindu-se subunitar ă. Dacă număr ătorul fracţiei este egal cu numitorul, atunci se iau în considerare toate unit ăţile fracţionare ale întregului, deci tot întregul, fracţia reprezentând, în acest caz, chiar întregul şi numindu-se echiunitară. Dacă numărătorul fracţiei este mai mare decât numitorul, elevii constată că nu sunt suficiente unităţ i fracţionare ale întregului şi este necesară considerarea încă unui întreg (sau mai mulţi) de acelaşi fel, pentru a obţine fracţia. Fireşte, în acest caz, fracţia reprezintă mai mult decât un întreg şi se va numi supraunitară. Treptat, concretul reprezentat de obiecte sau imagini va dispărea şi elevii îşi vor forma priceperea de a sesiza tipul fracţiei, prin simpla comparare a numărătorului cu numitorul.   Fracţii egale   Fracţiile egale sunt definite ca fiind frac ţiile ce reprezintă aceeaşi parte dintr-un întreg sau din întregi identici. Această definiţie nu poate fi asimilată de elevi decât prin intuirea unor situaţii particulare. Astfel, se poate cere elevilor să plieze o foaie de hârtie dreptunghiulară astfel încât să obţ ină două părţi la fel de mari, apoi să haşureze/coloreze într-un anumit mod, una dintre părţi (deci, 1/2). Apoi se cere plierea aceleiaşi foi astfel încât să se obţină patru părţi la fel de mari şi să se haşureze/coloreze într-un alt mod, două părţi (deci, 2/4). Se compară apoi părţile haşurate/colorate, constatându-se că reprezintă aceeaşi parte din întreg, motiv pentru care vor fi numite fracţii egale şi se va scrie 1/2 = 2/4.   Acţiunile de acest tip ar putea continua, elevii descoperind că 1/2 = 2/4 = 4/8, ceea ce constituie un prim pas în sesizarea proprietăţii de amplificare (înmulţirea atât a numărătorului cât şi a numitorului cu un acelaşi număr nenul), ce reprezintă şi o modalitate de obţinere a fracţiilor egale cu o fracţie dată. Analiza şirului de egalităţi scrise în ordine inversă (4/8 = 2/4 = 1/2) sugerează proprietatea de simplificare a fracţiilor (împărţirea atât a numărătorului cât şi a numitorului cu un acelaşi număr nenul).   Compararea a două fracţii   Problema comparării a două frac ţii apare imediat după problema egalităţii: dacă fracţiile nu sunt egale, trebuie stabilit care dintre ele este mai mică/mare.   În acest fel se va introduce o relaţie de ordine în mulţimea fracţiilor. La clasa a IV-a, sunt abordate doar două situaţii în compararea fracţiilor: fracţiile au acelaşi numitor; fracţiile au acelaşi numărător.   Primul caz nu ridică probleme metodice deosebite, elevii intuind cu uşurinţă că, fracţiile având acelaşi numitor, “părţile” (unităţile fracţionare) sunt la fel de mari, deci va fi mai mică fracţia cu numărătorul  mai mic, deoarece se “iau mai puţine unităţi fracţionare.   Pentru compararea fracţiilor care au acelaşi numărător, elevii trebuie să înţeleagă că, împărţind  un întreg în părţi (egale) mai multe, părţile vor fi mai mici.  Această  aserţiune  poate  fi  intuită  cu  uşurinţă  prin  prezentarea problematizată  a unei situaţii de tipul: Avem două prăjituri egale, una împărţită în două părţi (egale), cealaltă în trei părţi (egale); pe care bucată ai alege-o şi de ce? În acest fel, elevii pot realiza că 1/2 > 1/3 şi prin abordarea altor cazuri particulare, că 1/2 > 1/3 > 1/4 >…, adică, dintre două unităţi fracţionare diferite este mai mare cea cu numitorul mai mic. În acest context este mai uşor pentru elevi să ordoneze descrescător mai multe unităţi fracţionare diferite. După asimilarea faptului că 1/2 > 1/3, se deduce imediat că 1/3 < 1/2 şi prin inducţie, se ajunge la regula ce permite ordonarea  crescătoare a unităţilor fracţionare: dintre două unităţi fracţionare este mai mică cea care are numitorul mai mare.   În etapa următoare se consideră nu câte o unitate fracţionară, ci mai multe (dar tot atâtea din fiecare întreg!), adică fracţii cu numărători egali. Cunoscând faptul că o pătrime reprezintă mai mult decât o cincime (din acelaşi întreg sau din doi întregi egali), elevii intuiesc cu uşurinţă că dacă se iau câte 3 asemenea părţi, 3  Operaţii cu fracţii   Adunarea şi scăderea fracţiilor cu acelaşi numitor) nu ridică probleme metodice deosebite deoarece, în aceast ă etapă, elevii pot discrimina cu uşurinţă tipul de problemă simplă întâlnit, iar partea calculatorie este corect intuită, după utilizarea unui desen sugestiv şi a unor exprimări neformalizate (de tipul: două cincimi + o cincime =?, trei cincimi – două cincimi =?). Se ajunge astfel la regulile cunoscute: pentru a aduna/scădea două fracţii cu acelaşi numitor se adună/scad numărătorii, numitorul rămânând neschimbat.   În perspectiva simetriei relaţiei de egalitate, pentru cultivarea reversibilităţii gândirii elevilor este necesară abordarea unor sarcini de tipul scrierii unei fracţii ca o sumă/diferenţă de fracţii având acelaşi numitor (ex. 3/5 = 1/5 + ; 5/6 = /6 + ; 6/7 = +  şi analog pentru scădere). Mai menţionăm că, la nivelul trunchiului comun al programei, este suficient să se opereze cu fracţii subunitare, deoarece utilizarea celorlalte tipuri de fracţii (echiunitare, supraunitare) ar atrage după sine o altă problemă: scoaterea întregilor din fracţie.   O eventuală extindere la cazul adunării/scăderii fracţiilor cu numitori diferiţi este posibilă doar în situaţia în care elevii au capacitatea de a obţine fracţii egale cu o fracţie dată (vezi amplificarea) şi de a o alege pe cea utilă. Poate fi abordat cazul în care unul dinte numitori este numitorul comun al fracţiilor date (de exemplu, 2/5 + 1/10, 3/4 – 1/2, 2/3 – 4/9). Aflarea unei fracţii dintr-un întreg   Aflarea unei fracţii dintr-un întreg trebuie realizată metodic în două etape: aflarea unei (singure) unităţi fracţionare dintr-un întreg; aflarea unei fracţii (mai multe unităţi fracţionare) dintr-un întreg.    Prima etapă se parcurge apelând mai întâi la intuiţie, prin utilizarea unui material didactic tridimensional (obiecte) şi plan (imagini, figuri). Problema aflării unei doimi dintr-un astfel de întreg este transpusă cu uşurinţă de către elevi în plan operaţional, la împărţirea acestuia în două părţi egale.    Prin inducţie se ajunge la concluzia că aflarea unei unităţi fracţionare dintr-un întreg este reductibilă la împărţirea acestuia în atâtea părţi egale cât arată numitorul. Apoi se află unităţi fracţ ionare din întregi ce reprezint ă mase, lungimi, volume, cantităţi (ex.: 1/2 din 10 kg, 1/3 din 9m, 1/4 din 12 l), reţinând ideea: împ ărţire (în părţi egale). De aici, se trece la aflarea unei unităţi fracţionare dintr-un număr (1/2 din 10, 1/3 din 9, 1/4 din 12), subliniind procedeul: împărţire.   Parcurgerea celei de-a două etape (aflarea unei frac ţii dintr-un întreg) presupune doi paşi: aflarea unei singure unităţi fracţionare de tipul indicat de numitor şi apoi aflarea fracţiei respective din întreg.    De exemplu, problema aflării a 3/4 din 12 este reductibilă la: aflarea unei pătrimi din 12 (ceea ce elevii ştiu) şi constatarea că 3 astfel de părţ i (pătrimi) înseamnă de 3 ori mai mult decât una singură (deci înmulţire cu 3).   După rezolvarea mai multor cazuri particulare se sintetizează modul de lucru în regula: pentru a afla cât reprezintă o fracţie dintr-un număr (natural), împărţim numărul la numitorul fracţiei şi înmulţim rezultatul cu numărătorul.   Din punct de vedere metodic, această ultimă etapă poate fi parcursă, funcţie de particularităţile clasei, trecând prin fiecare dintre fazele concretă, semiconcretă şi abstract ă sau numai prin ultimele/ultima. Considerăm că elevii şi-au însuşit procedeul aflării unei fracţii dintrun întreg, dacă vor avea capacitatea să gândească şi să exprime (oral sau scris) de tipul 3/4 din 12 = 12 : 4 x 3.

Metodologia didactică specifică predarii-învățării ordinii efectuării operațiilor și utilizării parantezelor    În clasele I – II, exerciţiile sunt astfel alcătuite încât să se efectueze corect în ordinea în care sunt scrise. Până acum s-au întâlnit numai exerciţii în care apăreau operaţii de acelaşi ordin: adunări / scăderi sau înmulţiri/împărţiri. În acest fel, elevii îşi formează deprinderea de a efectua succesiv operaţiile, fără să-şi pună problema existenţei unor reguli referitoare la ordinea efectuării acestora.    În clasa a III-a, după ce elevii au învăţat cele 4 operaţii cu numere naturale, sunt puşi în faţa efectuării unor exerciţii de tipul 4 + 6 x 5. Abordări diferite (schimbarea ordinii efectuării operaţiilor) conduc la rezultate diferite, ceea ce impune stabilirea unor reguli după care se efectuează operaţiile într-un astfel de exerciţiu.    Pentru descoperirea regulilor, este necesar să se pornească de la o problemă, a cărei rezolvare să poată fi scrisă sub forma exerciţiului abordat. Pentru exerciţiul menţionat mai sus, o astfel de problemă poate fi: „Andrei are pe prima pagină a clasorului său, 4 timbre, iar pe fiecare dintre celelalte 6 pagini, câte 5 timbre. Câte timbre are Andrei în acest clasor?”. Analiza, împreună cu clasa, a acestei probleme, evidenţiază că primul pas în rezolvare este aflarea numărului de timbre de pe cele 6 pagini (6 x 5) şi apoi se află numărul de timbre din clasor (4 + 6 x 5).    Exemple de acest tip îi vor conduce pe elevi la constatarea că, întrun exerciţiu cu mai multe operaţii, înmulţirile şi împărţirile se efectuează cu prioritate faţă de adunări şi scăderi, indiferent de locul unde apar.    Se ajunge astfel la regula cunoscută: într-un exerciţiu cu mai multe operaţii, se efectuează mai întâi (dacă există) înmulţirile şi împărţirile (numite operaţii de ordinul a doilea), în ordinea în care apar şi apoi adunările şi scăderile (numite operaţii de ordinul I), în ordinea scrierii lor. În acest fel este rezolvată şi problema apariţiei în exerciţiu doar a unor operaţii de acelaşi ordin: acestea se efectuează în ordinea indicată de exerciţiu.    Pentru formarea la elevi a priceperilor şi deprinderilor de efectuare a unor astfel de exerciţii cu mai multe operaţii diferite, este necesar ca în exerciţiile propuse să fie utilizate numere mici, care orientează atenţia copiilor spre aspectul esenţial (ordinea efectuării) şi nu spre efectuarea în sine a fiecărei operaţii.    Aceste exerciţii trebuie să fie gradate, conţinând, mai întâi, doar două operaţii de ordine diferite ( a + b x c; a – b x c; a + b : c; a – b : c). Lungimea unui astfel de exerciţiu nu trebuie să fie foarte mare pentru că poate induce la elevi oboseala şi neatenţia, ce se vor reflecta în obţinerea unor rezultate greşite. Acelaşi efect îl poate avea şi solicitarea de a rezolva, prea mult timp, numai sarcini de acest tip.    Folosirea parantezelor    Uneori, contextul matematic impune efectuarea mai întâi a unor operaţii de ordinul I şi apoi a altora, de ordinul II. Ar apărea astfel o contradicţie cu regula privind ordinea efectuării operaţiilor. De aceea, într-o asemenea situaţie, acordarea priorităţilor de calcul este impusă de paranteze: mici (rotunde), mari (drepte), acolade. Acestea se folosesc doar perechi şi conţin, între ele, secvenţa de exerciţiu căreia i se acordă prioritate.    Introducerea parantezelor se face tot prin intermediul unor probleme. De exemplu:   „Bogdan şi Cristian au cules cireşe: 23 kg şi 17 kg. Cireşele culese au fost puse în lădiţe de câte 5 kg fiecare. Câte lădiţe s-au umplut?”. Analizând rezolvarea şi expresia numerică a acesteia, se constată că, în acest caz, se efectuează mai întâi adunarea şi apoi împărţirea. Pentru a marca prioritatea (adunarea), se folosesc parantezele mici, astfel încât scrierea rezolvării problemei este (23 + 17) : 5.    În mod asemănător se pot introduce parantezele mari şi acoladele, ajungând la desprinderea regulii cunoscute: într-un exerciţiu cu paranteze se efectuează mai întâi operaţiile din parantezele mici, apoi cele din parantezele mari şi, la urmă, cele din interiorul acoladelor. Se ajunge astfel la un exerciţiu fără paranteze, în care acţionează regula stabilită anterior privind ordinea efectuării operaţiilor.    Într-o posibilă lecţie de recapitulare, la clasa a IV-a, poate fi evidenţiat un algoritm de efectuare a oricărui exerciţiu numeric, ce sintetizează toate regulile cunoscute. Decisive sunt două întrebări:    1. Exerciţiul conţine paranteze? Dacă da, se efectuează operaţiile din parantezele rotunde, apoi cele din cele mari (dacă există) şi apoi din acolade (dacă există). Dacă nu, se trece la întrebarea a doua.    2. Exerciţiul conţine operaţii de ordine diferite? Dacă da, se efectuează întâi operaţiile de ordinul II, în ordinea în care sunt date, apoi cele de ordinul I, în ordinea în care sunt date. Dacă nu, se efectuează operaţiile în ordinea în care sunt scrise în exerciţiu.

Metodologia didactică specifică predării operaţiilor matematice                   În scopul formării noţiunii de adunare se porneşte de la operaţii cu mulţimi de obiecte concrete (etapă perceptivă), după care se trece la efectuarea de operaţii cu reprezentări ce au tendinţa de a generaliza (etapă reprezentărilor), pentru că, în final, să se poată face saltul la conceptul matematic de adunare (etapă abstractă).             Introducerea operaţiei de adunare se face folosind reuniunea a două mulţimi disjuncte.          În etapa concretă, elevii formează, de exemplu, o mulţime de brăduţi ninşi cu 3 elemente şi a mulţime de brăduţi albi cu 4 elemente. Reunindu-se cele două mulţimi de brăduţi se formează o mulţime care are 7 brăduţi: ninşi sau albi. Se repetă apoi acţiunea folosind alte obiecte (de exemplu, baloane, beţişoare, flori, creioane s.a.), până ce elevii conştientizează că reunind o mulţime formată din 3 obiecte cu o altă mulţime formată din 4 obiecte (indiferent ce sunt acestea) se obţine o mulţime formată din 7 obiecte. În această etapă, acţiunea elevului vizează număratul sau compunerea unui număr, date fiind două componente.           Etapa a două, semiabstractă, este caracterizată de utilizarea reprezentărilor simbolice, cum ar fi: În această etapă se introduc semnele grafice “+” şi “=”, explicându-se ce reprezintă fiecare şi se insistă pe faptul că acestea se scriu doar între numere.            În etapa a treia, abstractă, dispare suportul intuitiv, folosindu-se doar numerele.  În această etapă se introduce terminologia specifică (termeni, suma/total) şi se scot în evidenţă proprietăţile adunării (comutativitate, asociativitate, existenţa elementului neutru), fără utilizarea acestor termeni şi cu apelare la intuire, ori de câte ori este necesar. Tot în această etapă se poate sublinia reversibilitatea operaţiei, prin scrierea unui număr că suma de două numere (descompunerea numărului). Acest tip de solicitare conduce la dezvoltarea creativităţii elevului care, în urmă unui raţionament probabilistic, trebuie să găsească toate soluţiile posibile, anticipând, în acelaşi timp, operaţia de scădere.                       Scăderea se introduce folosind operaţia de diferenţă dintre o mulţime şi o submulţime a să (complementară unei submulţimi). În prima etapă concretă, dintr-o mulţime de obiecte ce au o proprietate comună se elimina o submulţime de obiecte şi se precizează câte obiecte rămân în mulţime. Acţiunea mentală a elevului vizează număratul sau descompunerea unui număr în două componente, dată fiind una dintre acestea.                       Etapa a două, semiabstractă, este caracterizată de utilizarea reprezentărilor simbolice, cum ar fi diagramele . În această etapă se introduce semnul grafic “−“ explicându-se ce reprezintă şi se precizează că acesta se scrie doar între numere.                         În etapa a treia abstractă, în care se folosesc doar numerele, se introduce terminologia specifică (descăzut, scăzător, rest/diferenţa) şi se evidenţiază proprietăţile scăderii numerelor naturale (operaţia este posibilă doar dacă descăzutul este mai mare sau egal cu scăzătorul; în cazul egalităţii, restul este zero), şi se compară cu proprietăţile adunării (scăderea nu este comutativă) şi subliniind faptul că, la adunare, rezultatul (suma) este mai mare decât oricare dintre numerele care se adună (termeni), iar la scădere, rezultatul (diferenţa) este mai mic decât descăzutul.                         Legătura dintre adunare şi scădere trebuie subliniată prin realizarea probei fiecăreia dintre cele două operaţii: la adunare, se scade din suma unul din termeni şi trebuie să se obţină cel de-al doilea termen, iar la scădere, se adună diferenţa cu scăzătorul şi trebuie să se obţină descăzutul. De asemenea, aceste relaţii se evidenţiază şi în cazul aflării unui termen necunoscut la adunare sau scădere, eliminând ghicirea, ce apelează la memorie sau procedeul încercare-eroare.                          Înţelegerea acestor aspecte implică în clasele următoare şi formarea capacităţii elevilor de a utiliza terminologia: mai mult cu…, mai puţin cu…, ce vor stă la baza rezolvării problemelor simple. Rezolvarea unor situaţii-problema (îndeosebi ilustrate cu material didactic concret sau prin imagini, dar şi prezentate oral) ce conduc la una dintre cele două operaţii se realizează frecvent, încă înainte de abordarea conceptului restrâns de problema din matematică. Şi prin aceste situaţii-problema poate fi valorificată legătură dintre cele două operaţii, anticipând cunoaşterea faptului că din orice problema de adunare se pot obţine două probleme de scădere.                De exemplu, o imagine ce reprezintă un lac pe care plutesc 5 nuferi, iar pe mal sunt alţi 4 nuferi, poate fi exploatată maximal (din punct de vedere matematic) prin formulări de tipul: -Pe lac sunt 5 nuferi, iar pe mal sunt 4 nuferi. Câţi nuferi sunt în total?   - Pe lac au fost 9 nuferi, iar 4 dintre ei au fost culeşi. Câţi nuferi au rămas pe lac?   - Pe lac au fost 9 nuferi, dar acum sunt doar 5. Câţi nuferi au fost culeşi?                            Introducerea operaţiilor de înmulţire şi împărţire cu numere naturale se face după ce elevii au dobândit cunoştinţe şi au priceperi şi deprinderi de calcul formate, corespunzătoare operaţiilor de adunare şi scădere. Operaţiile de înmulţire şi împărţire se introduc separat, mai întâi înmulţirea (că adunare repetată de termeni egali), apoi împărţirea (că scădere repetată a aceluiaşi număr natural). Abia după introducerea lor şi stăpânirea lor de către elevi se va evidenţia legătură dintre aceste două operaţii.                         Deoarece predarea-învăţarea acestor două operaţii se face prin intermediare.Operaţia de înmulţire se introduce ţinând seama de definiţia înmulţirii că: adunarea repetată a aceluiaşi termen. De aceea pentru stabilirea rezultatului înmulţirii se pot utiliza două procedee:   - Efectuarea adunării repetate a numărului respectiv şi exprimarea acestei adunări prin înmulţire: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10, deci: 2 × 5 = 10. - Efectuarea înmulţirii prin grupare: 2 × 2 = 4, 2 × 3 = 6, 4 + 6 = 10, deci: 2 × 5 = 10.                        Primul procedeu se întrebuinţează mai ales pentru stabilirea tablei înmulţirii, iar al doilea se bazează pe primul, cu deosebire pe înmulţirile numerelor 1-10 cu numere până la 5. Ordinea exerciţiilor de înmulţire respectă ordinea prevăzută în tablă înmulţirii, astfel că se învaţă întâi înmulţirea numărului 2, apoi a numărului 3 etc.           Exprimarea în cazul înmulţirii trebuie să corespundă întru totul procesului de gândire care are loc, astfel încât elevul să-şi poată însuşi în mod conştient şi cu uşurinţă această operaţie. De aceea, se va folosi întâi exprimarea care utilizează cuvintele: a luat de b ori, apoi exprimarea: a înmulţit cu b şi în sfârşit exprimarea: a ori b, această fiind cea mai scurtă şi deci cea care se va folosi mai târziu în mod curent. Este recomandabil că la înmulţirea numărului 2 să se întrebuinţeze pentru toate înmulţirile numărului, respectiv întâi exprimarea a luat de b ori şi numai după ce elevii au deprins această exprimare, sau numai la înmulţirile numerelor următoare să se treacă la celelalte moduri de exprimare.                         Pentru stabilirea rezultatului unei înmulţiri, spre exemplu 2 × 3 = 6 se procedează în felul următor:   - se demonstrează cu ajutorul a 2 - 3 materiale didactice, apoi pe baza de reprezentări cât fac 2 luat de 3 ori şi trecându-se pe plan abstract se stabileşte că 2 luat de 3 ori fac 6;   - se scrie această concluzie în două feluri: sub formă de adunare şi sub formă de înmulţire, adică: 2 + 2 + 2 = 6 2 × 3 = 6   - se citeşte operaţia de înmulţire în cele 3 moduri arătate mai sus.                Trecerea de la adunarea repetată la înmulţire se face în două moduri.   I. Prin stabilirea rezultatului fiecărei adunări repetate a numărului dat şi exprimarea acestei operaţii sub formă de adunare, apoi sub formă de înmulţire, urmată de scrierea în cele două feluri a acesteia; exemple: Cât fac trei creioane luate de 4 ori. Cum aţi socotit ? (3 + 3 + 3 + 3 = 12). Cum putem spune altfel? (3 luat de 4 ori fac 12). Cum scriem? (3 + 3 + 3 + 3 = 12 sau 3 × 4 = 12). În felul acesta elevii se deprind să identifice operaţia de adunare repetată a aceluiaşi termen cu operaţia de înmulţire, să substituie o operaţie prin altă, ceea ce de altfel se şi urmăreşte. II. Prin stabilirea tuturor operaţiilor de adunare repetată a aceluiaşi termen programate pentru lecţia respectivă şi apoi scrierea acestora sub formă de înmulţiri. Adică, dacă este vorba despre înmulţirea numărului 3, se stabilesc şi se scriu toate adunările numărului 3 până la 18:   3 3 + 3 = 6 3 + 3 + 3 = 9 3 + 3 + 3 + 3 = 12 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18 apoi se transformă pe rând aceste adunări în înmulţiri, scriindu-se în dreptul fiecărei adunări înmulţirea corespunzătoare, astfel:   3 × 1 = 3 3 × 2 = 6 3 × 3 = 9 3 × 4 = 12 3 × 5 = 15 3 × 6 = 18                    Dintre aceste două procedee se consideră că primul este mai indicat pentru motivul că elevii sunt puşi în situaţia să participe în mod conştient la scrierea fiecărei adunări sub formă de înmulţire, câtă vreme după al doilea procedeu, chiar dacă elevii participa conştient la scrierea primelor două adunări sub formă de înmulţiri, celelalte transformări le vor face mecanic pe baza observaţiei că numărul 3 este luat pe rând de 2 ori, de 3 ori etc.                         De altfel, între cele două procedee nu se poate stabili o ierarhizare absolută, ele urmând a fi utilizate după preferinţele propunătorului şi ţinând seama de condiţiile în care lucrează. Semnul înmulţirii se introduce cu prilejul scrierii primei operaţii de înmulţire, că o prescurtare a cuvintelor luat de … ori. În operaţiile următoare, se va arată că semnul “×” mai ţine locul cuvintelor înmulţit sau ori.                         Pentru memorarea tablei înmulţirii se utilizează procedeele specificate pentru memorarea tablei adunării şi scăderii. Apoi, la fiecare lecţie, trecerea la predarea cunoştinţelor noi este precedată de calcul mintal, iar în ascultare şi în fixarea cunoştinţelor se rezolva probleme aplicative. De asemenea este indicat să se rezolve cât mai multe exerciţii în care lipseşte unul din factori, întâi exerciţii în care lipseşte factorul al doilea, apoi exerciţii în care lipseşte primul factor: 3 × ? = 15 sau ? × 5 = 15, întrucât aceste categorii de exerciţii contribuie într-o măsură mai mare la clasificarea şi consolidarea înmulţirilor.                          În cadrul numerelor până la 100, tablă înmulţirii se completează cu toate înmulţirile numerelor de o singură cifra, devenind apoi elementul de baza în toate calculele care utilizează operaţiile de gradul al doilea.                Predarea înmulţirii în acest concentru prezintă următoarele caracteristici:   - elevii sesizează rolul pe care îl îndeplineşte primul factor că număr ce se repetă şi rolul pe care îl îndeplineşte cel de al doilea factor că număr ce arată de câte ori se repetă primul factor; -se scoate în evidenţă şi se aplică proprietatea comutativităţii înmulţirii, în special pentru stabilirea rezultatelor înmulţirii cu 1, 2, 3, 4, 5 a numerelor 6, 7, 8 şi 9. Această proprietate se generalizează în cadrul numerelor până la 100, astfel încât o bună parte din tablă înmulţirii va constitui doar o repetare a celor învăţate anterior;   - pe baza comutativităţii produsului se alcătuieşte tablă înmulţirii cu înmulţitorul constant, care va constitui elementul principal în introducerea împărţirii prin cuprindere;   - pentru stabilirea rezultatelor înmulţirilor, elevii vor putea întrebuinţa o mare varietate de procedee raţionale: adunarea repetată, gruparea, comutativitatea care nu vor avea un character limitat, ci vor capătă un câmp larg de desfăşurare.                          În ceea ce priveşte intuiţia, această nu mai are rol predominant, întrucât elevii au dobândit multe cunoştinţe în legătură cu operaţiile aritmetice, şi-au format anumite priceperi şi au sesizat mecanismul scrierii adunării repetate sub formă de înmulţiri şi tehnică formării tablei înmulţirii, astfel încât insistenţă institutorului de a demonstra totul cu material didactic ar frână însuşirea într-un ritm mai rapid a cunoştinţelor.    Nu se renunţă complet la materialul didactic, dar acesta se utilizează numai în măsură în care el este necesar pentru că elevii să-şi însuşească în mod conştient operaţiile respective. Astfel pe parcursul aceleiaşi lecţii, că şi în eşalonarea lecţiilor aparţinătoare capitolului respectiv, dozarea materialului didactic se face în aşa fel încât la început să se utilizeze mai mult material didactic şi să se treacă prin toate cele trei faze, apoi din ce în ce mai puţin, ajutându-se că ultimele operaţii să se bazeze doar pe gândirea abstractă.                 Exemplu, la înmulţirea numărului 7:   - primele 6 operaţii nu este necesar să fie demonstrate, deoarece se cunosc de la înmulţirile cu înmulţitorul constant al numerelor 1, 2, …, 6, ci doar se repetă înmulţirile respective, se reamintesc demonstraţiile sau se repetă unele dintre ele dacă se consideră necesar;   - operaţiile 7 × 7 şi 7 × 8 se pot demonstra cu 1-2 materiale (bile şi beţişoare, cuburi şi buline, creioane şi o planşă cu figuri), dintre care un material este indicat să fie o planşă cu figure decupate şi lipite sau cu figuri mobile, trecându-se apoi la faza semiconcreta şi apoi abstractă; -operaţia 7 × 9 poate fi ilustrată numai cu ajutorul unor reprezentări, după care se trece la faza abstractă;   - rezultatul operaţiei 7 × 10 se poate stabili numai pe baza fazei abstracte.                       De asemenea, în şirul lecţiilor: înmulţirea numărului 2, înmulţirea numărului 3 etc., bogăţia şi varietatea materialului didactic trebuie să fie în descreştere, pe măsură ce elevii dobândesc noi cunoştinţe şi-şi formează noi priceperi şi deprinderi. Ordinea în care se predau cunoştinţele privitoare la înmulţirea numerelor este cea prevăzută de tablă înmulţirii, iar după epuizarea acesteia se trece la tratarea cazurilor speciale.                Fazele principale prin care trece o lecţie de înmulţire a unui număr, cu stabilirea tablei înmulţirii respective, sunt următoarele:   - repetarea tablei înmulţirii cu numărul precedent, sau cu numerele precedente;   - numărarea ascendentă cu acel număr de unităţi şi scrierea rezultatelor numărării;   - adăugarea repetată a acelui număr, o dată, de două ori etc., cu scrierea pe tablă şi pe caiete a operaţiei;   - scrierea adunării repetate sub formă de înmulţire;   - stabilirea completă a tablei înmulţirii cu acel număr, inclusiv înmulţirea cu unitatea; -memorarea tablei stabilite, întrebuintand forme de activitate şi procedee cât mai variate; -rezolvarea de exerciţii şi probleme aplicative în legătură cu înmulţirile învăţate.                    Procedee pentru stabilirea rezultatelor la înmulţire:   - procedeul adunării repetate; 4 × 3 = 12 pentru că 4 + 4 + 4 = 12.   - procedeul utilizării grupărilor; 4 × 7 = 28 pentru că 4 × 3 = 12, 4 × 4 = 16 şi 12 + 16 = 28 sau 4 × 7 = 28 pentru că 4 × 5 = 20, 4 × 2 = 8 şi 20 + 8 = 28.   - procedeul comutativităţii; 7 × 3 = 21, pentru că 3 × 7 = 21 9 × 6 = 54, pentru că 6 × 9 = 54. -procedeul rotunjirii; 9 × 3 = 27, pentru că 10 × 3 = 30, 1 × 3 = 3 şi 30 - 3 = 27.                 Fazele principale prin care trece o lecţie de înmulţire a unui număr, cu stabilirea tablei înmulţirii respective, sunt următoarele:     - repetarea tablei înmulţirii cu numărul precedent, sau cu numerele precedente;   - numărarea ascendentă cu acel număr de unităţi şi scrierea rezultatelor numărării;   - adăugarea repetată a acelui număr, o dată, de două ori etc., cu scrierea pe tablă şi pe caiete a operaţiei;   - scrierea adunării repetate sub formă de înmulţire;   - stabilirea completă a tablei înmulţirii cu acel număr, inclusiv înmulţirea cu unitatea; -memorarea tablei stabilite, întrebuintand forme de activitate şi procedee cât mai variate; -rezolvarea de exerciţii şi probleme aplicative în legătură cu înmulţirile învăţate.                          Programa şcolară prevede pentru clasa a IV-a, în cadrul numerelor până la 1000, numai cazurile simple de înmulţire orală, şi anume, înmulţirea zecilor şi a sutelor cu un număr de o singură cifra, precum şi înmulţirea cu 10, 100 şi 1000. Procedeele de înmulţire în aceste cazuri se bazează pe regulile stabilite la înmulţirea unităţilor şi a zecilor. Astfel, înmulţirea 50 × 3 se scrie: 5 zeci × 3 = 15 zeci, adică 50 × 3 = 150; sau înmulţirea 300 × 2 se scrie 3 sute × 2 = 6 sute, adică 300 × 2 = 600. Prin urmare, înmulţirea zecilor şi a sutelor se reduce la înmulţirea unităţilor, regulă fiind:zecile şi sutele se înmulţesc că şi unităţile, dar la produs se adaugă un zero, respectiv două zerouri.                   Succesiunea acestor exerciţii de înmulţire orală este următoarea: -înmulţirea sutelor cu un număr de o singură cifra fără trecere peste mie.   Exemple: 400 × 2; 200 × 3; 500 × 2 etc. -înmulţirea zecilor cu un număr de o singură cifra.   Exemple: 70 × 4; 50 × 7; 80 × 5; 30 × 9 etc                  În acest concentru se introduce şi se studiază numai împărţirea în părţi egale, deoarece aceasta, spre deosebire de împărţirea prin cuprindere, este înţeleasă mai uşor de către elevi, exprimarea întrebuinţată este în concordanţă cu datele experienţei şi cu procesul de gândire care are loc, iar demonstrarea operaţiilor se face fără dificultăţi. Întrucât împărţirea în părţi egale se bazează pe înmulţire, ordinea exerciţiilor este aceeaşi, adică se tratează întâi împărţirea numerelor 2, 4 , 6, …, 20 la 2, apoi a numerelor 3, 6, 9, …, 18 la 3 etc.                        Demonstrarea operaţiilor se face prin întrebuinţarea unor materiale  cat mai variate, unele dintre ele corespunzătoare experienţei proprii a elevilor: creioane, caiete, nuci, castane, lei etc., altele din cele întrebuinţate în mod obişnuit în clasa: bile, beţişoare, cuburi, buline etc.                        Procedeul iniţial este următorul:   - se stabileşte numărul de obiecte ce trebuie împărţit şi numărul părţilor, spre exemplu: 18 creioane împărţite în mod egal la 6 copii;   - se repartizează fiecărei părţi (fiecărui copil) câte un creion, deci în total 6 creioane, stabilindu-se că au mai rămas 12, apoi se mai repartizează câte încă un creion, stabilindu-se că au mai rămas 6, care de asemenea se repartizează şi nu mai rămâne nici un creion; -se verifică numărul creioanelor repartizate fiecărei părţi (fiecărui copil);   - se stabileşte, se repetă şi se scrie concluzia: 18 creioane împărţite în mod egal la 6 copii fac 3 creioane, sau 18 creioane împărţite în 6 părţi egale fac 3 creioane.                        Pentru a realiza trecerea treptată de la concret la abstract, materialele care se întrebuinţează în continuare: beţişoare, cuburi, castane etc., chiar pentru aceeaşi operaţie, se împart în părţi egale, deci nu la un număr de copii, obiectele aşezându-se în grupe separate, după care se trece la faza semiconcreta, în cadrul căreia copiii vor împărţi mintal, în acelaşi număr de părţi egale, diferite numere ce reprezintă obiecte pe care nu le au în faţă şi cu care nu lucrează efectiv: piese, maşini, pere, castane, precum şi găini, ouă etc.                         În rezolvarea primelor exerciţii de împărţire, stabilirea rezultatului operaţiei se face prin separarea efectivă în părţi egale şi distincte a numărului total de obiecte, iar verificarea se face prin înmulţire. Îndată însă ce elevii dovedesc că au pătruns înţelesul operaţiei de împărţire şi au reuşit să-şi însuşească în condiţii satisfăcătoare mecanismul acestei operaţii, trebuie să depăşească faza împărţirii efective a obiectelor şi să treacă neîntârziat la stabilirea prin înmulţire a rezultatului unei împărţiri, realizându-se astfel legătură strânsă dintre cele două operaţii.                     Spre exemplu: 18 împărţit în 6 părţi egale fac 3, pentru că 3 luat de 6 ori fac 18, ceea ce se scrie:18 : 6 = 3, pentru că 3 × 6 = 18.                      În stabilirea pe baza înmulţirii a rezultatului unei împărţiri nu numai că nu se pot evita încercările, dar se consideră indicat să se apeleze mereu la aceste încercări, întrucât ele aduc o contribuţie hotărâtoare la dezvoltarea gândirii şi la înţelegerea relaţiilor de independenţa dintre cele două operaţii aritmetice, punând astfel accentul pe ceea ce este esenţial în împărţire, şi anume faptul că este operaţia inversă înmulţirii.                Exemplu:   18 : 6 fac 1 ? NU, pentru că 1 × 6 = 6, nu 18; 18 : 6 fac 2 ? NU, pentru că 2 × 6 = 12, nu 18; 18 : 6 fac 3 ? DA, pentru că 3 × 6 = 18.                    Procedând în acest fel, elevii vor ajunge să stabilească rezultatele diferitelor împărţiri numai pe baza tablei înmulţirii pe care au învăţat-o sau pe care o pot învaţă cu mai multă uşurinţă.              Exemplu: La împărţirea 15 : 3, elevii vor stabili rezultatul răspunzând mintal la întrebarea: cât ori 3 fac 15 ?  deci, 15 : 3 = 5 pentru că 5 × 3 = 15.                     Un alt procedeu pentru stabilirea rezultatului unei împărţiri şi care se poate introduce treptat este procedeul grupărilor, adică al descompunerii deîmpărţitului în două, trei grupe, care se împart, adunându-se rezultatele.              Exemplu:   12 : 3 = 4   9 : 3 = 3   3 : 3 = 1  3 + 1 = 4               În ceea ce priveşte exprimarea, este necesar să se întrebuinţeze la început exprimarea completă, corespunzătoare proceselor practice şi de gândire care au loc: 18 împărţit în 6 părţi egale fac 3 şi paralel cu această să se întrebuinţeze exprimarea prescurtată: 18 împărţit la 6 fac 3.                                                              Caracteristici specifice împărţirii numerelor naturale mai mici decât 100 - în cadrul numerelor până la 100 se studiază atât împărţirea în părţi egale, cât şi împărţirea prin cuprindere (în această ordine); - operaţia de împărţire se studiază în strânsă legătură cu înmulţirea, atât în ceea ce priveşte stabilirea şi motivarea rezultatului, cât şi prin sesizarea relaţiilor care duc la constatarea că cele două operaţii sunt inverse una alteia, adică ceea ce se face prin înmulţire se desface prin împărţire şi invers; - împărţirea în părţi egale se bazează pe înmulţirea cu înmulţitorul constant, acesta devenind împărţitor; - ordinea operaţiilor este aceeaşi că şi la înmulţire.                   Procedeele întrebuinţate pentru stabilirea rezultatelor la împărţire sunt următoarele: -legătura dintre înmulţire şi împărţire, legătură cu ajutorul căreia se găseşte şi se motivează rezultatul;                  Exemplu: 24 : 6 = ? Câtul este acel număr din înmulţirea căruia cu împărţitorul se obţine deîmpărţitul, adică 4, deci: 24 : 6 = 4, pentru că 4 × 6 = 24. -descompunerea deîmpărţitului în termeni mai mici, astfel că aceşti termeni să fie divizibiliprin împărţitor;                  Exemplu: 56 : 7 = 8 pentru că: 28 : 7 = 4 , 28 : 7 = 4 şi 4 + 4 = 8. -împărţirea succesivă a deîmpărţitului prin factorii împărţitorului;                  Exemplu: 28 : 4 = 7, pentru că: 28 : 2 = 14 şi 14 : 2 = 7                   Împărţirea prin cuprindere se bazează pe înmulţirea cu împărţitorul constant. Etapele metodice în tratarea împărţirii prin cuprindere pot fi formulate astfel: - formarea noţiunii de împărţire prin cuprindere, scrierea şi citirea acestei împărţiri.                             Pentru a ajunge la înţelegerea acestor noţiuni, trebuie să se lămurească şi să se delimiteze înţelesul expresiilor: în părţi egale, în grupe de câte … obiecte, grupate, cuprindere. În acest scop trebuie să se utilizeze exemple concludente, legate de experienţă şi cunoştinţele elevilor.                          Astfel, elevii sunt aşezaţi în bănci câte doi, în grupe de câte doi, dar aceiaşi elevi pot fi grupaţi câte 3, câte 4 etc., sau în grupe de câte 3, câte 4. Pentru o mai bună precizare a lucrurilor se consideră un anumit număr de elevi, spre exemplu 16 şi se fac toate grupările posibile: câte 1, câte 2, câte 4, câte 8 şi câte 16, stabilindu-se numărul grupelor formate şi întrebuințându-se exprimarea corespunzătoare:   16 elevi împărţiţi în grupe de câte 2 elevi fac 8 grupe; 16 elevi împărţiţi în grupe de câte 4 elevi fac 4 grupe; 16 elevi împărţiţi în grupe de câte 8 elevi fac 2 grupe etc.                  Apoi se lămureşte procesul de gândire care are loc pentru stabilirea grupelor precizându-se că 16 elevi împărţiţi în grupe de câte 2 fac 8 grupe, adică 2 în 16 se cuprinde de 8 ori, fiindcă 2 elevi repetaţi de 8 ori fac 16, sau 16 elevi împărţiţi în grupe de câte 4 fac 4 grupe, adică 4 în 16 se cuprinde de 4 ori, fiindcă 4 elevi repetaţi de 4 ori fac 16. După această se trece la demonstrarea împărţirii prin cuprindere întrebuintand diferite materiale didactice cu care lucrează atât institutorul cât şi elevii.               Exemplu: Dacă se lucrează cu beţişoare, acestea se grupează câte 1, câte 2, câte 4, stabilindu-se de fiecare dată numărul grupelor ce se obţin, cu repetarea în cuvinte a procesului aritmetic: 12 beţişoare împărţite în grupe de câte 2 beţişoare fac 8 grupe, pentru că 2 se cuprinde în 16 de 8 ori etc.               După tratarea a 2-3 exemple concrete, se trece la faza semiconcreta şi apoi abstractă, stabilindu-se drept concluzie.   16 împărţit în grupe de câte 2 fac 8, sau 2 se cuprinde în 16 de 8 ori; 16 împărţit în grupe de câte 4 fac 4, sau 4 se cuprinde în 16 de 4 ori; 16 împărţit în grupe de câte 8 fac 2, sau 8 se cuprinde în 16 de 2 ori etc.                 Un exemplu sau două din aceste operaţii se scriu pe tablă şi pe caiete, scoţându-se în evidenţă faptul că scrierea acestei împărţiri este cea cunoscută, însă citirea ei se face altfel.                  Exemplu: Operaţia: 16 : 4 = 4 se citeşte că împărţire prin cuprindere astfel: 16 împărţit în grupe de câte 4 fac 4, sau 4 în 16 se cuprinde de 4 ori.                      Numai după ce elevii încep să pătrundă sensul expresiilor care caracterizează împărţirea prin cuprindere se poate trece la studiul sistematic al acestei operaţii, tratandu-se pe rând împărţirea la 2 prin cuprindere, apoi la 3 şi aşa mai departe, în strânsă legătură cu înmulţirea numărului respectiv şi cu împărţirea în părţi egale prin acel număr.         - probleme de împărţire prin cuprindere.                      Tot ceea ce s-a arătat până aici în legătură cu împărţirea prin cuprindere are drept scop să familiarizeze pe elevi cu exprimarea caracteristică acestei împărţiri şi să-i facă să pătrundă înţelesul şi esenţă operaţiei. Dacă însă într-o problema este vorba de împărţire prin cuprindere, sau de împărţire prin părţi egale, acestea se pot stabili numai prin textul problemei, mai ales că formă sub care se scrie operaţia corespunzătoare fiecărei împărţiri este aceeaşi şi diferă doar exprimarea. Urmărind că elevii să facă distincţie clară între cele două feluri de împărţiri, este necesar să se formeze, cu aceleaşi date, o problema de împărţire în părţi egale şi altă prin cuprindere.    Spre exemplu: folosind relaţia 15 : 3 = 5, se pot formulă următoarele probleme: O cantitate de 15 litri de ulei s-a pus în mod egal în 3 bidoane. Câţi litri de ulei sau pus într-un bidon?   Operaţia se scrie:15 l : 3 = 5 l şi se citeşte:15 l împărţit în 3 părţi egale (bidoane) fac 5 l. O cantitate de 15 l de ulei s-a turnat în bidoane de câte 3 l . Câte bidoane sunt necesare? Operaţia se scrie: 15 l : 3 l = 5 şi se citeşte: 15 l împărţit în părţi (bidoane) de câte 3 l fac 5 (bidoane), sau: 3 l se cuprind în 15 l de 5 ori, deci sunt necesare 5 bidoane.       La împărţirea în părţi egale se observă că deîmpărţitul şi catul sunt numere concrete (reprezintă unităţi sau lucruri de acelaşi fel), iar împărţitorul este număr abstract şi arată numărul părţilor egale în care s-a făcut împărţirea. La împărţirea prin cuprindere, deîmpărţitul şi împărţitorul sunt numere concrete, iar catul este număr abstract şi arată de câte ori se cuprinde împărţitorul în deîmpărţit. Aceste observaţii caracterizează în mod general cele două feluri de împărţire.    Caracteristici specifice împărţirii numerelor naturale mai mici decât 100: -în cadrul numerelor până la 100 se studiază atât împărţirea în părţi egale, cât şi împărţirea prin cuprindere (în această ordine); -operaţia de împărţire se studiază în strânsă legătură cu înmulţirea, atât în ceea ce priveşte stabilirea şi motivarea rezultatului, cât şi prin sesizarea relaţiilor care duc la constatarea că cele două operaţii sunt inverse una alteia, adică ceea ce se face prin înmulţire se desface prin împărţire şi invers; -împărţirea în părţi egale se bazează pe înmulţirea cu înmulţitorul constant, acesta devenind împărţitor; -ordinea operaţiilor este aceeaşi că şi la înmulţire.